Không gian vector

www.hoasen.edu.vn
uu
1
Faculty of Science and Technology
Linear Algebra
Chương 3
KHÔNG GIAN VECTOR
www.hoasen.edu.vn
uu
2
Faculty of Science and Technology
Linear Algebra
1.Định nghĩa không gian vector. Không gian
vector con
2.Độc lập tuyến tính – phụ thuộc tuyến tính
3.Hệ sinh, cơ sở, số chiều của không gian vector
4.Hạng của hệ các vector
5.Ma trận chuyển cơ sở
Nội dung
www.hoasen.edu.vn
uu
3
Faculty of Science and Technology
Linear Algebra
V là một tập khác rỗng, trong đó xác định 2 phép
toán:
1. Phép cộng: u, v ϵ V, u + v ϵ V
2. Phép nhân vô hướng: u ϵ V, r ϵ R, ru ϵ V.
1. Định nghĩa không gian vector
(vector space)
www.hoasen.edu.vn

uu
4
Faculty of Science and Technology
Linear Algebra
Định nghĩa: V được gọi là không gian vector trên trường số
thực R nếu đối với 2 phép toán đó thỏa mãn các tiên đề:
(a) u,v ϵ V: u + v = v + u
(b) u,v, w ϵ V: (u + v) + w = u + (v + w)
(c) 0 ϵ V: u + 0 = 0 + u = u, u ϵ V
(d) u ϵ V, tồn tại vector đối -u ϵ V: u + ( - u) = 0
(e) r ϵ R, u,v ϵ V: r(u + v) = ru + rv
(f) r, s ϵ R, u ϵ V: (r + s)u = ru + su
(g) r, s ϵ R, u ϵ V: r(su) = rs(u)
(h) 1 ϵ R, 1u = u , u ϵ V
1. Định nghĩa không gian vector (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu
5
Faculty of Science and Technology
Linear Algebra
Định lý: V là không gian vector, u ϵ V, r ϵ R:
(a) 0u = 0
(b) r0 = 0
(c) (-1)u = - u
(d) Nếu ru = 0 thì hoặc r = 0 hoặc u = 0
1. Định nghĩa không gian vector (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu
6
Faculty of Science and Technology

Linear Algebra
Ví dụ:
1. Tập các số thực R với 2 phép toán cộng và
nhân là không gian vector.
2. Tập R
2
= {(x,y): x, y ϵ R} với 2 phép toán
cộng và nhân vô hướng
(x,y) + (x’,y’) = (x + x’,y + y’)
r(x,y) = (rx,ry)
là không gian vector
Chứng minh:…
1. Định nghĩa không gian vector (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu
7
Faculty of Science and Technology
Linear Algebra
 Tập các ma trận cấp m.n, kí hiệu M
mn
là một
không gian vector.
Chứng minh:…
1. Định nghĩa không gian vector (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu
8
Faculty of Science and Technology
Linear Algebra
Định nghĩa: Ta gọi không gian vector con của

một không gian vector V (trên trường số thực
R) là một tập con W của V thỏa mãn các tính
chất:
(a) Nếu u ϵ W và v ϵ W thì u + v ϵ W
(b) Nếu u ϵ W và r ϵ R thì ru ϵ W
1. Không gian vector con (subspace)
www.hoasen.edu.vn
uu
9
Faculty of Science and Technology
Linear Algebra
Ví dụ:
1. Chứng minh tập W = {(x,0) ϵ R
2
} là không
gian vector con của R
2
.
2. Kiểm tra xem các tập sau có phải là không
gian vector con của các không gian tương
ứng?
1. Không gian vector con (tt)
 
2
2
( ) [ ]/ 0M x t at bt c P t a b c       
 
2
( , ) / 2 1W x y R x y   
 

3
( , , ) / 2 3 0U x y z R x y z    
www.hoasen.edu.vn
uu
10
Faculty of Science and Technology
Linear Algebra
Định nghĩa: V là không gian vector trên R. Cho
các vector v
1
, v
2
, …,v
n
là n vector trong V.
Vector bất kỳ v trong V có dạng
v = α
1
v
1
+ α
2
v
2
+ … + α
n
v
n
trong đó α
i

ϵ R, được gọi là tổ hợp tuyến tính
(linear combination) của các vector v
1
, v
2
,
…,v
n
2. Phụ thuộc tuyến tính – độc lập
tuyến tính
www.hoasen.edu.vn
uu
11
Faculty of Science and Technology
Linear Algebra
2. Phụ thuộc tuyến tính – độc lập
tuyến tính (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu
12
Faculty of Science and Technology
Linear Algebra
Ví dụ:
1. Cho các vector: v
1
= [1,1,0], v
2
= [1,2,1], v
3
=

[2,3,1] và v = [m,1,1]. Tìm m để v là tổ hợp
tuyến tính của các vector v
1
, v
2
, v
3
.
2. Cho hệ 4 vector v
1
= [1,2,3], v
2
= [4,5,6], v
3
= [7,8,9] và v = [a,b,c]. Tìm a, b, c để v là tổ
hợp tuyến tính của các vector v
1
, v
2
, v
3
.
2. Phụ thuộc tuyến tính – độc lập
tuyến tính (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu
13
Faculty of Science and Technology
Linear Algebra
2. Phụ thuộc tuyến tính – độc lập

tuyến tính (tt)
Định nghĩa: V là không gian vector trên R.
Hệ các vector v
1
, v
2
, …,v
n
được gọi là độc lập
tuyến tính (linearly dependent) nếu:
α
1
v
1
+ α
2
v
2
+ … + α
n
v
n
= 0 (*)
chỉ thỏa mãn khi α
1
= α
2
= … = α
n
= 0

