Phương pháp newton hiệu chỉnh giải bài toán đặt không chỉnh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Trần Mạnh Hân
PHƯƠNG PHÁP NEWTON HIỆU CHỈNH
GIẢI BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2010
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Trần Mạnh Hân
PHƯƠNG PHÁP NEWTON HIỆU CHỈNH
GIẢI BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH
Chuyên ngành: Toán học tính toán
Mã số: 60.46.30
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh
Hà Nội - 2010
Lời nói đầu
Phương trình với toán tử đơn điệu, lớp mô hình toán học tiêu biểu cho
nhiều bài toán thực tiễn, trong nhiều trường hợp là bài toán đặt không chỉnh
theo nghĩa Hadamard.
Một bài toán được gọi là đặt chỉnh nếu như a) nó có nghiệm, b) nghiệm
duy nhất, c) nghiệm phụ thuộc liên tục (theo một nghĩa nào đó) vào dữ liệu
của bài toán. Nếu ít nhất một trong ba điều kiện này không thoả mãn thì ta
nói rằng bài toán đặt không chỉnh.
Hadamard cho rằng các bài toán đặt không chỉnh không có ý nghĩa vật lý
vì nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu của bài toán. Tuy nhiên, nhiều
bài toán của thực tiễn, khoa học công nghệ dẫn tới bài toán đặt không chỉnh.
Chính vì những lý do này, vào đầu thập kỷ 50 của thế kỷ trước, nhiều nghiên
cứu đã đề cập tới bài toán đặt không chỉnh. Các nhà toán học A.N. Tikhonov,

M.M. Lavrentiev, V.K. Ivanov, là những người đi tiên phong trong lĩnh vực
này. Vào năm 1963, Tikhonov đưa ra phương pháp hiệu chỉnh nổi tiếng và kể
từ đó lý thuyết các bài toán đặt không chỉnh được phát triển hết sức sôi động,
có mặt ở hầu hết các bài toán thực tế và trở thành hướng phát triển mạnh của
toán học tính toán.
Trong khoá luận này, chúng tôi nghiên cứu việc giải phương trình toán tử
A(x) = f
i
Lời nói đầu
với A là một toán tử phi tuyến từ không gian Hilbert thực H vào chính nó, còn
f là dữ liệu đã cho thuộc H. Khi bài toán đặt không chỉnh, thì không phải với
dữ liệu nào bài toán cũng giải được và thường là khi nghiệm của bài toán tồn
tại, thì lời giải này không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu của bài toán. Do tính
không ổn định này, nên việc giải số bài toán gặp khó khăn. Vì trong thực tế,
ngoài sai số của các dữ liệu, tính toán trên máy tính còn mắc sai số qui tròn.
Do đó, việc tìm ra những phương pháp giải ổn định các bài toán đặt không
chỉnh khi dữ liệu mắc sai số là rất quan trọng. Phương pháp Newton hiệu chỉnh
là một trong các phương pháp như vậy. Đây là lý do chúng tôi chọn "Phương
pháp Newton hiệu chỉnh giải bài toán đặt không chỉnh" làm đề tài
nghiên cứu trong luận văn này.
Nội dung của luận văn gồm có phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và
tài liệu tham khảo.
Chương 1 trình bày một số kiến thức về bài toán đặt không chỉnh, toán
tử đơn điệu, đơn điệu cực đại và phương trình toán tử.
Chương 2 bên cạnh việc trình bày một số kết quả liên quan đến toán
tử khả vi và phương pháp Newton - Kantorovich, chúng tôi tập trung nghiên
cứu phương pháp Newton hiệu chỉnh giải phương trình toán tử đơn điệu trong
không gian Hilbert. Các kết quả trong chương này tham khảo từ tài liệu của
Y. Alber - I. Ryazantseva [3]
Chương 3 trình bày lại kết quả của P.K.Anh và C.V.Chung [8] về phương

pháp Newton hiệu chỉnh song song giải bài toán đặt không chỉnh. Phần cuối
của chương, trình bày một số ví dụ minh hoạ cho kết quả lý thuyết.
Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người
hướng dẫn khoa học của mình, GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh, người đã đưa ra
đề tài, luôn quan tâm và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu
ii
Lời nói đầu
của tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa
Toán - Cơ - Tin học, phòng Sau đại học, ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa
học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn
trong thời gian học tập tại trường, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về tài liệu
và thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bản luận văn này. Tác giả cũng
chân thành cảm ơn ban Giám hiệu, khoa Khoa học cơ bản trường Đại học Sư
phạm Kỹ thuật Nam Định đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tác giả có
thế hoàn thành khóa học. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến bạn bè, đặc biệt là
bạn bè trong nhóm Toán học tính toán 08-10, đã động viên và cổ vũ rất nhiều
trong suốt thời gian vừa qua.
Do thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn bản luận văn không thể
tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp
quý báu của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 10 năm 2010
Học viên
Trần Mạnh Hân
iii
iv
Bảng ký hiệu
Bảng ký hiệu
R = R ∪{−∞, +∞} tập số thực mở rộng
P
Ω

