Btl 2016 2

BÀI TẬP LỚN MƠN GIẢI TÍCH 2
1. Cho f (x, y) = ex

2 +2y

2. Cho f (x, y) = e2x

. Tính A = 3f 0 x + 5f 0 y , tại (x, y) = (1, −2).

2 −4y

. Tính B = f 00 xx − f 00 yy + 2f 00 xy tại (x, y) = (0, 0).

3. Cho f (x, y) = (x2 + y) ln(xy 2 + 1). Tính vi phân df tại (1, 0).
4. Cho f (x, y) = x ln(xy + 1). Tính vi phân cấp 2 d2 f tại (1, 0).
x
5. Cho f (x, y) = arctan . Tính vi phân cấp 2 của f tại (1, 1).
y
6. Cho hàm f (x, y, z) = ln(ex + ez ) − ln(ex + ey ). Tính A = 5f 0 x − 2f 0 y + f 0 z , tại (x, y, z) = (0, 0, 0)
7. Cho hàm f (x, y) = ln(ex + 1) − ln(ex + ey ). Tính B = 2f 00 xx − f 00 yy tại (x, y) = (0, 0, 0).
8. Cho hàm f (x, y, z) = sin(x2 + y 2 + z 2 ) − 2 cos(x + y + z). Tính A = f 0 x + 3f 0 y + 4f 0 z tại
(x, y, z) = (0, 0, 0)
9. Cho hàm f (x, y) = sin(x2 +y 2 )−2 cos(x+y). Tính B = 2f 00 xx +3f 00 yy −5f 00 zz tại (x, y, z) = (0, 0, 0)
10. Cho hàm f (x, y) = arcsin(x + y). Tính A = 3f 00 yy − 2f 00 xy tại (x, y) = (0, π)
yz
. Tính B = f 00 xx − 2f 00 yy + 3f 00 zz tại (x, y, z) = (1, 2, 0)
x
p
12. Cho hàm f (x, y, z) = x2 − 2yz + y 2 + xz − z 2 . Tính A = 4f 0 x + 2f 0 y − 3f 0 z tại (x, y, z) =
(3, −4, 0)
11. Cho hàm f (x, y, z) =

√
x2 − xy
13. Cho hàm f (x, y) = 2
. Tính A = 2f 00 xx − f 00 yy + 3f 00 xy tại (x, y) = (1, 2)
y + 2xy
14. Cho hàm f (x, y) = arctan

√
x
+ ln(x2 + y 2 ). Tính A = f 00 xx − 2f 00 yy + 3f 00 xy tại (x, y) = ( 3, 1)
y

y
1
15. Cho hàm f (x, y, z) = tan(πx + π ). Tính A = f 00 xx − f 00 yy + f 00 xy tại (x, y) = ( , 1).
2
2
16. Cho f (x, y) = xexy+2 . Tính đạo hàm của f theo hướng u = (1, 1) tại M (1, −1).
x
17. Cho f (x, y) = arctan . Tính đạo hàm của f theo hướng u = (1, 1) tại M (1, −1).
y
18. Cho f (x, y) = (x + 2xy) ln(x + y). Tính đạo hàm của f theo hướng u = (1, 2) tại M (1, 0).
19. Cho f (x, y) = ln(y + sin x). Tính đạo hàm của f theo hướng u = (1, −1) tại M (e, 0).
R
20. Tính (x − y)dl với C là x2 + y 2 = 2x, y ≥ 0
C

21. Tính

R

y 2 dl với C là y = ex , 1 6 x 6 3

C

22. Tính

R

3xdl với C là y = x2 + 1, y 6 5

C

R
23. Tính (x + 2y)dl với C là x2 + y 2 = 2y, x ≥ 0
C

24. Tính

R

2ydl với C là x2 + y 2 = 4y, y ≥ 2

C

1


R

25. Tính (2x − 3y)dl với C là x2 + y 2 = 4x, x ≤ 2
C

26. Tính

R

2ydx + xdy với C là x = y 2 từ A(0, 0) đến B(1, 1)

C

27. Tính

R

ydx − 2xdy với C là x2 + y 2 = 1 từ A(1, 0) đến B(0, −1) ngược chiều kim đồng hồ.

C

28. Tính

R

y 2 dx − x2 dy với C là x2 + y 2 = π 2 từ A(π, 0) đến B(0, π) cùng chiều kim đồng hồ.

