Vai trò của hình vẽ trong việc chứng minh hình học

Sáng kiến kinh nghiệm - Vai trò hình vẽ trong việc chứng minh hình học
MỞ ĐẦU
I. ĐẶT VẤN ĐỀ:
Trong chương trình toán THCS, môn hình là rất quan trọng và rất cần thiết cấu
thành nên chương trình toán học ở THCS cùng với môn số học và đại số.
Ngay trong bậc học tiểu học, các em học sinh được làm quen với các yếu tố hình
học một cách trực quan, từ lớp 1 đến lớp 5 các em đã biết vẽ điểm, đoạn thẳng, tam giác,
hình vuông, hình tròn, góc, góc vuông. Bước đầu biết một số khái niệm: đường cao, các
công thức tính diện tích tam giác, hình thang, hình chử nhật. Trong bậc học này, hình học
được trình bày xen kẽ trong bộ môn toán của bậc học.
Bước sang bậc THCS, các nhà giáo dục đã trình bày hình học thành một phân môn
cùng với đại số cấu thành chương trình THCS. Ở đây các tác giả đã trình bày theo
phương pháp tiên đề hóa. Đưa ra các khái niệm không cơ bản các hình học, góc, tam
giác, hình tứ giác, đa giác, hình tròn … Xây dựng các định lý hình học và phương pháp
chứng minh.
Làm thế nào để các em học tốt môn hình học ( Đặc biệt là giải bài toán hình học).
Một vấn đề đặt ra cho bản thân về lĩnh vực này, có nhiều tác giả đã quan tâm và giải
quyết thành công:
1. Tác giả: Hứa Thuần Phỏng viết trong cuốn định lý hình học và các phương pháp
chứng minh, ở đây tác giả đã trình bày thế nào là định lý hình học và bài tập chứng minh?
Tác giả đã cố gắng phân loại tạo thành các các phương pháp chứng minh: Hai đoạn thẳng
bằng nhau, hai góc bằng nhau ..
2. Tác giả: Nguyễn Vĩnh Cận – Nguyễn Phúc Trình trình bày các phương pháp giải
các bài toán dựng hình.
Là một giáo viên dạy toán, trong quá trình giảng dạy ở trương phổ thông và tiếp
cận việc học môn hình học của học sinh tôi nhận thấy rằng phần lớn các em chưa biết vẽ
hình, lúng túng khi phân tích một đề toán, đặc biệt một số bài toán mà khi giải cần có
thêm một sáng tạo vẽ thêm đường phụ.
Với lý do trên tôi chọn đề tài nghiên cứu “ Vai trò của hình vẽ trong việc chứng
minh hình học”.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:

1. Tìm hiểu thực tế môn hình học ở các khối và việc vẽ, giải bài toán hình học.
2. Vẽ các loại hình khi biết các đại lượng hình học của nó.
3. Vẽ lại một hình cho sẵn.
4. Ứng dụng vào để giải các bài toán hình học.
Giáo viên: Võ Thị Luyến - Trường THCS Triệu Vân - Triệu Phong -Quảng Trị
1
Sáng kiến kinh nghiệm - Vai trò hình vẽ trong việc chứng minh hình học
III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
1. Đọc nghiên cứu tài liệu.
2. Tìm hiểu thực tế.
3. Tổng kết rút kinh nghiệm.
IV. CẤU TRÚC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
Mở đầu:
Chương 1: Cơ sở lý luận:
1. Vị trí và nhiệm vụ môn hình học.
2. Hệ thống các phép dựng hình cơ bản ở trường THCS.
3. Vai trò thực hành của hình vẽ ở THCS.
Chương 2: Vai trò hình vẽ trong việc chứng minh hình học:
1. Cách vẽ các loại hình khi biết các đại lượng hình học của nó.
2. Vẽ lại một hình đã cho sẵn .
3. Vẽ hình để chứng minh suy diển.
Chương 3: Kết luận- tài liệu tham khảo:
Giáo viên: Võ Thị Luyến - Trường THCS Triệu Vân - Triệu Phong -Quảng Trị
2
Sáng kiến kinh nghiệm - Vai trò hình vẽ trong việc chứng minh hình học
Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN:
I. Vị trí và nghiệm vụ của môn hình học ở trường THCS:
Vị trí, nhiệm vụ của môn hình học ở trương phổ thông nói chung trường THCS nói
riêng là một vấn đề lớn, được tranh luận kéo dài mấy chục năm qua, với sự tham gia của
nhiều nhà toán học và sư phạm nổi tiếng.