x hình chiếu của x lên Ω
Gr(A) đồ thị của toán tử A
 ·  tích vô hướng trong không gian Hilbert
 · 
X
chuẩn trên X
domf miền hữu hiệu của f
∂F (x) dưới vi phân của F tại x
X
∗
không gian liên hợp của không gian X
F : X → 2
X
∗
ánh xạ đa trị trên X
L(X, Y ) không gian các toán tử tuyến tính từ X vào Y
D(A) miền xác định của A
R(A) miền ảnh của A
B[x
0
, r] hình cầu đóng tâm x
0
bán kính r
B(x
0
, r) hình cầu mở tâm x
0
bán kính r
A


(x) đạo hàm Frechet của toán tử A tại x
A

w
(x) đạo hàm Gâteaux của toán tử A tại x
S tập nghiệm của phương trình A(x) = f
x
†
nghiệm với chuẩn nhỏ nhất
x
δ
α
nghiệm hiệu chỉnh theo tham số α
(trong trường hợp dữ liệu có nhiễu)
x
α
n
xấp xỉ hiệu chỉnh thứ n theo tham số α
v
Mục lục
1 Toán tử đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev 1
1.1 Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Khái niệm bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Toán tử đơn điệu cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Phương trình với toán tử đơn điệu cực đại . . . . . . . . 12
1.3 Phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Phương pháp Newton hiệu chỉnh 16

2.1 Toán tử khả vi và phương pháp Newton -
Kantorovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.1 Toán tử khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.2 Phương pháp Newton - Kantorovich . . . . . . . . . . . 21
2.2 Phương pháp Newton hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.1 Phương pháp Newton hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.2 Sự hội tụ của phương pháp Newton hiệu chỉnh . . . . . . 30
2.2.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
vi
MỤC LỤC
Tài liệu tham khảo 40
Chỉ dẫn 42
vii
Chương 1
Toán tử đơn điệu và phương pháp
hiệu chỉnh Lavrentiev
Trong chương này chúng tôi giới thiệu về lý thuyết toán tử đơn điệu và
phương trình với toán tử đơn điệu, khái niệm bài toán đặt không chỉnh và
phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev. Nội dung Chương 1 được tham khảo từ
các tài liệu [1] và [3].
1.1 Bài toán đặt không chỉnh
1.1.1 Khái niệm bài toán đặt không chỉnh
Xét phương trình toán tử
A(x) = f, f ∈ Y, (1.1)
trong đó A là một toán tử từ một không gian metric X vào không gian metric
Y nào đó.
Khái niệm về bài toán chỉnh được J. Hadamard đưa ra khi nghiên cứu về ảnh
hưởng của điều kiện biên lên nghiệm của phương trình elliptic hoặc parabolic.
Việc tìm nghiệm x của bất kì một bài toán nào cũng phải dựa vào dữ kiện
1

Chương 1. Toán tử đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev
ban đầu f, có nghĩa là x = R(f). Ta sẽ coi nghiệm cũng như các dữ kiện đó là
những phần tử thuộc không gian X và Y với các độ đo tương ứng là ρ
X
(x
1
, x
2
)
và ρ
Y
(f
1
, f
2
), x
1
, x
2
∈ X, f
1
, f
2
∈ Y .
Giả sử nghiệm của một bài toán được xác định theo công thức x = R(f).
Nghiệm x được gọi là ổn định trên cặp không gian (X, Y ) nếu với mỗi số  > 0
có thể tìm được một số δ() > 0 sao cho từ ρ
Y
(f
1

, f
2
) ≤ δ() ta có ρ
X
(x
1
, x
2
) ≤ ,
ở đây
x
1
= R(f
1
), x
2
= R(f
2
), f
1
, f
2
∈ Y, x
1
, x
2
∈ X.
Định nghĩa 1.1.1. Bài toán tìm nghiệm x ∈ X theo dữ kiện f ∈ Y được gọi
là bài toán đặt chỉnh trên cặp không gian metric (X, Y ) nếu có:
1. Với mỗi f ∈ Y tồn tại nghiệm x ∈ X;

