de thi hoc sinh gioi mon toan lop 10 tinh hai duong co loi giai

Nguoithay.vn

Nguoithay.vn
S GIÁO DC VÀ ÀO TO
HI DNG


KÌ THI CHN HC SINH GII TNH
LP 10 THPT NM HC 2012 – 2013
MÔN THI: TOÁN
Thi gian làm bài: 180 phút
( thi gm 01 trang)

Câu 1 (2,5 đim)
a) Cho hàm s
2
32  y x x
và hàm s
  y x m
. Tìm m đ đ th các hàm s
đó ct nhau ti hai đim phân bit A, B đng thi khong cách t trung đim I ca đon
thng AB đn các trc ta đ bng nhau.
b) Gii bt phng trình:
2
11
0
24
43


  

x
xx

Câu 2 (2,5 đim)
a) Trong mt phng ta đ
Oxy
cho tam giác ABC có
B(1;2)
. ng thng

là
đng phân giác trong ca góc A có phng trình
2x y 1 0
  
; Khong cách t C đn

gp 3 ln khong cách t B đn

. Tìm ta đ ca A và C bit C nm trên trc tung.
b) Cho tam giác ABC vuông  A, gi

là góc gia hai đng trung tuyn BM và
CN ca tam giác. Chng minh rng
3
sin
5


Câu 3 (2,5 đim)
a) Cho tam giác ABC. Gi D, E ln lt là các đim tha mãn:

2
BD BC;
3


1
AE AC
4

. Tìm v trí ca đim K trên AD sao cho 3 đim B, K, E thng hàng.
b) Cho tam giác ABC vuông  A; BC = a; CA = b; AB = c. Xác đnh đim I tha
mãn h thc:
2 2 2
b IB c IC 2a IA 0  
; Tìm đim M sao cho biu thc
(
2 2 2 2 2 2
b MB c MC 2a MA
) đt giá tr ln nht.
Câu 4 (2,5 đim)
a) Gii phng trình:
 
 
22
1 6 2 2 1 2 5 4    x x x x

b) Cho x, y, z là các s thc dng tha mãn
x y z xyz  
. Chng minh rng:
2

22
11
1 1 1 1

   
  
y
xz
xyz
x y z
.

…………………Ht………………….

H và tên thí sinh:………………………………S báo danh:…………………………
Ch ký ca giám th 1:………………….Ch ký ca giám th 2:………………………




 THI CHÍNH THC
Nguoithay.vn

Nguoithay.vn
ÁP ÁN VÀ HNG DN CHM MÔN TOÁN
KÌ THI CHN HC SINH GII TNH
LP 10 THPT NM HC 2012 – 2013
Câu
Ý
Ni dung

im
1
a
Cho hàm s
2
32  y x x
và hàm s
  y x m
. Tìm m đ đ th các
hàm s đó ct nhau ti hai đim phân bit A, B đng thi trung đim ca đon
thng AB cách đu các trc ta đ.
1,25


Yêu cu bài toán

PT sau có hai nghim phân bit
2
32    x x x m
hay
2
2 2 0   x x m
(*)có
'0  
m>1
0,25
Gi
AB
x ;x
là 2 nghim ca (*), I là trung đim AB ta có

AB
I
xx
x1
2


;
II
y x m m 1    




0,25
Yêu cu bài toán
II
yx

m 1 1  
m 2;m 0
  

0,25
0,25
Kt hp K, kt lun
2m

0,25
b

Gii bt phng trình:
2
11
0
24
43


  
x
xx
(1)
1,25

TX:
2
4 3 0
1 2;2 3
2

   
    



xx
xx
x

0,25

(1)
2
11
24
43


  
x
xx

Nu
12x
thì
2
4 3 0 2 4     x x x
, bt phng trình nghim đúng
vi mi x:
12x


0,25
Nu
2
2 4 0
23
4 3 0




  

   


x
x
xx

bt pt đã cho
2
2x 4 x 4x 3     



0,25


22
4 16 16 4 3      x x x x
2
5 20 19 0   xx

55
x 2 ;x 2
55
   

0,25
Kt hp nghim, trng hp này ta có:

5
2 x 3
5
  

Tp nghim ca bpt đã cho:
5
(1;2) (2 ;3)
5



0,25
2
a
Trong mt phng ta đ
Oxy
cho tam giác ABC có
(1;2)B
. ng thng

là
đng phân giác trong ca góc A có phng trình
2x y 1 0  
; khong cách
t C đn

gp 3 ln khong cách t B đn

. Tìm ta đ ca A và C bit C

nm trên trc tung.
1,25


D(B;

)=
3
5
; C(0:y
0
) ; D(C;

)=
0
y1
5

, theo bài ra ta có
0,25
Nguoithay.vn

Nguoithay.vn
0
00
y1
9
y 10;y 8
55


    


V h trc ta đ, đim B, chú ý C khác phía B đi vi

suy ra C(0;-8)

0,25
Gi B’(a;b) là đim đi xng vi B qua

thì B’nm trên AC.
Do
BB' 
u (1; 2)


nên ta có:
a 2b 3 0  
;
Trung đim I ca BB’ phi thuc

nên có:
2a b 2 0  

T đó ta có: a= -7/5; b=4/5
0,25
Theo đnh lý Ta - Let suy ra
3
CA CB'
2



 
7 44
A(x;y);CA x;y 8 ;CB' ;
55

   




