C12 - Ứng Dụng Tích Phân Tính Thể Tích.pdf

GROUP FACEBOOK

150

Thầy Đỗ Văn Đức – Website: />
C12 - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH

iL
Ta
e:
ag

Thể tích khi quay miền D giới hạn bởi y=f(x), y=0, x=a, x=b quanh trục hồnh
1.
Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y =
− x 2 + 2 x, y =
0. Tính thể tích vật thể trịn
xoay được tạo thành khi quay ( H ) quanh trục hồnh.

2.

Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y = x 2 . ln x , trục hoành và x = e. Tính thể
tích của vật thể trịn xoay được tạo thành khi quay hình ( H ) quanh trục hồnh

3.

Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = x − x 2 ; y =
0. Tính thể tích khối

3π
.

4

B.

K

A.

u

ie

trịn xoay tạo thành khi quay ( H ) quanh trục Ox.

π
6

.

C.

2π
.
3

D.

5π
.
6

Tính thể tích khối trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol ( P ) : y = x 2 và đường

H

4.

a

ho

Thể tích khi quay miền D giới hạn bởi y=f(x), y=g(x), x=a và x=b với
f ( x ) .g ( x ) ≥ 0 ∀x ∈ [ a ; b ]

5.

oc

thẳng d : y = 2 x quay xung quanh trục Ox

Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường x 2 + y − 5 =
0 và x + y − 3 =
0. Tính thể tích

ay

H

của khối trịn xoay được tạo thành khi quay hình ( H ) quanh trục hồnh
Tính thể tích của khối trịn xoay được tạo thành bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng

giới hạn bởi các đường y=
x , y= 2 − x và y = 0.

7.

Tính thể tích của khối trịn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
y=
x 2 − 2 x, y =
4 − x 2 khi nó quay quanh trục hồnh

n

ie

M

6.

x g ( y )=
, y a=
, y b quanh trục tung
Thể tích khi quay miền D giới hạn bởi các đường=
2
Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường
=
y x=
, 8 x y 2 . Tính thể tích của khối trịn

im
iK

xoay tạo thành khi quay hình ( H ) quanh trục tung.
9.

Ph

8.

Tính thể tích của khối trịn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
x=
− y 2 + 5, x =−
3 y quanh trục tung.

bị cắt bởi mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x ( 0 ≤ x ≤ 3) là một
hình chữ nhật có hai kích thước là x và 2 9 − x 2

DANG KY KHOA HOC INBOX PAGE

n

Va

Luyện tập
10. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng=
x 0,=
x 3, biết rằng thiết diện của vật thể


GROUP FACEBOOK

Chương 3 – Nguyên Hàm Tích Phân

A. V = 18.
11.

B. V = 17.

C. V = 16.

D. V = 20.

Cho vật thể B giới ạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x = −2 và x = 2. Biết rằng thiết
diện của vật thể B bị cắt bởi mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x

( −2 ≤ x ≤ 2 ) là một tam giác đều có cạnh 3

4 − x 2 . Thể tích của vật thể B bằng

A. 24 3π .

C. 96.

iL
Ta
e:
ag
12.

151

B. 24 3.

D. 96π .
Nguồn: Sở Sơn La lần 2 – năm 2022

Thể tích vật thể trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số

=
y x ( 4 − x ) và trục hoành quanh trục hoành là

u

B. V =

512π
.
3

C. V =

512π
.
15

D. V =

512π
.
5

Thể tích vật thể trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số

K

13.

512π
.
45

ie

A. V =

− 1) π
4

.

(e
B. V =

6

+ 1) π
4

.

(e

C. V =

6

+ 1) π

H

2

(e
D. V =

.

6

− 1) π
2

.

Thể tích vật thể trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số

oc

14.

6

a

(e
A. V =

ho

x 0,=
x 3 quanh trục hoành là
y = e x , trục hoành và hai đường thẳng=

2

.

B. V =

π
3

.

C. V =

π

5

.

D. V =

π
4

.

Thể tích vật thể trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số

ie

M

15.

π

ay

A. V =

H

1
y = , trục hoành và hai đường thẳng=
x 1,=
x 2 quanh trục hoành là
x

x 0,=

x 2 quanh trục hoành là
y = x , trục hoành và hai đường thẳng=
C. V = 3π .

D. V = 4π .

Thể tích vật thể trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số

y 0,=
y 4 quanh trục tung là
y = x 2 , trục tung và hai đường thẳng=
A. V = 11π .
17.

B. V = 10π .

C. V = 8π .

im
iK

Ph

16.

