Tiếp cận giải một lớp bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên luận văn thạc sĩ toán học

Mục lục
trang
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Bài toán quy hoạch phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1. Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2. Hàm Lagrange và tiêu chuẩn tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Các phương pháp tiếp cận giải bài toán quy hoạch phi tuyến . . . . . . 9
1.2.1. Phương pháp Gradien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2. Phương pháp nhân tử Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Một số khái niệm cơ sở của lý thuyết xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
1.3.1. Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2. Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên hai giai đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1. Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.2. Giai đoạn thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.3. Giai đoạn thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Chương 2. Một lớp bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên
và thuật toán giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1. Bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.1. Bài toán thực tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.2. Mô hình tổng quát bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên
hai giai đoạn (2SSN LP ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. Bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên hai giai đoạn có sự
chuyển đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1. Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn có sự
chuyển đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2. Bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên hai giai đoạn có sự


chuyển đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3. Một lớp bài toán với hàm mục tiêu bậc hai từng phần, ràng buộc tuyến
tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.1. Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.2. Các giả thiết và định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4. Thuật toán và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.1. Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42


3

Mở đầu
Bài toán quy hoạch phi tuyến (Nonlinear Programming Programs) có
nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực tự nhiên và xã hội. Cho tới nay, chưa
có một phương pháp tổng quát, hữu hiệu giải các bài toán quy hoạch phi
tuyến. Tuy nhiên, ở góc độ lý luận, với những giả thiết khác nhau, đã có
nhiều công trình nghiên cứu về nó. Khi điều khiển tối ưu hệ thống (hệ
thống tự nhiên và xã hội), các thông tin thường phụ thuộc vào nhiễu,
không được xác định đầy đủ. Điều đó dẫn tới các bài toán quy hoạch phi
tuyến phụ thuộc vào các yếu tố ngẫu nhiên. Bài toán quy hoạch phi tuyến
với sự tham gia của yếu tố ngẫu nhiên được gọi là bài toán quy hoạch phi
tuyến ngẫu nhiên (Stochastic Nonlinear Programming Programs).
Việc nghiên cứu bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên gặp nhiều khó
khăn. Các công trình nghiên cứu đang có kết quả cũng chỉ có tính định
hướng tiếp cận theo các giả thiết khác nhau, theo các lớp bài toán khác
nhau.
Trong cuốn sách Quy hoạch toán học, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội,
2005, của tác giả Bùi Minh Trí đã trình bày một cách tổng quan bài toán

quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên cùng một số hướng tiếp cận giải. Khi
tiếp cận với cuốn sách Optimization Theory II, Spring, 2007, Chapter 1
[4], chúng tôi nhận được những kết quả nghiên cứu chi tiết hơn. Vì lẽ đó,
trong phạm vi luận văn tốt nghiệp cao học, tôi đã cố gắng nghiên cứu về
thuật toán giải cho một lớp bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên. Đó
là lý do chúng tôi lựa chọn đề tài "Tiếp cận giải một lớp bài toán
quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên".
Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài là: Trình bày một cách hệ
thống những khái niệm và kiến thức cơ sở nhằm phục vụ cho việc nghiên


4

cứu các nội dung có liên quan trong luận văn. Trên cơ sở đó nghiên cứu
một lớp bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên tổng quát. Từ đó xét bài
toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên bậc hai và nêu thuật toán giải nó.
Luận văn được chia làm hai chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình
bày các nội dung: Bài toán quy hoạch phi tuyến; các phương pháp tiếp cận
giải bài toán quy hoạch phi tuyến; một số khái niệm cơ sở của lý thuyết
xác suất.
Chương 2. Một lớp bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên
và thuật toán giải. Trong chương này, chúng tôi trình bày các nội dung
chính của luận văn. Để có được mô hình bài toán quy hoạch phi tuyến,
trước hết chúng tôi nghiên cứu một mô hình thực tế. Từ đó nghiên cứu
bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên hai giai đoạn có sự chuyển đổi.
Cuối cùng, chúng tôi xét một lớp bài toán đặc biệt để tìm ra cách giải.
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh, dưới
sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Trần Xuân Sinh. Tác giả xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới thầy về sự hướng dẫn tận tâm đối với tác giả trong

suốt thời gian học tập và nghiên cứu.
Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô giáo trong Bộ
môn Xác suất Thống kê và Toán ứng dụng, Khoa Toán, Phòng Sau Đại
học, Trường Đại học Vinh. Đồng thời, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đối
với Trường THPT Phan Đăng Lưu (Nghệ An) và Trường Phổ thông Dân
tộc Nội trú - THPT số 2 Nghệ An về sự giúp đỡ, tạo điều kiện cho chúng
tôi học tập, công tác trong thời gian qua.
Cũng nhân dịp này, cho phép tôi nói lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè,
đã quan tâm, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả thực hiện luận văn này.
Vinh, tháng 10 năm 2013
Tác giả


5

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1. Bài toán quy hoạch phi tuyến
1.1.1. Bài toán
1.1.1.1. Bài toán quy hoạch phi tuyến tổng quát
Bài toán quy hoạch phi tuyến có dạng
min{f0 (x)}

