TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG -, BIỂU DIỄN TÍN HIỆU DÙNG CHUỖI FOURIER

CHƯƠNG 3:

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU DÙNG CHUỖI FOURIER

Nội dung

3.1 Tín hiệu và vectơ
3.2 So sánh tín hiệu: Tương quan
3.3 Biểu diễn tín hiệu dùng tập tín hiệu trực giao
3.4 Chuỗi Fourier lượng giác
3.5 Chuỗi Fourier dạng mủ
3.6 Tính toán giá trị D
n

3.7 Đáp ứng của hệ LT-TT-BB với tín hiệu tuần hoàn
3.8 Phụ chương
3.9 Tóm tắt

Tài liệu tham khảo:
B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998

Chương quan trọng, tạo kiến thức cơ bản để biểu diễn tín hiệu và so sánh tín hiệu.
Trong chương 2, ta đã viết ngõ vào bất kỳ f(t) thành tổng của các thành phần xung. Đáp
ứng (trạng thái zêrô) của hệ TT-BB khi có ngõ vào f(t) là tổng các thành phần đáp ứng hệ
thống dưới dạng tính tích phân chập (convolution). Có nhiều phương thức nhằm biểu
diễn ngõ vào f(t) theo các dạng tín hiệu khác. Do đó, vấn đề biểu diễn tín hiệu dùng tập
các tín hiệu là rất quan trọng khi nghiên cứu tín hiệu và hệ thống. Chương này đề cập đến
phương thức biểu diễn tín hiệu thành tổng của nhiều thành phần. Bài toán này tương tự
như vấn đề biểu diễn vectơ theo các thành phần.

Tín hiệu và vectơ

Có sự tương đồng hoàn hảo giữa tín hiệu và vectơ. Tuy nhiên tín hiệu không chỉ
giống vectơ, mà tín hiệu là vectơ! Một vectơ có thể được biểu diễn thành tổng các thành
phần theo nhiều phương thức khác nhau, tùy theo cách chọn hệ trục. Một tín hiệu cũng có
thể được biểu diễn thành tổng các thành phẩn theo nhiều cách khác nhau. Ta hảy bắt đầu
với một số ý niệm vectơ cơ bản rồi áp dụng vào các tín hiệu.

3.1-1 Thành phần của vectơ
Vectơ được đặc trưng bởi biên độ và chiều. Ta viết các vectơ ở dạng chử in đậm.
Thí dụ, x là một vectơ nào đó có biên độ hay chiều dài là x . Trong hình 3.1, với hai
vectơ f và x, định nghĩa phép dot (tích trong hay tích vô hướng) là:
f.x
q
cosxf=
(3.1)

với q là góc giữa hai vectơ. Từ đó, biểu diễn độ dài của vectơ x là x theo:

2
x = x.x (3.2)
Gọi thành phần của f dọc theo x là cx vẽ trong hình 3.1. Thành phần f dọc theo x là
ánh xạ của f theo x , và có được bằng cách vẽ đường thẳng góc từ đỉnh của f xuống x, vẽ
trong hình 3.1. Như thế thì ý nghĩa toán học của một thành phần vectơ theo một vectơ
khác là gì? Xem trong hình 3.1, vectơ f có thể viết theo vectơ x là



ecxf
+
=
(3.3)

Tuy nhiên, đây không phải là phương pháp duy nhất biểu diễn f theo x. Hình 3.2 vẽ hai
trong vô số các phương pháp khác. Từ hình 3.2a và 3.2b, ta có

2211
excexcf +=+= (3.4)
Trong từng phương pháp thì f được biểu diễn theo x cộng vơói một vectơ gọi là vectơ sai
số. Nếu ta xấp xỉ f bằng cx

cxf
@
(3.5)
Sai số trong phép xấp xỉ này là vectơ
cxfe
-
=
. Tương tự, sai số trong phép xấp xỉ
trong hình 3.2a và 3.2b là
1
e và
2
e . Như thế phép xấp xỉ nào trong hình 3.1 cho ta vectơ
sai số bé nhất. Định nghĩa thành phần của vectơ f theo vectơ x là
cx
với
c
được chọn sao
cho vectơ sai số
cxfe
-
=

là bé nhất.

Gọi độ dài của thành phần của f theo x là
q
cosf nhưng cũng đồng thời là xc như vẽ
trong hình 3.1, đo đó

q
cosfxc =
Nhân hai vế cho x
xfxfxc .cos
2
==
q
, do đó
xf
xxx
xf
c .
1
.
.
2
== (3.6)
Hình 3.1 cho thấy có vẽ như là khi f và x thẳng góc, hay trực giao, thì f có thành phần
theo x là zêrô, do đó
0
=
c
. Từ phương trình (3.6), ta định nghĩa f và x là trực giao nhau

nếu tích trong (tích vô hướng hay tích chấm) của hai vectơ là zêrô, nếu

0.
=
xf
(3.7)

3.1-2 Thành phần của tín hiệu
Ý niệm về thành phần của vectơ là tính trực giao có thể được mở rộng cho tín hiệu.
Xét bài toán xấp xỉ một tín hiệu thực
)(tf
theo một tín hiệu thực
)(tx
trong khoảng
],[
21
tt là

