Bài toán ứng dụng bổ đề bezut

Bài toán ứng dụng Bổ đề Bezout
Lí thuyết số học đôi khi tỏ ra khô khan, nhưng nếu biết lấy các ví dụ thực tế ta sẽ thấy lí
thuyết giúp ta giải quyêt bài toán rất nhẹ nhàng. Lí thuyết số về Bổ đề Bezout và bài toán
ứng dụng sau đây là một minh chứng.
I/- Bài toán.
Có hai cái bình: Bình nhỏ dung tích 500 mililít ; Bình to 700 mililít. Hãy tìm cách chỉ
dùng hai cái bình này để đong ra đúng 100 mili lít nước.
 Lời giải thực hành : Đây là bài toán hay được dùng để thử thách HSG lớp 4 – 5
(tiểu học) . HS có thể phải trình bày các bước giải theo hình vẽ sau đây.
Kết luận:
1
Lấy được 100ml bằng cách đong ba lần bình 500ml và làm đầy hai lần bình 700ml
II/-Ứng dụng Bổ đề Bezout
1 Bổ đề Bezout phat biểu và lí giải
Nếu d là ước số chung lớn nhất của hai số nguyên a và b thì sẽ tồn tại hai số nguyên
x và y sao cho
Ta xét một vài ví dụ.
 a=5, b=7, ước số chung lớn nhất là d=1, chúng ta có thể viết đẳng thức Bezout như
sau
1=5×3 + 7×(−2).

 a=16, b=30, ước số chung lớn nhất là d=2,
2=16×2 + 30×(−1).
 a=45, b=155, ước số chung lớn nhất là d=5,
5=45×7 + 155×(−2).
2/ Bài toán ứng dụng
 Bài toán 1 . Tìm tất cả các số nguyên a và b sao cho 5 a + 7 b = 1
Lời giải.
Chúng ta thấy rằng phương trình 5 a + 7 b = 1 có dạng như phương trình Bezout cho hai
số 5 và 7.
Vì 5 và 7 có ước số chung lớn nhất là 1 cho nên theo bổ đề Bezout sẽ tồn tại x và y để cho

1= 5 x + 7 y
Thử một vài số, chúng ta thấy x=3, y=−2 thõa mãn. Do đó
1=5×3 + 7×(−2)
Trừ hai vế cho phương trình 5 a+7 b=1, chúng ta có
2
d=ax+by.
5(a−3) + 7(b+2) = 0
Tức là
7(b+2) = 5(3−a)
Do đó 7(b+2) chia hết cho 5. Suy ra b+2 chia hết cho 5. Đặt b+2=5s, chúng ta có
b=5s−2
và
5(3−a) =7(b+2)= 35s
Từ đó suy ra
3−a=7s và a=3−7s
Tóm lại chúng ta có nghiệm là a=3−7s, b=5s−2.
Bài toán 2 .
Có hai cái bình dung tích 500 mili lít và 700 mili lít. Hãy tìm cách chỉ dùng hai cái bình này
để đong ra đúng 100 mili lít nước.
Đay chính là bài toán nêu phàn trên, nhưng áp dụng Bổ đề Bezout từ bài toán 1 Chúng ta
có
1= 5×3 − 7×2.
Do đó chỉ cần đong ba lần bình 500 ml trừ đi hai lần bình 700 ml chúng ta sẽ có chính xác
100 ml.
Trả lời : Lấy được 100ml bằng cách đong ba lần bình 500ml và làm đầy hai lần bình
700ml
Tất nhiên, giải được theo bổ đề Bezout phải là HS lớp 6 – 7 (THCS )
III Bài luyện tâp:
Bước vào năm 2013, GV đố HS giải bài toán : “Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho
1000.n – 1 chia hết cho 2013”

Gợi ý: Hãy biến bài toán thành phương trình dạng Bổ đề Bezout:

1000.n – 2013 . k = 1
BS & bổ sung hình minh họa Phạm Huy Hoạt 16 -4 – 2013
3
Nguồn tham khảo chính Web vuontoan
4