0,25



T đó suy ra
21 26
A( ; )
10 5

;C(0;-8)
0,25
b
Xét các tam giác vuông ABC vuông  A, gi

là góc gia hai đng trung
tuyn BM và CN ca tam giác. Chng minh rng
3
sin

5


1,25

Gi a, b và c tng ng là đ dài
các cnh đi din các góc A, B và C
ca tam giác. Có
2
22
c
CN b
4


2
22
b
BM c
4


0,25
Gi G là trng tâm tam giác ABC, ta có
2 2 2
BG CG BC
cosBGC
2BG.CG



=
22
2 2 2 2
2(b c )
(4c b )(4b c )


; Do đó
22
2 2 2 2
2(b c )
cos
(4c b )(4b c )




0,25
Có
22
2 2 2 2 2 2 2 2
5(b c )
(4c b )(4b c ) ;" " 4c b 4b c
2

       
bc

0,25

Do đó
2 2 2 2
22
2 2 2 2
2(b c ) 2(b c ).2 4
cos
5(b c ) 5
(4c b )(4b c )

   



0,25
Hay
2
3
sin 1 cos
5
    
. Du bng có khi tam giác vuông cân đnh A
0,25
3
a
Cho tam giác ABC. Gi D, E ln lt là các
21
BD BC;AE AC
34

. Tìm

v trí ca đim K trên AD sao cho 3 đim B, K, E thng hàng.
1,25
G
B
A
C
M
N
Nguoithay.vn

Nguoithay.vn


Vì
1 1 3
AE AC BE BC BA(1)
4 4 4
   

Gi s
AK x.AD BK x.BD (1 x)BA    


0,25
Mà
2
BD BC
3

nên

2x
AK x.AD BK BD (1 x)BA
3
    


0,25
Vì B, K, E thng hàng(B
E
) nên có m sao cho
BK mBE

Do đó có:
m 3m 2x
BC BA BC (1 x)BA
4 4 3
   

Hay
m 2x 3m
BC 1 x BA 0
4 3 4
   
    
   
   


0,25

0,25
Do
BC;BA
không cùng phng nên
m 2x 3m
0&1 x 0
4 3 4
    
T đó suy ra
18
x ;m
39


Vy
1
AK AD
3


0,25
3
b
Cho tam giác ABC vuông  A; BC = a; CA = b; AB = c.
Xác đnh đim I tha mãn h thc:
2 2 2
2a IA b IB c IC 0   
; Tìm đim M: biu
thc

2 2 2 2 2 2
2a MA b MB c MC
  
đt giá tr ln nht.
1,25



K đng cao AH, ta có
22
b a.CH;c a.BH
nên

22
b .BH c .CH

. Do đó:

22
b .BH c .CH 0



0,25
Suy ra
2 2 2 2 2
b .IB c .IC b .IH c .IH a .IH   


0,25

Kt hp gi thit suy ra
22
2a .IA a .IH
hay
2.IA IH

Do đó đim I tha mãn gt là I tha mãn A là trung đim IH
0,25
Vi x, y, z tùy ý tha mãn:
x.IA y.IB z.IC 0
(*) bình phng vô hng 2 v
(*), chú ý rng
2 2 2
2IA.IB IA IB AB  
ta có:
2 2 2 2 2 2
(x.IA y.IB z.IC )(x y z) xyc xzb yza      

T đó có
2 2 2 2 2 2 2 2
( 2a .IA b .IB c .IC ) 3b c   

0,25
Mt khác
2 2 2 2
xMA x(IA IM) x(IM IA 2IA.IM)    

Tng t cho yMB
2
; zMC

2
ri cng các đng thc đó li ta có
2 2 2 2 2 2 2
xMA yMB zMC (x y z)IM xIA yIB zIC       

Thay s có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2a MA b MB c MC a IM 3b c 3b c      

Du bng xy ra khi M trùng I
0,25
A
B
C
H
K
A
B
C
D
E
Nguoithay.vn

Nguoithay.vn
4
a
Gii phng trình:
 
 
22

1 6 2 2 1 2 5 4    x x x x
(*)

1,25


K:
11
x ;x
22
  

0,25
(*)
2 2 2 2 2 2
(3x 1) (2x 1) 2(3x 1) 2x 1 1 (3x 1) (2x 1) (10x 8x)             



 
2
2
2
3x 1 2x 1 x 1     

0,25
2
2
2x 1 2x 2(a)
2x 1 4x(b)


  







0,25
Gii(a) và đi chiu K có 1 nghim
46
x
2




0,25
Gii (b) vô nghim. Kt lun (*) có 1 nghim
46
x
2



0,25

b
Cho x, y, z là các s thc dng tha mãn

x y z xyz  
. Chng minh rng:
2
22
11
1 1 1 1

   
  
y
xz
xyz
x y z
(I)
1,25

Gi thit suy ra:
1 1 1
1
xy yz zx
  
. Ta Có:
2
2
1 x 1 1 1 1 1 1 1 1
x x xy yz zx x y x z



      





1 2 1 1
;" " y z
2 x y z

     





0,25
Vit hai BT tng t ri cng li ta đc:
2
22
11
1 1 1 1

   
  
y
xz
x y z
1 1 1
3 ;" " x y z
x y z


     



0,25
Ta s CM:
1 1 1
3 xyz
x y z

  


     
22
3 xy yz zx xyz x y z      

0,25
     
2 2 2
x y y z z x 0      
iu này luông đúng
Du bng có khi và ch khi x=y=z
0,25
Vy (I) đc CM, du bng có khi và ch khi x=y=z=
3

0,25

Lu ý: Hc sinh làm theo cách khác đúng vn cho đim ti đa.