(1.1.1)

fi (x) ≤ 0, i = 1, m

(1.1.2)

x ∈ X ⊂ Rn ,

(1.1.3)

với điều kiện

trong đó X = {(x1 , x2 , ..., xn ) | xi ≥ 0, i = 1, n }, các hàm f0 (x), fi (x), (i =
1, n), đơn trị, khả vi và ít nhất một trong các hàm đó là phi tuyến.
Hàm f0 (x) gọi là hàm mục tiêu, các điều kiện (1.1.2), (1.1.3) gọi là điều
kiện buộc. Điểm x = (x1 , x2 , ..., xn ) thoả mãn các điều kiện buộc (1.1.2),
(1.1.3) gọi là phương án, ký hiệu tập phương án là M . Phương án x∗ làm
cực tiểu hàm mục tiêu f0 (x) gọi là phương án tối ưu (hoặc nghiệm) của bài
toán. Điều đó có nghĩa rằng x∗ là phương án tối ưu của bài toán (1.1.1)(1.1.3) khi và chỉ khi f0 (x∗ ) = minx∈M f0 (x), hay là
f0 (x∗ ) ≤ f0 (x), ∀x ∈ M.
Điểm x(0) được gọi là điểm cực tiểu địa phương của hàm f0 (x) nếu tồn
tại lân cận W0 sao cho
f0 (x(0) ) ≤ f0 (x), ∀x ∈ M ∩ W0 .


6

1.1.1.2. Bài toán quy hoạch lồi từng phần
Bây giờ chúng ta xét bài quy hoạch phi tuyến đặc biệt, đó là bài toán
quy hoạch lồi từng phần.
Cho K là phức hợp hữu hạn các tập lồi đóng. Một phức hợp lồi đóng
hữu hạn các phần tử của K, được gọi là tế bào của K, nếu giao của hai tế
bào là rỗng.
Xét bài toán quy hoạch lồi từng phần (P.C.P ) (Piecewise Convex Program)
(P.C.P )

min f0 (x) : x ∈ M ,

(1.1.4)

trong đó f là hàm lồi trên Rn , M là tập con lồi đóng của miền xác định
của f , có tập các điểm trong khác rỗng. Cụ thể M được xác định bởi các
điều kiện
M := x ∈ Rn : fi (x) ≤ 0, i = 1, m

(1.1.5)

trong đó các hàm f0 (x), fi (x) đơn trị, khả vi, liên tục và lồi.
Các điều kiện trong (1.1.5) được gọi là thoả mãn điều kiện chính quy
nếu tồn tại điểm x ∈ M thoả mãn
fi (x) < 0, i = 1, ..., m.
Giả sử K là phức hợp lồi đóng hữu hạn sao cho:
(a) Các tế bào con Ck , n-chiều của K phủ M ,
(b) Hoặc là f đồng nhất −∞, hoặc là đối với mỗi tế bào Ck của phức
hợp tồn tại một hàm lồi fk (x), xác định trên M và liên tục, khả vi trên
một tập mở chứa Ck thỏa mãn:
(i) f (x) = fk (x), ∀x ∈ Ck ,
(ii) ∇fk (x) ∈ ∂f (x), ∀x ∈ Ck ,
ở đây ∂f (x) là vi phân của f theo x và ∇fk (x) là vectơ đạo hàm riêng của
fk (x) theo x.


7

Chúng ta giả thiết rằng f không đồng nhất −∞. Chúng ta có thể thấy
rằng f (x) không phải luôn có max fk (x) trên M , chẳng hạn như hàm số

k

sau đây:

f1 (x) = 1 x, 0 ≤ x ≤ 2,
2
f (x) =
f (x) = (x − 1)2 , x ≥ 2.
2

Rõ ràng hàm số này là lồi từng khúc (2 khúc) trên M = R+ , nhưng
f2 (x) > f1 (x) = f (x) trên [0; 1/2]
1.1.1.3. Thuật toán giải bài toán (P.C.P )
Từ việc nghiên cứu bài toán quy hoạch lồi từng phần, tác giả F. V.
Louveaux [5] đã đưa ra thuật toán giải bài toán (P.C.P ) như sau:
Thuật toán (P.C.P )
Bước chuẩn bị. Chọn x0 ∈ M . Đặt M1 := M, k := 1, chuyển sang
bước 1.
Bước 1. Xác định Ck sao cho xk−1 ∈ Ck ∩ intMk = ∅.
Bước 2. Xác định xk ∈ arg min{fk (x) : x ∈ Mk },
wk ∈ arg min{fk (x) : x ∈ Ck }.
Nếu wt là điểm tới hạn của một tia là hướng giảm của fk (.) tới −∞ thì
bài toán (P.C.P ) ban đầu bị chặn, chuyển tới bước 4.
Ngược lại, chuyển sang bước 3.
Bước 3. Nếu ∇fk (wk ).(xk − wk ) = 0, chuyển sang bước 4.
Ngược lại, gán
Mk+1 := Mk ∩ {x : ∇fk (wk ).(x − wk ) ≤ 0}, k := k + 1,
trở lại bước 1.
Bước 4. Thuật toán kết thúc: wk là phương án tối ưu.
1.1.1.4. Định lý [5]. Thuật toán 1.1.1.3 sẽ nhận được phương án tối ưu

sau nhiều nhất m bước, trong đó m là số hữu hạn các tế bào của phức hợp
K.


