BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ VECTO LỚP 10

BÀI TẬP TỔNG HỢP VÉC TƠ

I. CÁC QUY TẮC CẦN NHỚ

1) Quy tắc ba điểm :
Với ba điểm A , B , C bất kỳ ta luôn có :
AB BC AC
 
  
hoặc
AB AC CB
 
  

2) Quy tắc hình bình hành : ABCD là hình bình hành


AB AD AC
 
  

3) Quy tắc trung điểm :
M là trung điểm AB và I là điểm tùy ý


0
MA MB
 
  
và

2
IA IB IM
 
  

4) Quy tắc trọng tâm :
G là trọng tâm của

ABC và M là điểm tùy ý , ta có :

0
GA GB GC
  
   
và
3
MA MB MC MG
  
   

5) Điều kiện thẳng hàng : A , B , C thẳng hàng


.
AB k AC

 

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

A. - Chứng minh các đẳng thức véc tơ

Bài 1 Cho 4 điểm A , B , C , D . Chứng minh :
a)
AB CD AD CB
  
   
b)
AB CD

 



AC BD

 

Bài 2 Cho hình bình hành ABCD tâm O và điểm M tùy ý . Chứng minh :
2
MA MC MB MD MO
   
    

Bài 3 Cho

ABC . Gọi M , N , K lần lượt là trung điểm BC , CA , AB. Chứng minh :
a)

0
AN CM KB
  
   
b)
0
AM BN CK
  
   
c)
AK BM AN BK KC
   
    

Bài 4 Cho tứ giác ABCD . Gọi I và J lần lượt là trung điểm AB và CD. Chứng minh
a)
2
AC BD IJ
 
  
b)
2
AD BC IJ
 
  

Bài 5 Cho tứ giác ABCD . Gọi I và J lần lượt là trung điểm AC và BD. Chứng minh
2
AB CD IJ
 

  

Bài 6 Cho tứ giác ABCD . Gọi M , N , I , J lần lượt là trung điểm AD , BC , AC , BD. Chứng minh :
a) 2
AB DC MN
 
  
b)
2
AB DC IJ
 
  

Bài 7 Cho tứ giác ABCD . Gọi E , F lần lượt là trung điểm AB và CD. K là trung điểm EF. Chứng minh :
a)
4
AB AC AD AK
  
   
b)
0
KA KB KC KD
   
    

c) Với O là điểm tùy ý thì
4
OA OB OC OD OK
   
    

Bài 8 Cho lục giác đều ABCDEF tâm O và M là điểm bất kỳ.
a) Tính
MA MC ME
 
  
theo
MO

b) Chứng minh
MA MC ME MB MD MF
    
     

Bài 9 Cho

ABC có trọng tâm G . Gọi H đối xứng với G qua B. Chứng minh :
5 0
HA HB HC
  
   

Bài 10 Cho hai tam giác ABC và DEF có trọng tâm là G và G’. Chứng minh :
a)
3 '
AD BE CF GG
  
   
b)
3 '

AE BF CD AF BD CE GG
     
      

c) Tìm điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm
Bài 11
Cho

ABC có trọng tâm G , trực tâm H và nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi D là điểm đối xứng của A qua
O. Chứng minh :
a)
HB HC HD
 
  
b) 2
HA HB HC HO
  
   
c) 2
HA HB HC OA
  
   

c)
OA OB OC OH
  
   
d) Chứng minh O , G , H thẳng hàng
Bài 12
Cho tứ giác ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB , CD.

a) Gọi K là trung điểm MN. Chứng minh :
0
KA KB KC KD
   
    

b) Với I là điểm bất kỳ . Chứng minh
4
IA IB IC ID IK
   
    

c) Gọi E và F lần lượt là trung điểm AC và BD . Chứng minh EF đi qua điểm K.
d) Gọi G
1
là trọng tâm của

BCD. Chứng minh A , K , G
1
thẳng hàng
e) Gọi G
2
, G
3
,G
4
lần lượt là trọng tâm của các

CDA ,


DAB ,

ABC . Chứng minh các đường
thẳng AG
1
, BG
2
, CG
3
, DG
4
đồng quy tại một điểm

B. - Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Bài 13
Cho

ABC và điểm I , F sao cho
3 0
IA IC
 
  
và
2 3 0
FA FB FC
  
   
.Chứng minh I , F , B thẳng hàng
Bài 14
Cho


ABC có các điểm M , N , K sao cho
2 0
MB MC
 
  
;
2 0
NA NC
 
  
;
0
KA KB
 
  

a) Biểu diễn các véc tơ
,
KM KN
 
theo các véc tơ
,
AB AC
 

b) Chứng minh M , N , K thẳng hàng
Bài 15
Cho bốn điểm A , B , C , M thỏa mãn hệ thức
2 3 0

