giải bài toán quy hoạch phi tuyến bằng phương pháp leo dốc

LOGO
GIẢI BÀI TOÁN
QUY HOẠCH PHI TUYẾN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP
LEO DỐC
Môn học:
PP Xử lý số liệu trong môi trường
GVHD: PGS. TS. LÊ THỊ VÂN HÀ
HVTH: TRẦN THUÝ AN
TRẦN NGUYỄN CẨM LAI
NGUYỄN THỊ DIỄM TRANG
LOGO
NỘI DUNG TRÌNH BÀY
PHƯƠNG PHÁP LEO DỐC
ĐỐI TƯỢNG CÔNG NGHỆ
ĐẶT BÀI TOÁN
GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU
1
2
3
4
KẾT LUẬN
5
LOGO
PHƯƠNG PHÁP LEO DỐC
CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN

Bước 1: Chọn điểm xuất phát X(0) (x1(0), … , xn(0))
* Chọn các giá trị εy > 0 và εx > 0
* Xác định y(X(0))


Bước 2: Xác định vectơ gradient tại điểm X(0)
LOGO
PHƯƠNG PHÁP LEO DỐC

Bước 3: Chọn số λ dương
* Từ điểm X(0) xác định X(1):
(dấu “ + “ khi tìm max , dấu “ - “ khi tìm min)
* Xác định y(X(1))
LOGO
PHƯƠNG PHÁP LEO DỐC

Bước 4: So sánh y(X(1)) với y(X(0))
* Nếu y(X(1)) ‘’tốt’’ hơn y(X(0))  tiếp tục lặp lại
bước 3 để leo dốc tới X(2), X(3)…, X(k)
* Nếu y(X(k)) ‘’xấu‘’ hơn y(X(k-1))  Thực hiện
phép gán X(1) = X(k-1) và y(1) = y(X(k-1)), sau đó
chuyển sang bước 5.
(dấu “ + “ khi tìm max , dấu “ - “ khi tìm min)
Xác định y(X(1))
LOGO
PHƯƠNG PHÁP LEO DỐC

Bước 5: Kiểm tra điều kiện dừng:
* Nếu (*) không thỏa mãn:
+ Chọn X(1) làm điểm xuất phát mới (nói cách
khác : thực hiện phép gán X(0) = X(1) và y(0) = y(1)
+ Quay lại bước 2
* Nếu (*) thỏa mãn  kết luận: y đạt giá trị tối ưu tại
X(1)
(dấu “ + “ khi tìm max , dấu “ - “ khi tìm min)

Xác định y(X(1))
LOGO
ĐỐI TƯỢNG CÔNG NGHỆ
XỬ LÝ BOD TRONG NƯỚC
THẢI SINH HOẠT TẠI BỂ
AEROTEN

LOGO
ĐẶT BÀI TOÁN
* Xác định hiệu suất tối ưu cho quá trình xử lý BOD trong
nước thải sinh hoạt bằng phương pháp sinh học tại bể Aeroten.
* Trong bài toán này, ta chỉ xét hiệu suất xử lý nước thải phụ
thuộc vào 2 yếu tố chính là nồng độ bùn hoạt tính và thời gian
lưu nước trong bể Aeroten.
- Trong đó: x1: nồng độ bùn hoạt tính (kg/m3)
x2: thời gian lưu nước trong bể (giờ)
F : hiệu suất xử lý (%).
- Hàm mục tiêu : F = -x12 – x22 + 8x1 + 10x2 + 44
(được xác định qua thực nghiệm)
- Các điều kiện ràng buộc:
1,6 < x1 < 6
2,5 < x2 < 8
50 < F < 100.
LOGO
ĐẶT BÀI TOÁN

Phát biểu bài toán theo đề:
Tìm nồng độ bùn hoạt tính và thời gian lưu nước thích
hợp để hiệu xuất xử lý nước thải của bể Aeroten là tối ưu
nhất (cao nhất)


Phát biểu toán học:
Fmax = max F(x1,x2)
(x1,x2) € Ωx
1,6 < x1 < 6
Ωx = 2,5 < x2 < 8
50 < F < 100.
LOGO
GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU

Bước 1:
Chọn điểm xuất phát X(0) = (1,6 ; 2,5)
Tính được F(X(0)) = 73
Chọn điều kiện dừng: εx = 2; εF = 4

Bước 2:
∂F/∂x1 = -2x1 + 8
∂F/∂x2 = -2x2 + 10
Do đó grad F(X(0)) = (-2×1,6+8 ; -2×2,5+10)
= (4,8 ; 5,0) ≠ (0 ; 0)
LOGO
GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU

Bước 3:
Chọn bước nhảy λ = 0,2
Tính:
X(1) = X(0) + λ grad F(X(0))
= (1,6+0,2×4,8 ; 2,5+0,2×5,0)
= (2,56 ; 3,5)
=> F(X(1)) = 80,7


Bước 4:
Do F(X(1)) > F(X(0)) nên tiếp tục lặp lại bước 3
X(2) = X(1) + λ grad F(X(0))
= (2,56+0,2×4,8 ; 3,5+0,2×5,0)
= (3,52 ; 4,5)
Tính được: F(X(2)) = 84,5 > F(X(1)) = 80,7
LOGO
GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU

Bước 4 (tt):
Tương tự như trên ta tính được:
X(3) = X(2) + λ grad F(X(0))
= (3,52+0,2×4,8 ; 4,5+0,2×5,0)
= (4,48 ; 5,5)
Tính được: F(X(3)) = 84,5 = F(X(2)) = 84,5
Do F(X(3)) không “tốt” hơn F(X(2)) nên ta thực
hiện phép gán
X(1) = X(2) = (3,52 ; 4,5) và
F(1) = F(X(2)) = 84,5.
LOGO
GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU

Bước 5:
Kiểm tra điều kiện dừng:
||∆X|| = ((x1(1) – x1(0))2 + (x2(1) – x2(0))2)1/2
= ((3,52 – 1,6)2 + (4,5 – 2,5)2)1/2
= 2,77 > εx = 2
│F(1) – F(0)│= │84,5 − 73│= 11,5 > εF = 4
→ Chưa thỏa điều kiện dừng nên ta thực hiện phép

gán:
X(0’) = X(1) = (3,52 ; 4,5) và
F(0’) = F(1) = 84,5
Quay lại bước 2
LOGO
GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU

Bước 2’:
Grad F(X(0’)) = (-2×3,52+8 ; -2×4,5 + 10)
= (0,96 ; 1,0) ≠ (0 ; 0)

Bước 3’:
Chọn bước nhảy λ’ = 0,15
Tính :
X(1’) = X(0’) + λ’ grad F(X(0’))
= (3,52+0,15×0,96 ; 4,5+0,15×1,0)
= (3,66 ; 4,65)
=> F(X(1’)) = 84,77
LOGO
GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU

Bước 4’:
Do F(X(1’)) > F(X(0’)) nên tiếp tục lặp lại bước 3
X(2’) = X(1’) + λ’ grad F(X(0’))
= (3,66+0,15×0,96 ; 4,65+0,15×1,0)
= (3,8 ; 4,8)
Tính được: F(X(2’)) = 84,92 > F(X(1’)) = 84,77
* Tương tự như trên ta tính được:
X(3’) = X(2’) + λ’ grad F(X(0’))
= (3,8+0,15×0,96 ; 4,8+0,15×1,0)

= (3,9 ; 5,0)
Tính được: F(X(3’)) = 85,0 > F(X(2’)) = 84,92
LOGO
GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU

Bước 4’ (tt):
Tương tự như trên ta tính được:
X(4’) = X(3’) + λ’ grad F(X(0’))
= (3,9+0,15×0,96 ; 5,0+0,15×1,0)
= (4,04 ; 5,2)
Tính được: F(X(4’)) = 84,96 < F(X(3’)) = 85,0
Do F(X(4’)) không “tốt” hơn F(X(3’)) nên ta thực
hiện phép gán:
X(1’) = X(3’) = (3,9 ; 5,0) và
F(1’) = F(X(3’)) = 85,0
LOGO
GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU

Bước 5’:
Kiểm tra điều kiện dừng:
||∆X’|| = ((x1(1’) – x1(0’))2 + (x2(1’) – x2(0’))2)1/2
= ((3,9 – 3,52)2 + (5,0 – 4,5)2)1/2
= 0,63 < εx = 2
│F(1’) – F(0’)│= │85 − 84,5│= 0,5 < εF = 4
→ Thỏa điều kiện dừng.
Vậy F đạt giá trị tối ưu tại X(*) = (3,9 ; 5,0) và giá trị
Fmax = 85 %.
LOGO
KẾT LUẬN
Từ kết quả bài toán ta tìm được điều kiện tốt

nhất để bể Aeroten hoạt động với hiệu xuất tối
ưu (85%) là:

Nồng độ bùn hoạt tính: 3,9 kg/m3

Thời gian nước chảy qua bể: 5 giờ
LOGO
Thank You !