C

29. Tính

R

ydx + x2 dy với C là y = 4 − x2 từ A(2, 0) đến B(0, 4)

C

R
x2 y 2
+
= 1 từ A(0, −3) đến B(−2, 0) ngược chiều kim đồng
30. Tính (y + 1)dx + (x − 2)dy với C là
4
9
C
hồ.
R
31. Tính (xy + 2x)dx + (x2 − 2y)dy với C là x2 + y 2 = 4x + 2y − 4 đi từ A(3, 1) đến B(2, 2) theo
C

cùng chiều kim đồng hồ
R
32. Tính (y − 2x)dx + (x2 + 2y)dy với C là x = 2y 2 + y đi từ O(0, 0) đến A(3, 1)
C

R
33. Tính (x2 + 2y 2 )dl với C là y = 1 − |1 − x| phần ứng với 0 ≤ x ≤ 2
C

R
34. Tính (x2 − y 2 + 3xy)dl với C là y = x − |2 − 3x| phần ứng với 0 ≤ x ≤ 2
C

35. Tính độ dài đường cong C với C : y = |x2 − 2x|, −1 ≤ x ≤ 2
36. Tính độ dài đường cong C với C : x = |y 2 − 4y|, 2 ≤ y ≤ 5
37. Tính độ dài đường cong C với C : y = ln x, 1 ≤ x ≤ 4
38. Tính độ dài đường cong C với C : y = x2 + |x2 − x|, −1 ≤ x ≤ 1
R
x2 y 2
+
= x đi từ A(2, 3) đến B(2, −3) theo ngược chiều
39. Tính (x + y)dx + (2x − y)dy với C là
4
9
C
kim đồng hồ
R
x2 y 2
40. Tính (2x + 3y)dx + (3x − 4y)dy với C là
+
= y đi từ A(−3, 2) đến B(3, 2) theo cùng chiều
9
4
C
kim đồng hồ
R
41. Tính (xy + 3y 2 )dx + (3x2 − 4xy)dy với C là x2 + y 2 = 4x đi từ A(0, 0) đến B(2, 2) theo cùng
C

chiều kim đồng hồ
R
x2 y 2

42. Tính (2xy − 3y + 1)dl với C là
+
= 1 phần ứng với x ≥ 0
2
4
C
R
43. Tính (2x − 5y + 3z)dl với C là z = x2 + y 2 , z = 2x
C

(
x = 1 + 2t
44. Tính (2x + 3y)dx + (3x − 4y)dy với C :
y = 2 sin t
C
R

45. Tìm cực trị hàm f (x, y) = x3 + 2y 2 − 6xy + 4
2

, t : 0 → 2π


46. Tìm cực trị hàm f (x, y) = (x2 − 2y 2 )ex−y
47. Tìm cực trị hàm f (x, y) = x2 + 3y 2 − 2lnx + 3lny − 1
1
48. Tìm cực trị hàm f (x, y) = x4 + y 4 − 2x2 − y 2
4
49. Tìm cực trị hàm f (x, y) = xy +

3 9
+
x y

50. Tìm cực trị hàm f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy − 3y 2 + 3x + 3y + 1
51. Tìm cực trị hàm f (x, y) = x3 + 2y 2 − 6xy + 4
52. Tìm cực trị hàm f (x, y) = x3 + 3xy 2 − 39x − 36y + 4
53. Tìm cực trị hàm f (x, y) = x2 + y 2 + xy − 4lnx − 10lny
54. Tìm cực trị hàm f (x, y) = x2 + y 2 − 32lnxy
x

55. Tìm cực trị hàm f (x, y) = (x + y 2 )e 2

56. Tìm cực trị hàm f (x, y) = 2x3 + xy 2 + 5x2 + y 2
57. Tìm cực trị hàm f (x, y) = x2 + 3xy − 8lnx − 6lny + 2
58. Tìm cực trị hàm f (x, y) = 3x3 + y 3 − 3y 2 − x + 1
59. Tìm cực trị hàm f (x, y) = (x + y 2 + 2y)e2x
60. Tìm cực trị hàm f (x, y) = 3x2 y + y 3 − 18x − 30y
61. Tìm cực trị hàm f (x, y) = x3 − 2xy 2 − 48y 2 − 15x + y với điều kiện x − 2y = 3
62. Tìm cực trị hàm f (x, y) = x3 + 2xy 2 − 3x2 y + 5y 2 − 4xy với điều kiện 2x + 3y = 6
RR
63. Tính
f (x, y)dxdy với f (x, y) = x + 2y và D : y = lnx, y = −1, x = e2
D

64. Tính

RR

65. Tính

RR

f (x, y)dxdy với f (x, y) = 2xy và D : x2 + y 2 ≤ 2x, x2 + y 2 ≤ 2y, y ≥ 0

D

f (x, y)dxdy với f (x, y) = x + y và D : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≤ 0