8

1.1.2. Hàm Lagrange và tiêu chuẩn tối ưu
Để tiếp cận nghiên cứu quy hoạch phi tuyến, trong mục này, chúng tôi
trình bày khái niệm hàm Lagrange của bài toán quy hoạch phi tuyến và
tiêu chuẩn tối ưu của phương án.
Các khái niệm cơ bản
Xét bài toán quy hoạch phi tuyến
min{f0 (x)}

(1.1.6)

fi (x) ≤ 0, i = 1, m

(1.1.7)

x ∈ X ⊂ Rn ,

(1.1.8)

với điều kiện

trong đó X = {(x1 , x2 , ..., xn ) : xi ≥ 0, i = 1, n }, các hàm f0 (x), fi (x)
đơn trị, khả vi, liên tục và ít nhất một trong các hàm đó là phi tuyến.
Từ bài toán (1.1.6)-(1.1.8), ta đặt
m

L(x, y) = f0 (x) +

yi fi (x).
i=1

trong đó x = (x1 , x2 , ..., xn ); y = (y1 , y2 , ..., ym ).
Hàm L(x, y) được gọi là hàm Lagrange của bài toán đã cho.
Các giá trị yi , i = 1, 2, ..., m gọi là nhân tử Lagrange.
Ký hiệu ∇f là vectơ đạo hàm riêng của hàm f (x), nghĩa là
∇f = (fx1 , fx2 , ..., fxn ); ∇f ∗ = ∇f (x∗ ), B ∗ = {i : fi (x∗ ) = 0}.
Tại phương án x∗ , ta ký hiệu
Rn1 = {z ∈ Rn : z, ∇fi∗ ≥ 0, i ∈ B ∗ ; z, ∇f0∗ ≥ 0}
Rn2 = {z ∈ Rn : z, ∇fi∗ ≥ 0, i ∈ B ∗ ; z, ∇f0∗ < 0}
Rn3 = {z ∈ Rn : ∃i ∈ B ∗ , z, ∇fi∗ < 0}.
Điểm (x∗ , y ∗ ) thoả mãn điều kiện
L(x∗ , y) ≤ L(x∗ , y ∗ ) ≤ L(x, y ∗ )

(1.1.9)


9

được gọi là điểm yên ngựa của hàm Lagrange L(x, y).
Một số tính chất của bài toán
1.1.2.1. Định lý. Nếu các hàm số f0 , fi , i = 1, 2, ..., m là các hàm lồi,
X là tập lồi thì bài toán (1.1.6) − (1.1.8) luôn tồn tại điểm yên ngựa.
1.1.2.2. Định lý. (về sự tồn tại nhân tử Lagrange) Cho phương án x∗ .
Nếu tập Rn2 = ∅ thì tồn tại vectơ y ∗ ≥ 0 thoả mãn điều kiện
fi (x∗ ) ≥ 0; yi∗ fi (x∗ ) = 0, i = 1, m; ∇L(x∗ , y ∗ ) = 0.

(1.1.9)

Bây giờ ta xét dạng đặc biệt của bài toán (1.1.6)-(1.1.8)
min{f0 (x)}

(1.1.10)

fi (x) = bi , i = 1, m; m < n

(1.1.11)

x ∈ X ⊂ Rn ,

(1.1.12)

với điều kiện

trong đó X = {(x1 , x2 , ..., xn ) : xi ≥ 0, i = 1, n }, các hàm f0 (x), fi (x)
đơn trị, liên tục, có đạo hàm bậc 2 và ít nhất một trong các hàm đó là phi
tuyến.
1.1.2.3. Định lý Nếu tại phương án x∗ tồn tại y ∗ ≥ 0 sao cho
∇x L(x∗ , y ∗ ) = 0,
∇fi (x∗ )T ∇2xx L(x∗ , y ∗ )∇fi (x∗ ) > 0
thì x∗ là phương án tối ưu địa phương của bài toán (1.1.10) − (1.1.12).
1.2. Các phương pháp tiếp cận giải bài toán quy hoạch
phi tuyến
Việc tiếp cận giải bài toán quy hoạch phi tuyến đang có nhiều phương
pháp khác nhau. Trong mục này, chúng tôi chỉ kể đến một số phương pháp
điển hình phục vụ cho việc nghiên cứu của đề tài.

10

1.2.1. Phương pháp Gradien
Ta đã biết vectơ Gradien (đạo hàm riêng) tại điểm x(0) chỉ hướng tăng
và đối Gradien là hướng giảm của hàm mục tiêu từ điểm đó. Từ đó ta có
thuật toán như sau:
Thuật toán
Bước xuất phát. Chọn một phương án x(0)
Bước k, k = 1, ... Ta đã có x(k) , (k ≥ 0).
k.1. Dịch chuyển từ x(k) theo hướng −∇f0 (x(k) ) tới điểm x(k) +λ[−∇f (x(k) )]
sẽ làm biến đổi hàm f0 một số gia
∆f0 = −f0 [x(k) − λ∇f0 (x(k) )] + f0 (x(k) ).
Giá trị λ được xác định sao cho số gia ∆f0 đạt lớn nhất, là nghiệm của
phương trình
d∆f0
= 0 ≈ −∇f0 [x(k) − λ∇f0 (x(k) ](−∇f0 (x(k) ) = 0.
dλ

(1.2.1)

Từ (1.2.1), ta tìm được λ∗
Nếu tại λ∗ có

d2 ∆f0
dλ2

< 0 thì ta có điểm cực đại của hàm ∆f0 .

Đặt
x(k+1) = x(k) + λ∗ − ∇f0 (x(k) ) .
k.2. Kiểm tra x(k+1) ∈ M ?
Nếu không, thì giảm bớt λ để được điểm thuộc M .
Nếu ngược lại, sang bước k.3.
k.3. Kiểm tra ∇f0 (x(k+1) ) = 0?
Nếu có thì dừng. Điểm x(k+1) là phương án tối ưu.
Ngược lại, gán k := k + 1, trở lại bước k.
1.2.2. Phương pháp nhân tử Lagrange
Sử dụng các tính chất của hàm Lagrange, người ta đã nêu ra thuật toán
sau đây giải bài toán quy hoạch lồi.


11

Thuật toán
Bước xuất phát. Lập hàm Lagrange
m

yi [bi − fi (x)].