2. Nghiệm x đó được xác định một cách duy nhất;
3. Bài toán này ổn định trên cặp không gian (X, Y ).
Trong một thời gian dài người ta cho rằng mọi bài toán đặt ra đều thỏa
mãn ba điều kiện trên. Nhưng thực tế chỉ ra rằng quan niệm đó là sai lầm.
Trong tính toán các bài toán thực tế bằng máy tính luôn diễn ra quá trình làm
tròn số. Chính sự làm tròn đó dẫn đến các kết quả sai lệch đáng kể.
Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn, bài toán tìm
nghiệm được gọi là bài toán đặt không chỉnh.
Cũng cần lưu ý rằng một bài toán có thể thiết lập không đúng đắn trên
cặp không gian metric này, nhưng lại thiết lập đúng đắn trên cặp không gian
metric khác.
Đối với bài toán tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (1.1), dữ kiện ban đầu
ở đây chính là toán tử A và vế phải f.
Giả sử rằng toán tử A cho trước một cách chính xác, còn vế phải f cho bởi
2
Chương 1. Toán tử đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev
f
δ
với sai số ρ
Y
(f
δ
, f) ≤ δ. Như vậy, với (f
δ
, δ) ta cần phải tìm một phần tử
x
δ
∈ X hội tụ đến nghiệm chính xác của (1.1) khi δ → 0. Phần tử x
δ
có tính

chất như vậy được gọi là nghiệm xấp xỉ của bài toán không chỉnh trên. Nếu ta
kí hiệu
Q
δ
=

x ∈ X | ρ
Y
(A(x), f
δ
) ≤ δ

,
thì nghiệm xấp xỉ của phương trình trên phải nằm trong tập Q
δ
. Nhưng tập
Q
δ
này còn khá rộng, nên không phải tất cả các phần tử của Q
δ
có thể coi là
nghiệm xấp xỉ của (1.1) được. Vì vậy, ta phải chọn phần tử đặc biệt nào đó
của Q
δ
làm nghiệm xấp xỉ cho (1.1). Để thực hiện được việc chọn này ta cần
có thêm các thông tin định tính hoặc định lượng về nghiệm chính xác x
0
. Việc
sử dụng thông tin định lượng dẫn đến phương pháp tựa nghiệm, còn sử dụng
thông tin định tính (tính trơn hoặc tính đơn điệu của nghiệm ) giúp ta xây

dựng thuật toán hiệu chỉnh giải bài toán không chỉnh.
Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu bài toán đặt không
chỉnh dạng phương trình toán tử
A(x) = f, (1.2)
ở đây A là một toán tử từ không gian Hilbert H vào chính nó, f ∈ H. Nghiệm
của bài toán (1.2) có thể tồn tại không duy nhất. Do vậy, ta cần đưa ra một
tiêu chuẩn đối với nghiệm. Trong thực tế, người ta hay chọn nghiệm của bài
toán gần một điểm cho trước nào đó.
1.1.2 Các ví dụ
Ví dụ 1.1.2. Xét phương trình tích phân Fredholm loại I
y(t) =

b
a
K(t, s)x(s)ds := Ax(t) (1.3)
3
Chương 1. Toán tử đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev
với x ∈ C[a, b], y ∈ L
2
[a, b] và nhân tích phân K(t, s) cùng với
∂K
∂t
là các hàm
liên tục.
Nếu x ∈ X thì Ax ∈ C
1
[a, b]. Vậy với mọi y ∈ L
2
\C
1

thì phương trình (1.3)
vô nghiệm. Vậy bài toán đặt không chỉnh do điều kiện (1) không thỏa mãn.
Gọi x
1
∈ X cố định, và x
2
(t) = x
1
(t) + ω sin (Nt), y
1
= Ax
1
, y
2
= Ax
2
. Dễ
thấy x
2
− x
1
 = max
t∈[a,b]
|x
2
(t) − x
1
(t)| = |ω|. Ta có
y
2

− y
1
 =


b
a
[y
2
(t) − y
1
(t)]
2
dt

1
2
= |ω|



b
a


b
a
K(t, s) sin (Ns)ds

2

dt


1
2
≤
|ω|
N
.K
max
.c
0
,
trong đó c
0
-hằng số, K
max
= max
t,s∈[a,b]
K(t, s).
Với ω cho trước, chọn N đủ lớn thì
ω
N
rất nhỏ. Do đó y
2
−y
1
 → 0 khi N → ∞,
tuy nhiên x
1

− x
2
 = |ω| > 0. Vậy bài toán đặt không chỉnh do điều kiện (3)
không thỏa mãn.
Ví dụ 1.1.3. Xét bài toán truyền nhiệt















