Bài tập công thức lượng giác

NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC
Vấn đề 1 : Hệ Thức Lượng Cơ Bản
Kiến thức cơ bản
sin cos
tan ;cot
cos sin
a a
a a
a a
= =
Hệ quả 1 :
1
tan
cot
tan .cot 1
1
cot
tan
a
a
a a
a
a

=


= ⇔


=



Hệ quả 2 :
2
2
1
1 tan
cos
a
a
+ =

2
2
1
1 cot
sin
a
a
+ =
TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA 1
CUNG
1. Tính sina , tana, cota biết cosa =
4
5
và
0
0 90a< <
Đs :
3 4 3

sin ,tan ,cot
5 3 4
a a a= = =
2. Tính cosa, tana, cota biết
12
sin
13
a = −
và
3
2
a
π
π
< <
Đs :
5 12 5
cos ,tan ,cot
13 5 12
a a a= − = =
3. Tính cosa, sina, cota biết
tan 2a = −
và
0
90 0a− < <
Đs :
1 6 2
cos ,sin ,cot
3 2
3

a a a= = − = −
4. Tính sina, cosa, tana biết
cot 3a =
và
0 0
180 270a< <
Đs :
1 3 10 10
sin ,cos ,t
10 3
10
a a ana
= − = − =
5. Cho
0
t cot 1 ,0 90ana a a− = < <
. Tính sinx,
cosx, tanx, cotx.
Đs :
1 5 5 5
t ,cos ,
2 10
5 5 5 1
sin ,cot
10 2
ana a
a a
+ −
= =
+ −

= =
TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC BẰNG SỬ
DỤNG CÔNG THỨC CƠ BẢN.
6. .tính
cot 2tan
tan 3cot
a a
E
a a
−
=
+
biết
3
sin
5
a =
và
0 0
90 180a< <
Đs :
2
57
E = −
7. Tính
sin 3cos
cos 2sin
a a
F
a a

−
=
+
biết
tan 3a = −
Đs:
6
5
F =
8. Tính
2 2
2 2
2cos sin .cos sin
sin 3cos 4
a a a a
G
a a
+ −
=
+ −
biết
cot 2a =
Đs :
5
7
G = −
9. Tính
2sin 3cos
sin cos
a a

H
a a
−
=
+
biết
tan 2a =
Đs :
1
3
H =
Đơn giản các biểu thức sau :
10.
( )
2 2 2
1 sin cot 1 cotM x x x= − + −
Đs :
2
sinM x=
11.
2
2cos 1
sin cos
a
N
a a
−
=
+
Đs :

cos sinN a a= −
12.
2
1 2sin
sin cos
a
P
a a
−
=
−
Đs :
sin cosP a a= − −
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG.BMT – 0975 034 943
1
2 2
cos sin 1a a
+ =
NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC
13.
( ) ( )
2 2
sin 1 cot 1 tQ a a cos a ana= + + +
Đs :
sin cosQ a a= +
Chứng minh các đẳng thức lượng giác
sau :
14.
( ) ( )
4 4 6 6

3 sin 2 sin 1a cos a a cos a+ − + =
15.
( ) ( ) ( )
2
2 2
sin cos 1 t sin 1 cota a cos a ana a a
− = − + −
16.
2 2 2 2
tan sin tan .sina a a a− =
17.
2 2 2 2
cot cot .a cos a a cos a− =
18.
sin 1 cos 2
1 cos sin sin
a a
a a a
+
+ =
+
19.
1 cos 1 cos
2cot . 0
1 cos 1 cos 2
a a
a a
a a
π
+ −

 
− = < <
 ÷
− +
 
Chứng minh rằng các biểu thức sau
độc lập với a.
20.
3 3
sin
sin .cos
cos sin
cos a a
A a a
a a
+
= +
+
Đs :
1A
=
21.
( ) ( )
6 6 4 4
2 sin 3 sinB a cos a a cos a
= + − +
Đs :
1B = −
22.
( ) ( )

8 8 6 6 4
3 sin 4 2sin 6sinC a cos a cos a a a
= − + − +
Đs:
1C =
23.
( )
4 4
4 sin cos os4D a a c a
= + −
Đs :
3D =
24.
( )
8 8
8 cos sin os6 7cos2E a a c a a= − − −
VẤN ĐỀ 2 – GÓC CUNG LIÊN KẾT.
25.
0 0 0 0
tan10 .tan 20 tan70 .tan80 1=
26.
0 0 0 0
os20 os40 os160 os180 1c c c c+ + = −
27.
0 0 0 0
tan50 tan75 tan230 tan255+ = +
28.
0 0 0 0
os20 os40 sin110 sin130c c+ = +
29.

