ứng dụng hàm số giải phương trình và hệ phương trình

GII PHNG
TRÌNH-H PHNG TRÌNH( S DNG O HÀM)

Bài 1: Gii phng trình

13232
122
+++=+
+
x
xx
x
x

Gii:
Ta
có
xxf
xx
++= 32)(
tng trên R, nên phng t
rình tng đng

)1()2( += xff
x
12 +=⇔ x
x

Hàm s
)1(2)( +−= xxg
x

xác
đnh trên R

( )
exxgxg
x
22
//
loglog0)(12ln2)( ≥⇔≥⇒−=
Vy phng trình
có nhiu nht 2 nghim trên
( )
)(loglog;
22
e∞−
v
( )
∞+;)(loglog
22
e

Th trc tip tìm
đc hai nghim là 1;0 == xx
Bài 2: Gii phng trình

1514312log
114312
5
−=
⎟

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−++−−
−−−++−− xxxx
xxxx
Gii :
iu kin
1≥x
.t
0114312 ≥−−−++−−= xxxxt (chng minh)
phng trình tng đng
15)1(log
5
−=+
t
t

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎩
⎨
⎧
=
+=

⇔
−=−
+=
⇔
⎩
⎨
⎧
+=
+=
⇔
ty
t
ty
y
t
y
t
yt
t
y
t
15
(*)55
15
15
15
0=⇔ t

0114312 =−−−++−−⇔ xxxx
52 ≤≤⇔ x

Bài
3: Gii phng trình

324
42442
2
1
−+−= xxxx

Gii :
021224
234
=−+−−⇔ xxxx

Xét
hàm s
12412421224
23/234
+−−=⇒−+−−= xxxyxxxxy
Lp bng bin t
hiên, suy ra hàm s có trc đi xng x =1
Do đó đt
1+= Xx
, ta có phng tr
ình

⎢
⎢
⎣

⎡
+±=
−±=
⇔=+−
1141
1141
058
24
x
x
XX

Bài
4: Gii phng trình

(
)
x
x
x
coscos
4.342)cos1( =++

Gii :
t
11cos ≤≤−= yyx
(
)
yy
y 4.342)1( =++⇔

t
()
1
42
4.4ln.6
)(1
42
4.3
)(
2
/
−
+
=⇒−−
+
=
y
y
y
y
yfyyf

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
1
()
2
/
424.4ln.160)(

yy
yf +=⇔=
ây là phng trì
nh bc hai theo
y
4
, nên có không quá 2 nghim.
Vy theo đnh lý Roolle
phng trình
0)( =yf có không quá
3 nghim.
Ta có
1,
2
1
,0 === yyy
là 3 nghim ca p
hng trình
0)( =yf
Suy ra phng t
rình có nghim
π
π
π
π
π
2
3
2
,

2
,2 kxkxkx +±=+==

Bài
5: Gii phng trình

13
1
24
log
26
26
2
2008
−−=
++
+
xx
x
x
x

Gii :
241
2008
2008
1
24
226
26

2
2
2
4
1
26
+=++⇔=
++
+
+
++
xxx
xx
x
x
xx
vì hàm s
x
xxf 2008.)( = tng trên R
Gii phng trình
013013
326
≥−−⇔=−− uuuxx
phng tr
ình ch có nghim trong (0,2)
t
2
0cos2
π
<<= ttu

2
1
3cos =⇒ t

Suy ra phng t
rình có nghim
9
cos2
π
±=x

Bài
6: Gii phng trình

xx
xx
cossin
2
5
.sin
2
5
.cos
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

Gii :
Cosx = 0 và sinx = 0 không là
nghim . Xét
2
π
k
x ≠

xx
xx
cos
2
5
sin
2
5
cossin
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇔

Xét
hàm s
0,1
2
5
)( ≠<
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= tt
t
tf
t
. Hà
m s
)(tf
nghch bin