Ngược lại, nếu tồn tại α
i
≠ 0 sao cho (*) thỏa
mãn thì v
1
, v
2
, …,v
n
được gọi là phụ thuộc
tuyến tính (linearly independent).
www.hoasen.edu.vn
uu
14
Faculty of Science and Technology
Linear Algebra
Định lý: Điều kiện cần và đủ để hệ các vector v
1
, v
2
,
…,v
n
phụ thuộc tuyến tính là một trong các vector đó
là tổ hợp tuyến tính của các vector khác.
Hệ quả:
1. Trong các vector v
1
, v
2

, …,v
n
có 1 vector 0 thì các
vector này phụ thuộc tuyến tính
2. Nếu một phần của các vector v
1
, v
2
, …,v
n
phụ thuộc
tuyến tính thì tất cả các vector đó thuộc tuyến tính
3. Hệ bất kỳ các vector n thành phần có số vector
lớn hơn n thì phụ thuộc tuyến tính.
2. Phụ thuộc tuyến tính – độc lập
tuyến tính (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu
15
Faculty of Science and Technology
Linear Algebra
2. Phụ thuộc tuyến tính – độc lập
tuyến tính (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu
16
Faculty of Science and Technology
Linear Algebra
Xét đẳng thức:
ax

1
+ bx
2
+ cx
3
= 0
 a(1,1,1) + b(1,1,0) + c(1,0,0) = (0,0,0)
Hay (a + b + c,a + b,a) = (0,0,0)
Do đó, ta có a = b = c = 0
Vậy hệ các vector đã cho độc lập tuyến tính
(trong R
3
).
2. Phụ thuộc tuyến tính – độc lập
tuyến tính (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu
17
Faculty of Science and Technology
Linear Algebra
2. Phụ thuộc tuyến tính – độc lập
tuyến tính (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu
18
Faculty of Science and Technology
Linear Algebra
2. Phụ thuộc tuyến tính – độc lập
tuyến tính (tt)
 Hệ phụ thuộc tuyến tính

www.hoasen.edu.vn
uu
19
Faculty of Science and Technology
Linear Algebra
Phương pháp xét sự độc lập tuyến tính của hệ các
vector v
1
, v
2
, …,v
n
:
1. Xét đẳng thức: α
1
v
1
+ α
2
v
2
+ … + α
n
v
n
= 0
2. Đưa đẳng thức về dạng hệ phương trình tuyến tính
3. Tìm hạng của ma trận hệ số của hệ (r(A))
- Nếu r(A) = n thì hệ các vector độc lập tuyến tính
- Nếu r(A) < n thì hệ các vector phụ thuộc tuyến tính

2. Phụ thuộc tuyến tính – độc lập
tuyến tính (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu
20
Faculty of Science and Technology
Linear Algebra
Lưu ý:
1. Hạng của ma trận A, kí hiệu là r(A), là cấp
lớn nhất của định thức con khác 0 của A.
2. Cách tìm:
- Tìm định thức con khác 0 có cấp lớn nhất
- Dùng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa
ma trận về dạng hình thang, số dòng khác 0 là
hạng của ma trận.
2. Phụ thuộc tuyến tính – độc lập
tuyến tính (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu
21
Faculty of Science and Technology
Linear Algebra
Ví dụ: Xét sự độc lập và phụ thuộc tuyến
tính của hệ vector (là các ma trận) sau
12
34
1 0 1 2
;
0 0 0 0
1 2 1 2

;
3 0 3 4
XX
XX
   

   
   
   

   
   
2. Phụ thuộc tuyến tính – độc lập
tuyến tính (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu
22
Faculty of Science and Technology
Linear Algebra
12
34
1 0 1 2
;
0 0 0 0
1 2 1 2
;
3 0 3 4
XX
XX
   


   
   
   

   
   
1 0 1 2 1 2 1 2 0 0
0 0 0 0 3 0 3 4 0 0
a b c d
         
    
         
         
1 2 3 4
0aX bX cX dX   
Xét đẳng thức:
2. Phụ thuộc tuyến tính – độc lập
tuyến tính (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu
23
Faculty of Science and Technology
Linear Algebra
0
2 2 2 0
3 3 0
40
a b c d
b c d

cd
d
   


  








Ta có r(A) = 4 = số vector  hệ các vector đã
cho độc lập tuyến tính
2. Phụ thuộc tuyến tính – độc lập
tuyến tính (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu
24
Faculty of Science and Technology
Linear Algebra
Bài tập: Xét sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính
của hệ vector sau
 
1 2 3
(1, 1,0); (2,3, 1); ( 1,4,5)X x x x      
1 2 3
0ax bx cx  

Xét đẳng thức:
2. Phụ thuộc tuyến tính – độc lập
tuyến tính (tt)
(1, 1,0) (2,3, 1) ( 1,4,5) (0,0,0)a b c     
www.hoasen.edu.vn
uu
25
Faculty of Science and Technology
Linear Algebra
20
3 4 0
50
a b c
a b c
bc
  


    


  

1 2 1
1 3 4
0 1 5
A









Biến đổi A để tìm hạng ….
2. Phụ thuộc tuyến tính – độc lập
tuyến tính (tt)
Làm các bài tập: 1, 2 trang 185; 13, 14, 17, 24,
25 trang 186