0 0 0 0
sin 25 sin65 sin155 sin115+ = +
30.
0 0 0 0
sin 75 sin65 os165 os205 0c c+ + + =
31.
0 0
0
0
sin168 sin192
cot12 2
sin78
−
=
Tính giá trị biểu thức :
32.
0 0
0
0 0
sin( 234 ) os216
tan36
sin144 os126
c
A
c
− −
=
−
ĐS:
1A =

33.
( )
0 0 0
0 0
0
cot 44 tan 226 os406
ot17 . ot73
os316
c
B c c
c
+
= −
Đs :
1B =
34.
0 0 0 0
cot5 cot10 cot80 .cot85C =
Đs :
1C =
35.
0 0 0 0 0 0
cos10 cos20 cos30 cos190 cos200 cos210D
= + + + + +
Đs :
0D =
36.
9 6 11
os os os
16

5 5 5
tan
6
5
sin
5
c c c
E
π π π
π
π
+ +
=
Đs :
1E =
Đơn giản biểu thức sau :
37.
( ) ( )
3
sin os cot 2 tan
2 2
F c
π π
π α α π α α
   
= + − − + − + −
 ÷  ÷
   
Đ
S:

2sinF
α
= −
38.
( )
3 3
os 5 sin tan .cot
2 2 2
G c
π π π
α π α α α
     
= − + − + − + −
 ÷  ÷  ÷
     
ĐS:
1G =
39.
( ) ( ) ( )
3
cot 2 . os os 6 2sin
2
H c c
π
α π α α π α π
 
= − − + − − −
 ÷
 
ĐS:

2sinH
α
=
VẤN ĐỀ 3 : CÔNG THỨC CỘNG
KIẾN THỨC CƠ BẢN
os( ) cos .cos sin .sinc a b a b a b+ = −
os( ) os .cos sin .sinc a b c a b a b− = +
sin( ) sin .cos os .sina b a b c a b+ = +
sin( ) sin .cos os .sina b a b c a b− = −
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
+
+ =
−
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
−
− =
+
Hệ quả : Biến đổi biểu thức
cos sinE a x b x= +
về dạng tích số

i. Giả sử
2 2
0a b+ >
( và a và
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG.BMT – 0975 034 943
2
NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC
b không đồng thời triệt tiêu)
Ta có :

( )
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
cos sin
. cos sin
cos . os sin .sin
. os( )
E a x b x
a b
a b x x
a b a b
a b x c x
a b c x
ϕ ϕ
ϕ
= +
 
= + +

 ÷
+ +
 
= + +
= + −
Áp dụng kết quả trên ta có :
cos sin 2 os
4
a a c a
π
 
+ = −
 ÷
 
cos sin 2 os
4
a a c a
π
 
− = +
 ÷
 
sin cos 2 sin
4
a a a
π
 
+ = +
 ÷
 

sin cos 2 sin
4
a a a
π
 
− = −
 ÷
 
Rút gọn các biểu thức sau :
40.
0 0 0 0
os54 . os4 os36 . os86A c c c c= −

ĐS :
0
58A cos=

41.
0 0 0 0
sin56 .sin 4 sin34 .sin86B = −
ĐS:
1
2
B = −
42.
0 0
0 0
tan64 tan176
1 tan64 .tan356
C

+
=
−
ĐS :
3C =
43.
0 0 0 0
sin( 17 ). os( 13 ) sin( 13 ). os( 17 )D a c a a c a
= − + − + −
ĐS :
1
2
D = −
44.
2cos . os
4 4
E c
π π
α α
   
= + −
 ÷  ÷
   
ĐS :
2E cos a=
45.
os( ) sin .sin
sin( ) sin .cos
c a b a b
F

a b a b
+ +
=
− −
ĐS :
cotF b= −
46.
5
tan tan
12 12
5
1 tan .tan
12 12
G
π π
α α
π π
α α
   
+ − +
 ÷  ÷
   
=
   
+ + +
 ÷  ÷
   
ĐS :
3G = −
47.

