Nguyên hàm - Tích Phân - Luyện thi ĐH (Có đáp án chi tiết)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (679.4 KB, 29 trang )
Chuyên đề 8
Nguyên Hàm - Tích Phân
§1. Nguyên Hàm
8.1. Tìm các họ nguyên hàm sau
a)
x
7
+ 4x
3
−
√
x
dx. b)
3
√
x + 1 −
1
√
x
dx. c)
3x
2
+ 1
(2x − 3) dx.
d)
√
x
√
x − 2x
(x + 1) dx. e)
3 sin x +
2
x
dx. f)
3 cos x − 3
x−1
dx.
Lời giải.
a)
x
7
+ 4x
3
−
√
x
dx =
x
7
+ 4x
3
− x
1
2
dx =
x
8
8
+ x
4
−
2x
3
2
3
+ C.
b)
3
√
x + 1 −
1
√
x
dx =
x
1
3
+ 1 − x
−
1
2
dx =
3x
4
3
4
+ x − 2x
1
2
+ C.
c)
3x
2
+ 1
(2x − 3) dx =
6x
3
− 9x
2
+ 2x − 3
dx =
3x
4
2
− 3x
3
+ x
2
− 3x + C.
d)
√
x
√
x − 2x
(x + 1) dx =
x
2
+ x − 2x
5
2
− 2x
3
2
dx =
x
3
3
+
x
2
2
−
4x
7
2
7
−
4x
5
2
5
+ C.
e)
3 sin x +
2
x
dx = −3 cos x + 2 ln |x|+ C.
f)
3 cos x − 3
x−1
dx =
3 cos x −
3
x
3
dx = 3 sin x −
3
x
3 ln 3
+ C.
8.2. Tìm các họ nguyên hàm sau
a)
x +
√
x + 1
3
√
x
dx
b)
x
3
+ 5x
2
− 3x +
√
x
x
√
x
dx.
c)
4
x
+ 1
2
x
dx.
d)
2
x
− 1
e
x
dx. e)
tan
2
xdx. f)
1
sin
2
xcos
2
x
dx.
Lời giải.
a)
x +
√
x + 1
3
√
x
dx =
x
2
3
+ x
1
6
+ x
−
1
3
dx =
3x
5
3
5
+
6x
7
6
7
+
3x
2
3
2
+ C.
b)
x
3
+ 5x
2
− 3x +
√
x
x
√
x
dx =
x
3
2
+ 5x
1
2
− 3x
−
1
2
+
1
x
dx =
2x
5
2
5
+
10x
3
2
3
− 6x
1
2
+ ln |x| + C.
c)
4
x
+ 1
2
x
dx =
2
x
+
1
2
x
dx =
2
x
ln 2
+
1
2
x
ln
1
2
+ C =
2
x
ln 2
−
1
2
x
ln 2
+ C.
d)
2
x
− 1
e
x
dx =
2
e
x
−
1
e
x
dx =
2
e
x
ln
2
e
−
1
e
x
ln
1
e
+ C =
2
x
e
x
(ln 2 − 1)
+
1
e
x
+ C.
e)
tan
2
xdx =
1
cos
2
x
− 1
dx = tan x −x + C.
f)
1
sin
2
xcos
2
x
dx =
sin
2
x + cos
2
x
sin
2
xcos
2
x
dx =
1
cos
2
x
+
1
sin
2
x
dx = tan x −cot x + C.
8.3. Tìm một nguyên hàm F (x) của các hàm số sau
a) f(x) = 2 − x
2
, biết F (2) =
7
3
. b) f(x) = x −
1
x
2
+ 2, biết F (1) = 2.
c) f(x) = (x + 1)(x − 1) + 1, biết F (0) = 1. d) f(x) =
3
√
x + x
3
+ 1, biết F (1) = 2.
1
e) f(x) = ax +
b
x
2
, biết F (−1) = 2, F (1) = 4 và F (2) = 5.
Lời giải.
a) Ta có F (x) là một nguyên hàm của f(x) = 2 − x
2
nên có dạng F (x) =
2 − x
2
dx = 2x −
x
3
3
+ C.
Lại có F (2) =
7
3
⇔ 4 −
8
3
+ C =
7
3
⇔ C = 1. Vậy F (x) = 2x −
x
3
3
+ 1.
b) Ta có F (x) là một nguyên hàm của f (x) = x−
1
x
2
+2 nên có dạng F (x) =
x −
1
x
2
+ 2
dx =
x
2
2
+
1
x
+2x+C.
Lại có F (1) = 2 ⇔
1
2
+ 1 + 2 + C = 2 ⇔ C = −
3
2
. Vậy F (x) =
x
2
2
+
1
x
+ 2x −
3
2
.
c) Ta có F (x) là một nguyên hàm của f(x) = (x + 1)(x − 1) + 1 = x
2
nên có dạng F (x) =
x
2
dx =
x
3
3
+ C.
Lại có F (0) = 1 ⇔ C = 1. Vậy F (x) =
x
3
3
+ 1.
d) Ta có F (x) là một nguyên hàm của f(x) =
3
√
x + x
3
+ 1 nên có dạng F (x) =
f(x)dx =
3x
4
3
4
+
x
4
4
+ x + C.
Lại có F (1) = 2 ⇔
3
4
+
1
4
+ 1 + C = 2 ⇔ C = 0. Vậy F (x) =
3x
4
3
4
+
x
4
4
+ x.
e) Ta có F (x) là một nguyên hàm của f(x) = ax +
b
x
2
nên có dạng F (x) =
ax +
b
x
2
dx =
ax
2
2
−
b
x
+ C.
Lại có
F (−1) = 2
F (1) = 4
F (2) = 5
⇔
1
2
a + b + C = 2
1
2
a − b + C = 4
2a −
1
2
b + C = 5
⇔
a = 1
b = −1
C =
5
2
. Vậy F (x) =
x
2
2
+
1
x
+
5
2
.
8.4. Gọi F (x) là một nguyên hàm của f (x) =
1
x
thỏa F (1) = −1. Tìm x để 2F (x) =
1
F (x) + 1
− 1.
Lời giải. Ta có F (x) là một nguyên hàm của f (x) =
1
x
nên có dạng F (x) =
1
x
dx = ln |x|+ C.
Lại có F (1) = −1 ⇒ C = −1. Do đó F (x) = ln |x|−1.
Khi đó 2F (x) =
1
F (x) + 1
− 1 ⇔ 2(ln |x|−1) =
1
ln |x|
− 1 (∗).
Với điều kiện x = ±1 ta có (∗) ⇔ 2ln
2
|x| − ln |x| − 1 = 0 ⇔
ln |x| = 1
ln |x| = −
1
2
⇔
x = ±e
x = ±
1
√
e
(thỏa mãn).
Vậy x = ±e và x = ±
1
√
e
.
§2. Một Số Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm
8.5. Tìm các họ nguyên hàm sau
a) I =
(3x + 3)
9
dx. b) I =
7
2 − 9x
dx. c) I =
e
3x+1
+ cos 5x
dx.
d) I =
4x − 1
2x + 1
dx. e) I =
sin
2
xdx. f) I =
sin 5x sin xdx.
Lời giải.
a) I =
1
3
(3x + 3)
9
d(3x + 3) =
1
3
(3x + 3)
10
10
+ C =
1
30
(3x + 3)
10
+ C.
b) I = −
1
9
7
2 − 9x
d(2 − 9x) = −
7
9
ln |2 − 9x| + C.
c) I =
e
3x+1
dx +
cos 5xdx =
1
3
e
3x+1
d(3x + 1) +
1
5
cos 5xd (5x) =
1
3
e
3x+1
+
1
5
sin x + C.
d) I =
2 −
3
2x + 1
dx =
2dx −
1
2
3
2x + 1
d(2x + 1) = 2x −
3
2
ln |2x + 1| + C.
e) I =
1 − cos 2x
2
dx =
1
2
−
1
2
cos 2x
dx =
1
2
dx −
1
4
cos 2xd (2x) =
1
2
x −
1
4
sin 2x + C.
f) I =
1
2
(cos 4x − cos 6x) dx =
1
8
cos 4xd (4x) −
1
12
cos 6xd (6x) =
1
8
sin 4x −
1
12
sin 6x + C.
2
Chuyên đề 8. Nguyên Hàm - Tích Phân
8.6. Tìm các họ nguyên hàm sau
a) I =
x(x
2
+ 1)
2012
dx. b) I =
tan xdx. c) I =
e
x
e
x
+ 1
dx.
d) I =
√
1 + ln x
x
dx.
e) I =
cos
5
xdx.
f) I =
x
√
x
2
+ 1
dx.
Lời giải.
a) I =
1
2
(x
2
+ 1)
2012
d(x
2
+ 1) =
1
2
(x
2
+ 1)
2013
2013
+ C =
(x
2
+ 1)
2013
4026
+ C.
b) I =
sin x
cos x
dx = −
1
cos x
d (cos x) = −ln |cos x| + C.
c) I =
1
e
x
+ 1
d (e
x
+ 1) = ln |e
x
+ 1| + C.
d) I =
(1 + ln x)
1
2
d (1 + ln x) =
(1 + ln x)
3
2
3
2
+ C =
2 (1 + ln x)
√
1 + ln x
3
+ C.
e) I =
cos
4
x cos xdx =
1 − sin
2
x
2
d (sin x) = sin x −
2sin
3
x
3
+
sin
5
x
5
+ C.
f) C1: I =
1
2
x
2
+ 1
−
1
2
d
x
2
+ 1
=
1
2
x
2
+ 1
1
2
1
2
+ C =
x
2
+ 1 + C.
C2: I =
d
x
2
+ 1
=
x
2
+ 1 + C.
8.7. Tìm các họ nguyên hàm sau
a) I =
x (x − 1)
2012
dx.
b) I =
x
3
x
2
+ 1
dx.
c) I =
x
5
x
3
+ 1dx.
d) I =
e
2x
√
e
x
+ 1
dx.
e) I =
2 ln x − 1
x ln x
dx.
f) I =
sin
3
x
√
1 + cos xdx.