L(x, y) = f0 (x) +
i=1

Bước 1. Tìm tất cả các điểm dừng của hàm L(x, y) từ hệ phương trình

 ∂L = ∂f0 − m ∂fi yi = 0
i=1 ∂xj
∂xj
∂xj

 ∂L = b − f (x) = 0.
∂yi

i

i

Bước 2. Giải hệ trên, được các điểm dừng (x, y). Chọn các điểm dừng
là phương án. Lấy một điểm dừng (x∗ , y ∗ )
Bước 3. Kiểm tra điều kiện
∇fi (x∗ )T ∇2xx L(x∗ , y ∗ )∇fi (x∗ ) > 0?
Nếu có thì x∗ là điểm cực tiểu địa phương. So sánh các điểm cực tiểu
địa phương và các điểm biên để tìm phương án tối ưu.
Ngược lại, trở lại bước 2 với điểm dừng khác.
1.3. Một số khái niệm cơ sở của lý thuyết xác suất
1.3.1. Định nghĩa
1.3.1.1. σ-đại số
Giả sử Ω là một tập tuỳ ý khác rỗng. Ký hiệu P(Ω) là tập hợp gồm tất
cả các tập con của Ω.
• Lớp A ⊂ P(Ω) được gọi là một đại số nếu:
A1) Ω ∈ A,
A2) Nếu A ∈ A thì A = Ω\A ∈ A,
A3) Nếu A, B ∈ A thì A ∪ B ∈ A, (hoặc A ∩ B ∈ A).
• Lớp F ⊂ P(Ω) được gọi là σ-đại số nếu nó là đại số và ngoài ra


12

A4) Nếu An ∈ F, ∀n = 1, 2, ... thì
∞

∞

An ∈ F (hoặc
n=1

An ∈ F).
n=1

1.3.1.2. Không gian đo. Cặp (Ω, F) được gọi là một không gian đo,
trong đó Ω = ∅ bất kỳ, F là một σ- đại số các tập con của Ω.
Ω được gọi là biến cố chắc chắn. Tập ∅ gọi là biến cố không. A ∈ F, A
gọi là biến cố đối của biến cố A. Nếu A ∩ B = ∅ thì ta nói A và B là các
biến cố xung khắc.
1.3.1.3. Độ đo xác suất. Hàm P xác định trên đại số A được gọi là độ
đo xác suất σ-cộng tính nếu
P1) P(A) ≥ 0, ∀A ∈ A,
P2) P(Ω) = 1,
P3) Nếu Ai , Aj ∈ A, i, j = 1, 2, ..., Ai ∩ Aj = ∅, i = j,
∞

∈ A thì

∞

Ai =

P

∞

i=1 Ai

i=1

P(Ai ).
i=1

Giả sử Ω là tập bất kỳ khác rỗng, F là một σ-đại số các tập con của
Ω, P là độ đo xác suất trên F. Khi đó, bộ ba (Ω, F, P) được gọi là không
gian xác suất.
1.3.1.4. Đại lượng ngẫu nhiên. Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất;
G là σ-đại số con của σ-đại số F; B là σ-đại số Borel trên R. Khi đó ánh
xạ
X:Ω→R
được gọi là biến ngẫu nhiên G-đo được, nếu nó là ánh xạ G/B(R)-đo được.
Lúc này, biến ngẫu nhiên còn được gọi là đại lượng ngẫu nhiên. Trong
trường hợp đặc biệt, khi X là biến ngẫu nhiên F-đo được thì X gọi một
cách đơn giản là biến ngẫu nhiên.


13

1.3.1.5. Hàm Borel. Hàm ϕ : (Rn , B(Rn )) → (R, B(R)) được gọi là
hàm Borel nếu nó là B(Rn ) - đo được, nghĩa là ϕ−1 (B) ∈ B(Rn ) với mỗi
B ∈ B(R).
1.3.1.6. Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên. Giả sử X là biến
ngẫu nhiên xác định trên (Ω, F, P) nhận giá trị trên R. Hàm số FX (x) =
P[X < x], (x ∈ R) được gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X.
1.3.2. Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên
1.3.2.1. Khái niệm

Kỳ vọng. Giả sử X : (Ω, F, P) → (R, B) là đại lượng ngẫu nhiên. Khi
đó tích phân Lebesgue của X theo độ đo P (nếu tồn tại) được gọi là kỳ
vọng X và ký hiệu là EX.
Lược đồ xây dựng kỳ vọng. Lược đồ xây dựng kỳ vọng chính là lược
đồ xây dựng tích phân Lebesgue.
Nếu X là biến ngẫu nhiên đơn giản X =

n
i=1 ai IAi

thì

n

EX :=

ai P(Ai ).
i=1

Nếu X là biến ngẫu nhiên không âm thì X là giới hạn của một dãy tăng
các biến ngẫu nhiên đơn giản (Xn , n ≥ 1)
n2n

Xn =
k=1

k−1
k
I k−1
+ nI(X≥n) .

2n ( 2n ≤X< 2n )

Khi đó
EX := lim EXn .
n→∞

Nếu X là biến ngẫu nhiên bất kỳ thì X = X + − X − , trong đó
X + = max(X, 0) ≥ 0; X − = max(−X, 0) ≥ 0.
Khi đó EX := EX + − EX − (nếu có nghĩa).
Phương sai. Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên. Khi đó số DX =
E(X − EX)2 (nếu tồn tại) gọi là phương sai của X.


14

Như vậy, phương sai có thể tồn tại hoặc không tồn tại. Nếu tồn tại thì
được tính theo công thức


2

nếu X rời rạc và P(X = xi ) = pi
 (xi − EX) pi
i
DX =
+∞


(x − EX)2 p(x)dx nếu X liên tục và có hàm mật độ là p(x).