2cos( )
tan
sin( ) sin( )
a b
H a
a b a b
+
= +
+ − −
ĐS :
cotH b=
48.
sin cos
sin cos
a a
K
a a
+
=
−
ĐS :
tan
4
K a
π
 
= − +
 ÷
 
Chứng minh rằng :

49.
cot .cot 1
cot( )
cot cot
a b
a b
b a
± =
±
m
50.
tan( ) tan tan tan .tan .tan( )a b a b a b a b
+ − − = +
51.
2sin( )
tan tan
os( ) os( )
a b
a b
c a b c a b
±
= ±
+ + −
52.
2 2 2
sin ( ) sin sin 2sin .sin . os( )a b a b a b c a b
+ − − = +
Chứng minh các biểu thức sau không phụ
thuộc vào x :
53.

2 2
os ( ) os 2cos .cos . os( )A c a x c x a x c a x
= − + − −
ĐS :
2
sinA a=
54.
2 2
os 2cos .cos . os( ) os ( )B c x a x c a x c a x= − + + +
ĐS:
2
sinB a=
55.CMR với mọi tam giác không vuông ta đều
có :
tan tan tan tan .tan .tanA B C A B C+ + =
56.CMR với mọi tam giác ABC ta đều có :
tan .tan tan .tan tan .tan 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
+ + =
57.Cho tam giác ABC thỏa mãn :
2
t 2tan t .tananA B anA B+ =
Chứng minh rằng tam giác ABC cân.
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG.BMT – 0975 034 943
3
NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC
VẤN ĐỀ 4 : CÔNG THỨC NHÂN
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
Công thức nhân đôi

sin 2 2sin cosa a a=
2 2
2
2
os sin
os2 2 os 1
1 2sin
c a a
c a c a
a

−

= −


−

2
2 tan
tan 2
1 tan
a
a
a
=
−
Hệ quả
Đặt
tan

2
a
t =
, ta có :
2
2
2
2
2
sin
1
1
cos
1
2
tan
1
t
a
t
t
a
t
t
a
t
=
+
−
=

+
=
−
Công thức nhân 3
3
3
3
3
sin 3 3sin 4sin
os3 4cos 3cos
3tan tan
tan3
1 3tan
a a a
c a a a
a a
a
a
= −
= −
−
=
−
58.Tính
sin 2 , os2 ,tan 2a c a a
biết
5 3
cos à
13 2
a v a

π
π
−
= < <
ĐS:
120 119 120
sin 2 , 2 ,tan 2
169 169 119
a cos a a= = − = −
59.Tính
4
tan 2 ,cos à 0
5 2
a a v a
π
−
= < <
ĐS:
120
tan 2
119
a =

Tính giá trị biểu thức sau:
60.
sin . os . os . os
24 24 12 6
A c c c
π π π π
=

ĐS :
3
16
A =
61.
sin . os . os . os
12 12 6 3
B c c c
π π π π
=
ĐS:
3
16
B =
62.
2 0
2cos 75 1C = −
ĐS:
3
2
C = −
63.
2 0
1 2sin 75D = −
ĐS:
3
2
D = −
64.
( ) ( )

0 0 0 0
os15 sin15 os15 sin15E c c= − +
ĐS:
3
2
E =
65.
( ) ( )
0 0 0 0
os75 sin75 os75 sin 75F c c
= − +
ĐS:
3
2
F = −
66.
2
7
tan
8
1 tan
8
G
π
π
=
−
ĐS:
1
2

G = −
67.
2 0
0
1 cot 105
cot75
H
−
=
ĐS:
2 3H =
Chứng minh rằng :
68.
3 3
sin 4
cos .sin sin .cos
4
a
a a a a− =
69.
3 3
sin cos sin 2
1
sin cos 2
a a a
a a
−
= +
−
70.

2
1 1 2sin
tan 2
os2 1 sin 2
a
a
c a a
−
+ =
−
71.
cos sin cos sin
2tan 2
cos sin cos sin
a a a a
a
a a a a
+ −
− =
− +
72.
2
1 1 sin2
1 tan 1 tan
cos cos os
a
a a
a a c a
  
+ + + − =

 ÷ ÷
  
73.
2
sin 2 2sin
tan
sin 2 2sin 2
a a a
a a
−
=
+
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG.BMT – 0975 034 943
4
NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC
74.
2
1 sin 2sin
2 4
a
a
π
 
− = −
 ÷
 
75.
0 0
sin3 4sin .sin(60 ).sin(60 )a a a a= + −
76.