D

66. Tính

RR

67. Tính

RR

f (x, y)dxdy với f (x, y) =

D

x2

√
√
1
và D : x2 + y 2 ≤ 2x, − 3y ≤ x ≤ 3y
2

+y

f (x, y)dxdy với f (x, y) = x − 2y và D : x2 + y 2 − 2x − 4y ≤ 0, x ≥ 1

D

68. Tính

RR

69. Tính

RR

D

f (x, y)dxdy với f (x, y) =

√
1
1
2
2
2
và
D
:
≤
x
+

y
≤
e
,
0
≤
y
≤
3x
x2 + y 2
e2

f (x, y)dxdy với f (x, y) = và D :

D

70. Tính

RR

f (x, y)dxdy với f (x, y) = x − y và D : xy = 6, x + y = 6

D

71. Tính

RR

f (x, y)dxdy với f (x, y) = 2x và D : y = ex , x = −2, y = e2

D

3


72. Tính

RR

73. Tính

RR

D

4x
f (x, y)dxdy với f (x, y) = 2y và D : x2 + y 2 ≤ 4, x2 + y 2 ≤ √
3
f (x, y)dxdy với f (x, y) = x + 2y − 5 và D : x2 + y 2 − 2x − 4y ≤ 0, y ≥ 2

D

74. Tính

RR

75. Tính

RR

f (x, y)dxdy với f (x, y) = 2xy và D :

D

x2 y 2
+
≤ 1, y ≤ 0
4
9

f (x, y)dxdy với f (x, y) = 2x và D : y = 2x2 − 3x, y = x2 + 2x − 6

D

1
f (x, y)dxdy với f (x, y) = p
và D : x2 + y 2 ≤ 2x, −x ≤ y ≤ x
2 − y2
x
D
√
√
RR
77. Tính
f (x, y)dxdy với f (x, y) = x và D : 2y ≤ x2 + y 2 4y, − 3y ≤ x ≤ 3y
76. Tính

RR

D

78. Tính diện tích miền D : y = x2 , y = 2 − x2
79. Tính diện tích miền D : x2 + y 2 = 2x, x2 + y 2 = 4x, y ≤ x
√
80. Tính diện tích miền D : y = x2 , y = x
81. Tính diện tích miền D : y = x2 , x = 3 − 2y 2
82. Tính diện tích miền D : y =

x2
,y = x
2

83. Tính diện tích miền D : y = x, y = 0, x + y =
84. Tính diện tích mặt S : z =

π
2

p
x2 + y 2 giới hạn bởi các mặt x2 + y 2 + z 2 = 2

85. Tính diện tích mặt S : x + y + z = 1 giới hạn bởi các mặt y = 0, x + 2y = 2, 2x + y = 1
√
86. Tính diện tích mặt S : x2 + y 2 + z 2 = 1 giới hạn bởi các mặt y = x, y = 3x, x ≥ 0, y ≥ 0
87. Tính diện tích mặt S : x2 + y 2 + z 2 = 2 giới hạn bởi các mặt z = 1, z ≥ 1
88. Tính diện tích mặt S : x2 + y 2 = 1 giới hạn bởi các mặt x2 + y 2 + z 2 = 2
89. Tính diện tích mặt S : x2 + y 2 + z 2 = 2 giới hạn bởi các mặt x2 + y 2 ≥ 1
90. Tính diện tích mặt S : z = 4 − x2 − y 2 giới hạn bởi các mặt z = 0
91. Tính diện tích mặt S : y = x2 giới hạn bởi các mặt z = 0, z = 1, y = 4
RRR

f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = 2z và V : x = 0, y = 0, x + y + z = 1, x + y − z = 1
92. Tính
V

93. Tính

RRR

(z + 1)dxdydz với V : y = 0, 2x + y = 1, x + 2y = 1, x + 2y = 2, x + y + z = 1

V

94. Tính

RRR

95. Tính

RRR

96. Tính

RRR

f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = x và V : z =

p
p
x2 + y 2 , z = 2 − x2 − y 2

V

f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = z và V : x2 + y 2 = 1, z = 0, x + 2y + 3z = 6

V

f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = 2y và V : z = x2 + y 2 , z = 0, x + y + z = 2

V

4


97. Tính

RRR

98. Tính

RRR

f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = z và V : x2 + y 2 ≤ 1, z 2 ≤ x2 + y 2

V

f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = y và V : x2 + y 2 + z 2 ≤ 2z, x ≥ 0

V

99. Tính

RRR

100. Tính

RRR

f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = 2z và V : y = x2 , y = 4, z = 0, x + z = 0

V

f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = x2 + y 2 và V : x2 + y 2 + z 2 ≤ 2z, x2 + y 2 ≤ z 2