MA MB MC
  
   
. Chứng minh A , B , C thẳng hàng
Bài 16
Cho

ABC . Trên Bc lấy điểm D sao cho
2
5
BD BC

 
. Gọi E là điểm thỏa mãn
4 2 3 0
AE EB EC
  
   
.
a) Phân tích
ED

theo hai véc tơ
EB

và
EC

b) Chứng minh ba điểm A , E , D thẳng hàng
Bài 17

Cho

ABC , lấy M , N thỏa mãn :
3 4 3 0
MA MB NB NC
   
    
. Gọi G là trọng tâm của

ABC.
a) Chứng minh M , N , G thẳng hàng
b) Phân tích
AC

theo hai véc tơ
,
AG AN
 
. AC cắt GN tại K. Tính tỉ số
KA
KB

Bài 18
Cho hình bình hành ABCD . M , N là 2 điểm lần lượt trên đoạn AB và CD sao cho AB = 3AM , CD = 2CN.
a) Tính
AN

theo hai véc tơ
,
AB AC

 

b) Gọi G là trọng tâm

BMN . Tính
AG

theo
,
AB AC
 

c) Gọi I là điểm xác định bởi
BI kBC

 
. Tính
AI

theo
,
AB AC
 
và k. Tìm k để AI đi qua G
Bài 19
Cho

ABC có G là trọng tâm . I là trung điểm của AG và K là điểm thuộc AB sao cho AB = 5AK
a) Phân tích các véc tơ
, , ,

AI AK CI CK
   
theo hai véc tơ
,
CA CB
 

b) Chứng minh ba điểm C , I , K thẳng hàng
Bài 20
Cho

ABC và I là điểm thuộc AC sao cho CA = 4CI. Điểm J là điễm sao cho
1 2
2 3
BJ AC AB
 
  

a) Chứng minh
3
4
BI AC AB
 
  
b) Chứng minh ba điểm B , I , J thẳng hàng
c) Dựng điểm J thỏa mãn đề bài d) Kéo dài AJ cắt BC tại K. Tính
BK

theo
BC



Bài 21
Cho

ABC , I là điểm thỏa mãn
5 7 0
IA IB IC
  
   
. Gọi G là trọng tâm

ABC.
Chứng minh
2 3
5 5
AM AB AC
 
  

Bài 22 Cho

ABC , lấy I và J sao cho
2
IA IB

 
và
3 2 0
JA JC

 
  

a) Phân tích véc tơ
IJ

theo hai véc tơ
,
AB AC
 

b) Chứng minh IJ đi qua trọng tâm G của

ABC
c) Gọi D là điểm đối xứng của B qua C. Gọi K là điểm thỏa
BK mBA

 
. Xác định m để K , G , D
thẳng hàng
Bài 23 Cho

ABC , gọi I là trung điểm BC . D và E là hai điểm sao cho
BD DE EC
 
  
.
a) Chứng minh
AB AC AD AE
  

   

b) Phân tích
AS AB AC AD AE
   
    
theo
AI


c) Chứng minh ba điểm A , I , S thẳng hàng
Bài 24
Cho

ABC , lấy M , N , K sao cho :
2 2 0
MB MC NA NC KA KB
     
      

a) Phân tích
,
KM KN
 
theo hai véc tơ
,
AB AC
 

b) Chứng minh M , N , K thẳng hàng

C. Xác định điểm thõa mãn hệ thức véc tơ cho trước

Bài 25
Cho tam giác ABC . Xác định điểm M thỏa mãn điều kiện sau :
a)
0
MA MB MC
  
   
b)
2 0
MA MB MC
  
   
c)
2 0
MA MB MC
  
   

d)
3 2 0
MA MB MC
  
   
e)
5 2 0
MA MB MC
  
   

f)
3 2 2 0
MA MB MC
  
   

g)
4 3 0
MA MB MC
  
   
h)
2 4 0
MA MB MC
  
   
k)
2 4 3
MA MB MC BC
  
   

Bài 26
Cho tam giác ABC , M là điểm tùy ý. Chứng minh các véc tơ sau không phụ thuộc vào vị trí của M :
a) 2
a MA MB MC
  
   
b) 3 2
b MA MB MC

  
   

c)
5 9 4
b MA MB MC
   
   
d)
3 5 2  
   
d MA MB MC

Bài 27
Cho tứ giác ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng vecto
3 7 2 2
v MA MB MC MD
   