Có 2 ý kiến nêu ra:
1. Để thích hợp với thời đại máy tính, cần “ Đại số hóa” môn toán ở trường phổ
thông, đặc biệt là loại bỏ hình học Euclide truyền thống, vì quá cũ, lạc hậu.
2. Cần “ Hình học hóa” ở đâu, lúc nào cũng cần có trí tượng không gian, cần tư
duy và thao tác trên hình vẽ.
Sự nãy sinh những ý kiến trên bắt nguồn từ sự phát triển của toán học và máy tính.
Trong những năm cuối của thế kỷ XX một bộ phận lớn của toán học do các nhà đại số
học thống trị và người ta lảng quên trong nhiều năm khả năng nhận thức của toán học qua
trí tưởng tượng, qua hình ảnh. Điều này, ảnh hưởng trực tiếp đến hệ thống chương trình
hình học phổ thông của chúng ta là “ Lảng quên” hình học Euclide mà thay vào đó là
hình học giải tích ( Đại số hóa hình học) trong khối phổ thông trung học. Do đó, nó ảnh
hưởng trực tiếp đến việc học tập và giảng dạy hình học ở khối trung học cơ sở.
Khi ngành công nghệ thông tin phát triển khiến cho máy tính điện tử xâm nhập vào
hầu hết các lĩnh vực khoa học và đời sống. Đặc biệt, trong giáo dục xuất hiện một số
phần mềm hổ trợ dạy học tác động trực tiếp vào hình học.
Hình học là môn có tác dụng to lớn trong việc phát triển trí tưởng tượng của học
sinh mà “ Trí tưởng tượng quan trong hơn tri thức” theo Einstein. Tuy nhiên, hình học
không thể phát triển nếu không có các công cụ và ý tưởng của nhiều ngành khác: số học,
đại số, giải tích.
Ai cũng biết rằng hình học ra đời rất sớm, từ sự cần thiết đo đạc ruộng đất và
những nhu cầu hàng ngày của con người. Cuốn sách “ Nguyên lý” nổi tiếng của Euclide
đã đặt nền móng vững chắc cho hình học tồn tại và phát triển.
Môn hình học đã cung cấp cho học sinh những kiến thức cần thiết trong cuộc sống,
giúp phát triển tư duy logic, phát triển trí tưởng tượng và óc thẩm mỹ, giúp học sinh hiểu
biết thế giới hình học xung quanh ta, khám phá thế giới ấy, chiêm ngưỡng vẽ đẹp của nó
góp phần tăng thêm vẽ đẹp đó.
Các nhiệm vụ của môn hình học ở trường phổ thông được trình bày ở sơ đồ:
logic
Thực tế Trí tưởng tượng
Làm rõ mối quan hệ giữa các nhiệm vụ: hình học về bản chất là sự thống nhất giữa

trí tưởng tượng sinh động và logic chặt chẽ. Vì vậy, dạy hình học phải kết hợp logic và
Giáo viên: Võ Thị Luyến - Trường THCS Triệu Vân - Triệu Phong -Quảng Trị
3
Sáng kiến kinh nghiệm - Vai trò hình vẽ trong việc chứng minh hình học
trực quan, hình học bắt nguồn từ thực tế và ứng dụng vào thực tế, nên việc dạy hình học
phải liên hệ chặt chẻ với các môn học khác: mỹ thuật, kiến trúc…
II. Hệ các phép dựng hình cơ bản ở trường THCS:
1. Dựng đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước
2. Dựng đoạn thẳng bằng tổng, hiệu các đoạn thẳng cho trước.
3. Dựng 1 tam giác có 3 cạnh cho trước.
4. Dựng 1 góc bằng 1 góc cho trước.
5. Dựng đường phân giác của một góc.
6. Dựng đường trung trực của 1 đoạn thẳng.
7. Dựng một đường thẳng vuông góc với 1 đường thẳng cho trước và đi qua 1 điểm
cho trước.
8. Dựng 1 đường thẳng qua 1 điểm và song song đường thẳng.
9. Chia đoạn thẳng thành nhiều phần bằng nhau.
III. Vai trò thực hành của hình vẽ ở trường THCS:
Trong việc dạy hình học, những kết quả nghiên cứu của Vanltiele cho thấy việc tiếp
thu hình học của học sinh THCS trải qua 3 bậc:
- Bậc 1: ( Hình dung)
Học sinh hình dung 1 hình như tổng thể, không nhìn thấy các tính chất hay bộ phận
của nó.
- Bậc 2: ( Phân tích)
Học sinh bắt đầu nhận ra các đặc điểm của hình qua quan sát và thí nghiệm.
- Bậc 3: ( Suy diển không hình thức)
Học sinh thiết lập được quan hệ về các tính chất trong 1 hình và giữa các hình với
nhau; Hiểu được việc phân loại và định nghĩa; Có thể lặp lại và đưa ra các lý lẽ không
hình thức.
Trong bậc học này, vai trò vẽ hình ( Mô hình) rất quan trong, hình vẽ giúp hình