B. V = 2π .

n

A. V = π .

D. V = 9π .

Thể tích vật thể trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
 23

 23

 23



3
−
π
3.2
−
3
π
9.2
3
12.2
3
π
−


 6.2 − 3  π





 . C. V = 
 .
 . B. V = 
 . D. V = 
A. V = 
5
5
5
5

DANG KY KHOA HOC INBOX PAGE

n

Va

y 1,=
y 2 quanh trục tung là
y = x 3 , trục tung và hai đường thẳng=


GROUP FACEBOOK

152

Thầy Đỗ Văn Đức – Website: />
18.

Thể tích vật thể trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = ln x, trục tung và hai đường thẳng=
y 0,=
y 1 quanh trục tung là

(e

+ 2)π

2

iL
Ta
e:
ag
A. V =

19.

2

.

B. V =

(e

2

− 2)π
2

.

C. V =

(e

− 1) π

2

2

.

D. V =

(e

2

+ 1) π
2

.

Thể tích vật thể trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số

y= 3 − x 2 và đường thẳng y = 1 quanh trục tung là

A. V = 2π .

20.

C. V = 4π .

B. V = 3π .

D. V = 5π .

Thể tích vật thể trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số

B. V =

8π
.
7

C. V =

32π
.
31

D. V =

16π
.

15

Thể tích vật thể trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số

ho

21.

22π
.
21

K

A. V =

u

ie

=
y 2 x − x 2 và trục hoành quanh trục hoành là

y = ln x, trục hoành và đường thẳng x = 2 quanh trục hoành là 2π . ( ln a + b ) với a, b ∈ .
B. a − b =
2.

3
C. a − b = .
2

oc

ay

y = sin x.cos x, trục hoành, trục tung và đường thẳng x =
B. V =

π2
12

.

C. V =

π2

quanh trục hoành là

15

.

ie

20

.

2

D. V =

π2
16

.

n

Thể tích vật thể trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đường cong

2y
, trục hoành và đường thẳng y = 1 quanh trục tung là
y +1
2

3π
.
2

B. V =

2π
.
3

C. V =

π

2

.

im
iK

A. V =

Ph

x=

24.

π2

π

M

A. V =
23.

D. a − b =
3.

Thể tích vật thể trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số

H

22.

H

A. a − b =
1.

a

Giá trị của a − b là

2

D. V =

π

3

.

Thể tích vật thể trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số

8π
.
3

B. V =

10π
.
3

C. V =

7π
.
3

DANG KY KHOA HOC INBOX PAGE

D. V =

11π
.
3

n

A. V =

Va

=
y 2 x − x 2 , trục hoành quanh trục tung là


GROUP FACEBOOK

Chương 3 – Nguyên Hàm Tích Phân

25.

153

Thể tích vật thể trịn xoay tạo thành khi quay hình trịn tâm I ( 2;0 ) , bán kính R = 1 quanh
trục tung là
A. V = 6π 2 .

iL
Ta
e:
ag

B. V = 4π 2 .

26.

C. V = 2π 2 .

D. V = 3π 2 .

Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y 2 = 2 x và x = 4. Khi

quay ( H ) quanh trục Ox ta được khối trịn xoay có thể tích bằng
A. 10π .

B. 16π .

C. 32π .

D. 20π .

ie

Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y =
1 và nhánh nằm bên phải
−3 x + 10, y =

u

27.

hoành là

C. V = 11π .

B. V = 12π .

D. V =

H

25
π.
3

Trên hình vẽ có 3 đường trịn, hai đường trịn nhỏ có đường kính
bằng nhau là AO và BO, AO

= BO
= 4 , đường trịn to có
đường kính là AB. Tính thể tích khối trịn xoay khi quay phần
tơ đậm quanh trục AB

oc

28.

56
π.
5

a

A. V =

ho

K

trục tung của Parabol y = x 2 . Thể tích khối trịn xoay khi quay hình phẳng ( H ) quanh trục

C. V = 64π .

D. V = 70π .

ie

M

B. V = 60π .

ay

H

Cho vật thể như hình vẽ, biết AC
= AD
= 5; BC
= BD
= 2 và AB = 1. Thể tích khối trịn
xoay khi quay vật thể này quanh trục là đường thẳng AB là

n

29.

A. V = 12π .

im
iK

Ph

2

.

B. V =

π
3

.

C. V =

2π
.
3

DANG KY KHOA HOC INBOX PAGE

D. V = π .

n

π

Va

A. V =


GROUP FACEBOOK

154

Thầy Đỗ Văn Đức – Website: />

30.

Gọi V là thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y =
x , y 0 và x = 4 quanh trục Ox. Đường thẳng x= a ( 0 < a < 4 ) cắt đồ thị hàm số
=

iL
Ta
e:
ag

y = x tại M (hình vẽ). Gọi V1 là thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay tam giác

OMH quanh trục Ox. Biết rằng V = 2V1. Khi đó

u

ie
B. a = 2 2.

ho

31.