    

không
phụ thuộc vào vị trí điểm M.
Bài 28
Cho hình bình hành ABCD . Xác định điểm M thỏa mãn các hệ thức sau :
a)
4
AM AB AC AD
  
   
b)

4 0
MA MB MC MD
   
    

c)
4 3 2 0
MA MB MC MD
   
    
d)
2 2 3
MA MB MC MD
  
   

Bài 29
Cho tứ giác ABCD . Xác định điểm M thỏa mãn các hệ thức sau :
a)
2
MA MB MC DA
  
   
b)
2 2 0
MA MB MC MD
   
    

c)

2 0
MA MB MC MD
   
    
d)
2 2 3
MA MB MC MD
  
   

Bài 30
Cho hình vuông ABCD cạnh a. M là điểm tùy ý . Tính độ dài các véc tơ sau theo a:
a) 3
u MA MB MC MD
   
    
b) 4 3 2
u MA MB MC MD
   
    

Bài 31
Cho tứ giác ABCD.
a) Xác định điểm I sao cho
0
AB IB IC ID
   
    

b) Tìm tập hợp điểm các điểm M sao cho

u MA MB MC MD
   
    
cùng phương với
AB


Bài 32
Cho tam giác ABC , tìm tập hợp các điểm M sao cho :
a)
MA MB MA MB
  
   
b)
2 4
MA MB MB MC
  
   

Bài 33
Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện:
3 2 3
MA MB MC MA MB MC
    
     

Bài 34
Cho tam giác ABC và đường thẳng d cố định. Tìm điểm M trên d sao cho :
a)
2

u MA MB MC
  
   
có độ dài nhỏ nhất b)
3 2
u MA MB MC
  
   
có độ dài nhỏ nhất
Bài 35
Cho tam giác ABC . Hai điểm M và N thỏa mãn 2 3
MN MA MB MC
  
   
.
a) Xác định điểm I sao cho :
2 3 0
IA IB IC
  
   

b) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định
Bài 36
Cho tam giác ABC. Và hai điểm M, N thỏa
4 3
MN MA MB MC
  
   

a) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M, N thay đổi.

b) Gọi E là điểm thỏa 2
ME BN

 
chứng minh đường thẳng ME luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 37
Cho tam giác ABC, M và N lần lượt là hai điểm thay đổi thỏa điều kiện: 3 3 4
MN MA MB MC
  
   
.
a) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
b) Gọi P là điểm thỏa
2
MP BN MB
 
  
chứng minh đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 38
Cho hình bình hành ABCD có các điểm M , I , N lần lượt thuộc các cạnh AB , BC , CD sao cho AB = 3AM ,
BI = kBC , CD = 2CN. Gọi G là trọng tâm của tam giác MNB . Định k để AI đi qua G.
Bài 39
Cho tam giác ABC và M là một điểm tùy ý.
a) Chứng minh rằng vector
v MA 2MB 3MC
  
   
không phụ thuộc vào vò trí của M.
b) Hãy dựng điểm I sao cho

CI v

 
.
c) Đường thẳng CI cắt AB tại N. Chứng minh rằng
NA 2NB 0
 
  
và
CI 3CN

 
.
d) Gọi D và E là hai điểm sao cho
BD DE EC
 
  
. Hãy dựng
p AB AC DA EA
   
    
.

D. Tính độ dài các véc tơ

Bài 40
Cho tam giác đều ABC cạnh là a. Tính
AB AC

 

Bài 41
Cho tam giác vng ABC vng tại B. Biết AB = 6 ; BC = 10. Tính
BA BC

 

Bài 42
Cho hình vng ABCD tâm O , cạnh a. Xác định các véc tơ sau và tính độ dài của chúng :
a)
v OA OB OC OD
   
    
b)
u AD AB
 
  
c)
w AD AC
 
  

Bài 43
Cho tam giác ABC đều , cạnh 2a. Tính độ dài các véc tơ :
u BA BC
 
  
,
.
v CA CB

 
  

Bài 44
Cho hình thoi ABCD tâm O , cạnh a , có

0
60
BAD 
. Tính : |
AB AD

 
| ;
BA BC

 
;
OB DC

 
.
Bài 45
Cho hình vng ABCD cạnh a . Tính :
AC BD

 
và
AB BC CD DA
  

   