Lời giải.
a) Đặt u = x −1 ⇒ du = dx. Ta có
I =
(u + 1)u
2012
du =
u
2013
+ u
2012
du
=
u
2014
2014
+
u
2013
2013
+ C =
(x − 1)
2014
2014
+
(x − 1)
2013
2013
+ C
b) Đặt u = x
2
+ 1 ⇒ du = 2xdx. Ta có
I =
x
2
x
x
2
+ 1
dx =
1
2
u − 1
u
du =
1
2
1 −
1
u
du
=
1
2
(u − ln |u|) + C =
1
2
x
2
+ 1
−
1
2
ln
x
2
+ 1
+ C
c) Đặt u =
√
x
3
+ 1 ⇔ u
2
= x
3
+ 1 ⇒ 2udu = 3x
2
dx. Ta có
I =
x
3
x
2
x
3
+ 1dx =
u
2
− 1
u
2u
3
du =
2
3
u
4
− u
2
du
=
2
3
u
5
5
+
u
3
3
+ C =
2
√
x
3
+ 1
5
15
+
2
√
x
3
+ 1
3
9
+ C
d) Đặt u =
√
e
x
+ 1 ⇔ u
2
= e
x
+ 1 ⇒ 2udu = e
x
dx. Ta có
I =
e
x
.e
x
√
e
x
+ 1
dx =
u
2
− 1
u
2udu = 2
u
2
− 1
du
= 2
u
3
3
− u
+ C =
2
√
e
x
+ 1
3
3
− 2
√
e
x
+ 1 + C
e) Đặt u = ln x ⇒ du =
1
x
dx. Ta có
I =
2u − 1
u
du =
2 −
1
u
du
= 2u − ln |u| + C = 2 ln x − ln |ln x| + C
3
f) Đặt u =
√
1 + cos x ⇔ u
2
= 1 + cos x ⇒ 2udu = −sin xdx. Ta có
I =
sin
2
x sin x
√
1 + cos xdx =
1 − cos
2
x
√
1 + cos x sin xdx
= −
1 −
u
2
− 1
2
u.2udu = −
−u
4
+ 2u
2
2u
2
du = 2
u
6
− 2u
4
du
= 2
u
7
7
−
2u
5
5
+ C =
2
√
1 + cos x
7
7
−
4
√
1 + cos x
5
5
+ C
8.8. Tìm các họ nguyên hàm sau
a) I =
(x − 1) e
x
dx. b) I =
x cos xdx. c) I =
x
2
ln xdx.
d) I =
ln (2x + 1) dx. e) I =
x
2
e
2x−1
dx. f) I =
e
x
sin xdx.
Lời giải.
a) Đặt
u = x −1
dv = e
x
dx
⇒
du = dx
v = e
x
. Ta có
I = (x − 1)e
x
−
e
x
dx = (x −1)e
x
− e
x
+ C = (x − 2)e
x
+ C
b) Đặt
u = x
dv = cos xdx
⇒
du = dx
v = sin x
. Ta có
I = x sin x −
sin xdx = x sin x + cos x + C
c) Đặt
u = ln x
dv = x
2
dx
⇒
du =
1
x
dx
v =
x
3
3
. Ta có
I =
x
3
3
ln x −
x
3
3
1
x
dx =
x
3
3
ln x −
1
3
x
2
dx =
x
3
3
ln x −
x
3
9
+ C
d) Đặt
u = ln(2x + 1)
dv = dx
⇒
du =
2
2x+1
dx
v = x
. Ta có
I = x ln(2x + 1) −
2x
2x + 1
dx =
1 −
1
2x + 1
dx = x −
1
2
ln |2x + 1| + C
e) Đặt
u = x
2
dv = e
2x−1
dx
⇒
du = 2xdx
v =
1
2
e
2x−1
. Ta có
I =
1
2
x
2
e
2x−1
−
xe
2x−1
dx =
1
2
x
2
e
2x−1
− I
1
Đặt
u = x
dv = e
2x−1
dx
⇒
du = dx
v =
1
2
e
2x−1
. Ta có
I
1
=
1
2
xe
2x−1
−
1
2
e
2x−1
dx =
1
2
xe
2x−1
−
1
4
e
2x−1
+ C
Vậy I =
1
2
x
2
e
2x−1
−
1
2
xe
2x−1
−
1
4
e
2x−1
+ C =
1
4
2x
2
− 2x + 1
e
2x−1
+ C.
f) Đặt
u = e
x
dv = sin xdx
⇒
du = e
x
dx
v = −cos x
. Ta có
I = −e
x
cos x +
e
x
cos xdx = −e
x
cos x + I
1
Lại đặt
u = e
x
dv = cos xdx
⇒
du = e
x
dx
v = sin x
. Ta có
I
1
= e
x
sin x −
e
x
sin xdx = e
x
sin x − I
Vậy I = −e
x
cos x + e
x
sin x − I ⇔ I =
1
2
e
x
(sin x − cos x) + C.
4
Chuyên đề 8. Nguyên Hàm - Tích Phân
§3. Tích Phân
8.9. Tính các tích phân sau
a) I =
1
0
5x
4
dx.
b) I =
e
1
dx
x
.
c) I =
π
6
0
cos 3xdx.
d) I =
ln 2
0
e
−x
dx.
e) I =
1
1
2
(2x − 1)
2012
dx.
f) I =
1
−1
√
5 − 4xdx.
Lời giải.
a) I = x
5
1
0
= 1.
b) I = ln |x||
e
1
= ln e − ln 1 = 1.
c) I =
1
3
sin 3x
π
6
0
=
1
3
sin
π
2
−
1
3
sin 0 =
1
3
.
d) I = −e
−x
ln 2
0
= −
e
− ln 2
− e
0
=
1
2
.
e) I =
1
2
(2x − 1)
2013
2013
1
1
2
=
1
4026
.
f) I =
1
−1
(5 − 4x)
1
2
dx = −
1
4
(5 − 4x)
3
2
3
2
1
−1
=
13
3
.
8.10. Tính các tích phân sau
a) I =
1
0
e
2−5x
dx.
b) I =
π
6
0
sin
2x +
π
6
dx. c) I =
π
6
0
1
cos
2
2x
dx.
d) I =
1
0
(−2x + 1)
7
dx. e) I =
2
1
3
√
3x + 2dx.
f) I =
0
−1
4
(3 − 5x)
3
dx.
Lời giải.
a) I = −
1
5
1
0
e
2−5x
d (2 − 5x) = −
1
5
e
2−5x
1
0
=
e
2
− e
−3
5
.
b) I =
1
2
π
6
0
sin
2x +
π
6
d
2x +
π
6
= −
1
2
cos
2x +
π
6
π
6
0
=
√
3
4
.
c) I =
1
2
π
6
0
1
cos
2
2x
d (2x) =
1
2
tan 2x
π
6
0
=
√
3
2
.
d) I = −
1
2
1
0
(−2x + 1)
7
d (−2x + 1) = −
(−2x + 1)
8
16
1
0
= 0.
e) I =
2
1
(3x + 2)
1
3
dx =
3(3x + 2)
4
3
4
2
1
= 12 −
3
3
√
625
4
.
f) I = 4
0
−1
(3 − 5x)
−3
dx = −2(3 − 5x)
−2
0
−1
=
11
288
.
8.11. Tính các tích phân sau
a) I =
2
1
6x
2
− 4x + 1
dx.
b) I =
ln 2
0
(e
x
+ 2x) dx.
c) (CĐ-2010) I =
1
0
2x − 1
x + 1
dx.
d) I =
π
8
0
cos
2
2xdx. e) I =
π
4
0
2cos
2
x + 1
1 − sin
2
x
dx.
f) I =
3
2
1
√
x + 1 −
√
x − 1
dx.
Lời giải.
a) I =
2x
3
− 2x
2
+ x
2
1
= 9.
b) I =
e
x
+ x
2
ln 2
0
= 1 + ln
2
2.
c) I =
1
0
2 −
3
x + 1
dx = (2x − 3 ln |x + 1|)|
1
0
= 2 − 3 ln 2.
5
d) I =
1
2
π
8
0
(1 + cos 4x) dx =
1
2
x +
1
4
sin 4x
π
8
0
=
π + 2
16
.
e) I =
π
4
0
2cos
2
x + 1
cos
2
x
dx =
π
4
0
2 +
1
cos
2
x
dx = (2x + tan x)|
π
4
0
=
π + 2
2
.
f) I =
3
2
√
x + 1 +
√
x − 1
dx =
3
2
(x + 1)
1
2
+ (x − 1)
1
2
dx
=
2
3
(x + 1)
3
2
+ (x − 1)
3
2
3
2
=
7 − 3
√
3 + 2
√
2
3
.
Tổng quát 8.1. I =
1
√
ax + b ±
√
ax + c
dx. Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
8.12. Tính các tích phân sau
a) I =
4
1
2x +
√
x
dx. b) I =
4
2
x +
1
x
2
dx.
c) I =
π
2
0
1 + sin
x
2
cos
x
2
dx.
d) I =
π
2
0
cos 3x cos xdx.
e) I =
1
0
x
2
− 3x + 3
x − 2
dx. f) I =
1
0
x(x − 1)
2009
dx.
Lời giải.
a) I =
4
1
2x + x
1
2
dx =
x
2
+
2x
3
2
3
4
1
=
59
3
.
b) I =
4
2
x
2
+ 2 +
1
x
2
dx =
x
3
3
+ 2x −
1
x
4
2
=
275
12
.
c) I =
π
2
0
cos
x
2
+
1
2
sin x
dx =
2 sin
x
2
−
1
2
cos x
π
2
0
=
1
2
+
√
2.
d) I =
1
2
π
2
0
(cos 2x + cos 4x) dx =
1
4
sin 2x +
1
8
sin 4x
π
2
0
= 0.
e) I =
1
0
x − 1 +
1
x − 2
dx =
x
2
2
− x + ln |x − 2|
1
0
= e −
1
2
− ln 2.
f) I =
1
0
(x − 1 + 1) (x − 1)
2009
dx =
1
0
(x − 1)
2010
+ (x − 1)
2009
dx =
(x − 1)
2011
2011
+
(x − 1)
2010
2010
1
0
= −
1
4042110
.
8.13. Tính các tích phân sau
a) I =
2
−2
|x − 1|dx.
b) I =
4
0
|3 − x|dx. c) (D-03) I =
2
0
x
2
− x
dx.
d) I =
2
0
x
2
− 3x + 2
dx.
e) I =
2
−2
|2x − |x + 1||dx. f) I =
3
−2
(|x + 1| + |x − 2|) dx.
g) I =
3
0
x
2
− 4x + 4 − 1
dx. h) I =
2π
0
√
1 − cos 2xdx. i) (BĐT-103) I =
2π
0
√
1 + sin xdx.
Lời giải.
a) I =
1
−2
|x − 1|dx +
2
1
|x − 1|dx =
1
−2
(1 − x) dx +
2
1
(x − 1) dx
=
x −
1
2
x
2
1
−2
+
1
2
x
2
− x
2
1
=
9
2
+
1
2
= 5.