0 0
os3 4 os . os(60 ). os(60 )c a c a c a c a= + −
77.
0 0
tan3 tan .tan(60 ).tan(60 )a a a a= + −
Tính các biểu thức sau :
78.
sin
3 2cos
a
M
a
=
−
nếu
tan 2
2
a
=
ĐS :
4
21
M =
79.
tan 2 sin 2
tan 2 cos2
a a
N
a a
+

=
−
nếu
2
tan
15
a =
ĐS:
28000
35101
N = −
80.
2sin 2 os2
tan 2 cos2
a c a
P
a a
−
=
+
nếu
1
tan
2 2
a
= −
ĐS:
287
551
P = −

VẤN ĐỀ 5 : BIẾN ĐỔI TÍCH
THÀNH TỔNG
[ ]
1
cos .cos os( ) os( )
2
a b c a b c a b= + + −
[ ]
1
sin .sin os( ) os( )
2
a b c a b c a b= − + − −
[ ]
1
sin . os sin( ) sin( )
2
a c b a b a b= + + −
[ ]
1
os .sin sin( ) sin( )
2
c a b a b a b= + − −
Biến đổi các biểu thức sau thành tổng :
81.
sin( ).sin( )a b a b+ −
ĐS:
1 1
2 2
2 2
cos a cos b− +

82.
sina.sin2a.sin3a
ĐS:
1 1 1
sin6 sin 4 sin 2
4 4 4
a a a− + +
83.
cos .cos .cosa b c
ĐS:
( ) ( )
( ) ( )
1 1
4 4
1 1
4 4
cos a b c cos a b c
cos b c a cos c a b
+ + + + − +
+ + − + + −
Chứng minh các đẳng thức sau:
84.
sin .sin( ) sin .sin( ) sin .sin( ) 0a b c b c a c a b
− + − + − =
85.
os(a+b).sin(a-b)+cos( ).sin( ) os( ).sin( ) 0c b c b c c c a c a
+ − + + − =
86.
0 0
1

sin 2sin 15 os 15
2 2 2
a a
a c
   
− − + =
 ÷  ÷
   
87.Cho tam giác ABC có
2 2 2
5
ˆ ˆ
ˆ
4 2 . : os os os
4
A B C CMR c A c B c C= = + + =
VẤN ĐỀ 6: BIẾN ĐỔI TỔNG
THÀNH TÍCH
KIẾN THỨC CƠ BẢN
cos cos 2cos cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
cos cos 2sin sin
2 2
a b a b
a b
+ −

− = −
sin sin 2sin os
2 2
a b a b
a b c
+ −
+ =
sin sin 2 os sin
2 2
a b a b
a b c
+ −
− =
Hệ quả :
cos sin 2 os
4
a a c a
π
 
+ = −
 ÷
 
cos sin 2 os
4
a a c a
π
 
− = +
 ÷
 

sin cos 2 sin
4
a b a
π
 
+ = +
 ÷
 
sin cos 2 sin
4
a b a
π
 
− = −
 ÷
 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG.BMT – 0975 034 943
5
NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC
( )
sin
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
+
+ =
( )
sin

tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
−
− =
( )
sin
cot cot
sin .sin
a b
a b
a b
+
+ =
( )
sin
cot cot
sin .sin
a b
a b
a b
−
− =
Biến đổi các biểu thức sau về dạng tích :
88.
0 0 0
sin 70 sin20 sin50− +
ĐS:

0 0 0
4.sin 25 . 35 . 10cos cos
89.
0 0 0
os44 os22 2 os79c c c− −
ĐS:
0
0 2
57
4sin11 .
2
cos−
90.
sin sin 2 sin3x x x+ +
ĐS :
3
4cos .sin .
2 2
x x
x cos
91.
1 cos os2x c x+ +
ĐS :
4. .
2 6 2 6
x x
cosx.cos cos
π π
   
+ −

 ÷  ÷
   
Đơn giản các biểu thức sau:
92.
sin( ) sin os( ) os
sin( ) sin os( ) os
a b a c a b c a
A
a b a c a b c a
+ − + +
= −
+ + + −
ĐS :
2.cot
2
sin
b
a
A
b
 