21
)()( ttttcxtf ££@
(3.8)

Sai số
)(te
trong phép xấp xỉ này là:

î
í
ì
££-

=
kháctrigiácác
ttttcxtf
te
___0
)()(
)(
21
(3.9)
Chọn một số tiêu chí cho phép “xấp xỉ tốt nhất”. Ta biết là năng lượng tín hiệu là một khả
năng đo lường kích thước của tín hiệu. Để xấp xỉ tốt nhất, ta cần tối thiểu sai số tín hiệu,
tức là, tối thiểu kích thước của nó, nhằm tối thiểu hóa năng lượng E
e
trong khoảng
],[
21
tt
, cho bởi:

òò
-==
2
1
2
1
22
)]()([)(
t
t
t

t
e
dttcxtfdtteE

Chú ý là vế bên phải là tích phân xác định với t là biến giả. Do đó, E
e
là hàm theo biến c
(không phải t) và E
e
tối thiểu theo lựa chọn của c. Để tối thiểu E
e
, điều kiện cần là:

0=
dt
dE
e
(3.10)
Hay

0)]()([
2
2
1
=
ú
û
ù
ê
ë

é
-
ò
dttcxtf
dc
d
t
t

Khai triển thừa số bậc hai, ta có:

0)()()(2)(
2
1
2
1
2
1
222
=
ú
û
ù
ê
ë
é
+
ú
û
ù

ê
ë
é
-
ú
û
ù
ê
ë
é
òòò
dttxc
dc
d
dttxtfc
dc
d
dttf
dc
d
t
t
t
t
t
t


Từ đó

0)(2)()(2
2
1
2
1
2
=+
òò
dttxcdttxtf
t
t
t
t

Và

dttxtf
E
dttx
dttxtf
c
t
t
x
t
t
t
t
)()(
1

)(
)()(
2
1
2
1
2
1
2
ò
ò
ò
==
(3.11)
Ta thấy có sự tương đồng đáng kể giữa hoạt động của vectơ và tín hiệu, từ các phương
trình (3.6) và (3.11). Rõ ràng từ hai biểu thức song song này, thì phần diện tích của tích
hai tín hiệu tương đương với tích trong (tích vô hướng) của hai vectơ. Trong thực tế,
phần diện tích của tích f(t) và x(t) được gọi là tích hai vectơ. Thực ra, diện tích của tích
f(t) và x(t) được gọi là tích trong của f(t) và x(t), được viết là
(
)
xf ,
. Năng lượng của tín
hiệu là tích trong của tín hiệu với chính nó, và tương đương với bình phương độ dài
(chính là tích trong của vectơ với chính nó).
Tóm lại, nếu tín hiệu
)(tf
được xấp xỉ bằng một tín hiệu
)(tx
khác thì

)()( tcxtf
@


Thì giá trị tối ưu của c làm tối thiểu năng lượng của tín hiệu sai số trong xấp xỉ này cho
bởi phương trình (3.11).
Từ ý niệm vectơ, chúng ta nói là tín hiệu
)(tf
chứa thành phần
)(tcx
, với c cho bởi
phương trình (3.11). Chú ý là trong thuật ngữ của vectơ thì )(tcx là ánh xạ của )(tf lên
)(tx
. Tiếp tục, ta nói là nếu thành phần của tín hiệu
)(tf
của dạng
)(tx
là zêrô (tức là
0
=
c
) thì tín hiệu
)(tf
và
)(tx
trực giao nhau trong khoảng
],[
21
tt

. Do đó, ta định nghĩa
tín hiệu thực
)(tf
và
)(tx
trực giao nhau trong khoảng
],[
21
tt
nếu

ò
=
2
1
0)()(
t
t
dttxtf
(3.12)
¢ Thí dụ 3.1
Từ tín hiệu f(t) vẽ trong hình 3.3, tìm thành phần sint có trong f(t). Nói cách khác,
ta xấp xỉ f(t) theo sint.

p
20sin)( ££@ ttctf
để năng lượng tín hiệu sai số là tối thiểu.
Trường hợp này

ttx sin)(

=
và
ò
==
p
p
2
0
2
)(sin tE
x

Từ phương trình (3.11) ta có

ppp
ppp
4
sinsin
1
sin)(
1
00
2
0
=
ú
û
ù
ê
ë

é
-+==
òòò
tdttdttdttfc
(3.13)



Do đó:

ttf sin
4
)(
p
@
(3.14)
Biểu diễn phép xấp xỉ tốt nhất của
)(tf
dùng hàm
tsin
, và tối thiểu hóa được sai số.
Thành phần sin của
)(tf
là phần tô bóng trong hình 3.3. Từ tính tương đồng với vectơm
ta nói hàm vuông
)(tf
mô tả trong hình 3.3 có thành phần sóng
tsin
và biên độ là 4/p.¢

r Bài tập E3.1
Chứng tõ là khoảng (
p
p
£
£
-
t
), xấp xỉ “tốt nhất” của tín hiệu
ttf
=
)(
theo hàm
tsin
là
tsin2
. Kiểm nghiệm lại là tín hiệu sai số
ttte sin2)(
-
=
là trực giao với tín hiệu
tsin
trong khoảng
p
p
£
£
-
t
. Vẽ đồ thị t và

tsin2
trong khoảng
p
p
£
£
-
t
. s

3.1-3 Tính trực giao trong tính hiệu phức
Ta chỉ mới giới hạn trong trường hợp hàm thực của t. Nhằm tổng quát kết quả cho
hàm phức của t, xét lần nửa bài toán xấp xỉ hàm
)(tf
bằng hàm
)(tx
trong khoảng thời
gian (
21
ttt ££
):