6
Chuyên đề 8. Nguyên Hàm - Tích Phân
b) I =
3
0
|3 − x|dx +
4
3
|3 − x|dx =
3
0
(3 − x) dx +
4
3
(−3 + x) dx
=
3x −
x
2
2
3
0
+
−3x +
x
2
2
4
3
=
9
2
+
1
2
= 5.
c) I =
1
0
x
2
− x
dx +
2
1
x
2
− x
dx =
1
0
x − x
2
dx +
2
1
x
2
− x
dx
=
1
2
x −
1
3
x
3
1
0
+
1
3
x
3
−
1
2
x
2
1
=
1
6
+
5
6
= 1.
d) I =
1
0
x
2
− 3x + 2
dx +
2
1
x
2
− 3x + 2
dx =
1
0
x
2
− 3x + 2
dx +
2
1
−x
2
+ 3x − 2
dx
=
x
3
3
−
3x
2
2
+ 2x
1
0
+
−
x
3
3
+
3x
2
2
− 2x
2
1
=
5
6
+
1
6
= 1.
e) I =
−1
−2
|2x + x + 1|dx +
2
−1
|2x − x − 1|dx =
−1
−2
|3x + 1|dx +
1
−1
|x − 1|dx +
2
1
|x − 1|dx
=
−1
−2
(−3x − 1) dx +
1
−1
(1 − x) dx +
2
1
(x − 1) dx
=
−
3x
2
2
− x
−1
−2
+
x −
1
2
x
2
1
−1
+
1
2
x
2
− x
2
1
=
7
2
+ 2 +
1
2
= 6.
f) I =
3
−2
|x + 1|dx +
3
−2
|x − 2|dx =
−1
−2
|x + 1|dx +
3
−1
|x + 1|dx +
2
−2
|x − 2|dx +
3
2
|x − 2|dx
=
−1
−2
(−x − 1) dx +
3
−1
(x + 1) dx +
2
−2
(−x + 2) dx +
3
2
(x − 2) dx
=
−
x
2
2
− x
−1
−2
+
x
2
2
+ x
3
−1
+
−
x
2
2
+ 2x
2
−2
+
x
2
2
− 2x
3
2
=
1
2
+ 8 + 8 +
1
2
= 17.
g) I =
3
0
||x − 2| − 1|dx =
2
0
||x − 2| − 1|dx +
3
2
||x − 2| − 1|dx
=
2
0
|−x + 1|dx +
3
2
|x − 3|dx =
1
0
|−x + 1|dx +
2
1
|−x + 1|dx +
3
2
|x − 3|dx
=
1
0
(−x + 1) dx +
2
1
(x − 1) dx +
3
2
(−x + 3) dx
=
−
x
2
2
+ x
1
0
+
x
2
2
− x
2
1
+
−
x
2
2
+ 3x
3
2
=
1
2
+
1
2
+
1
2
=
3
2
.
h) I =
√
2
2π
0
|sin x|dx =
√
2
π
0
|sin x|dx +
√
2
2π
π
|sin x|dx =
√
2
π
0
sin xdx +
√
2
2π
π
−sin xdx
= −
√
2 cos x
π
0
+
√
2 cos x
2π
π
=
√
2 +
√
2 +
√
2 +
√
2 = 4
√
2.
i) I =
2π
0
sin
x
2
+ cos
x
2
dx =
√
2
2π
0
sin
x
2
+
π
4
dx =
√
2
3π
2
0
sin
x
2
+
π
4
dx +
√
2
2π
3π
2
sin
x
2
+
π
4
dx
=
√
2
3π
2
0
sin
x
2
+
π
4
dx +
√
2
2π
3π
2
−sin
x
2
+
π
4
dx = −2
√
2 cos
x
2
+
π
4
3π
2
0
+ 2
√
2 cos
x
2
+
π
4
2π
3π
2
= 4
√
2.
7
§4. Một Số Phương Pháp Tính Tích Phân
8.14. Tính các tích phân sau
a) I =
5
3
1
(x − 2) (x + 1)
dx. b) I =
1
0
5x − 13
x
2
− 5x + 6
dx. c) I =
3
2
x
4
x
2
− 1
dx.
d) (DB-07) I =
1
0
x (x − 1)
x
2
− 4
dx. e) I =
1
0
3x − 1
x
2
+ 6x + 9
dx. f) (B-2012) I =
1
0
x
3
x
4
+ 3x
2
+ 2
dx.
Lời giải.
a) C1: (Phương pháp đồng nhất hệ số)
Ta có
1
(x − 2) (x + 1)
=
A
x − 2
+
B
x + 1
=
A (x + 1) + B (x − 2)
(x − 2) (x + 1)
=
(A + B) x + A −2B
(x − 2) (x + 1)
.
Đồng nhất hệ số được
A + B = 0
A − 2B = 1
⇔
A =
1
3
B = −
1
3
. Khi đó
I =
1
3
5
3
1
x − 2
dx −
1
3
5
3
1
x + 1
dx =
1
3
(ln |x − 2| − ln |x + 1|)
5
3
=
1
3
ln 2
C2: (Phương pháp trị số riêng)
Ta có
1
(x − 2) (x + 1)
=
A
x − 2
+
B
x + 1
=
A (x + 1) + B (x − 2)
(x − 2) (x + 1)
⇒ 1 = A (x + 1) + B (x −2).
Cho x = 2 được A =
1
3
; cho x = −1 được B = −
1
3
. Khi đó
I =
1
3
5
3
1
x − 2
dx −
1
3
5
3
1
x + 1
dx =
1
3
(ln |x − 2| − ln |x + 1|)
5
3
=
1
3
ln 2
C3: (Kỹ thuật thêm bớt hay còn gọi là kỹ thuật nhảy tầng lầu)
I =
1
3
5
3
(x + 1) − (x − 2)
(x − 2) (x + 1)
dx =
1
3
5
3
1
x − 2
−
1
x + 1
dx
=
1
3
(ln |x − 2| − ln |x + 1|)
5
3
=
1
3
ln 2
b) Ta có
5x − 13
x
2
− 5x + 6
=
5x − 13
(x − 3)(x − 2)
=
A
x − 3
+
B
x − 2
=
(A + B) x −2A −3B
(x − 3)(x − 2)
.
Đồng nhất hệ số được
A + B = 5
−2A − 3B = −13
⇔
A = 2
B = 3
. Khi đó
I = 2
1
0
1
x − 3
dx + 3
1
0
1
x − 2
dx = 2 ln |x − 3||
1
0
+ 3 ln |x − 2||
1
0
= −ln 18
c) Ta có I =
3
2
x
2
+ 1 +
1
x
2
− 1
dx =
x
3
3
+ x
3
2
+
3
2
1
x
2
− 1
dx =
22
3
+
3
2
1
x
2
− 1
dx.
Lại có
1
x
2
− 1
=
1
(x − 1)(x + 1)
=
A
x − 1
+
B
x + 1
=
(A + B) x + A −B
(x − 1)(x + 1)
.
Đồng nhất hệ số được
A + B = 0
A − B = 1
⇔
A =
1
2
B = −
1
2
. Khi đó
I =
22
3
+
1
2
3
2
1
x − 1
dx −
1
2
3
2
1
x + 1
dx =
22
3
+
1
2
(ln |x − 1| − ln |x + 1|)
3
2
=
22
3
+
1
2
ln
3
2
d) Ta có I =
1
0
x
2
− x
x
2
− 4
dx =
1
0
1 +
−x + 4
x
2
− 4
dx = x|
1
0
+
1
0
−x + 4
x
2
− 4
dx = 1 +
1
0
−x + 4
x
2
− 4
dx.
8
Chuyên đề 8. Nguyên Hàm - Tích Phân
Lại có
−x + 4
x
2
− 4
=
−x + 4
(x − 2)(x + 2)
=
A
x − 2
+
B
x + 2
=
(A + B)x + 2A −2B
x
2
− 4
.
Đồng nhất hệ số được
A + B = −1
2A − 2B = 4
⇔
A =
1
2
B = −
3
2
. Khi đó
I = 1 +
1
2
1
0
1
x − 2
dx −
3
2
1
0
1
x + 2
dx = 1 +
1
2
ln |x − 2|
1
0
−
3
2
ln |x + 2|
1
0
= 1 + ln 2 −
3
2
ln 3
e) Ta có
3x − 1
x
2
+ 6x + 9
=
3x − 1
(x + 3)
2
=
A
x + 3
+
B
(x + 3)
2
=
A(x + 3) + B
(x + 3)
2
=
Ax + 3A + B
(x + 3)
2
.
Đồng nhất hệ số được
A = 3
3A + B = −1
⇔
A = 3
B = −10
. Khi đó
I = 3
1
0
1
x + 3
dx − 10
1
0
1
(x + 3)
2
dx = 3 ln |x + 3||
1
0
+
10
x + 3
1
0
= 3 ln
4
3
−
5
6
f) Ta có I =
1
2
1
0
x
2
(x
2
+ 1) (x
2
+ 2)
dx
2
.
Lại có:
x
2
(x
2
+ 1) (x
2
+ 2)
=
A
x
2
+ 1
+
B
x
2
+ 2
=
(A + B)x
2
+ 2A + B
(x
2
+ 1) (x
2
+ 2)
.
Đồng nhất hệ số được
A + B = 1
2A + B = 0
⇔
A = −1
B = 2
. Khi đó
I = −
1
2
1
0
1
x
2
+ 1
dx
2
+
1
0
1
x
2
+ 2
dx
2
= −
1
2
ln
x
2
+ 1
1
0
+ ln
x
2
+ 2
1
0
= ln 3 −
3
2
ln 2
8.15. Tính các tích phân sau
a) I =
0
−1
3x
2
+ 3x + 3
x
3
− 3x + 2
dx.
b) I =
2
1
x
2
− 3x + 2
x (x
2
+ 2x + 1)
dx. c) I =
1
0
4x − 2
(x + 2)(x
2
+ 1)
dx.
d) I =
√
3
1
1
x + x
3
dx.
e) I =
2
1
1 − x
4
x + x
5
dx. f) I =
1
0
1
(x
2
+ 3x + 2)
2
dx.
Lời giải.
a) Ta có
3x
2
+ 3x + 3
x
3
− 3x + 2
=
3x
2
+ 3x + 3
(x − 1)
2
(x + 2)
=
A
x − 1
+
B
(x − 1)
2
+
C
x + 2
=
A (x − 1) (x + 2) + B(x + 2) + C(x −1)
2
(x − 1)
2
(x + 2)
=
(A + C)x
2
+ (A + B −2C)x −2A + 2B + C
(x − 1)
2
(x + 2)
Đồng nhất hệ số được
A + C = 3
A + B −2C = 3
−2A + 2B + C = 3
⇔
A = 2
B = 3
C = 1
. Khi đó
I =
0
−1
2
x − 1
dx +
0
−1
3
(x − 1)
2
dx +
0
−1
1
x + 2
dx = 2 ln |x − 1||
0
−1
−
3
x − 1
0
−1
+ ln |x + 2||
0
−1
=
3
2
− ln 2
b) Ta có
x
2
− 3x + 2
x (x
2
+ 2x + 1)
=
x
2
− 3x + 2
x(x + 1)
2
=
A
x
+
B
x + 1
+
C
(x + 1)
2
=
A(x + 1)
2
+ Bx(x + 1) + Cx
x(x + 1)
2
=
(A + B)x
2
+ (2A + B + C)x + A
x(x + 1)
2
.