dung các vật thể trong thế giới hình học, giúp phát triển năng lực quan sát, phân tích, mô
tả là chổ dựa trực giác cho việc nắm các khái niệm hình học và cho suy luận.
Các hoạt động với hình vẽ ở đây có thể là: vẽ hình, dựng hình, đo đạc, cắt ghép
hình, gấp hình… với mục đích duy nhất là từ trực quan để đi đến logic trừu tượng mà mỗi
học sinh đang cần, ở đây, chúng ta quy ước rằng khi nói đến dựng hình thì chỉ được dùng
thước thẳng và compa, còn khi nói đến vẽ hình thì ngoài thước thẳng, compa có thể dùng
thêm thước thẳng chia khoảng, thước đo góc, êke…
Trong chương trình toán THCS thì các bài toán dựng hình, vẽ hình còn quá ít. Đối
với các bài toán này, chúng ta thường chỉ chú ý việc lập luận và mô tả, cách dựng, ít coi
trong việc thực hiện cách dựng. Do đó, khi giải toán nhiều học sinh vẽ hình sai không
chính xác, điều đó dẩn đến một số ngộ nhận kiến thức.
Ta xét nghịch lý sau: “Mọi hình chử nhật nội tiếp trong hình vuông cũng là hình vuông”.
Kết quả này sai ở đâu, lý do sai

Giáo viên: Võ Thị Luyến - Trường THCS Triệu Vân - Triệu Phong -Quảng Trị
4
Sáng kiến kinh nghiệm - Vai trò hình vẽ trong việc chứng minh hình học
D P C
1. Cách chứng minh:
Ta có ABCD là một hình vuông, MNPQ là
một hìnhchử nhật nội tiếp trong hình vuông. Q S
Tức là có 4 đỉnh trên 4 cạnh hình vuông
(Q trên AD, P trên DC, N trên CB, M trên AB). N
Từ P hạ PR vuông góc AB
và từ Q hạ QS vuông góc CB.
∆
QSN =
∆
PRM (2 tam giác vuông có cạnh huyền A M R B
QN = PM vì là 2 đường chéo hình chử nhật; 2 cạnh góc vuông QS = PR vì bằng cạnh

hình vuông ABCD) . Vậy QNS = PMR. Xét tứ giác ONBM: OMR = ONS (chứng minh
trên). Vậy OBM + ONB = 2v. Từ đó suy ra MDN + MBN = 2v. Nhưng vì MBN = 1v nên
MON = 1v. Tức là PM vuông góc QN. Chử nhật PQMN có 2 đường chéo vuông góc với
nhau nên nó là hình vuông.
2. Phân tích sai lầm:
Ta sẻ chỉ ra những hình chử nhật nội tiếp trong hình vuông vì các cạnh không bằng
nhau.
Muốn vậy ta chỉ lấy cạnh hình chử nhật song song với đường chéo hình vuông
bằng cách sau: Đặt AM = AQ = CD = CN
≠

2
a
( a độ dài cạnh hình vuông) sau đó nối
QP, PN, NM, MQ. Suy ra QM = PN, MN = QP
⇒
MNPQ là hình bình hành. PQM =
180
0
- (45
0
+ 45
0
) = 90
0
. Vậy MNPQ lả hình chử nhật. Nhưng trong tứ giác ONBM bây
giờ SNO và RNO không còn là một góc ngoài và một góc trong của tứ giác nữa mà là
hai góc đối diện nên các suy luận trước kia không còn đúng nữa.
3. Có thể phát biểu hai điều đúng:
a. Nếu hình chử nhật nội tiếp trong hình vuông mà không có cạnh nào của hình

chử nhật song song với đường chéo của hình vuông thì hình chử nhật đó là hình vuông.
b. Nếu hình chử nhật có cạnh không bằng nhau nội tiếp trong hình vuông, thì các
cạnh của nó song song với hình vuông.
Chương 2: VAI TRÒ CỦA HÌNH VẼ TRONG VIỆC CHỨNG MINH
CÁC ĐỊNH LÝ-BÀI TOÁN HÌNH HỌC.
Trong thực tế dạy hình học hiện nay, chúng ta thường nói đến những suy luận, đến
chứng minh. Điều đó không thỏa đáng, nhất là ở bậc THCS. Nhà toán học - tâm lý học và
nhà giáo dục học G.Polya đã nói: “ Toán học trong quá trình hình thành là gợi lại mọi
kiến thức khác của nhân loại trong quá trình hình thành bạn phải dự đoán về 1 định lý
toán học trước khi chứng minh nó, bạn phải dự đoán về ý của chứng minh trước khi
chứng minh chi tiết. Bạn phải đối chiếu các kết quả quan sát được và suy ra những điều
tương tự, bạn phải thử đi thử lại. Kết quả của công tác sáng tạo của nhà toán học là suy
luận, là chứng minh. Nhưng người ta tìm ra cách chứng minh nhờ suy luận có lý, nhờ dự
Giáo viên: Võ Thị Luyến - Trường THCS Triệu Vân - Triệu Phong -Quảng Trị
5



O