Suy ra
π
π
kxxx +=⇔=
4
cossin

Bài
7: Gii phng trình

322
32
54
log)2(
2
2
2
+=
+
++
++ x
x
xx
x
Gii :
k
032 >+x

[]
322log3221)2(log1)2(

2
2
2
2
+++=+++++⇔ xxxx

t
)0(log)(
2
>+= ttttf

Tng t
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
2
Phng tr
ình có nghim
1−=x
Bài
8: Gii phng trình

x
x
xx
20072007
19751975
cos
1
sin
1

cossin −=−

Gii :
x
x
x
x
2007
1975
2007
1975
cos
1
cos
sin
1
sin
−=−

1cos;1sin == xx
không là nghim ca p
hng trình
t hàm s
)1;0()0;1(
1
)(
2007
1975
∪−∈−= t
t

ttf

Ta
có
0
2007
1975)(
2008
1974/
>+=
t
ttf nê
n hàm s tng trên mi khong
)(:)0;1( tft −∈
ch nhn giá tr dng
)(:)1;0(
tft ∈
ch nhn gi
á tr âm
Nên
π
π
kxxxxfxf +=⇔=⇔=
4
cossin)(cos)(sin

Bài
9: Gii phng trình

xxxxxx

4422
cos2cos3sin.sin22cos.
2
cossin.
2
sin −+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ππ

Gii :
()
xxxxxx
442222
cos2cos2coscos22cos.
2
coscos.
2
cos −+−=

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇔
ππ

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−⇔ xxxxxx

224224
cos.
2
coscos2cos2cos.
2
cos2cos22cos
ππ

Xét
hàm s
10.
2
cos2)(
2
≤≤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−= tttttf
π
. )(tf gim
3
cos2cos)(cos)2(cos
2222
π
k
xxxxfxf

=⇔=⇔=
Bài
10: Gii phng trình

[ ]
35)37634(log337634)37634(2
2
2
2329334
2
=+−+++−+−
+−
xxxxxx
xx

Gii :

t
)87(37634
2
≥+−= txxt

)256.256(log256.22.35).2(log.2
3
2
32562833
2
3 ttt
tt ==⇔
Hàm s

).2(log.2)(
3
2
3
tttf
tt
=
đng bin trê
n
[
)
∞+;1

4;3025637634256
2
==⇔=+−⇔=⇔ xxxxt

Bài 11: Gii phng trình

)16cos2cos4(log2cos
2
1
2
1
3
4
2
sin2
−−+=+
⎟

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
xxx
x

Gii :

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
3
t )1
3
1
(2cos ≤<= yxy

)13(log
2
1
2
4
1
−+=+⇔
−
yy
y

t

)1(132)13(log
2
≤−=⇔−= tyyt
t

Ta
có h
ty
y
ty
ty
t
y
+=+⇔
⎩
⎨
⎧
−=
−+=
22
132
122

Xét
hàm s
uug
u
+= 2)(
, hà
m s đng bin trên R

0132)(132 =+−=⇔−=⇔ ttft
tt

Xét
hàm s
132)( +−= ttf
t
, s dng đnh
lý Roll cm phng trình có không quá 3 nghim
Phng trình có nghim
)(31 Ltt ==
,
suy ra phng trình có nghim
π
kx =

Bài
12: Gii phng trình

11
7.4.128343.864
−−
+=−
xxxx

Gii :
t
1
7.2;4;2

−
=−==
xx
cba
03
333
=−++⇔ abccba
00
2
)()()(
)(
222
=++⇔=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+−+−
++⇔ cba
accbba
cba

07.242
1
=+−⇔
−xx

Xét

hàm s
7ln.7.
7
2
4ln.4)(7.242)(
/1 xxxx
xfxf +−=⇒+−=
−

Phng tr
ình
0)(
/
=xf có nghim
duy nht nên theo đnh lí Lagrange phng trình
0)( =xf

không có quá 2
nghim phân bit
Phng trình có nghim
2;1 == xx
Bài
13: Gii phng trình