∂u
∂t
=
∂
2
u
∂
2
x
,

u(x, 0) = u
0
(x),
u(0, t) = u(π, t) = 0.
Ta xét nghiệm u(x, t) =
∞

n=1
a
n
e
−n
2
t
sin (nt), với
a
n
=
2
π

π
0
u
0
(s) sin (ns)ds.
Tuy nhiên, nếu cho u(x, T ) để tìm u
0
(x) = u(x, 0), ta xét
u(x, T) =

∞

n=1
a
n
e
−n
2
T
sin (nx) =
2
π

π
0
K(x, s)u
0
(s)ds,
4
Chương 1. Toán tử đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev
với K(x, s) =
∞

n=1
e
−n
2
T
sin (nx) sin (ns). Để tìm u
0

(x) ta phải giải phương trình
tích phân Fredholm loại I là bài toán đặt không chỉnh.
Ví dụ 1.1.4. Xét toán tử tuyến tính compact B trong không gian Hilbert H
và A = B
∗
B. Khi đó toán tử A compact, không âm, không có nghịch đảo liên
tục. Nghĩa là phương trình A(x) = f đặt không chỉnh.
1.2 Toán tử đơn điệu
1.2.1 Toán tử đơn điệu
Cho X là một không gian Banach phản xạ với không gian đối ngẫu của nó
là X
∗
. Cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là  ·  và giá trị của một phiếm hàm
tuyến tính liên tục x
∗
∈ X
∗
tại điểm x ∈ X được kí hiệu bởi x
∗
, x. Cho toán
tử đơn trị A với miền xác định là D(A) ⊆ X và miền ảnh R(A) ⊆ X
∗
.
Định nghĩa 1.2.1. Toán tử A được gọi là toán tử đơn điệu, nếu
A(x) − A(x), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A).
A được gọi là đơn điệu chặt nếu dấu bằng chỉ xảy ra khi x = y.
Nhận xét 1.2.2.
• A là toán tử đơn điệu thì A(x + x
0
) và A(x) + ω

0
cũng đơn điệu.
• A, B là đơn điệu thì tổng A + B, tích λA, λ > 0 và toán tử nghịch đảo
A
−1
cũng là toán tử đơn điệu.
• Nếu trong toán tử đơn điệu A và B có ít nhất một toán tử đơn điệu chặt
thì tổng A + B cũng đơn điệu chặt.
5
Chương 1. Toán tử đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev
• Với A : X → X
∗
là toán tử tuyến tính thì tính đơn điệu tương đương với
tính xác định không âm:
Ax, x ≥ 0 ∀x ∈ D(A).
Định nghĩa 1.2.3. Toán tử A : H → H, trong đó H là không gian Hilbert,
được gọi là đơn điệu nếu
x − y ≤ x − y + λ(A(x) − A(y)) ∀x, y ∈ D(A) và λ ≥ 0.
Dễ thấy các Định nghĩa 1.2.3 và 1.2.1 là tương đương.
Ví dụ
1. Giả sử rằng ϕ : X → R là hàm lồi chính thường và tồn tại dưới vi phân
∂ϕ : X → 2
X
∗
. Khi đó toán tử ∂ϕ là đơn điệu. Thật vậy, ∀x, y ∈ domϕ ta có
ϕ(y) −ϕ(x) ≥ f, y − x, f ∈ ∂ϕ(x),
ϕ(x) − ϕ(y) ≥ g, x −y, g ∈ ∂ϕ(y).
Cộng hai bất đẳng thức ta thu được
f − g, x − y ≥ 0 ∀x, y ∈ domϕ, f ∈ ∂(x), g ∈ ∂(y).
2. Cho H là không gian Hilbert, A : H → H là toán tử không giãn, tức là

A(x) − A(y) ≤ x − y ∀x, y ∈ D(A).
Khi đó toán tử I − A là đơn điệu. Thật vậy, ta có
x − A(x) − y + A(y), x −y = x − y
2
− A(x) − A(y), x − y
≥ x − y
2
− A(x) − A(y)x − y
≥ x − y
2
− x − y
2
= 0.
6
Chương 1. Toán tử đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev
3. Cho Ω là tập lồi đóng trong không gian Hilbert H, x ∈ H và P
Ω
(x) là hình
chiếu của x lên Ω xác định bởi
x − P
Ω
(x) = min{x − z | z ∈ Ω}. (1.4)
Phần tử u = P
Ω
(x) là duy nhất với mọi x ∈ H. Ta chứng minh toán tử P
Ω
đơn
điệu.
Trước hết, ta chỉ ra rằng đẳng thức trên tương đương bất đẳng thức
P