)()( tcxtf
@
(3.15)
Trong đó
)(tf
và
)(tx
là hàm phức theo t. Nhắc lại là năng lượng

x
E của tín hiệu phức
)(tx
trong khoảng [
21
,tt ] là

ò
=
2
1
2
)(
t
t
x
dttxE

Trường hợp này, thường hệ số c và sai số là số phức

)()()( tcxtfte
-
=
(3.16)
Để xấp xỉ “tốt nhất”, ta cần chọn c để năng lượng E
c
của tín hiệu sai số e(t) là tối thiểu

ò
-=

2
1
2
)()(
t
t
e
dttcxtfE
(3.17)
Nhắc lại
***)*)((
222
uvvuvuvuvuvu ++=++=+ (3.18)
Tiếp tục, sắp xếp phương trình (3.17)

22
0
2 2
1
22
1
)(*)(
1
)(*)(
1
)(
òòò
-+-=
t
t

x
x
t
x
t
t
e
dttxtf
E
Ecdttxtf
E
dttfE
Do hai thừa số đầu tiên của vế phải không phụ thuộc vào c, rõ ràng là
e
E được tối thiểu
hóa bằng cách chọn c sao cho thừa số thứ ba của vế phải là zêrô, tức là

ò
=
2
1
)(*)(
1
t
t
x
dttxtf
E
c
(3.19)

Từ kết quả trên, ta cần định nghĩa lại tính trực giao trong trường hợp số phức như sau:
Hai hàm phức
)(
1
tx
và
)(
2
tx
trực giao trong khoảng (
21
ttt ££
) nếu

0)()(
2
1
*
21
=
ò
t
t
dttxtx
hay
0)()(
2
1
2
*

1
=
ò
t
t
dttxtx
(3.20)
Đây là định nghĩa tổng quát về tính trực giao, làm phương trình trở thành phương trình
(3.12) khi hàm là thực.

r Bài tập E3.2
Chứng tõ là khoảng (
p
20
£
£
t
), xấp xỉ “tốt nhất” của tín hiệu vuông
)(tf
trong hình
3.3 theo tính hiệu
jt
e
là
jt
e
j
p
2
. Kiểm nghiệm lại là tín hiệu sai số

jt
e
jt
tfte
2
)()( -=
là
trực giao với tín hiệu
jt
e
. s

Năng lượng của tổng tính hiệu trực giao
Ta biết là bình phương độ dài của tổng hai vectơ trực giao là bằng tổng của độ dài
hai vectơ. Do đó, nếu x và y trực giao, thì z = x + y, thì

222
yxz +=
Tương tự, cho trường hợp tín hiệu. Năng lượng của tổng hai tín hiệu trực giao thì bằng
tổng năng lượng của hai tín hiệu. Do đó, nếu tín hiệu
)(tx
và
)(ty
trực giao trong khoảng
],[
21
tt , và nếu )()()( tytxtz
+
=
, thì

yxz
EEE += (3.21)
Ta chứng minh kết quả cho tín hiệu phức mà tín hiệu thực là một trường hợp đặc biệt. Từ
phương trình (3.18):
ò ò òòò
+++=+
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
)()(*)(*)()()()()(
222
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
dttytxdttytxdttydttxdttytx

ò ò
+=
2
1
2
1
22
)()(
t
t
t
t
dttydttx
(3.22)
Do tính trực giao, hai tích phân của các tích
)(*)( tytx
và
)()(* tytx
là zêrô. Kết quả này
có thể được mở rộng với tổng của một số tín hiệu trực giao tương hỗ.

3.2 So sánh tín hiệu: tính tương quan
Phần 3.1 đã chuẩn bị cơ sở để so sánh tín hiệu. Một lần nữa, ta có dùng lại ý niệm
của phép so sánh vectơ. Hai vectơ f và x là tương đồng khi f có thành phần lớn theo x.
Nói cách khác, nếu c trong phương trình (3.6) lớn, thì hai vectơ f và x là tương đồng. Ta
có thể xem c là phép đo định lượng tính tương đồng giữa f và x. Tuy nhiên, đo lường này
có nhược điểm. Mức tương đồng giữa f và x cần độc lập với độ dài của f và x. Thí dụ, khi
tăng đôi độ dài của f, mức tương đồng giữa f và x là không thay đổi. Tuy nhiên, từ

phương trình (3.6), ta thấy là khi tăng đôi f, thì cũng tăng đôi giá trị c (trong khi tăng đôi
x làm giảm nửa giá trị c). Đo lường của ta rõ ràng là sai. Tính tương đồng giữa hai vectơ
được cho từ góc q giữa hai vectơ. Góc q càng bé thì tính tương đồng càng cao, và ngược
lại. Do đó, có thể dùng cosq để đo mức tương đồng. Cosq càng lớn, thì tính tương đồng
giữa hai vectơ càng cao. Vật, đo lường hợp lý sẽ là c
n
= cosq, được cho bởi