)32(log)22(log
2
32
2
322
−−=−−

+
+
xxxx

Gii :
iu kin
xvx <−< 31
)32(log)22(log
2
347
2
348
−−=−−⇔
++
xxxx

t
347 +=a
và 32
2
−−= xxt
tt
aa
log)1(log
1
=+⇔
+

t
ty

a
log=

1
1
1
1
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⇔
yy
aa
a
1=⇔ y
l
à nghim duy nht

Phng trình có nghim
34111 +±=x

Bài
14: Gii h phng trình
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
4

()
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=
+=
+=
4loglog
4loglog
4loglog
35
35
35
xz
zy
yx

Gii :
H phng trình không đi qua phép
hoán v vòng quanh
zy
x
==⇒

T đó ta có
(
)
4loglog
35
+= xx , đt xt
5
log=
1
3
1
4
3
5
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟

⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⇔
t
t


Phng tr
ình có đúng 1 ngim
2=t
do hàm s
1
3
1
4
3
5
)( =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
t
t
tf nghch bin
H phng trình có 1 nghim
25=== zyx

Bài
15: Gii h phng trình

()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−+−+
−−=−
−
04122
2
3

22
2
2
2
2
2
1
xyxxyx
xy
y
x
x

Gii :
T phng trình (2)
2
21
1)2(
x
x
yxyx
−
=⇔=+⇔

(1)
22
2
2
21
2

2
1
2
2
21
2
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
−
=
−
⇔
+
−
+
−

xé
t hàm s
0
2
1

2ln2)(
2
2)(
/
>+=⇒+=
tt
tf
t
tf
22
2
2
21
2
1
x
x
x
x −
=
−
⇔

H phng trình có 1 nghim
4
3
,2 −== yx

Bài 16: Gii h phng trình

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+++=++
+
+
=
−
1)2(log2)62(log3
1
1
23
2
2
22
yxyx
y
x
e
xy

Gii :
k
062 >++ yx và 02 >++ yx
(1)
1)1ln(1)1ln(
2222
+++=+++⇔ yyxx

Hàm s
1ln)( >+= ttttf
đng bin trên
);0( ∞+

yxyx ±=⇔+=+⇔ 11
22

.Nu
3;31)6(log)2(
3
−==⇔=−⇔−= yxxyx

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
5
.Nu y
x
=
(2)
uxx 6)1(log2)2(log3
23
=+=+⇔


⎪
⎩
⎪
⎨

⎧
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇔
=+
=+
⇔ 1
9
8
9
1
21
32
3
2
uu
u
u

x
x

Hàm s
uu
ug
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
9
8
9
1
)( nghch
bin trên R, suy ra
1=u là
nghim duy nht
H phng trình có 2 nghim
4

3
,2 −== yx
và

7;7 == yx

Bài
17: Gii h phng trình

()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=++
−=−
+
+
+
2
7
2
3
2
)2(342
2
2

1
2
8
1
2
yx
xy
yx
y
x

Gii :
k
0; ≥yx
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
+=+
⇔
++
+
+
732
43232
1
2

1
2
)4(
1
2
yx
yx
yx
y
x

Hàm s
xxf
x
32)(
1
2
+=
+
đng bin
trên
[
)
∞;0
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨

⎧
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
⇔
=+
=
⇔
=+
=
⇔
5
1
5
4
1
4
)1()(
)4()(

y
x
yx
yx
fyxf
yfxf

Bài
18: Gii h phng trình

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−−=
−−=
−−=
)52coscos8(logcos
)52coscos8(logcos
)52coscos8(logcos
2
2
2
zyz
yxy
xzx