−∞

Từ định nghĩa cho ta biết |X − EX| là độ lệch giữa các giá trị của đại
lượng ngẫu nhiên X với EX, vì vậy phương sai DX = E(X − EX)2 chính
là trung bình của bình phương độ lệch giữa X và EX. Trong ứng dụng,
√
người ta thường dùng giá trị σX = DX để nghiên cứu mức độ phân tán
của đại lượng ngẫu nhiên X quanh EX. Giá trị σX gọi là độ lệch chuẩn
của X.
1.3.2.2. Tính chất của các số đặc trưng
Một số tính chất của kỳ vọng
Cho X, Y là các đại lượng ngẫu nhiên, cùng xác định trên không gian
xác suất (Ω, F, P), a ∈ R. Khi đó nếu tồn tại EX, EY thì
a) Nếu X ≥ 0 thì EX ≥ 0.
b) Nếu X = a hằng số thì EX = a.
c) Tồn tại E(X ± Y ) và E(X ± Y ) = EX ± EY .
d) Nếu X và Y độc lập thì E(XY ) = EX.EY .
Một số tính chất của phương sai
Giả sử X, Y là đại lượng ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất
(Ω, F, P); a ∈ R. Khi đó ta có
a) DX = EX 2 − (EX)2 .
b) DX ≥ 0.
c) DX = 0 khi và chỉ khi X = EX = hằng số h.c.c.
d) D(aX) = a2 DX.
c) Nếu X, Y độc lập thì D(X ± Y ) = DX + DY .


15

1.4. Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn

Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên, thông thường có thể xẩy ra một giai
đoạn, hai giai đoạn hoặc nhiều giai đoạn. Về mặt hình thức có thể thấy
quá trình tối ưu phụ thuộc biến ngẫu nhiên thì sẽ xuất hiện theo lược đồ:
Phương án ⇒ điều chỉnh ⇒ ... ⇒ điều chỉnh ⇒ phương án.
+ Nếu quá trình đó chỉ xảy ra một lần xét phương án mà không cần
điều chỉnh thì bài toán đó được gọi là bài toán một giai đoạn.
+ Nếu quá trình đó xảy ra hai lần xét tới phương án thì bài toán đó
được gọi là bài toán hai giai đoạn.
+ Nếu quá trình đó chỉ xảy ra hơn hai lần xét phương án thì bài toán
đó được gọi là bài toán nhiều giai đoạn.
Thật ra, nhìn nhận một cách tương đối nếu lấy một thời điểm nào đó
làm phương án xuất phát và coi đó là giai đạn thứ nhất thì giai đoạn tiếp
theo là giai đoạn thứ hai. Cứ như vậy cho thấy bài toán quy hoạch nhiều
giai đoạn được thực hiện nhờ vào bài toán quy hoạch hai giai đoạn bằng
công thức đệ quy.
Vì lẽ đó, để ngắn gọn, trong mục này, chúng tôi chỉ trình bày lược đồ
phân chia theo hai giai đoạn của bài toán quy hoạch tuyến tính.
1.4.1. Bài toán
Xét bài toán quy hoạch tuyến tính
min f (x) = cT x ,

 Ax = b
với điều kiện
 T x = h x ≥ 0.

(1.4.1)

trong đó c = (cj ) là ma trận cỡ 1 × n, x = (xj ) là ma trận cỡ 1 × n,
A = (aij ) là ma trận cỡ m × n, b = (bi ) là ma trận cỡ 1 × m, cT là ma trận
chuyển vị của c, h là ma trận cỡ p × 1 và T là ma trận cỡ p × n.

16

Giả sử các phần tử của các ma trận h và T phụ thuộc biến ngẫu nhiên
ω có phân phối xác suất và kỳ vọng hữu hạn đã biết. Rõ ràng không thể
xác định x từ các phương trình T (ω)x = h(ω). Sự khác nhau giữa T (ω)x
và h(ω) cũng chính là một biến ngẫu nhiên có hàm phân phối phụ thuộc
vào x. Ta phải "trả giá" cho sự phụ thuộc này.
Chi tiết về mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai
đoạn(Two-Stage Stochastic Linear Progamming - (2SSLP )) được xét tới
như sau:
1.4.2. Giai đoạn thứ nhất
Trong trường hợp các dữ liệu của A, b, c, T, h ổn định, ta có bài toán quy
hoạch tuyến tính dạng ổn định, có thể giải bằng các thuật toán quen thuộc
đã biết để tìm ra phương án tối ưu.
Trong trường hợp các dữ liệu của T, h phụ thuộc các biến ngẫu nhiên, ta
có bài toán quy hoạch ngẫu nhiên. Lúc này bài toán (1.2.1) được gọi là bài
toán giai đoạn một (giai đoạn thứ nhất) Biến x trong bài toán giai đoạn
một gọi là biến giai đoạn một. Phương án tối ưu tìm được của bài toán ở
giai đoạn một còn gọi là nghiệm sơ bộ của bài toán quy hoạch ngẫu nhiên.
Chú ý rằng nghiệm sơ bộ không làm mất khả năng của sự điều chỉnh và
phải cùng phối hợp với nghiệm điều chỉnh sao cho chi phí trung bình phải
tối thiểu cho cả hai giai đoạn.
1.4.3. Giai đoạn thứ hai
Lần thứ hai, khi chịu ảnh hưởng của biến ngẫu nhiên ω, điều kiện buộc
T x = h không còn cân bằng. Để giải quyết hiện tượng mất cân bằng ấy
(vi phạm sự cân bằng), người ta đưa vào biến phạt y = (yi ) ≥ 0 với hệ số
phạt tương ứng q = (qi ) và ma trận điều chỉnh W cỡ m × m (thông thường
có thể lấy W là ma trận đơn vị). Khi đó ta cần tìm y để cực tiểu tổng số

lượng phạt q T y với những điều kiện đặt ra dưới sự tác động của ω, tạo nên
sự cân bằng mới. Do vậy ta có bài toán ở giai đoạn hai (thứ hai) với biến


17

y là
Q(x, ω) = min q T y

 T (ω)x + W y(ω) = h(ω)
với điều kiện
 y ≥ 0.