5
C. a = .
2

K

A. a = 2.

D. a = 3.

Cho hình phẳng ( H ) có dạng như hình vẽ, biết AB ⊥ BC , BC ⊥ CD

a

1
1
=
BC =
DC 4. Thể tích khối trịn xoay khi quay hình
2
3
phẳng ( H ) quanh trục BC là
1280π
.
3

C.

1820π
.
3

D.

1802π

.
3

M

B.

ay

1208π
.
3

H

A.

oc

Cho hình vng ABCD có tâm O, cạnh bằng 1. Ta cắt ra hình phẳng ( H ) từ hình vng

ie

32.

H

AB
và =

n

này là một hình sao 4 cánh đều nhau (phần tơ đậm như hình vẽ) với
1
OM
= ON
= OP
= OQ
= . Thể tích khối trịn xoay khi quay hình phẳng ( H ) quanh trục
4
NQ là

im
iK

Ph

5π
.
72

B. V =

5π
.
24

C. V =

5π

.
96

DANG KY KHOA HOC INBOX PAGE

D. V =

5π
.
48

n

Va

A. V =


GROUP FACEBOOK

Chương 3 – Ngun Hàm Tích Phân

33.

155

Hình vng OABC có cạnh bằng 4 được chia ra làm 2 phần bởi một
nhánh của Parabol có đỉnh là O (như hình vẽ). Gọi ( H ) là phần hình

iL

Ta
e:
ag

phẳng có diện tích lớn hơn. Thể tích của khối trịn xoay khi quay hình
( H ) quanh trục OC (trong hình vẽ) là

34.

A. V =

128π
.
5

B. V =

128π
.
3

C. V =

64π
.
5

D. V =

256π

.
5

u

ie

Cho hình vng ABCD có cạnh bằng 2, bị phân chia làm 2 phần
bởi 1 đường parabol có đỉnh O là trung điểm của CD (như hình
vẽ). Thể tích của khối trịn xoay khi quay hình phẳng phần tơ đậm
(như hình vẽ) quanh trục CD là

D. V =

32
π.
5

H

33
π.
10

67
π.
10

a

C. V =

B. V =

ho

Cho hình vng ABCD có cạnh bằng 2, bị phân chia làm 2 phần
bởi 1 đường parabol có đỉnh O là trung điểm của CD (như hình
vẽ). Thể tích của khối trịn xoay khi quay hình phẳng phần tơ đậm
(như hình vẽ) quanh trục BC là

oc

16
π.
3

C. V = 4π .

D. V = 3π .

M

B. V =

ay

8
A. V = π .
3

H

Cho hình vng có độ dài cạnh bằng 8 và một hình trịn có bán kính bằng 5 được xếp chồng
lên nhau sao cho tâm của hình trịn trùng với tâm của hình vng như hình vẽ. Tính thể tích
V của vật thể trịn xoay tạo thành khi quay mơ hình trên quay trục AB, với AB là 1 đường
kính của hình trịn và là trục đối xứng của hình vng (như hình vẽ).

n

ie

36.

91
π.
10

K

35.

A. V =

im
iK

Ph

520π

.
3

C. V =

530π
.
3

DANG KY KHOA HOC INBOX PAGE

D. V =

500π
.
3

n

B. V =

Va

A. V = 170π .


GROUP FACEBOOK

156

Thầy Đỗ Văn Đức – Website: />
37.

Trong mặt phẳng cho hình vng ABCD cạnh bằng 2 2, phía ngồi hình vng vẽ thêm
bốn nửa đường trịn nhận các cạnh của hình vng làm đường kính (hình vẽ). Thể tích khối
trịn xoay sinh ra bởi hình trên khi quay quanh đường thẳng AC bằng

iL
Ta
e:
ag

V
B.=

16π
+ 2π 2 .
3

V
C. =

8π
+ π 2.
3

V
D.=

64π

+ 8π 2 .
3

u

38.

32π
+ 4π 2 .
3

ie

V
A.=

a

ho

K

Một thùng đựng bia hơi (có dạng như hình vẽ) có đường kính đáy là 30 cm, đường kính lớn
nhất của thân thùng là 40 cm, chiều cao của thùng là 60 cm, cạnh bên hơng của thùng có
hình dạng của một parabol. Thể tích của thùng bia gần nhất với con số nào sau đây? (coi độ
dài của vỏ thùng không đáng kể)

oc

H

ay

H
C. 64 lít.

D. 70 lít.

n

B. 62 lít.

ie

M

A. 60 lít.

im
iK

Ph

n

Va

DANG KY KHOA HOC INBOX PAGE