Đồng nhất hệ số được
A + B = 1
2A + B + C = −3
A = 2
⇔
A = 2
B = −1
C = −6
. Khi đó
I = 2
2
1
1
x
dx −
2
1
1
x + 1
dx − 6
2
1
1
(x + 1)
2
dx =
2 ln |x| − ln |x + 1| +
6
x + 1
2
1
= ln
8
3
− 1
9
c) Ta có
4x − 2
(x + 2)(x
2
+ 1)
=
A
x + 2
+
B
x
2
+ 1
+
2Cx
x
2
+ 1
=
A
x
2
+ 1
+ B(x + 2) + 2Cx(x + 2)
(x + 2)(x
2
+ 1)
=
(A + 2C) x
2
+ (B + 4C) x + A + 2B
(x + 2)(x
2
+ 1)
.
Đồng nhất hệ số được
A + 2C = 0
B + 4C = 4
A + 2B = −2
⇔
A = −2
B = 0
C = 1
. Khi đó
I = −2
1
0
1
x + 2
dx +
1
0
2x
x
2
+ 1
dx =
−2 ln |x + 2| + ln
x
2
+ 1
1
0
= ln
8
9
d) I =
√
3
1
1
x + x
3
dx =
√
3
1
1
x (1 + x
2
)
dx =
√
3
1
x
2
+ 1 − x
2
x (1 + x
2
)
dx =
√
3
1
1
x
−
x
1 + x
2
dx
=
ln |x| −
1
2
ln
1 + x
2
√
3
1
=
1
2
ln
3
2
.
e) I =
2
1
1 − x
4
x (1 + x
4
)
dx =
2
1
1 + x
4
− 2x
4
x (1 + x
4
)
dx =
2
1
1
x
dx − 2
2
1
x
3
1 + x
4
dx
=
ln |x| −
1
2
ln
1 + x
4
2
1
=
1
2
ln
8
17
.
f) I =
1
0
1
(x
2
+ 3x + 2)
2
dx =
1
0
(x + 2) − (x + 1)
(x + 1)(x + 2)
2
dx =
1
0
1
x + 1
−
1
x + 2
2
dx
=
1
0
1
(x + 2)
2
+
1
(x + 1)
2
−
2
(x + 1)(x + 2)
dx = −
1
x + 1
1
0
−
1
x + 2
1
0
− 2
1
0
(x + 2) − (x + 1)
(x + 1)(x + 2)
dx
=
2
3
− 2
1
0
1
x + 1
dx −
1
0
1
x + 2
dx
=
2
3
− 2 (ln |x + 1| − ln |x + 2|)|
1
0
=
2
3
+ 2 ln
3
4
.
8.16. Tính các tích phân sau
a) I =
1
0
1
1 + x
2
dx. b) I =
1
0
1
3 + x
2
dx. c) I =
1
0
x
3
x
8
+ 1
dx.
d) I =
1
0
1 − x
2
dx.
e) I =
√
2
2
0
x
2
√
1 − x
2
dx.
f) I =
2
2
√
3
1
x
√
x
2
− 1
dx.
Lời giải.
a) Đặt x = tan t, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒ dx =
1
cos
2
t
dt = (1 + tan
2
t)dt.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t =
π
4
. Ta có
I =
π
4
0
1
1 + tan
2
t
(1 + tan
2
t)dt =
π
4
0
dt = t|
π
4
0
=
π
4
b) Đặt x =
√
3 tan t, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒ dx =
√
3
cos
2
t
dt =
√
3(1 + tan
2
t)dt.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t =
π
6
. Ta có
I =
π
6
0
1
3 + 3tan
2
t
√
3
1 + tan
2
t
dt =
1
√
3
π
6
0
dt =
1
√
3
t|
π
6
0
=
π
6
√
3
c) Đặt x
4
= tan t, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒ 4x
3
dx =
1
cos
2
t
dt = (1 + tan
2
t)dt.
10
Chuyên đề 8. Nguyên Hàm - Tích Phân
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t =
π
4
. Ta có
I =
1
4
π
4
0
1
1 + tan
2
t
(1 + tan
2
t)dt =
1
4
π
4
0
dt =
1
4
t
π
4
0
=
π
16
d) Đặt x = sin t, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒ dx = costdt.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t =
π
2
. Ta có
I =
π
2
0
1 − sin
2
t cos tdt =
π
2
0
cos
2
tdt =
1
2
π
2
0
(1 + cos 2t) dt =
1
2
t +
1
4
sin 2t
π
2
0
=
π
4
e) Đặt x = sin t, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒ dx = costdt.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x =
√
2
2
⇒ t =
π
4
. Ta có
I =
π
4
0
sin
2
t
1 − sin
2
t
cos tdt =
π
4
0
sin
2
tdt =
1
2
π
4
0
(1 − cos 2t) dt =
1
2
t −
1
4
sin 2t
π
4
0
=
π −2
8
f) Đặt x =
1
sin t
, t ∈
−
π
2
;
π
2
\{0} ⇒ dx = −
cos t
sin
2
t
dt.
Đổi cận: x =
2
√
3
⇒ t =
π
3
; x = 2 ⇒ t =
π
6
. Ta có
I =
π
3
π
6
1
1
sin t
1
sin
2
t
− 1
cos t
sin
2
t
dt =
π
3
π
6
dt = t|
π
3
π
6
=
π
6
8.17. Tính các tích phân sau
a) I =
1
0
1
x
2
+ x + 1
dx. b) I =
1
0
2x − x
2
dx.
c) I =
√
2
0
2 + x
2 − x
dx.
d) I =
1
0
x
2
+ x + 2
x
3
+ x
2
+ x + 1
dx. e) I =
2
1
1
x
2
√
1 + x
2
dx.
f) I =
π
−π
sin
2
x
3
x
+ 1
dx.
Lời giải.
a) Ta có I =
1
0
1
x +
1
2
2
+
3
4
dx.
Đặt x +
1
2
=
√
3
2
tan t, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒ dx =
√
3
2
1
cos
2
t
dt =
√
3
2
(1 + tan
2
t)dt.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t =
π
6
; x = 1 ⇒ t =
π
3
. Ta có
I =
π
3
π
6
1
3
4
tan
2
t +
3
4
√
3
2
(1 + tan
2
t)dt =
2
√
3
π
3
π
6
dt =
2
√
3
t
π
3
π
6
=
π
3
√
3
Tổng quát 8.2. I =
1
ax
2
+ bx + c
dx (với ∆ là biệt thức của mẫu)
• Nếu ∆ > 0 thì I =
1
a(x − x
1
)(x − x
2
)
dx.
• Nếu ∆ = 0 thì I =
1
a(x − x
0
)
2
dx.
• Nếu ∆ < 0 thì I =
1
u
2
+ A
2
dx.
11
b) Ta có I =
1
0
1 − (x − 1)
2
dx.
Đặt x − 1 = sin t, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒ dx = cosdt.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = −
π
2
; x = 1 ⇒ t = 0. Ta có
I =
0
−
π
2
1 − sin
2
t cos tdt =
0
−
π
2
cos
2
tdt =
1
2
0
−
π
2
(1 + cos2t) dt =
1
2
t +
1
4
sin 2t
0
−
π
2
=
π
4
Tổng quát 8.3. I =
ax
2
+ bx + cdx =
A
2
− u
2
dx (trong đó a < 0 và ∆ > 0)
c) Ta có I =
√
2
0
2 + x
√
4 − x
2
dx.
Đặt x = 2 sin t, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒ dx = 2cos dt.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x =
√
2 ⇒ t =
π
4
. Ta có
I =
π
4
0
2 + 2 sin t
4 − 4sin
2
t
2 cos tdt = 2
π
4
0
(1 + sin t) dt = (2t − 2 cos t)|
π
4
0
= 2 −
√
2 +
1
2
π
Tổng quát 8.4. I =
a + x
a − x
dx =
a + x
√
a
2
− x
2
dx (a > 0).
d) Ta có I =
1
0
x
2
+ x + 2
x
3
+ x
2
+ x + 1
dx =
1
0
x
2
+ x + 2
x
2
(x + 1) + x + 1
dx =
1
0
x
2
+ 1 + x + 1
(x + 1) (x
2
+ 1)
dx
=
1
0
1
x + 1
+
1
x
2
+ 1
dx = ln |x + 1||
1
0
+
1
0
1
x
2
+ 1
dx = ln 2 +
1
0
1
x
2
+ 1
dx.
Đặt x = tan t, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒ dx =
1
cos
2
t
dt = (1 + tan
2
t)dt.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t =
π
4
. Ta có
I = ln 2 +
π
4
0
1
tan
2
t + 1
(1 + tan
2
t)dt = ln 2 +
π
4
0
dt = ln 2 + t|
π
4
0
= ln 2 +
π
4
e) C1: Đặt x = tan t, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒ dx =
1
cos
2
t
dt.
Đổi cận: x = 1 ⇒ t =
π
4
; x = 2 ⇒ arctan 2. Ta có
I =
arctan 2
π
4
1
tan
2
t
√
1 + tan
2
t
1
cos
2
t
dt =
arctan 2
π
4
cos t
sin
2
t
dt = −
1
sin t
arctan 2
π
4
=
2
√
2 −
√
5
2
C2: Đặt x =
1
t
⇒ dx = −
1
t
2
dt. Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1; x = 2 ⇒ t =
1
2
. Ta có
I =
1
1
2
1
1
t
2
1 +
1
t
2
1
t
2
dt =
1
1
2
t
√
1 + t
2
dt =
1
2
1
1
2
1
√
1 + t
2
d(1 + t
2
) =
1 + t
2
1
1
2
=
2
√
2 −
√
5
2
Tổng quát 8.5. I =
1
(1 + x
n
)
n
√
1 + x
n
dx. Đặt x =
1
t
.