xf
xf
c
n
.
cos ==
q
(3.23)
Có thể kiểm nghiệm lại về tính độc lập của đo lường này với độ dài của f và x .
Tương đồng này đo lường c
n
được gọi là hệ số tương quan. Quan sát thấy:
11 ££-
n
c (3.24)
Do đó, biên độ của c
n
không bao giờ lớn hơn đơn vị. Hai vectơ thẳng hàng có tính tương
đồng lớn nhất (c
n
= 1). Hai vectơ thẳng hàng đối chiều có tính không tương đồng cao nhất
(c

n
= - 1). Hai vectơ trực giao có tính tương đồng là zêrô.
Dùng phương pháp tương tự để định nghĩa chỉ số tương đồng (hệ số tương tương
quan) của tín hiệu. Xét các tín hiệu trong khoảng từ - ¥ đến ¥. Muốn c trong phương
trình (3.11) độc lập với năng lượng (kích thước) của f(t) và x(t), ta cần chuẩn hóa c bằng
cách hai tín hiệu về năng lượng đơn vị. Do đó, chỉ số tương đồng thích hợp c
n
cho
phương trình (3.23) là

ò
¥
¥-
= dttxtf
EE
c
xf
n
)()(
1
(3.25)

Nhận thấy khi nhân f(t) hay x(t) với hằng số bất kỳ không ảnh hường đến chỉ số này, nên
chỉ số độc lập với kích thước (năng lượng) của f(t) và x(t). Dùng bất đẳng thức Schwarz,
ta chứng minh được là biên độ của c
n
không bao giờ lớn hơn 1.
11 ££-
n
c (3.26)

The Best Friends, Worst Enemies, and Complete Strangers
Ta có thể chứng tõ là nếu
)()( tKxtf
=
thì c
n
= 1 khi K là hằng số dương bất kỳ, và
c
n
= - 1 khi K là hằng số âm bất kỳ. Đồng thời c
n
= 0 nếu f(t) và x(t) trực giao. Đo đó,
tương đồng lớn nhất [khi
)()( tKxtf
=
] được cho bởi c
n
= 1, không tương đồng lớn nhất
[khi
)()( tKxtf
-
=
] được cho bởi c
n
= - 1. Khi hai tín hiệu trực giao, tương đồng là zêrô.
Một cách định lượng, ta có thể xem tín hiệu trực giao là tín hiệu không tương quan. Chú
ý, địng lượng thì tính không tương đồng khác với tính không tương quan. Thí dụ, ta có
bạn tốt (c
n

= 1), kẻ thù xấu nhất (c
n
= -1), và kẻ lạ hoàn toàn, không cần quan tâm là ta có
tồn tại hay không (c
n
= 0). Kẻ thù không phải là người lạ, nhưng trong một số trường hợp
người ta có thể nghĩ giống chúng ta, nhưng ngược lại?!!.
Mở rộng ý niệm khi so sánh tín hiệu phức, định nghĩa c
n
lúc này là.

ò
¥
¥-
= dttxtf
EE
c
xf
n
)(*)(
1
(3.27)



¢ Thí dụ 3.2
Tìm hệ số tương quan C giữa xung x(t) và xung f
i
(t), i = 1, 2, 3, 4, 5 và 6 vẽ trong
hình 3.4.

Ta tính c
n
dùng phương trình (3.25) cho từng trường hợp. Đầu tiên ta tính năng lượng
của mọi tín hiệu.

òò
===
5
0
5
0
2
5)( dtdttxE
x
(3.28)
Dùng phương pháp này, ta tìm được E
f1
= 5, E
f2
= 1,25, và E
f3
= 5. Để tìm E
f4
và E
f5
, ta
tìm năng lượng E của e
-at
u(t) trong khoảng thời gian từ t = 0 đến T:

(
)
(
)
òò

-===
T
aTat
T
at
e
a
dtedteE
0
22
0
2
1
2
1

Trường hợp f
4
(t), a = 1/5 và T = 5. Do đó E
f4
=2,1617. Trường hợp f
5
(t), a = 1 và T = ¥.
Do đó E

f5
=0,5. Năng lượng E
f6
cho bởi
5,22sin
5
0
2
6
==
ò
tdtE
f
p

Dùng phương trình (3.25), hệ số tương quan của sáu trường hợp được tìm là:
(1)
ò
=
5
0
1
)5)(5(
1
dt (2)
ò
=
5
0
1)5,0(

)5)(25,1(
1
dt
(3)
ò
-=-
5
0
1)1(
)5)(5(
1
dt (4)
ò
=
-
5
0
5/
961.0
)5)(1617,2(
1
dte
t

(5)
ò
=
-
5
0

628,0
)5)(5,0(
1
dte
t
(6)
ò
=
5
0
02sin
)5)(5,2(
1
tdt
p
¢

Nhận xét về kết quả: Do f
1
(t) = x(t), hai tín hiệu có khả năng tương đồng tối đa và c
n
= 1.
Tuy nhiên, tín hiệu f
2
(t) còn cho thấy khả năng tương đồng tối đa với c
n
= 1. Lý do từ
định nghĩa c
n
dùng đo lường tính tương đồng của dạng sóng; và độc lập với biên độ