Ω
(x) − x, z −P
Ω
(x) ≥ 0 ∀z ∈ Ω. (1.5)
Thật vậy, ta có
x − z
2
≥ x − P
Ω
(x)
2
+ 2x − P
Ω
(x), P
Ω
(x) − z ∀z ∈ Ω,
Vậy, từ (1.5) suy ra (1.4).
Từ (1.4) và t ∈ (0, 1) cho trước, do Ω là tập lồi nên (1 − t)P
Ω
(x) + tz ∈ Ω.
Ta có
x−P
Ω
(x)
2
−x−(1−t)P
Ω
(x)−tz
2
≥ 2x−P

Ω
(x)−t(z−P
Ω
(x)), t(z−P
Ω
(x)),
suy ra
x − P
Ω
(x) − t(z − P
Ω
(x)), z −P
Ω
(x) ≤ 0.
Cho t → 0 ta thu được (1.5).
Tương tự (1.5) ta có thể viết
P
Ω
(y) −y, z −P
Ω
(y) ≥ 0 z ∈ Ω. (1.6)
Chọn z = P
Ω
(y) và z = P
Ω
(x) tương ứng trong (1.5) và (1.6), rồi cộng hai bất
đẳng thức lại, ta thu được
P
Ω
(x) − P

Ω
(y), x − y − P
Ω
(x) − P
Ω
(y)
2
≥ 0.
Như vậy, P
Ω
là toán tử đơn điệu. Từ đây cũng suy ra toán tử chiếu P
Ω
là không
giãn trong H.
7
Chương 1. Toán tử đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev
Định nghĩa 1.2.4. Toán tử A : X → Y được gọi là
1) liên tục tại điểm x
0
∈ D(A) nếu A(x
n
) → A(x
0
) khi x
n
→ x
0
;
2) hemi-liên tục tại điểm x
0

∈ D(A) nếu A(x
0
+ t
n
x)  A(x
0
) khi t
n
→ 0 với
véc tơ x bất kỳ thỏa mãn x
0
+ t
n
x ∈ D(A) và 0 ≤ t
n
≤ t(x
0
);
3) demi-liên tục tại điểm x
0
∈ D(A) nếu với dãy bất kỳ {x
n
} ⊂ D(A) thỏa
mãn x
n
→ x
0
thì A(x
n
)  A(x

0
) (rõ ràng là tính hemi-liên tục của A được suy
từ tính demi-liên tục);
4) Lipschitz-liên tục nếu tồn tại hằng số L > 0 thỏa mãn A(x
1
) − A(x
2
) ≤
Lx
1
− x
2
 với mọi x
1
, x
2
∈ X;
5) liên tục mạnh nếu x
n
 x kéo theo A(x
n
) → A(x);
6) liên tục yếu-yếu (hoặc liên tục yếu theo dãy) tại điểm x
0
∈ D(A) nếu với
dãy bất kỳ {x
n
} ⊂ D(A) thỏa mãn x
n
 x

0
thì A(x
n
)  A(x
0
).
Định nghĩa 1.2.5. Toán tử A : X → X
∗
được gọi là toán tử bức, nếu tồn tại
hàm c(t) xác định với t ≥ 0 sao cho c(t) → ∞ khi t → ∞, và
A(x), x ≥ c(x)x ∀x ∈ D(A).
Nhận xét 1.2.6. Nếu A : X → X
∗
là toán tử bức thì
lim
x→+∞
A(x), x
 x 
= +∞.
Định nghĩa 1.2.7. Cho µ(t) là hàm tăng, liên tục với t ≥ 0 thỏa mãn µ(0) =
0, µ(t) → ∞ khi t → ∞. Toán tử J
µ
: X → 2
X
∗
được cho bởi
J
µ
(x) = {y ∈ X
∗

| y, x = y
∗
x, µ(x) = y
∗
},
được gọi là ánh xạ đối ngẫu của X.
Khi µ(t) = t thì J
µ
được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, kí hiệu là J. Khi
đó ta có
J(x) =

y ∈ X
∗
| y, x = y
∗
x = x
2

.
8
Chương 1. Toán tử đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev
Nhận xét 1.2.8.
 Trong không gian Hilbert H, thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J chính là toán
tử đồng nhất I trong không gian H.
 Trong không gian Banach, ánh xạ đối ngẫu J
µ
: X → X
∗
luôn tồn tại và

miền xác định của nó là toàn bộ X.
 Trong không gian Banach, ánh xạ đối ngẫu J
µ
là toán tử bức, đơn điệu và
bị chặn và thỏa mãn
J
µ
(x) − J
µ
(y), x − y ≥
(
µ(x) − µ(y)
)
(x − y)
với mọi x, y ∈ X.
Trong trường hợp này, với J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc thì
J(x) − J(y), x −y ≥ (x − y)
2
∀x, y ∈ X.
1.2.2 Toán tử đơn điệu cực đại
Cho X là không gian Banach thực phản xạ, X
∗
là không gian đối ngẫu của
X, toán tử A : X → X
∗
. Ngoài định nghĩa đã được trình bày ở trên, khái niệm
về toán tử đơn điệu còn được mô tả dựa trên đồ thị Gr(A) của toán tử A trong
không gian tích X × X
∗
.