12
Chuyên đề 8. Nguyên Hàm - Tích Phân
f) Đặt x = −t ⇒ dx = −dt. Đổi cận: x = −π ⇒ t = π; x = π ⇒ t = −π. Ta có
I =
π
−π
sin
2
(−t)
3
−t
+ 1
dt =
π
−π
sin
2
t
1
3
t
+ 1
dt =
π
−π
3
t
sin
2
t
1 + 3
t
dt =
π
−π
3
x
sin
2
x
1 + 3
x
dx
Suy ra 2I =
π
−π
sin
2
x
1 + 3
x
+
3
x
sin
2
x
1 + 3
x
dx =
π
−π
sin
2
xdx =
1
2
x −
1
4
sin 2x
π
−π
= π ⇔ I =
π
2
.
Tổng quát 8.6. I =
a
−a
f(x)
b
x
+ 1
dx (trong đó f (x) là hàm chẵn). Đặt x = −t.
8.18. Tính các tích phân sau
a) I =
1
0
x
3
1 + x
4
3
dx. b) I =
1
0
x + 2
x
2
+ 4x + 7
dx. c) (DB-02) I =
1
0
x
3
x
2
+ 1
dx.
d) (BĐT-18) I =
1
0
x
(x + 1)
3
dx. e) I =
1
0
x
5
x
2
+ 1
2011
dx. f) I =
2
1
(2x − 1)
10
(x + 1)
12
dx.
Lời giải.
a) I =
1
4
1
0
1 + x
4
3
d
1 + x
4
=
1
16
1 + x
4
4
1
0
=
15
16
.
b) I =
1
2
1
0
1
x
2
+ 4x + 7
d
x
2
+ 4x + 7
=
1
2
ln
x
2
+ 4x + 7
1
0
=
1
2
ln
12
7
.
c) I =
1
0
x −
x
x
2
+ 1
dx =
1
0
xdx −
1
2
1
0
1
x
2
+ 1
d
x
2
+ 1
=
x
2
2
1
0
−
1
2
ln
x
2
+ 1
1
0
=
1
2
−
1
2
ln 2.
d) Đặt u = x + 1 ⇒ du = dx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1; x = 1 ⇒ u = 2. Ta có
I =
2
1
u − 1
u
3
du =
2
1
1
u
2
−
1
u
3
du =
−
1
u
+
1
2u
2
2
1
=
1
8
e) Ta có I =
1
0
x
4
x
x
2
+ 1
2012
dx.
Đặt u = x
2
+ 1 ⇒ du = 2xdx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1; x = 1 ⇒ u = 2. Ta có
I =
1
2
2
1
(u − 1)
2
u
2012
du =
1
2
2
1
u
2014
− 2u
2013
+ u
2012
du
=
1
2
u
2015
2015
−
2u
2014
2014
+
u
2013
2013
2
1
=
2025079.2
2012
− 1
4084588365
f) Ta có I =
2
1
2x − 1
x + 1
10
.
1
(x + 1)
2
dx.
Đặt u =
2x − 1
x + 1
⇒ du =
3
(x + 1)
2
dx. Đổi cận: x = 1 ⇒ u =
1
2
; x = 2 ⇒ u = 1. Ta có
I =
1
3
1
1
2
u
10
du =
u
11
33
1
1
2
=
2047
67584
Tổng quát 8.7. I =
(ax + b)
n
(cx + d)
n+2
dx =
ax + b
cx + d
n
1
(cx + d)
2
dx. Đặt u =
ax + b
cx + d
.
13
8.19. Tính các tích phân sau
a) (DB-03) I =
1
0
x
3
1 − x
2
dx. b) (D-2011) I =
4
0
4x − 1
√
2x + 1 + 2
dx. c) I =
6
2
1
2x + 1 +
√
4x + 1
dx.
d) (A-03) I =
2
√
3
√
5
1
x
√
x
2
+ 4
dx.
e) I =
64
1
1
√
x +
3
√
x
dx. f) I =
1
0
1
(x + 1) (x + 8)
dx.
Lời giải.
a) Ta có I =
1
0
x
2
x
1 − x
2
dx.
Đặt u =
√
1 − x
2
⇔ u
2
= 1 − x
2
⇒ 2udu = −2xdx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1; x = 1 ⇒ u = 0. Ta có
I =
1
0
1 − u
2
u.udu =
1
0
u
2
− u
4
du =
u
3
3
−
u
5
5
1
0
=
2
15
b) Đặt u =
√
2x + 1 ⇔ u
2
= 2x + 1 ⇒ 2udu = 2dx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1; x = 4 ⇒ u = 3. Ta có
I =
3
1
2
u
2
− 1
− 1
u + 2
udu =
3
1
2u
3
− 3u
u + 2
du =
3
1
2u
2
− 4u + 5 −
10
u + 2
du
=
2u
3
3
− 2u
2
− 10 ln |u + 2|
3
1
=
34
3
+ 10 ln
3
5
c) Đặt u =
√
4x + 1 ⇔ u
2
= 4x + 1 ⇒ udu = 2dx. Đổi cận: x = 2 ⇒ u = 3; x = 6 ⇒ u = 5. Ta có
I =
1
2
5
3
1
u
2
−1
2
+ 1 + u
udu =
5
3
u
u
2
+ 2u + 1
du =
5
3
u + 1 − 1
(u + 1)
2
du
=
5
3
1
u + 1
−
1
(u + 1)
2
du =
ln |u + 1| +
1
u + 1
5
3
= ln
3
2
−
1
12
d) Ta có I =
2
√
3
√
5
x
x
2
√
x
2
+ 4
dx.
Đặt u =
√
x
2
+ 4 ⇔ u
2
= x
2
+ 4 ⇒ udu = xdx. Đổi cận: x =
√
5 ⇒ u = 3; x = 2
√
3 ⇒ u = 4. Ta có
I =
4
3
u
(u
2
− 4) u
du =
4
3
1
(u − 2) (u + 2)
du =
1
4
4
3
(u + 2) − (u − 2)
(u − 2) (u + 2)
du
=
1
4
4
3
1
u − 2
−
1
u + 2
du =
1
4
(ln |u − 2| − ln |u + 2|)
4
3
=
1
4
ln
5
3
e) Đặt u =
6
√
x ⇔ u
6
= x ⇒ 6u
5
du = dx. Đổi cận: x = 1 ⇒ u = 1; x = 64 ⇒ u = 2. Ta có
I =
2
1
1
u
3
+ u
2
6u
5
du = 6
2
1
u
3
u + 1
du = 6
2
1
u
2
− u + 1 −
1
u + 1
du
= 6
u
3
3
−
u
2
2
+ u − ln |u + 1|
2
1
= 11 + 6 ln
2
3
f) Đặt u =
√
x + 1 +
√
x + 8
⇒ du =
1
2
√
x + 1
+
1
2
√
x + 8
dx =
√
x + 1 +
√
x + 8
2
(x + 1)(x + 8)
dx ⇔
2
u
du =
1
(x + 1)(x + 8)
dx.
Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1 + 2
√
2; x = 1 ⇒ u = 3 +
√
2. Ta có
I =
3+
√
2
1+2
√
2
2
u
du = 2 ln |u||
3+
√
2
1+2
√
2
= 2 ln
3 +
√
2
1 + 2
√
2
14
Chuyên đề 8. Nguyên Hàm - Tích Phân
Tổng quát 8.8. I =
1
(ax + b)(ax + c)
dx. Đặt u =
|ax + b| +
|ax + c|.
8.20. Tính các tích phân sau
a) (D-09) I =
3
1
1
e
x
− 1
dx.
b) I =
ln 2
0
1
1 + e
−x
dx.
c) (A-2010) I =
1
0
x
2
+ e
x
+ 2x
2
e
x
1 + 2e
x
dx.
d) (DB-03) I =
ln 5
ln 2
e
2x
√
e
x
− 1
dx. e) I =
ln 5
ln 2
e
x
(10 − e
x
)
√
e
x
− 1
dx.
f) (B-2010) I =
e
1
ln x
x(2 + ln x)
2
dx.
g) I =
e
1
1 + ln
3
x
x
dx.
h) I =
√
e
1
1
x
ln
2
x − 3 ln x + 2
dx.
i) (B-04) I =
e
1
√
1 + 3 ln x. ln x
x
dx.
Lời giải.
a) I =
3
1
e
x
− (e
x
− 1)
e
x
− 1
dx =
3
1
e
x
e
x
− 1
− 1
dx = (ln |e
x
− 1| − x)|
3
1
= ln
e
2
+ e + 1
− 2.
b) I =
ln 2
0
1
1 +
1
e
x
dx =
ln 2
0
e
x
1 + e
x
dx =
ln 2
0
1
1 + e
x
de
x
= ln |1 + e
x
||
ln 2
0
= ln
3
2
.
c) I =
1
0
x
2
(1 + 2e
x
) + e
x
1 + 2e
x
dx =
1
0
x
2
+
e
x
1 + 2e
x
dx =
1
0
x
2
dx +
1
2
1
0
1
1 + 2e
x
d(1 + 2e
x
)
=
x
3
3
1
0
+
1
2
ln |1 + 2e
x
|
1
0
=
1
3
+
1
2
ln
1 + 2e
3
.
d) Ta có I =
ln 5
ln 2
e
x
.e
x
√
e
x
− 1
dx.
Đặt u =
√
e
x
− 1 ⇔ u
2
= e
x
− 1 ⇒ 2udu = e
x
dx. Đổi cận: x = ln 2 ⇒ u = 1; x = ln 5 ⇒ u = 4. Ta có
I =
4
1
u
2
+ 1
u
2udu = 2
4
1
u
2
+ 1
du = 2
u
3
3
+ u
4
1
=
20
3
e) Đặt u =
√
e
x
− 1 ⇔ u
2
= e
x
− 1 ⇒ 2udu = e
x
dx.
Đổi cận: x = ln 2 ⇒ u = 1; x = ln 5 ⇒ u = 2. Ta có
I =
2
1
1
(9 − u)u
2udu =
1
3
2
1
(3 + u) + (3 − u)
(3 + u)(3 − u)
du =
1
3
2
1
1
3 − u
+
1
3 + u
du
=
1
3
(ln |3 + u| − ln |3 − u|)
2
1
=
1
3
ln
5
2
f) Đặt u = 2 + ln x ⇒ du =
1
x
dx. Đổi cận: x = 1 ⇒ u = 2; x = e ⇒ u = 3. Ta có
I =
3
2
u − 2
u
2
du =
3
2
1
u
−
2
u
2
du =
ln |u| +
2
u
3
2
= ln
3
2
−
1
3
g) I =
e
1
1 + ln
3
x
x
dx =
e
1
1 + ln
3
x
d ln x =
ln x +
ln
4
x
4
e
1
=
5
4
.
h) Đặt u = ln x ⇒ du =
1
x
dx. Đổi cận: x = 1 ⇒ u = 0; x =
√
e ⇒ u =
1
2
. Ta có
I =
1
2
0
1
u
2
− 3u + 2
du =
1
2
0
(u − 1) − (u − 2)
(u − 1)(u − 2)
du =
1
2
0
1
u − 2
−
1
u − 1
du
= (ln |u −2|−ln |u −1|)||
1
2
0
= ln
3
2
15
i) Đặt u =
√
1 + 3 ln x ⇔ u
2
= 1 + 3 ln x ⇒ 2udu =
3
x
dx.