+
 ÷
 
=
93.
1 cos os2
1 3sin 2cos
x c x
B

x x
+ +
=
+ −
ĐS :
cot .cot
2 6
B x
π π
 
= +
 ÷
 
Chứng minh rằng :
94.
0 0 0
os85 os35 os25 0c c c+ − =
95.
0 0 0
os130 os110 os10 0c c c+ − =
VẤN ĐỀ 7 : CÁC BIẾN ĐỔI VỀ GÓC
TRONG TAM GIÁC
A, B , C là 3 góc trong 1 tam giác , ta có :
A B C
π
+ + =
vậy :
A B C
π
+ = −

(bù)
A B C
π
+ = −
( phụ)
sin( ) sinA B C+ =
os( ) osc A B c C+ = −
sin os
2 2
A B C
c
+
=
tan cot
2 2
A B C+
=
Bất đẳng thức côsi
Cho a ,b >0 ta luôn có
2 .a b a b+ ≥
hay
2
.
2
a b
a b
+
 
≤
 ÷

 
Tổng quát :
1 2
, , , 0
n
a a a ≥
ta luôn có
1 2 1 2
.
n
n n
a a a n a a a+ + + ≥
Bất đẳng thức BOUNHIACOSKY
( ) ( )
( )
2
2 2 2 2
. .a b c d a c b d+ + ≥ +
hay
( )
( ) ( )
2 2 2 2
. .a c b d a b c d+ ≤ + +
Định lí hàm số sin
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =

Định lí hàm số cosin
2 2 2
2 2 2
2 cos
cos
2
a b c bc A
b c a
A
bc
= + −
+ −
⇔ =
Cho tam giác ABC biến đổi các biểu thức sau
về dạng tích :
96.
sin sin sinA B C+ +
ĐS:
4. . .
2 2 2
A B C
cos cos cos
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG.BMT – 0975 034 943
6
NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC
97.
sin 2 sin 2 sin 2A B C+ +
ĐS:
4.sin .sin .sinA B C
98.

cot cot cot
2 2 2
A B C
+ +
ĐS:
cot .cot .cot
2 2 2
A B C
A , B , C là 3 góc của 1 tam giác. Chứng minh
rằng :
99.
cos cos cos 1 4sin .sin .sin
2 2 2
A B C
A B C+ + = +
100.
cos2 cos2 cos2 1 4cos .cos .cosA B C A B C
+ + = − −
101.
2 2 2
os os os 1 2cos .cos .cosc A c B c C A B C+ + = −
102.
2 2 2
sin sin sin 2 2cos .cos .cosA B C A B C
+ + = +
103.
tanA+ tan tan tanA.tan .tanB C B C+ =
104.
tan .cot cot cot cot tan 1
2 2 2 2 2 2

A B B C C A
+ + =
105.
5 5 5
sin5 sin5 sin 5 4. os . os . os
2 2 2
A B C
A B C c c c
+ + =
106.
sin 6 sin 6 sin 6 4sin3 .sin3 .sin 3A B C A B C+ + =
107. Chứng tỏ rằng nếu tam giác ABC có
tanA tan 2cot
2
C
B+ =
thì tam giác ABC là 1
tam giác cân.
108. Cho tam giác ABC , đặt
2 2 2
sin sin sinT A B C= + +
. Chứng minh
rằng tam giác ABC nhọn
2T
>
.
109. Hãy nhận dạng tam giác ABC biết :
2 2 2
os os os 1c A c B c C+ + =
.

110. Cho tam giác ABC có các cạnh và các góc
thỏa mãn hệ thức :
2 2
1 cos 2
sin
4
B a c
B
a c
+ +
=
−

Chứng minh tam giác ABC cân.
111. Số đo 3 góc của tam giác ABC lập thành 1
cấp số cộng và thỏa mãn hệ thức :
3 3
sin sin sin
2
A B C
+
+ + =
. Tính các góc
A, B , C.
112. Chứng minh rằng tam giác ABC cân khi và
chỉ khi :
.cos .cos .sin .sina B b A a A b B− = −
.
113. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có :
.cos .cos .cos 2

.sin .sin .sin 9
a A b B c C p
a B b C c A R
+ +
=
+ +
(trong đó p
là nửa chu vi. R là bán kính đường tròn ngoại
tiếp tam giác). Thì tam giác ABC là tam giác
đều.
114. Giả sử tam giác ABC thỏa mãn điều kiện :
( )
2 .cos .cos .cosa A b B c C a b c+ + = + +
. Thì
tam giác ABC là tam giác đều.
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG.BMT – 0975 034 943
7