(cường độ) của các tín hiệu so sánh. Tín hiệu f
2
(t) giống hệt x(t) về hình dạng; chỉ có
biên độ (cường độ) là khác nhau. Do đó, c
n
= 1. Mặt khác, tín hiệu f
3
(t) cho thấy khả năng
không tương đồng tối đa với x(t) do bằng với - x(t). Trường hợp f
4
(t), c
n
= 0,961, cho thấy
có độ tương đồng cao với x(t). Điều này hợp lý do f
4
(t) rất giống với x(t) trong thời gian
tồn tại của x(t) (từ 0 £ t £ 5). Qua kiểm tra, ta chú ý là là độ biến thiên hay thay đổi trong
x(t) và f
4
(t) có tốc độ giống nhau. Đây không phải là trường hợp của f
5
(t), khi ta nhận thấy
là tốc độ thay đổi của f
5
(t) thường cao hơn của x(t). Hai tín hiệu vẫn còn tương đồng
nhau, đều còn giữa giá trị dương, và chưa có dao động. Hai tín hiệu đều có giá trị zêrô
hay cường độ rất bé khi t > 5. Như thế, f
5
(t) tương đồng với x(t), nhưng không tương
đồng như f

4
(t). Điều này giải thích tại sao f
5
(t) có c
n
= 0,628. Tín hiệu f
6
(t) thì trực giao
với x(t), nên có c
n
= 0. Điều này cho thấy sự không tương đồng trong trường hợp này
không mạnh như như trường hợp f
3
(t) có c
n
= – 1. Kết luận này có vẽ kỳ cục do f
3
(t) có
vẽ như tương đồng với x(t) nhiều hơn so với f
6
(t). Tính không tương đồng giữa x(t) và
f
6
(t) có bản chất từ sự không ưa nhau (worst enemy); đó là chúng rất tương đồng nhau,
nhưng theo hướng ngược lại. Nói khác đi, tính không tương đồng giữa x(t) và f
6
(t) bắt
nguồn từ việc chúng có không giống nhau. Do đó tính không tương đồng giữa x(t) và
f
3

(t) có mức độ thấp hơn.

r Bài tập E3.3
Chứng tõ là c
n
của tín hiệu f
2
(t) và f
3
(t) trong hình 3.4 là – 1; của f
2
(t) và f
4
(t) là 0,961,
và của f
3
(t) và f
6
(t) là zêrô. s

3.2-1 Ứng dụng để phát hiện tín hiệu

Tính tương quan giữa hai tín hiệu là ý niệm cực kỳ quan trọng nhằm đo lường mức
tương đồng giữa hai tín hiệu. Ý niệm này được dùng rộng rải để xử lý tín hiệu radar,
sonar, thông tin số, quân sự và nhiều ứng dụng khác.
Ta giải thích ý niệm này dùng thí dụ trong radar khi tín hiệu xung được phát đi nhằm
phát hiện các mục tiêu khả nghi. Khi mục tiêu xuất hiện, xung được nó phản xạ lại, khi
không có mục tiêu thì không có tín hiệu phản xạ, mà chỉ có nhiễu.
Sự hiện diện hay không hiện diện của xung phản xạ xác nhận sự hiện diện hay
không hiện diện của mục tiêu. Vấn đề cốt lõi ở đây là để phát hiện được xung phản xạ bị

suy giảm rất nhiều (dạng sóng đã biết) bị nhiễu che lấp. Trong trường hợp này, yếu tố
tương quan giữa xung nhận được và xung phát đi là trợ giúp quan trọng. Tình huống
tương tự tồn tại trong thông tin số khi ta cần phát hiện sự hiện diện của một trong hai
dạng sóng đã biết với sự hiện diện của nhiễu.
Ta bắt đầu giải thích phương thức phát hiện tín hiệu dùng kỹ thuật tương quan. Xét
trường hợp thông tin nhị phân (hai bit), trong đó hai dạng sóng đã được biết được nhận
theo trình tự ngẫu nhiên.Trong mỗi thời điểm, ta nhận một xung và nhiệm vụ của ta là
xác định xem đã nhận xung nào trong hai dạng xung đã biết. Để phát hiện dễ dàng hơn, ta
cần làm cho hai xung này không tương đồng càng nhiều càng tốt. Do đó, ta nên chọn
xung âm so với xung kia. Lựa chọn này cho ta tính không tương đồng lớn nhất (c
n
= – 1).
Sơ đồ này đôi khi còn được gọi là sơ đồ đối cực (antipodal). Ta cũng có thể chọn xung
trực giao để có c
n
= 0. Trong thực tế thường dùng cả hai lựa chọn này, cho dù sơ đồ đối
cực cho phép phân biệt hai xung tốt nhất.