Đổi cận: x = 1 ⇒ u = 1; x = e ⇒ u = 2. Ta có
I =
2
1
u
u
2
− 1
3
.
2u
3
du =
2
9
2
1
u
4
− u
2
du =
2
9
u
5
5
−
u
3
3
2
1
=
116
135
8.21. Tính các tích phân sau
a) (D-06) I =
1
0
(x − 2) e
2x
dx. b) (CĐ-09) I =
1
0
e
−2x
+ x
e
x
dx.
c) (D-2012) I =
π
4
0
x (1 + sin 2x) dx.
d) (D-08) I =
2
1
ln x
x
3
dx. e) (D-04) I =
3
2
ln
x
2
− x
dx. f) (A-2012) I =
3
1
1 + ln(x + 1)
x
2
dx.
Lời giải.
a) Đặt
u = x −2
dv = e
2x
dx
⇒
du = dx
v =
1
2
e
2x
dx
. Ta có
I =
1
2
(x − 2)e
2x
1
0
−
1
2
1
0
e
2x
dx = −
e
2
2
+ 1 −
1
4
e
2x
1
0
=
5 − 3e
2
4
b) Ta có I =
1
0
e
−2x
+ x
e
x
dx =
1
0
e
−x
dx +
1
0
xe
x
dx = −e
−x
1
0
+
1
0
xe
x
dx = 1 −
1
e
+
1
0
xe
x
dx.
Đặt
u = x
dv = e
x
dx
⇒
du = dx
v = e
x
. Ta có
I = 1 −
1
e
+ xe
x
|
1
0
−
1
0
e
x
dx = 1 −
1
e
+ e − e
x
|
1
0
= 2 −
1
e
c) Ta có I =
π
4
0
(x + x sin 2x) dx =
x
2
2
π
4
0
+
π
4
0
x sin 2xdx =
π
2
32
+
π
4
0
x sin 2xdx.
Đặt
u = x
dv = sin 2xdx
⇒
du = dx
v = −
1
2
cos 2x
. Ta có
I =
π
2
32
−
x
2
cos 2x
π
4
0
+
1
2
π
4
0
cos 2xdx =
π
2
32
+
1
4
sin 2x
π
4
0
=
π
2
32
+
1
4
d) Đặt
u = ln x
dv =
1
x
3
dx
⇒
du =
1
x
dx
v = −
1
2x
2
. Ta có
I = −
ln x
2x
2
2
1
+
1
2
2
1
1
x
3
dx = −
1
8
ln 2 −
1
4x
2
2
1
=
3
16
−
1
8
ln 2
e) Đặt
u = ln
x
2
− x
dv = dx
⇒
du =
2x−1
x
2
−x
dx
v = x
. Ta có
I = x ln
x
2
− x
3
2
−
3
2
x
2x − 1
x
2
− x
dx = 3 ln 6 −2 ln 2 −
3
2
2x − 1
x − 1
dx
= 3 ln 6 − 2 ln 2 −
3
2
2 +
1
x − 1
dx = 3 ln 6 −2 ln 2 − (2x + ln |x − 1|)|
3
2
= 3 ln 3 − 2
f) Ta có I =
3
1
1
x
2
+
ln(x + 1)
x
2
dx = −
1
x
3
1
+
3
1
ln(x + 1)
x
2
dx =
2
3
+
3
1
ln(x + 1)
x
2
dx.
16
Chuyên đề 8. Nguyên Hàm - Tích Phân
Đặt
u = ln(x + 1)
dv =
1
x
2
dx
⇒
du =
1
x+1
dx
v = −
1
x
. Ta có
I =
2
3
−
ln(x + 1)
x
3
1
+
3
1
1
x(x + 1)
dx =
2
3
−
1
3
ln 4 + ln 2 +
3
1
1
x
−
1
x + 1
dx =
2
3
+ ln 3 −
2
3
ln 2
8.22. Tính các tích phân sau
a) I =
π
4
0
x
1 + cos 2x
dx.
b) (D-2010) I =
e
1
2x −
3
x
ln xdx.
c) I =
0
−1
x
e
2x
+
3
√
x + 1
dx.
d) (B-09) I =
3
1
3 + ln x
(1 + x)
2
dx.
e) I =
ln 3
0
xe
x
√
e
x
+ 1
dx.
f) (B-2011) I =
π
3
0
1 + x sin x
cos
2
x
dx.
Lời giải.
a) Ta có I =
π
4
0
x
2cos
2
x
dx.
Đặt
u = x
dv =
1
2cos
2
x
dx
⇒
du = dx
v =
1
2
tan x
. Ta có
I =
1
2
x tan x
π
4
0
−
1
2
π
4
0
tan xdx =
π
8
−
1
2
π
4
0
sin x
cos x
dx =
π
8
+
1
2
π
4
0
1
cos x
d cos x
=
π
8
+
1
2
ln |cos x|
π
4
0
=
π
8
−
1
4
ln 2
c) Ta có I =
0
−1
x
e
2x
+
3
√
x + 1
dx =
0
−1
xe
2x
dx +
0
−1
x
3
√
x + 1dx = I
1
+ I
2
.
Đặt
u = x
dv = e
2x
dx
⇒
du = dx
v =
1
2
e
2x
. Ta có
I
1
=
1
2
xe
2x
0
−1
−
1
2
0
−1
e
2x
dx =
1
2e
2
−
1
4
e
2x
0
−1
=
3
4e
2
−
1
4
Đặt u =
3
√
x + 1 ⇔ u
3
= x + 1 ⇒ 3u
2
du = dx. Đổi cận: x = −1 ⇒ u = 0; x = 0 ⇒ u = 1. Ta có
I
2
=
1
0
u
3
− 1
u.3u
2
du = 3
1
0
u
6
− u
3
du = 3
u
7
7
−
u
4
4
1
0
= −
9
28
Vậy I = I
1
+ I
2
=
3
4e
2
−
1
4
−
9
28
=
3
4e
2
−
4
7
.
d) Đặt
u = 3 + ln x
dv =
1
(1+x)
2
⇒
du =
1
x
dx
v = −
1
1+x
. Ta có
I = −
3 + ln x
1 + x
3
1
+
3
1
1
x(1 + x)
dx =
3 − ln 3
4
+
3
1
1 + x − x
x(1 + x)
dx =
3 − ln 3
4
+
3
1
1
x
−
1
1 + x
dx
=
3 − ln 3
4
+ (ln |x| − ln |1 + x|)|
3
1
=
1
4
3 + ln
27
16
e) Đặt
u = x
dv =
e
x
√
e
x
+1
⇒
du = dx
v = 2
√
e
x
+ 1
. Ta có
I = 2x
√
e
x
+ 1
ln 3
0
− 2
ln 3
0
√
e
x
+ 1dx = 4 ln 3 −2
ln 3
0
e
x
√
e
x
+ 1
e
x
dx
17
Lại đặt u =
√
e
x
+ 1 ⇔ u
2
= e
x
+ 1 ⇒ 2udu = e
x
dx.
Đổi cận: x = 0 ⇒ u =
√
2; x = ln 3 ⇒ u = 2. Ta có
I = 4 ln 3 − 2
2
√
2
u
u
2
− 1
2udu = 4 ln 3 −4
2
√
2
1 +
1
u
2
− 1
du
= 4 ln 3 − 4t|
2
√
2
− 2
2
√
2
(u + 1) − (u − 1)
(u + 1)(u − 1)
du = 4 ln 3 −8 + 4
√
2 − 2
2
√
2
1
u − 1
−
1
u + 1
du
= 4 ln 3 − 8 + 4
√
2 − 2 (ln |u − 1| − ln |u + 1|)|
2
√
2
= 6 ln 3 − 8 + 4
√
2 + 4 ln
√
2 − 1
f) Ta có I =
π
3
0
1
cos
2
x
dx +
π
3
0
x sin x
cos
2
x
dx = tan x|
π
3
0
+
π
3
0
x sin x
cos
2
x
dx =
√
3 +
π
3
0
x sin x
cos
2
x
dx.
Đặt
u = x
dv =
sin x
cos
2
x
dx
⇒
du = dx
v =
1
cos x
. Ta có
I =
√
3 +
x
cos x
π
3
0
−
π
3
0
1
cos x
dx =
√
3 +
2π
3
−
π
3
0
cos x
cos
2
x
dx =
√
3 +
2π
3
−
π
3
0
1
1 − sin
2
x
d (sin x)
=
√
3 +
2π
3
−
1
2
π
3
0
1 − sin x + 1 + sin x
(1 − sin x)(1 + sin x)
d (sin x) =
√
3 +
2π
3
−
1
2
π
3
0
1
1 + sin x
+
1
1 − sin x
d (sin x)
=
√
3 +
2π
3
−
1
2
(ln |1 + sin x| − ln |1 − sin x|)
π
3
0
=
√
3 +
2π
3
− ln
2 +
√
3
8.23. Tính các tích phân sau
a) I =
ln 2
0
x
2
e
x
dx.
b) (DB-07) I =
π
2
0
x
2
cos xdx.
c) (D-07) I =
e
1
x
3
ln
2
xdx.
d) I =
π
2
0
e
x
cos xdx.
e) (BĐT-37) I =
π
0
e
2x
sin
2
xdx.
f) I =
e
π
1
cos (ln x) dx.
g) (DB-03) I =
1
0
x
3
e
x
2
dx.
h) (DB-04) I =
π
2
0
√
x sin
√
xdx.
i) I =
e
5
e
2
ln x. ln (ln x)
x
dx.