(1.4.2)

Hàm Q(x, ω) được gọi là hàm hiệu chỉnh, vectơ x và y tương ứng là biến
của giai đoạn thứ nhất và giai đoạn thứ hai.
Ký hiệu
Q(x) := E Q(x, ω) .
Khi đó bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn có dạng
min cT x + Q(x)

Ax = b
với điều kiện
x ≥ 0,
trong đó Q(x) := E Q(x, ω) , với
Q(x, ω) = min q T y

 T (ω)x + W y(ω) = h(ω)
với điều kiện

 y(ω) ≥ 0.

(1.4.3)


18

Chương 2

Một lớp bài toán
quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên
và thuật toán giải
2.1. Bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên
2.1.1. Bài toán thực tế
Trong mục này, chúng tôi nêu một ví dụ thực tế dẫn đến mô hình bài
toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên.
Trên cánh đồng, một Cơ sở nông nghiệp có thể gieo trồng 3 loại cây
Khoai, Ngô, Đậu theo công thức: hoặc là trồng đơn canh hoặc là trồng
xen ghép đôi Khoai-Ngô, Khoai-Đậu, Ngô-Đậu. Thu nhập và chi phí trồng
mỗi loại cây (triệu đồng) theo công thức nêu trên cho trong bảng I. Hãy
lập bài toán lựa chọn công thức trồng sao cho đạt được tổng thu nhập lớn
nhất mà không vượt quá khả năng chi tiêu vốn và nhân công. Biết rằng
tiền vốn cần bỏ ra cho giống và phân bón gieo trồng là 8 triệu, tiền công
là 3 triệu.
Bảng 1. Bảng năng suất và chi phí theo công thức trồng
Khoai Ngô Đậu K-N Đ-N N-Đ
Thu nhập (tr)

4

5

3

6

4

4

Ch.phí trồng (tr)

3

4

4

-

-

-

Ch.phí công (tr)

3

2

1

-

-

-

Ký hiệu xj , j = 1, 2, 3 tương ứng là sự tham gia của mỗi loại cây trong
trong công thức theo thứ tự đã nêu (Khoai, Ngô, Đậu), xj ∈ {0; 1} (xj có
tham gia thì nhận giá trị 1, không tham gia nhận giá trị 0).
Khi đó ta có bài toán
max 4x1 + 5x2 + 3x3 + 6x1 x2 + 4x2 x3 + 4x3 x1


19




3x1 + 4x2 + 4x3 ≤ 8



với điều kiện
3x1 + 2x2 + x3 ≤ 3





 x1 , x2 , x3 ∈ {0, 1}.
Ta ký hiệu


A=

3 4 4
3 2 1

, b=


 
 
0 3 2
4
x1


 
 
8
, C=
, c=
, x=
3 0 2
5
x2 






.
3
2 2 0
3
x3

Khi đó bài toán viết dưới dạng ma trận
max cT x + xT Cx},

với điều kiện


 Ax ≤ b
 x ∈ {0, 1}3 .

Bài toán sản xuất nêu trên là một ví dụ cho lớp bài toán quy hoạch phi
tuyến (ở đây hàm mục tiêu là phi tuyến).
max cT x + xT Cx},

với điều kiện


 Ax ≤ b
 x ∈ {0, 1}n .

Mô hình toán học nêu trên có thể viết tổng quát khi A = (aij ) ma trận
cỡ m × n, b = (bi ) cỡ m × 1, C = (cij ) ma trận vuông đối xứng cấp n,

c = (cj ) ma trận cỡ n × 1, x = (xj ) cỡ n × 1.
2.1.2. Mô hình tổng quát bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu
nhiên hai giai đoạn (2SSN LP )
Xét bài toán quy hoạch phi tuyến
min z = f 1 (x)


20


 g 1 (x) ≤ 0, 1 ≤ i ≤ m1 ,
i
với điều kiện
 g 1 (x) = 0, m + 1 ≤ i ≤ m .
1
1
i
trong đó các hàm số f 1 : Rn1 → R, gi1 : Rn1 → R, 1 ≤ i ≤ m1 liên tục trên
R n1 .
Giả sử rằng bài toán đã cho, với dữ liệu đầy đủ, chúng ta đã tìm được
phương án tối ưu trong tập các phương án x đã xác định. Các phương án
x như vậy được coi là biến ở giai đoạn thứ nhất và bài toán nêu trên gọi
là bài toán giai đoạn thứ nhất.
Khi thông tin về dữ liệu trong điều kiện buộc phụ thuộc vào biến ngẫu
nhiên ω thì tập phương án sẽ thay đổi. Sự thay đổi này là do dưới sự tác
động của biến ngẫu nhiên ω làm thay đổi giá trị của vế trái điều kiện buộc.
Để thiết lập bài toán giai đoạn thứ hai, ta ký hiệu:
f 2 (., ω) : Rn2 → R là hàm số biểu diễn tổng số giá trị "phạt".
gi2 y(ω), ω) : Rn2 → R, 1 ≤ i ≤ m2 , là hàm số tạo ra từ hàm gi1 ở
những điều kiện có ảnh hưởng từ ω.