Gr(A) = {(x, A(x)) ∈ X × X
∗
| x ∈ D(A)}.
Toán tử A được gọi là đơn điệu nếu
x
∗
− y
∗
, x − y ≥ 0 ∀x, y ∈ X, ∀x
∗
∈ A(x), ∀y
∗
∈ A(y).
Định nghĩa 1.2.9. Tập G ⊂ X × X
∗
được gọi là tập đơn điệu nếu
x
∗
− y
∗
, x − y ≥ 0,
với mọi cặp (x, x
∗
) và (y, y
∗
) thuộc G.
9
Chương 1. Toán tử đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev
Định nghĩa 1.2.10. Tập đơn điệu G ⊂ X × X
∗

được gọi là đơn điệu cực đại
nếu nó không là tập con thực sự của một tập đơn điệu nào khác trong X ×X
∗
.
Định nghĩa 1.2.11. Toán tử A : X → X
∗
với D(A) ⊂ X được gọi là toán tử
đơn điệu cực đại nếu Gr(A) là một tập đơn điệu cực đại trong X ×X
∗
.
Mệnh đề 1.2.12. Toán tử đơn điệu A : X → X
∗
là đơn điệu cực đại trên
D(A) nếu và chỉ nếu hệ thức y
∗
− x
∗
, y − x
0
 ≥ 0, ∀(y, y
∗
) ∈ Gr(A) suy ra
x
0
∈ D(A) và (x
0
, x
∗
) ∈ Gr(A).
Một ví dụ điển hình về toán tử đơn điệu cực đại là dưới vi phân của một

hàm lồi. Cụ thể ta có định lý sau.
Định lý 1.2.13. Nếu F : X → R ∪ {+∞} là hàm lồi chính thường, nửa liên
tục dưới trong X, thì ánh xạ dưới vi phân ∂F là một toán tử đơn điệu cực đại
từ X vào X
∗
.
Nhận xét 1.2.14. Vì đồ thị của toán tử A và nghịch đảo A
−1
trùng nhau nên
từ A đơn điệu mạnh suy ra A
−1
đơn điệu mạnh và ngược lại.
Toán tử A đơn điệu cực đại khi và chỉ khi miền ảnh của A + αJ (J là ánh
xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X) là toàn bộ không gian X
∗
, đó là nội dung của
định lý sau.
Định lý 1.2.15. Cho X và X
∗
là các không gian Banach thực phản xạ và
lồi chặt, J : X → X
∗
là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X, A : X → X
∗
là
một toán tử đơn điệu. Khi đó A là toán tử đơn điệu cực đại nếu và chỉ nếu
R(A + αJ) = X
∗
với mọi α > 0.
Định lý sau đây (A ≡ O) chỉ ra rằng bất cứ một toán tử đơn điệu, hemi-liên

tục và bị chặn nào từ X vào X
∗
cũng đều là toán tử đơn điệu cực đại.
10
Chương 1. Toán tử đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev
Định lý 1.2.16. Cho B : X → X
∗
là một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục và
bị chặn, A : X → X
∗
là toán tử đơn điệu cực đại. Khi đó A + B cũng là một
toán tử đơn điệu cực đại.
Tính bị chặn của toán tử A sẽ là không cần thiết nếu miền xác định của
nó là toàn bộ không gian X. Ta có kết quả sau.
Định lý 1.2.17. Cho A : X → X
∗
là một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục với
D(A) = X. Khi đó A là toán tử đơn điệu cực đại.
Định lý 1.2.18. Cho A : X → X
∗
là toán tử bức và đơn điệu cực đại. Khi đó
R(A) = X
∗
.
Hệ quả 1.2.19. Cho A : X → X
∗
là toán tử đơn điệu cực đại với miền xác
định D(A) bị chặn. Khi đó R(A) = X
∗
.