Lời giải.
a) Đặt
u = x
2
dv = e
x
dx
⇒
du = 2xdx
v = e
x
. Ta có
I = x
2
e
x
ln 2
0
−
ln 2
0
e
x
2xdx = 2ln
2
2 −
ln 2
0
2xe
x
dx
Lại đặt
u = 2x
dv = e
x
dx
⇒
du = 2dx
v = e
x
. Ta có
I = 2ln
2
2 − 2xe
x
|
ln 2
0
+
ln 2
0
2e
x
dx = 2ln
2
2 − 4 ln 2 + 2e
x
|
ln 2
0
= 2ln
2
2 − 4 ln 2 + 2
b) Đặt
u = x
2
dv = cos xdx
⇒
du = 2xdx
v = sin x
. Ta có
I = x
2
sin x
π
2
0
−
π
2
0
2x sin xdx =
π
2
4
−
π
2
0
2x sin xdx
18
Chuyên đề 8. Nguyên Hàm - Tích Phân
Lại đặt
u = 2x
dv = sin xdx
⇒
du = 2dx
v = −cos x
. Ta có
I =
π
2
4
+ 2x cos x|
π
2
0
−
π
2
0
2 cos xdx =
π
2
4
− 2 sin x|
π
2
0
=
π
2
4
− 2
c) Đặt
u = ln
2
x
dv = x
3
dx
⇒
du =
2 ln x
x
dx
v =
x
4
4
. Ta có
I =
x
4
4
ln
2
x
e
1
−
e
1
x
4
4
2 ln x
x
dx =
e
4
4
−
1
2
e
1
x
3
ln xdx
Lại đặt
u = ln x
dv = x
3
dx
⇒
du =
1
x
dx
v =
x
4
4
. Ta có
I =
e
4
4
−
1
2
x
4
4
ln x
e
1
−
1
4
e
1
x
3
dx
=
e
4
4
−
1
2
e
4
4
−
x
4
16
e
1
=
5e
4
− 1
32
d) Đặt
u = e
x
dv = cos xdx
⇒
du = e
x
dx
v = sin x
. Ta có
I = e
x
sin x|
π
2
0
−
π
2
0
e
x
sin xdx = e
π
2
−
π
2
0
e
x
sin xdx
Lại đặt
u = e
x
dv = sin xdx
⇒
du = e
x
dx
v = −cos x
. Ta có
I = e
π
2
−
−e
x
cos x|
π
2
0
+
π
2
0
e
x
cos xdx
= e
π
2
− 1 − I ⇔ I =
e
π
2
− 1
2
e) Ta có I =
π
0
e
2x
sin
2
xdx =
1
2
π
0
e
2x
(1 − cos 2x) dx =
1
4
e
2x
π
0
−
1
2
π
0
e
2x
cos 2xdx =
e
2π
− 1
4
−
1
2
I
1
.
Đặt
u = e
2x
dv = cos 2xdx
⇒
du = 2e
2x
dx
v =
1
2
sin 2x
. Ta có
I
1
=
1
2
e
2x
sin 2x
π
0
−
π
0
e
2x
sin 2xdx = −
π
0
e
2x
sin 2xdx
Lại đặt
u = e
2x
dv = sin 2xdx
⇒
du = 2e
2x
dx
v = −
1
2
cos 2x
. Ta có
I
1
= −
−
1
2
e
2x
cos 2x
π
0
+
π
0
e
2x
cos 2xdx
=
e
2π
− 1
2
− I
1
⇔ I
1
=
e
2π
− 1
4
Vậy I =
e
2π
− 1
4
−
1
2
e
2π
− 1
4
=
e
2π
− 1
8
.
f) Đặt
u = cos(ln x)
dv = dx
⇒
du = −
1
x
sin(ln x)dx
v = x
. Ta có
I = x cos(ln x)|
e
π
1
+
e
π
1
sin (ln x) dx = −e
π
− 1 +
e
π
1
sin (ln x) dx
Lại đặt
u = sin(ln x)
dv = dx
⇒
du =
1
x
cos(ln x)dx
v = x
. Ta có
I = −e
π
− 1 + x sin(ln x)|
e
π
1
−
e
π
1
cos (ln x) dx = −e
π
− 1 − I ⇔ I = −
e
π
+ 1
2
19
g) Đặt t = x
2
⇒ dt = 2xdx. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = 1. Ta có I =
1
2
1
0
te
t
dt.
Lại đặt
u = t
dv = e
t
dt
⇒
du = dt
v = e
t
. Ta có
I =
1
2
te
t
1
0
−
1
0
e
t
dt
=
1
2
e − e
t
1
0
=
1
2
h) Đặt t =
√
x ⇔ t
2
= x ⇒ 2tdt = dx. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = π
2
⇒ t = π. Ta có
I =
π
0
t sin t.2tdt =
π
0
2t
2
sin tdt
Đặt
u = 2t
2
dv = sin tdt
⇒
du = 4tdt
v = −cos x
. Ta có
I = −2t
2
cos t
π
0
+
π
0
4t cos tdt = 2π
2
+
π
0
4t cos tdt
Lại đặt
u = 4t
dv = cos tdt
⇒
du = 4dt
v = sin t
. Ta có
I = 2π
2
+ 4t sin t|
π
0
− 4
π
0
sin tdt = 2π
2
+ 4 cos t|
π
0
= 2π
2
− 8
i) Đặt t = ln x ⇒ dt =
1
x
dx. Đổi cận: x = e
2
⇒ t = 2; x = e
5
⇒ t = 5. Ta có I =
5
2
t ln tdt.
Đặt
u = ln t
dv = tdt
⇒
du =
1
t
dt
v =
t
2
2
. Ta có
I =
t
2
2
ln t
5
2
−
5
2
t
2
2
1
t
dt =
25
2
ln 5 − 2 ln 2 −
1
2
5
2
tdt
=
25
2
ln 5 − 2 ln 2 −
1
4
t
2
5
2
=
25
2
ln 5 − 2 ln 2 −
21
4
§5. Tích Phân Của Hàm Số Lượng Giác
8.24. Tính các tích phân sau
a) I =
π
4
0
sin
2
xdx. b) I =
π
4
0
tan xdx. c) I =
π
2
0
cos
5
xdx.
d) I =
π
4
0
1
cos
4
x
dx.
e) I =
π
2
π
3
1
sin x
dx.
f) I =
π
4
0
1
cos
3
x
dx.
g) I =
π
3
0
sin
2
x tan xdx. h) I =
π
4
0
sin
2
x
cos
4
x
dx.
i) I =
π
3
π
6
1
cos xsin
2
x
dx.
Lời giải.
a) I =
1
2
π
4
0
(1 − cos 2x) dx =
1
2
x −
1
4
sin 2x
π
4
0
=
π
8
−
1
4
.
20
Chuyên đề 8. Nguyên Hàm - Tích Phân
b) I =
π
4
0
sin x
cos x
dx = −
π
4
0
1
cos x
d (cos x) = −ln |cos x||
π
4
0
=
1
2
ln 2.
c) I =
π
2
0
cos
4
x cos xdx =
π
2
0
1 − sin
2
x
2
d (sin x) =
sin x −
2sin
3
x
3
+
sin
5
x
5
π
2
0
=
6
15
.
d) I =
π
4
0
1
cos
2
x
1
cos
2
x
dx =
π
4
0
1 + tan
2
x
d (tan x) =
tan x +
tan
3
x
3
π
4
0
=
4
3
.
e) C1: I =
π
2
π
3
sin x
sin
2
x
dx = −
π
2
π
3
1
1 − cos
2
x
d (cos x) = −
1
2
π
2
π
3
1 − cos x + 1 + cos x
(1 − cos x)(1 + cos x)
d (cos x)
= −
1
2
π
2
π
3
1
1 + cos x
+
1
1 − cos x
d (cos x) = −
1
2
(ln |1 + cos x| − ln |1 − cos x|)
π
2
π
3
=
1
2
ln 3.
C2: I =
π
2
π
3
1
2 sin
x
2
cos
x
2
dx =
π
2
π
3
1
2cos
2
x
2
tan
x
2
dx
=
π
2
π
3
1
tan
x
2
d
tan
x
2
= ln
tan
x
2
π
2
π
3
=
1
2
ln 3.
f) I =
π
6
0
cos x
cos
4
x
dx =
π
6
0
1
1 − sin
2
x
2
d (sin x) =
1
4
π
6
0
1 + sin x + 1 − sin x
(1 + sin x)(1 − sin x)
2
d (sin x)
=
1
4
π
6
0
1
1 − sin x
+
1
1 + sin x
2
d (sin x)
=
1
4
π
6
0
1
(1 − sin x)
2
+
1
(1 + sin x)
2
+
2
(1 − sin x) (1 + sin x)
2
d (sin x)
=
1
4
1
1 − sin x
−
1
1 + sin x
π
6
0
+
1
4
π
6
0
1 − sin x + 1 + sin x
(1 − sin x)(1 + sin x)
d (sin x)
=
1
3
+
1
4
π
6
0
1
1 + sin x
+
1
1 − sin x
d (sin x)
=
1
3
+
1
4
(ln |1 +
s
inx| − ln |1 −
s
inx|)
π
6
0
=
1
3
+
1
4
ln 3.
g) I =
π
3
0
sin
2
x sin x
cos x
dx =
π
3
0
cos
2
x − 1
cos x
d (cos x) =
π
3
0
cos x −
1
cos x
d (cos x)
=
cos
2
x
2
− ln |cos x|
π
3
0
= ln 2 −
3
8
.
h) I =
π
4
0
1 − cos
2
x
cos
6
x
dx =
π
4
0
1
cos
6
x
−
1
cos
4
x
dx =
π
4
0
1
cos
4
x
1
cos
2
x
dx −
π
4
0
1
cos
2
x
1
cos
2
x
dx
=
π
4
0
1 + tan
2
x
2
d (tan x) −
π
4
0
1 + tan
2
x
d (tan x)
=
tan x +
2tan
3
x
3
+
tan
5
x
5
π
4
0
−
tan x +
tan
3
x
3
π
4
0
=
8
15
.
i) I =
π
3
π
6
cos x
cos
2
xsin
2
x
dx =
π
3
π
6
1
1 − sin
2
x
sin
2
x
d (sin x) =
π
3
π
6
1 − sin
2
x + sin
2
x
1 − sin
2
x
sin
2
x
d (sin x)
21
=
π
3
π
6
1
sin
2
x
+
1
1 − sin
2
x
d (sin x) =
π
3
π
6
1
sin
2
x
d (sin x) +
1
2
π
3
π
6
1 − sin x + 1 + sin x
(1 − sin x)(1 + sin x)
d (sin x)
= −
1
sin x
π
3
π
6
+
1
2
π
3
π
6
1
1 + sin x
+
1
1 − sin x
d (sin x)
= 2 −
2
√
3
+
1
2
(ln |1 + sin x| − ln |1 − sin x|)
π
3
π
6
= 2 −
2
√
3
+ ln
1 +
2
√
3
.
8.25. Tính các tích phân sau
a) (B-03) I =
π
4
0
1 − 2sin
2
x
1 + sin 2x
dx. b) (B-05) I =
π
2
0
sin 2x cos x
1 + cos x
dx. c) (D-05) I =
π
2
0
e
sin x
+ cos x
cos xdx.
d) (A-06) I =
π
2
0
sin 2x
cos
2
x + 4sin
2
x
dx.e) I =
π
2
0
cos x
√
7 + cos 2x
dx. f) (A-11) I =
π
4
0
x sin x + (x + 1) cos x
x sin x + cos x
dx.