Xét tiếp sơ đồ đối cực trong đó hai xung là p(t) và – p(t). Hệ số tương quan c
n
của
các xung này là –1. Giả sử không có nhiễu và truyền dẫn là hoàn hảo. Máy thu có bộ
tương quan để tính tương quan giữa p(t) và xung thu được. Nếu tương quan là 1, ta khẳng
định thu được p(t), và nếu tương quan là –1, ta khẳng định thu được – p(t). Nhờ có khả
năng không tương đồng lớn nhất giữa hai xung, nên việc tách xung dễ dàng. Tuy nhiên
trong thực tế, quá trình truyền thường không hoàn hảo, có nhiễu len vào tín hiệu thu.
Đồng thời, khi truyền, tín hiệu còn bị méo dạng và có thể bị trùng lắp nhau, làm thay đổi
hình dạng tín hiệu thu được nên hệ số tương quan không còn là ±1, có biên độ bé, làm
giảm khả năng phân biệt xung. Ta dùng bộ tách xung theo ngưỡng, nhằm quyết định là
nếu hệ số tương quan là dương (c

n
> 0), thì xung thu được là p(t), và nếu tương quan là
âm (c
n
< 0), thì xung là – p(t).

Thí dụ, giả sử ta truyền p(t). Trong trường hợp lý tưởng, tương quan giữa xung này
tại máy thu là 1, là khả năng tối đa. Do ảnh hưởng của nhiễu và các yếu tố không hoàn
hảo khác, tương quan sẽ nhỏ hơn 1. Trong một số trường hợp tới hạn, yếu tố nhiễu và
trùng lắp với các xung khác làm xung này rất khác với xung p(t) và tương quan có giá trị
âm. Trong trường hợp này thì bộ tách xung theo ngưỡng lại khẳng định xung nhận được
là – p(t), làm quá trình tách xung bị sai. Tương tự, khi truyền – p(t), thì yếu tố nhiễu trong
kênh truyền, yếu tố méo dạng xung và trùng lắp xung có thể làm tương quan là dương,
làm quá trình tách xung bị sai. Nhiệm vụ của ta là đảm bảo xung truyền có năng lượng đủ
lớn nhằm giữa cho các tổn thất do nhiễu nằm trong một giới hạn và sai số nằm trong biên
cho phép. Trong trường hợp lý tưởng, biên này do tương quan c
n
cung cấp nhằm phân
biệt được hai xung là 2 (từ 1 đến –1 và ngược lại). Yếu tố nhiễu và tính không hoàn hảo
khi truyền làm giảm biên này. Điều này, giải thích tại sao yếu tố quan trọng nhất vẫn là
bắt đầu với biên càng lớn càng tốt. Do đó, sơ đồ đối cực có tính năng tốt nhất nhằm để
chống nhiễu và các yếu tố không hoàn hảo khi truyền. Tuy nhiên, như đã nói ở trên, do
còn có các lý do khác, nên nhiều sơ đồ, thí dụ sơ đồ trực giao với c
n
= 0 cũng được dùng
dù có biên nhỏ hơn (từ 0 đến 1 và ngược lại) nhằm phân biệt các xung.
Một số dạng tán xạ xung đã được thảo luận trong phần 2.7-5 và 2.7-6. Trong
chương 4, ta sẽ thảo luận về méo dạng xung khi truyền. Tính toán xác suất sai số khi có
nhiễu và các yếu tố không hoàn hảo khác nằm ngoài phạm vi tài liệu này, độc giả có thể
tham khảo thêm tài liệu.

3.2-2 Hàm tương quan
Xét ứng dụng tương quan để phát hiện tín hiệu trong radar, trong đó xung được phát đi
nhằm phát hiện các mục tiêu khả nghi. Khi mục tiêu xuất hiện, xung được nó phản xạ lại,
khi không có mục tiêu thì không có tín hiệu phản xạ, mà chỉ có nhiễu. Bằng cách phát
hiện sự tồn tại hay không tồn tại của xung phản xạ ta khẳng định được sự tồn tại hay
không tồn tại của mục tiêu. Bằng cách đo thời gian trễ giữa xung truyền và xung nhận
được (phản xạ) ta xác định được cự ly của mục tiêu. Gọi xung truyền và xung phản xạ lần
lượt là g(t) và f(t), như vẽ trong hình 3.5. Nếu ta đã dùng trực tiếp phương trình (3.25) để
đo hệ số tương quan c
n
, ta có:

ò
¥
¥-
== 0)()(
1
dttgtf
EE
c
gf
n
(3.29)
Tương quan là zêrô do các xung này tách biệt theo thời gian. Tích phân (3.29) có
giá trị zêrô ngay khi các xung giống hệt nhau nhưng có dời theo thời gian. Để giải quyết
vấn đề này, ta so sánh xung nhận được f(t) với xung bị trễ theo thời gian g(t) với nhiều

giá trị trễ. Nếu với một số tham số trễ làm tương quan mạnh hơn, ta không chỉ phát hiện
được xung mà cỏn phát hiện được thời gian dời của f(t) theo g(t). Do đó, thay vì dùng tích
phân bên vế phải, ta dùng một tích phân
y
fg
(t) được gọi là hàm tương quan chéo của hai
tín hiệu thực f(t) và g(t), được định nghĩa theo:

ò
¥
¥-
-=
ttty
dtgft
fg
)()()(
(3.30)
Với
t
là biến phụ, và xung g(
t
– t) là xung g(
t
) dời đi t giây theo xung f(
t
). Do đó,
y
fg
(t)
chỉ thị tính tương đồng (tương quan) giứa xung f và xung g dời đi t giây. Do đó,

y
fg
(t) đo
lường tính tương đồng của xung kể cả khi chúng tách biệt nhau. Trong trường hợp tín
hiệu trong hình 3.5,
y
fg
(t) cho thấy tương quan đáng kể chung quanh t = T. Quan sát này
cho phép ta không chỉ phát hiện sự hiện hữu của mục tiêu mà còn tính được cự ly của
mục tiêu.