t2i (x, ω) : Rn1 → R, 1 ≤ i ≤ m2 , là hàm số tạo ra sự cân bằng trong các
điều biện buộc của bài toán mà gi1 có ảnh hưởng từ ω.
Giả sử các hàm số đã cho là liên tục, đo được theo x, ω.
Để xác lập tập phương án mới người ta đưa vào "biến phạt" y(ω) với hệ
số phạt phi tuyến liên tục nào đó.
Tương tự như bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn,
ta có mô hình tổng quát của bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên giai
đoạn thứ hai là:
min z = f 1 (x) + Q(x)

 g 1 (x) ≤ 0, 1 ≤ i ≤ m1 ,
i
với điều kiện
 g 1 (x) = 0, m + 1 ≤ i ≤ m .
1
1
i


21

ở đây Q(x) = Eω Q(x, ω) và
Q(x, ω) = min f 2 y(ω), ω

 t2 (x, ω) + g 2 y(ω), ω ≤ 0, 1 ≤ i ≤ m2 ,
i
i
với điều kiện
 t2 (x, ω) + g 2 y(ω), ω = 0, m + 1 ≤ i ≤ m .
2

2
i
i
2.2. Bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên hai giai đoạn có sự
chuyển đổi
Để thuận lợi, trước khi trình bày bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu
nhiên hai giai đoạn có sự chuyển đổi, chúng ta trình bày bài toán quy hoạch
tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn có sự chuyển đổi.
2.2.1. Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn
có sự chuyển đổi cố định
2.2.1.1. Định nghĩa. Giả sử A ⊂ Rm1 ×n1 , W ⊂ Rm2 ×n2 là các ma trận
cố định, T (ω) ⊂ Rm2 ×n1 là ma trận ngẫu nhiên phụ thuộc biến ngẫu nhiên
ω, c ∈ Rn1 , b ∈ Rm1 là các vectơ cố định và q(ω) ∈ Rn2 , h(ω) ∈ Rm2 là các
vectơ ngẫu nhiên phụ thuộc biến ngẫu nhiên ω.
Ký hiệu N := n2 + m2 + (m2 × n1 ). Đặt
ξ T (ω) := q(ω)T , h(ω)T , T1 (ω), ..., Tm2 (ω) ∈ RN ,
trong đó Ti (ω), 1 ≤ i ≤ m2 , là các hàng của ma trận T (ω).
Như đã nêu trong mục 1.4 chương 1, ta có bài toán
min cT x + Eξ min q(ω)T y(ω)



Ax = b



với điều kiện
T (ω)x + W y(ω) = h(ω)





 x ≥ 0, y(ω) ≥ 0.

(2.2.1)


22

Chúng ta gọi bài toán (2.2.1) là bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên
hai giai đoạn có sự chuyển đổi cố định. Ma trận W gọi là ma trận chuyển
đổi (recourse) và ma trận T (ω) gọi là ma trận kỹ thuật (technology).
Lúc này ta có bài toán tương đương
min cT x + Q(x)

 Ax = b
với điều kiện
 x ≥ 0,

(2.2.2)

trong đó
Q(x) := Eξ Q(x, ξ(ω)) ,

(2.2.3)

Q x, ξ(ω) := min q(ω)T y : W y = h(ω) − T (ω)x, y ≥ 0 .
y

Hàm Q(x) được gọi là hàm chuyển đổi hay là hàm giá trị kỳ vọng giai đoạn

hai.
Ký hiệu
K1 := x ∈ Rn1 : Ax = b ,

(2.2.4)

K2 := x ∈ Rn1 : Q(x) < ∞ .
Tập K1 gọi là tập phương án giai đoạn thứ nhất và K2 tương ứng là tập
phương án của giai đoạn thứ hai.
Giả sử Σ ⊂ RN sao cho P {ξ ∈ Σ} = 1. Nếu Σ là hữu hạn, Q(x) là
tổng có trọng số của những giá trị hữu hạn Q(x, ξ). Chúng ta quy ước rằng
nếu xảy ra giá trị ±∞ thì ta xem như +∞ + (−∞) = +∞.
Ta lại ký hiệu
K2 (ξ) := x ∈ Rn1 : Q(x, ξ) < ∞ ,

(2.2.5)

K2P := x ∈ Rn1 : ∀ξ ∈ Σ, ∃y ≥ 0 sao cho W y = T x =

K2 (ξ).
ξ∈Σ


23

Các tập trong (2.2.5) gọi là tập phương án cơ sở của giai đoạn thứ hai và
là thể hiện có thể giải thích về tập phương án ở giai đoạn thứ hai.
Bài toán quy hoạch (2.2.1) được gọi là:
- có sự chuyển đổi hoàn chỉnh tương đối nếu K1 ⊂ K2 ,
- có sự chuyển đổi hoàn chỉnh nếu với mọi z ∈ Rm2 thì tồn tại y ≥ 0 sao

cho W y = z,
- có sự chuyển đổi đơn giản nếu ma trận chuyển đổi W có dạng W =
[I − I].
Trong trường hợp chuyển đổi đơn giản, chúng ta phân chia y và q thành
hai nhóm tọa độ dạng y = (y + , y − ) và q = (q + , q − ). Do vậy, giá trị tối
ưu yi+ (ω), yi− (ω) chỉ phụ thuộc vào dấu của hi (ω) − Ti (ω)x cho thấy
qi = qi+ + qi− ≥ 0 với xác suất bằng 1. Ngoài ra, nếu hi có phân phối liên
quan tới hàm Fi và có giá trị trung bình là h thì ta có thể viết
Qi (x) = qi+ hi − qi+ − qi Fi (Ti x) Ti x − qi

hi dFi (hi ).