V

101. Tính

RRR

102. Tính

RRR

f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = 3 và V : x2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, 0 ≤ z ≤ x2 + y 2 + 1

V

f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = 2z và V : x2 + y 2 + z 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0

V

p
p
1
p
dxdydz với V : 1 − 1 − x2 − y 2 ≥ z ≥ x2 + y 2
x2 + y 2 + z 2
V
p
p
RRR
104. Tính
f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = x và V : z = x2 + y 2 , z = 2 − x2 − y 2

103. Tính

RRR

105. Tính

RRR

V

f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = x − 2z và V : z =

p
p
x2 + y 2 , z = 2 − x2 − y 2

V

106. Tính

RRR

107. Tính

RRR

108. Tính

RRR

109. Tính

RRR

f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = x + y và V : y = x2 , y = 0, x = 2, x + y + z = 1, z = 0

V

f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) =

p
x2 + y 2 và V : x2 + y 2 ≤ 1, z 2 ≤ x2 + y 2

V

f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = 2y và V : y = 4 − x2 , x + z = 0, z = 0, y = 0

V

f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = 3 và V : x + y = 0, x − y = 0, 2x + z = 2, z = 0

V

110. Tính

RR

111. Tính

RR

112. Tính

RR

113. Tính

RR

114. Tính

RR

(x + 2y + 3z)dxdy với S là phía trên mặt nón z =

p

x2 + y 2 , z ≤ 1.

S

xdydz + y 2 dzdx + (x + y 2 + z 3 )dxdy với S là phía ngồi mặt trụ x2 + y 2 = 1, −1 ≤ z ≤ 1.

S

x2 dxdy + 2y 2 dzdx − 3z 2 dxdy với S là phía trong mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 1, z ≥ 0

S

x2 dydz − 3y 2 dzdx + dxdy với S là phía dưới mặt nón z =

p
x2 + y 2 , z ≤ 2.

S

(x2 + y 2 )ds với S là mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 4

S

115. Tính

p
RR p
x2 + y 2 ds với S là phần mặt nón z = x2 + y 2 nằm dưới mặt phẳng z = 1

116. Tính

RR p

S

x2 + y 2 ds với S mặt xung quanh vật thể giới hạn bởi các mặt z 2 = x2 + y 2 , z = 0, z = 1

S

117. Tính

RR

(x + y + z)ds S là mặt xung quanh hình lập phương 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1

S

118. Tính

RR

x(1 + y 2 )ds S là phần mặt trụ y 2 = 4(4 − z) bị chắn bởi các mặt x = 0, x = 1, z = 0

S

5


119. Tính

RR

120. Tính

RR

xdydz + ydzdx + zdxdy S là phía trên của mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 4 phần ứng với z ≥ 0

S

ydydz − xdzdx + dxdy, S là phiá ngoài mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 1; x, y, z ≥ 0

S

121. Tính

RR
S

1
ds S là mặt phẳng x + y + z = 1 phần bị chặn bởi 3 mặt x = 0, y = 0, z = 0
(1 + x + y)2

x
ds S là phần mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 1 trong góc x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
2 + y2
x
S
p
RR

123. Tính (xy +yz +zx)ds trong đó S là phần mặt nón z = x2 + y 2 bị cắt bởi mặt trụ x2 +y 2 = 2y
122. Tính

RR

124. Tính

RR

S

2dxdy + ydxdz − x2 zdydz trong đó S là phía ngoài mặt 4x2 + y 2 + 4z 2 = 4; x, y, z ≥ 0

S

125. Tính

RR

(y − z)dydz + (z − x)dzdx + (x − y)dxdy trong đó S là phía ngồi của phần mặt nón

S
2

z2 = x + y2, 0 ≥ z ≥ 2
RR 2
126. Tính
z dydz + xdxdz − 3zdxdy trong đó S là phía trong mặt trụ z = 4 − y 2 giới hạn bởi
S

x = 0, x = 1, z = 0
RR
127. Tính
xdydz + ydzdx + zdxdy trong đó S là phía trong mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 4; x, y, z ≥ 0
S

128. Tính

RR

129. Tính

R

z 2 dxdy trong đó S là mặt ngồi ellipsoid x2 +

S

y2 z2
+
=1
4
9

2ydx + zdy + 3ydz, C : x2 + y 2 + z 2 = 6z, z = 3 − x ngược chiều kđh nhìn từ (+)Oz.

C

130. Tính

R

2ydx − xdy + xdz, C : x2 + y 2 = 1, z = y + 1 cùng chiều kđh nhìn từ phía âm Oz.

C

6