Tích chập và tương quan
Ta xem xét quan hệ khắn khít giữa tích chập và tương quan của f(t) và g(t) (từ
phương trình 3.30). Chú ý là xung g(
t
– t) là xung g(
t
) dời đi t giây. Do đó,
y
fg
(t) là
vùng diện tích do tích giữa xung f và xung g dời t theo thời gian (không có đảo). Tương
tự, ta thấy trong phép tính tích chập cũng theo các bước tương tự, trừ việc xung g được
đảo trước khi dời t theo thời gian. Quan sát này gợi đến ý
y
fg
(t) bằng f(t)*g(–t) [tích chập
của f(t) với g(t) đảo theo thời gian), tức là:
)(*)()( tgtft
fg

-=
y
(3.31)
Phần chứng minh như sau: Đặt g( – t) = w(t)

òò
¥
¥-
¥
¥-
=-=-==- )()()()()()(*)()(*)( tdtgfdtwftwtftgtf
fg
ytttttt

Nhắc lại,
y
fg
(t) là vùng diện tích do tích giữa xung f và xung g dời t theo thời gian (không
có đảo), và cho bởi tích chập của f(t) và g(–t).

r Bài tập E 3.4
Chứng minh là
y
fg
(t), hàm tương quan của f(t) và g(t) trong hình 2.11 cho bởi c(t)
trong hình 2.12. s

r Bài tập E 3.5
Chứng minh
y

fg
(t), hàm tương quan của f(t) và g(t) trong hình 2.12 cho bởi c(t) trong
hình 2.12. s

Hàm tự tương quan
Tương quan giữa tín hiệu với chính nó được gọi là tự tương quan. Hàm tự tương
quan
y
f
(t) của tín hiệu f(t) được định nghĩa là

ò
¥
¥-
-º
ttty
dtfft
f
)()()(
(3.32)
Trong chương 4, ta sẽ chứng minh là hàm tự tương quan cung cấp thông tin phổ rất có giá
trị về tín hiệu.


3.3 Biểu diễn tín hiệu dùng tập tín hiệu trực giao
Phần này trình bày phương pháp biểu diễn tín hiệu theo tổng các tín hiệu trực giao.
Dùng ý niệm vectơ, ta biết là có thể biểu diễn vectơ thành tổng các vectơ trực giao, nhằm
tạo hệ trục trong không gian vectơ. Vấn đề này tương tự trong tín hiệu với kết quả là tín
hiệu song song với trường hợp của vectơ. Hảy xét lại trường hợp biểu diễn dùng vectơ.

3.3-1 Không gian vectơ trực giao
Xét không gian vectơ 3 chiều Cartesian mô tả dùng ba vectơ trực giao tương hỗ x
1
,
x
2
, x
3
vẽ trong hình 3. 6. Đầu tiên, ta tìm cách xấp xỉ vectơ ba chiều f theo hai vectơ trực
giao tương hỗ x
1
và x
2
:

2211
xcxcf +@
Sai số e của xấp xỉ này là

)(
2211
xcxcfe +-=

Hay

excxcf ++= )(
2211

Dùng các phương pháp hình học, ta thấy trong hình 3.6 là độ dài của e tối thiểu khi e
vuông góc với mặt phẳng x

1
– x
2
, và c
1
x
1
và c
2
x
2
là lần lượt là hình chiếu (các thành
phần) của f lên x
1
và x
2
. Do đó, các hằng số c
1
và c
2
được cho bởi phương trình (3.6).
Quan sát thấy vectơ sai số trực giao với cả hai vectơ x
1
và x
2
.
Tiếp tục xác định xấp xỉ “tốt nhất” cho f theo mọi thành phần vectơ trực giao
tương hỗ x
1
, x

2
, và x
3:

332211
xcxcxcf ++@ (3.33)
Hình 3.6 vẽ chọn lựa duy nhất của tồn tại c
1
, c
2
, và c
3
, theo đó phương trình (3.33) không
còn là phép xấp xỉ mà là đẳng thức:

332211
xcxcxcf ++= (3.34)
Trong trường hợp này, c
1
x
1
,

c
2
x
2
và c
3
x

3
lần lượt là ánh xạ (thành phần) của f lên x
1
, x
2
,
và x
3
; tức là

ii
i
i
xx
xf
c
.
.
=
(3.35a)