Lời giải.
a) I =
π
4
0
cos 2x
1 + sin 2x
dx =
1
2
π
4
0
1
1 + sin 2x
d (1 + sin 2x) =
1
2
ln |1 + sin 2x|
π
4
0
=
1
2
ln 2.
b) Ta có I = 2
π
2
0
sin xcos
2
x
1 + cos x
dx.
Đặt u = 1 + cos x ⇒ du = −sin xdx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 2; x =
π
2
⇒ u = 1. Ta có
I = 2
2
1
(u − 1)
2
u
du = 2
2
1
u − 2 +
1
u
du = 2
u
2
2
− 2u + ln |u|
2
1
= 2 ln 2 − 1
c) I =
π
2
0
e
sin x
+ cos x
cos xdx =
π
2
0
e
sin x
cos xdx +
π
2
0
cos
2
xdx
=
π
2
0
e
sin x
d (sin x) +
1
2
π
2
0
(1 + cos 2x) dx = e
sin x
π
2
0
+
1
2
x +
1
4
sin 2x
π
2
0
= e +
π
4
− 1.
d) Đặt u =
cos
2
x + 4 sin
2
x ⇔ u
2
= cos
2
x + 4 sin
2
x ⇒ 2udu = 6 sin x cos xdx.
Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1; x =
π
2
⇒ u = 2. Ta có
I =
2
3
2
1
1
u
udu =
2
3
u
2
1
=
2
3
e) Ta có I =
π
2
0
cos x
8 − 2sin
2
x
dx =
1
√
2
π
2
0
cos x
4 − sin
2
x
dx.
Đặt sin x = 2 sin t, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒ cos xdx = 2cos tdt.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x =
π
2
⇒ t =
π
6
. Ta có
I =
√
2
2
π
6
0
1
4 − 4sin
2
t
cos tdt =
√
2
2
π
6
0
dt =
√
2
2
t
π
6
0
=
√
2π
12
f) Ta cos I =
π
4
0
x sin x + x cos x + cos x
x sin x + cos x
dx =
π
4
0
1 +
x cos x
x sin x + cos x
dx
22
Chuyên đề 8. Nguyên Hàm - Tích Phân
= x|
π
4
0
+
π
4
0
x cos x
x sin x + cos x
dx =
π
4
+
π
4
0
x cos x
x sin x + cos x
dx.
Đặt u = x sin x + cos x ⇒ du = (x cos x) dx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1; x =
π
4
⇒ u =
4 + π
4
√
2
. Ta có
I =
π
4
+
4+π
4
√
2
1
1
u
du = ln |u||
4+π
4
√
2
1
=
π
4
+ ln
4 + π
4
√
2
8.26. Tính các tích phân sau
a) I =
π
4
0
1
cos
2
x
1
cos
2
x
+ 2 tan x
dx. b) (A-08) I =
π
6
0
tan
4
x
cos 2x
dx. c) I =
π
2
0
1
3sin
2
x + cos
2
x
dx.
d) I =
π
2
0
1
1 + sin x
dx. e) I =
π
2
0
1
1 + sin x + cos x
dx. f) (BĐT-57) I =
π
6
0
1
cos x cos
x +
π
4
dx.
Lời giải.
a) I =
π
4
0
1
1 + tan
2
x + 2 tan x
d (tan x) =
π
4
0
1
(tan x + 1)
2
d (tan x + 1) = −
1
tan x + 1
π
4
0
=
1
2
.
b) I =
π
6
0
tan
4
x
2cos
2
x − 1
dx =
π
6
0
tan
4
x
cos
2
x
2 −
1
cos
2
x
dx =
π
6
0
tan
4
x
1 − tan
2
x
d (tan x)
=
π
6
0
−tan
2
x − 1 +
1
2
1 − tan x + 1 + tan x
(1 − tan x)(1 + tan x)
d (tan x)
=
π
6
0
−tan
2
x − 1 +
1
2
1
1 + tan x
+
1
1 − tan x
d (tan x)
=
−
tan
3
x
3
− tan x +
1
2
(ln |1 + tan x| − ln |1 − tan x|)
π
6
0
=
1
2
ln
2 +
√
3
−
10
√
3
27
.
c) Ta có I =
π
4
0
1
3sin
2
x + cos
2
x
dx +
π
2
π
4
1
3sin
2
x + cos
2
x
dx
=
π
4
0
1
cos
2
x
3tan
2
x + 1
dx +
π
2
π
4
1
sin
2
x
3 + cot
2
x
dx = I
1
+ I
2
Đặt
√
3 tan x = tan t, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒
√
3
1
cos
2
x
dx =
1
cos
2
t
dt =
1 + tan
2
t
dt.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x =
π
4
⇒ t =
π
3
. Ta có
I
1
=
1
√
3
π
3
0
1
tan
2
t + 1
1 + tan
2
t
dt =
1
√
3
t
π
3
0
=
π
3
√
3
Đặt cot x =
√
3 tan t, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒ −
1
sin
2
x
dx =
√
3
cos
2
t
dt =
√
3
1 + tan
2
t
dt.
Đổi cận: x =
π
4
⇒ t =
π
6
; x =
π
2
⇒ t = 0. Ta có
I
2
=
π
6
0
1
3 + 3tan
2
t
√
3
1 + tan
2
t
dt =
1
√
3
t
π
6
0
=
π
6
√
3
Vậy I = I
1
+ I
2
=
π
3
√
3
+
π
6
√
3
=
π
2
√
3
.
23
d) I =
π
2
0
1
1 + 2 sin
x
2
cos
x
2
dx =
π
2
0
1
cos
2
x
2
1
cos
2
x
2
+ 2 tan
x
2
dx
= 2
π
2
0
1
1 + tan
2
x
2
+ 2 tan
x
2
d
tan
x
2
= −
1
1 + tan
x
2
π
2
0
= 1.
Nhận xét. Nếu tích phân trên có cận từ 0 đến
π
4
thì có thể nhân cả tử và mẫu với 1 −sin x. Còn nếu cận từ 0 đến
π thì bạn giải như thế nào ?
e) I =
π
2
0
1
2 sin
x
2
cos
x
2
+ 2cos
2
x
2
dx =
π
2
0
1
2cos
2
x
2
tan
x
2
+ 1
dx
=
π
2
0
1
tan
x
2
+ 1
d
tan
x
2
= ln
tan
x
2
+ 1
π
2
0
= ln 2.
f) I =
√
2
π
6
0
1
cos x (cos x − sin x)
dx =
√
2
π
6
0
1
cos
2
x (1 − tan x)
dx
=
√
2
π
6
0
1
1 − tan x
d(tan x) = −
√
2 ln |1 − tan x|
π
6
0
=
√
2 ln
3 +
√
3
2
.
§6. Ứng Dụng Của Tích Phân
8.27. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
a) y = x
2
− 2x; Ox; x = −1 và x = 2.
b) y =
−3x − 1
x − 1
và hai trục tọa độ.
c) y = −x
3
− 3x
2
và trục hoành. d) y = x
2
− 2x và y = −x
2
+ 4x.
e) (A-07) y = (e + 1) x, y = (1 + e
x
) x.
f) (B-02) y =
4 −
x
2
4
và y =
x
2
4
√
2
.
Lời giải.
a) Vì x
2
− 2x = 0 ⇔
x = 0
x = 2
nên diện tích hình phẳng cần tìm là
S =
0
−1
x
2
− 2x
dx +
2
0
x
2
− 2x
dx
=
0
−1
x
2
− 2x
dx +
2
0
2x − x
2
dx
=
x
3
3
− x
2
0
−1
+
x
2
−
x
3
3
2
0
=
8
3
(đvdt).
y
x
O
−1
2
y = x
2
− 2x
b) Vì
−3x − 1
x − 1
= 0 ⇔ x = −
1
3
nên diện tích hình phẳng cần tìm là
S =
0
−
1
3
−3x − 1
x − 1
dx =
0
−
1
3
−3x − 1
x − 1
dx =
0
−
1
3
−3 −
4
x − 1
dx
= (−3x − 4 ln |x − 1|)|
0
−
1
3
= ln
4
3
− 1 (đvdt).
y
x
O
−
1
3
1
y =
−3x−1
x−1
24
Chuyên đề 8. Nguyên Hàm - Tích Phân
c) Vì −x
3
− 3x
2
= 0 ⇔
x = 0
x = −3
nên diện tích hình phẳng cần tìm là
S =
0
−3
−x
3
− 3x
2
dx =
0
−3
x
3
+ 3x
2
dx
=
x
4
4
+ x
3
0
−3
=
27
4
(đvdt).
y
x
O
−3
y = −x
3
− 3x
2
d) Vì x
2
−2x = −x
2
+ 4x ⇔
x = 0
x = 3
nên diện tích hình phẳng cần tìm là
S =
3
0
x
2
− 2x
−
−x
2
+ 4x
dx =
3
0
2x
2
− 6x
dx
=
3
0
6x − 2x
2
dx =
3x
2
−
2x
3
3
3
0
= 9 (đvdt).
y
x
O
y = −2x
2
+ 4x
2
y = x
2
− 2x
e) Vì (e + 1)x = (1 + e
x
) x ⇔ x (e − e
x
) = 0 ⇔
x = 0
x = 1
nên diện tích hình
phẳng cần tìm là
S =
1
0
|(e + 1) x − (1 + e
x
) x|dx =
1
0
|ex − xe
x
|dx
=
1
0
(ex − xe
x
) dx =
ex
2
2
1
0
−
1
0
xe
x
dx =
e
2
−
1
0
xe
x
dx
Đặt
u = x
dv = e
x
dx
⇒
du = dx
v = e
x
. Ta có
S =
e
2
− xe
x
|
1
0
+
1
0
e
x
= −
e
2
+ e
x
|
1
0
=
1
2
e − 1 (đvdt).
y
x
O
1
1
+ e
f)
Vì
4 −
x
2
4
=
x
2
4
√
2
⇔ 4 −
x
2
4
=
x
4
32
⇔ x = ±2
√
2 nên diện tích hình phẳng cần tìm là
S =
2
√
2
−2
√
2
4 −
x
2
4
−
x
2
4
√
2
dx =
2
√
2
−2
√
2
4 −
x
2
4
−
x
2
4
√
2
dx
=
2
√
2
−2
√
2
4 −
x
2
4
dx −
x
3
12
√
2
2
√
2
−2
√
2
=
2
√
2
−2
√
2
4 −
x
2
4
dx −
8
3
Đặt
x
2
= 2 sin t, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒
1
2
dx = 2 cos tdt. Đổi cận x = ±2
√
2 ⇒ t = ±
π
4
. Ta có
25