Hệ quả 1.2.20. Cho A : X → X
∗
là toán tử bức, hemi-liên tục và đơn điệu
với D(A) = X. Khi đó R(A) = X
∗
Định lý 1.2.21. Nếu A : X → 2
X
∗
là toán tử đơn điệu cực đại thì với mỗi
x ∈ D(A) tập {f | f ∈ A(x)} lồi và đóng trong X
∗
.
Hệ quả 1.2.22. Nếu A : X → 2
X
∗
là toán tử đơn điệu cực đại thì với mỗi
f ∈ R(A) tập {x | f ∈ A(x)} lồi và đóng trong X.
Định nghĩa 1.2.23. Tập G ⊂ X × X
∗
được gọi là nửa đóng nếu từ điều
kiện x
n
→ x, f
n
 f hoặc x
n
 x, f
n
→ f, trong đó (x
n

, f
n
) ∈ G, kéo theo
(
x, f
)
∈ G.
Từ định nghĩa về toán tử đơn điệu cực đại ta có khẳng định sau:
Bổ đề 1.2.24. Đồ thị của toán tử đơn điệu cực đại A : X → X
∗
là nửa đóng.
11
Chương 1. Toán tử đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev
1.2.3 Phương trình với toán tử đơn điệu cực đại
Trong mục này, chúng ta xét X là một không gian Banach thực, X
∗
là
không gian đối ngẫu của X.
Định nghĩa 1.2.25. Cho toán tử A : X → X
∗
, f ∈ X
∗
.
Phương trình A(x) = f được gọi là phương trình toán tử loại I.
Phương trình x = λA(x) + f, trong đó λ là một số thực, được gọi là phương
trình toán tử loại II.
Định nghĩa 1.2.26. Phần tử x
0
∈ D(A) thỏa mãn f = A(x
0

) được gọi là
nghiệm của phương trình A(x) = f với toán tử A đơn trị, đơn điệu cực đại.
Định lý 1.2.27. Nếu A : X → X
∗
là toán tử đơn điệu cực đại thì tập nghiệm
S := {x ∈ D(A) | f = A(x)} lồi và đóng trong X.
Khi đó nghiệm x
†
∈ S thỏa mãn x
†
= min{x
∗
 | x
∗
∈ S} được gọi là nghiệm
với chuẩn nhỏ nhất.
Từ Định lý 1.2.17 và 1.2.18 suy ra định lý Minty-Browder sau:
Định lý 1.2.28. Giả sử rằng A : X → X
∗
là toán tử đơn điệu cực đại, f ∈ X
∗
và tồn tại số r > 0 sao cho A(x) − f, x ≥ 0 khi x ≥ r. Khi đó tồn tại
¯
x ∈ X
thỏa mãn f = A
¯
x và 
¯
x ≤ r.
Nhận xét 1.2.29. Từ các điều kiện của Định lý 1.2.18, 1.2.28 và Hệ quả

1.2.20, nếu toán tử A đơn điệu chặt thì phương trình A(x) = f với mọi f ∈ X
∗
có nghiệm duy nhất.
Định lý 1.2.30. (Bổ đề Minty) Cho X là một không gian Banach thực, f ∈ X
∗
và A là một toán tử hemi-liên tục từ X vào X
∗
. Khi đó, nếu
A(x) − f, x −x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ X, (1.7)
12
Chương 1. Toán tử đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev
thì A(x
0
) = f.
Chứng minh. Giả sử A(x
0
) = f. Khi đó, theo định nghĩa về chuẩn tồn tại một
vectơ z = 0 của X sao cho
A(x
0
) − f, z >
1
2
zA(x
0
) − f > 0.
Mặt khác, do A là hemi-liên tục nên với t khá nhỏ ta có
|A(x

0
− tz) − A(x
0
), z| ≤
1
3
zA(x
0
) − f. (1.8)
Từ điều kiện của Định lý ta có
A(x
0
− tz) − f, (x
0
− tz) − x
0
 ≥ 0,
hay
A(x
0
− tz) − A(x
0
), −tz + A(x
0
) − f, −tz ≥ 0,
suy ra
A(x
0
− tz) − A(x
0

), −z ≥ A(x
0
) − f, −z.
Do đó
|A(x
0
− tz) − A(x
0
), z| >
1
2
zA(x
0
) − f > 0.
Bất đẳng thức cuối cùng trái với (1.8). Định lý được chứng minh.
Nhận xét 1.2.31. Nếu A là toán tử đơn điệu thì bất đẳng thức (1.7) còn được
thay thế bởi
A(x
0
) − f, x −x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ X.
Định nghĩa 1.2.32. Toán tử A : H → H được gọi là c
−1
-ngược đơn điệu
mạnh, nếu:
A(x) − A(y), x − y ≥
1
c
A(x) − A(y)