Gii :
⎪

⎩
⎪
⎨
⎧
++=
++=
++=
⇔
4228
4228
4228
2
2
2
ZY
YX
XZ
Z
Y
X

Hàm s
()
422
8
1
)(
2
++= ttf
t

đng bin trê
n
⎥
⎦
⎤
⎜
⎝
⎛
1;
2
1

()
422
8
1
2
++===⇔ XZYX
X

Gii bng đ th
⎢
⎣
⎡
===
===
⇔
)(2
1
lZYX

ZYX

H phng trình có 2 nghim
π
π
π
2;2,2 mzlykx ===
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
6
Bài
19: Gii h phng trình

⎩
⎨
⎧
+=+
+=+
2)(coslog)sin31(log
2)(sinlog)cos31(log
32
32
xy
yx

Gii :
k
0sin;cos ≥yx

)(sinlog)sin31(log)(coslog)cos31(log

3232
yyxx =+=++⇒
Hàm s
tttf
32
log)31(log)( ++=
0
3ln
2
2ln)31(
3
)(
/
>+
+
=⇒
tt
tf đng bin
trên
0>∀t

xy cossin =⇒

Thay vào phng trình (1)
2)(coslog)cos31(log
32
+=+⇒ xx

Lp BBT hàm s
vvvg

32
log)31(log)( −+= vi
(
]
1,0cos ∈= xv phng tr
ình ch có 2 nghim
3
1
cos,1cos == xx

Bài
20: Gii h phng trình

34
22
3
28
21
82
xy y
xy xy y
⎧
−=
⎪
⎨
++=
⎪
⎩

Gii:

H tng đng

( )
33
2
28 (1)
0
( ) 18 2 (2)
yx y
xy
yx y
⎧
−=
⎪
⇒>>
⎨
+=
⎪
⎩

(2)
4
38
x
y
y
⇒=
−
, tha
y vào (1) đc:

3
4
3
38
28
yy
y
y
⎡⎤
⎛⎞
⎢⎥
− −=
⎜⎟
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
(3)
t
0ty=>
, (3) tr thành:
()
3
4
3
22
6 93
4
38
28

3 8 28 0
tt
t ttt
t
⎡⎤
⎛⎞
⎢⎥
− −=⇔− − +=
⎜⎟
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦

Xé
t hàm
()
3
93
4
() 3 8 28
f
tt
t t=− − +
ta có:

()
82
3
4

'(
) 9 9 3 8 28 0, 0
f
tt
t t t=+ −+>∀>

Chng t hàm s f(t
) đng bin trên khong (0;+∞) phng trình f(t) = 0 nu có nghim
trên Khong (0;+∞) thì nghim đó là nghim duy nht. T đó suy ra h phng trình đ cho nu
có nghim (x
0
, y
0
) thì nghim đó là nghim duy nht ca h.
Nu chn x = 2y thì t (1) ta có:
4
4222yy x=⇔= ⇒=
. R rà
ng cp s
(2 2; 2)

tha (2).
Vy h có nghim
duy nht
(2
2; 2)
.

Bài
21: Tìm s nghim ca nm trong khong

)2;0(
π
ca p
hng trình

2
5
)sin10sin12sin8(
246cos2
2
+=+− exxxe
x

Gii :
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
7
0
1
1
t
g'
g
1-
3
6
0
+
_
-5

f
u
0
1
6
t
f'
0
+
_
0
t
10sin
2
≤≤== tyxt
2
5
)10128(
23)1(2
+=+−⇔
−
etxtxte
t

Xét
hàm s
)10128()(
23)1(2
tttexf
t

+−=
−

[
]
)( 2)10128(2)102424()(
)1(2232)1(2/
tgetttttexf
tt
−−
−=+−−+−=⇒
Vi
)112412(2)(522248)(
2/23
+−=⇒−+−= tttgttttg
Lp bng bin t
hiên, suy ra phng trình 0)(
=tg
có nghim duy nht
6
3
10,
−<<= uut

Lp bng bin
thiên hàm s
)(tf
,
suy ra phng trình
0)( =tf
có nghim
duy nht
uvvt <<= 0,

Suy ra phng tr
ình
vx ±=
sin
c
ó 4 nghim phân bit
)2,0(
π
∈x

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
8