(2.2.6)

hi ≤Ti x

2.2.1.2. Định lý. (Đặc trưng của tập phương án giai đoạn hai)
(i) Với mỗi ξ, tập phương án cơ sở K2 (ξ) là một đa diện lồi, đóng và
K2P là tập lồi, đóng.
(ii) Nếu Σ là hữu hạn thì K2P = K2 .
Chứng minh. Kết quả (i) là hiển nhiên.
Để chứng minh (ii), trước hết ta giả sử rằng x ∈ K2 . Khi đó Q(x) là
bị chặn trên. Do đó Q(x, ξ) là bị chặn trên với mỗi ξ, điều đó cho thấy
x ∈ K2 (ξ) với mọi ξ. Từ đó suy ra x ∈ K2P .
Ngược lại, giả sử x ∈ K2P . Khi đó Q(x, ξ) là bị chặn trên. Từ đó suy ra
x ∈ K2 .
Định lý chứng minh xong.
2.2.1.3. Định lý. (Tính chất của hàm giá trị giai đoạn hai) Giả sử
Q(x, ξ) > −∞. Khi đó ta có

24

(i) Q(x, ξ) là hàm tuyến tính từng khúc và lồi theo x, với (h, T ) cố định.
(ii) Q(x, ξ) là hàm tuyến tính từng khúc và lồi theo z = W y, với q cố
định.
(iii) Q(x, ξ) là hàm tuyến tính từng khúc và lồi theo x với mọi x ∈
K1 ∩ K2 .
Chứng minh. Tính tuyến tính từng khúc trong (i)-(iii) đã được chỉ ra
trong [7].
Để chứng minh tính lồi theo x với (h, T ) cố định, ta chứng minh hàm
g(z) := min q T y : W y = z
là lồi theo z.
Với mỗi λ ∈ [0; 1] và z1 , z2 , (z1 = z2 ), ta đặt z(λ) := λz1 + (1 − λ)z2 và
ký hiệu yi∗ , 1 ≤ i ≤ 2 là phương án tối ưu của bài toán cực tiểu thứ tự tại
z = z1 , z = z2 . Khi đó y ∗ (λ) := λy1∗ + (1 − λ)y2∗ là một phương án đối với
z = z(λ). Nếu yλ∗ là phương án tối ưu tương ứng thì ta có
g z(λ) := q T yλ∗ ≤ q T y ∗ (λ) =
:= λq T y1∗ + (1 − λ)q T y2∗ = λg(z1 ) + (1 − λ)g(z2 ).
Việc chứng minh tính lồi theo q là tương tự.
2.2.1.4. Định lý. (Điều kiện tối ưu) Giả sử bài toán (2.2.2) có giá trị
tối ưu hữu hạn. Một nghiệm x∗ ∈ K1 là phương án tối ưu của (2.2.2) nếu
và chỉ nếu tồn tại λ∗ ∈ Rm1 , µ∗ ∈ Rn+1 , (µ∗ )T x∗ = 0 sao cho
−c + AT λ∗ + µ∗ ∈ ∂Q(x∗ ),

(2.2.7)

ở đây ∂Q(x) ký hiệu cho đạo hàm riêng của hàm Q(x).
Chứng minh. Như chúng ta đã biết trong [2], bài toán
min{J(x) := cT x + Q(x) : Ax = b, x ≥ 0}

là bài toán quy hoạch lồi với tập phương án lồi, đóng. Đồng thời nó tương


25

đương với bài toán
min

max

x∈Rn1 λ∈Rm1 , µ∈Rn+1

L(x, λ, µ),

(2.2.8)

trong đó L(x, λ, µ) là hàm Lagrange cho bởi
L(x, λ, µ) := J(x) − λT (Ax − b) − µT x.
Theo điều kiện tối ưu của x∗ của bài toán (2.2.8) là tồn tại λ∗ , µ∗ ≥ 0 sao
cho
0 ∈ ∂L(x∗ , λ∗ , µ∗ ).
Theo xác định vi phân của hàm Lagrange thì
∂L(x∗ , λ∗ , µ∗ ) = c + ∂Q(x∗ ) − AT λ∗ − µ∗ .
Từ đó suy ra điều cần chứng minh của định lý.
2.2.1.5. Định lý. (Sự phân tích đạo hàm riêng của hàm chuyển đổi)
Với x ∈ K ta có
∂Q(x) = Eξ ∂Q x, ξ(ω) + N (K2 , x),

(2.2.9)

N (K2 , x) = v ∈ Rn1 : v T y ≤ 0, ∀y sao cho x + y ∈ K2 ,
trong đó N (K2 , x) là nón chuẩn (nón pháp tuyến - xem [2], mục 1.1 chương
1) của tập phương án K2 giai đoạn hai.
Chứng minh. Tính toán trực tiếp ∂Q(x) hàm lồi ngẫu nhiên thể hiện
qua kỳ vọng toán học người ta nhận được
∂Q(x) = Eξ ∂Q x, ξ(ω) + rec ∂Q(x)
ở đây rec ∂Q(x) là nón suy thoái của vi phân, tức là
rec ∂Q(x) = v ∈ Rn1 : u + λv ∈ ∂Q(x), λ ≥ 0, u ∈ ∂Q(x) .
Chúng ta có thể viết lại như sau:
rec ∂Q(x) = v ∈ Rn1 : y T (u + λv) + Q(x) ≤ Q(x + y), λ ≥ 0, y ∈ Rn1 .