2
, ∀ x, y ∈ H,
trong đó c là hằng số dương nào đó.
13
Chương 1. Toán tử đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev
Nhận xét 1.2.33.
1) Mọi toán tử compact, tự liên hợp, không âm trong không gian Hilbert đều
là ngược đơn điệu mạnh, và hiệu của toán tử đồng nhất và toán tử không giãn
là toán tử ngược đơn điệu mạnh.
2) Mọi toán tử ngược đơn điệu mạnh là đơn điệu nhưng chưa chắc đã đơn điệu
mạnh.
1.3 Phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev
Xét bài toán đặt không chỉnh phi tuyến
A(x) = y, (1.9)
trong đó A : D(A) → H là toán tử phi tuyến đơn điệu với miền D(A) ⊂ H và
H là không gian Hilbert thực.
Giả sử rằng y
δ
∈ H là dữ liệu có nhiễu, y −y
δ
 ≤ δ. Phương trình (1.9) có
nghiệm x
†
và A có đạo hàm Frechet A

(·) bị chặn đều địa phương trong hình
cầu B
r
(x
†

) bán kính r tâm x
†
∈ H.
Nói chung, nghiệm của bài toán không chỉnh (1.9) không phụ thuộc liên tục
vào dữ liệu. Do đó chúng ta cần sử dụng những phương pháp hiệu chỉnh.
Phương pháp hiệu chỉnh thường sử dụng là phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov.
Phương pháp này tìm một nghiệm xấp xỉ x
δ
α
bằng việc cực tiểu hóa phiếm hàm
Tikhonov
M
α
(x) = A(x) − y
δ

2
+ αx − x
2
,
với x ∈ H là giá trị ban đầu và tham số hiệu chỉnh α > 0. Nếu x
δ
α
là điểm
trong của D(A) thì nghiệm hiệu chỉnh x
δ
α
thỏa mãn phương trình chuẩn tắc
14
Chương 1. Toán tử đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev

(phương trình Euler)
A

(x)
∗
[A(x) − y
δ
] + α(x − x) = 0
của phiếm hàm M
α
(x). Ở đây, A

(x)
∗
là liên hợp của đạo hàm Frechet A

(x).
Trong trường hợp A là toán tử đơn điệu, ta có thể sử dụng phương pháp
hiệu chỉnh Lavrentiev đơn giản hơn
A(x) + α(x − x) = y
δ
. (1.10)
Trong phương pháp này, nghiệm xấp xỉ hiệu chỉnh x
δ
α
thu được từ việc giải
phương trình toán tử (1.10).
Trong trường hợp A là toán tử tuyến tính, xấp xỉ hiệu chỉnh x
δ
α

của (1.10)
được cho bởi
x
δ
α
= x + (A + αI)
−1
(y
δ
− Ax) = (A + αI)
−1
(y
δ
+ αx). (1.11)
Từ tính khả vi Frechet của A có thể thấy A là hemi-liên tục. Định lý sau
chỉ ra sự tồn tại và duy nhất của xấp xỉ hiệu chỉnh x
δ
α
của phương trình (1.10).
Định lý 1.3.1. Cho x
†
∈ D(A) là nghiệm của (1.9) và A : D(A) ⊂ H → H
khả vi Frechet và đơn điệu trong hình cầu B
r
(x
†
) ⊂ D(A) với bán kính r =
x − x
†
 + δ/α. Khi đó phương trình hiệu chỉnh (1.10) có nghiệm duy nhất

trong hình cầu B
r
(x
†
).
Chứng minh.
Định lý 1.3.2. Cho x
†
∈ D(A) là nghiệm của (1.9) và A : D(A) → H khả vi
Frechet và đơn điệu trong hình cầu B
r
(x
†
) ⊂ D(A) với bán kính r = x −x
†
+
δ/α. Khi đó nghiệm hiệu chỉnh x
δ
α
hội tụ về x
†
khi δ → 0.
Chứng minh.
15
Chương 2
Phương pháp Newton hiệu chỉnh
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu một phương pháp hiệu chỉnh giải
phương trình toán tử
A(x) = f, (2.1)
trong không gian Hilbert thực H với A : H → H là toán tử đơn điệu và f ∈ H.

Phương trình (2.1) nói chung là một bài toán đặt không chỉnh. Ký hiệu S
là tập nghiệm của phương trình (2.1). S được giả thiết là khác rỗng, khi đó S
là một tập lồi đóng trong H (xem Định lý 1.2.27).
2.1 Toán tử khả vi và phương pháp Newton -
Kantorovich
2.1.1 Toán tử khả vi
Định nghĩa 2.1.1. Cho X, Y là không gian tuyến tính định chuẩn. Toán tử
A : X → Y , với D(A) là một tập mở, được gọi là khả vi Frechet (khả vi mạnh)
tại x ∈ D(A) nếu tồn tại toán tử tuyến tính liên tục A

(x) : X → Y sao cho
16