3,2,1.
1
2
== ixf
x
c
i
i
i

(3.35b)
Chú ý là sai số trong phép xấp xỉ là zêrô khi f được xấp xỉ theo ba vectơ trực giao tương
hỗ: x
1
, x
2
, và x
3
. Lý do là f là vectơ ba chiều, và các vectơ x
1
, x
2
, và x
3
biểu diễn tập đầy
đủ của vectơ trực giao trong không gian ba chiều. Tính đầy đủ ở đây tức là không thể tìm
vectơ x
4
khác trong không gian này, và trực giao được với tất cả ba vectơ x
1
, x
2
, và x
3
.
Mọi vectơ trong không gian này đều có thể được biểu diễn (với sai số zêrô) theo ba vectơ
trên. Các vectơ này được gọi là các vectơ cơ sở. Nếu tập các vectơ {x
i
} không đầy đủ, sai
số xấp xỉ thường khác zêrô. Do đó, trong trường hợp không gian ba chiều vừa thảo luận,

thường không thể biểu diễn vectơ f chỉ với hai vectơ cơ sở mà không bị sai số.
Có nhiều cách lựa chọn vectơ cơ sở. Trong thực tế, tập các vectơ cơ sở tương ứng
với chọn lựa đặc thù của hệ trục tọa độ. Do đó, vectơ ba chiều f có thể được biểu diễn với
nhiều cách khác nhau, tùy theo hệ trục được dùng.

3.3-2 Không gian tín hiệu trực giao
Đàu tiên, ta khảo sát tín hiệu thực, rồi mở rộng sang trường hợp tín hiệu phức.
Dùng ý niệm về xấp xỉ tín hiệu hiệu phát triển từ phương pháp xấp xỉ vectơ. Ta định
nghĩa tính trực giao ta tập tín hiệu thực x
1
(t), x
2
(t), . . . , x
N
(t), trong khoảng [t
1
, t
2
] là

ò
î
í
ì
=
¹
=
2
1
0

)()(
t
t
n
nm
nmE
nm
dttxtx (3.36)
Nếu năng lượng E
n
= 1 với mọi n, thì tập là chuẩn và được gọi là tập trực giao.
Tập trực giao có thể chuẩn hóa bằng cách chia x
n
(t) cho
n
E với mọi n.
Xét phép xấp xỉ tín hiệu f(t) trong khoảng [t
1
, t
2
] dùng tập thực N, gồm các tín hiệu
trực giao tương hỗ x
1
(t), x
2
(t), . . . , x
N
(t) là

)()()()(

2211
txctxctxctf
NN
+++@
L
(3.37a)

å
=
=
N
n
nn
txctf
1
)()(
(3.37b)
Sai số e(t) trong xấp xỉ (3.37) là

å
=
-=
N
n
nn
txctfte
1
)()()(
(3.38)
Trong phụ lục 3A sẽ chứng minh là năng lượng E

e
của tín hiệu sai số e(t), được tối thiểu
hóa nếu chọn

ò
ò
=
1
1
1
1
)(
)()(
2
t
t
n
t
t
n
n
dttx
dttxtf
c (3.39a)

Nndttxtf
E
c
t
t

n
n
n
,,2,1)()(
1
1
1
L==
ò
(3.39b)
Trong phụ lục 3A cho thấy khi lựa chọn c
n
, thì năng lượng E
e
của tín hiệu sai số e(t) sẽ là

ò
å
=
-=
1
1
1
22
)(
t
t
N
n
nne

EcdttfE
(3.40)
Ta thấy thường năng lượng sai số E
e
giảm theo số lượng thừa số N, nhưng trường hợp
này lại tăng do thừa số c
k
2
E
k
là không âm. Vậy, năng lượng sai số có thể ¦0 khi N ¦ ¥.
Trường hợp này, tập tín hiệu trực giao được gọi là tập đầy đủ. Phương trình (3.37a)
không còn là xấp xỉ mà là đẳng thức.

)()()()(
2211
txctxctxctf
NN
+++=
L


21
1
)()( ttttxctf
n
nn
££=
å
¥

=
(3.41)
Trong đó các hệ số c
n
lấy từ phương trình (3.39). Do năng lượng tín hiệu sai số tiến về
zêrô, nên năng lượng của f(t) bằng với tổng của năng lượng các thành phần trực giao
c
1
x
1
(t), c
2
x
2
(t), c
3
x
3
(t) . . . , .
Chuỗi bên vế phải của phương trình (3.41) được gọi là chuỗi Fourier tổng quát
của f(t) theo tập {x
n
(t)}. Khi tập {x
n
(t)} có năng lượng sai số E
e
¦0 khi N ¦ ¥ với mọi
thành phần của một lớp tín hiệu đặc thù, ta nói là tập {x
n
(t)} là tập đầy đủ trong [t

1
, t
2
] với
lớp tín hiệu f(t), và tập {x
n
(t)} được gọi là hàm cơ sở hay tín hiệu cơ sở. Ngoài những
ghi chú riêng, từ đây về sau, tài liệu này chỉ khảo sát tín hiệu năng lượng.


Vậy, khi tập {x
n
(t)} là đầy đủ, ta có đẳng thức (3.41). Một điểm nhỏ cần được
làm rõ là ý nghĩa của đẳng thức trong phương trình (3.41). Đẳng thức trong trường hợp
này không phải là đẳng thức theo nghĩa thông thường, mà theo ý nghĩa của năng lượng
sai số, tức là, năng lượng của sai biệt giữa hai vế của phương trình (3.41) tiến về zêrô.
Nếu hiểu theo nghĩa thông thường thì năng lượng sai số phải luôn là zêrô, nhưng ngược
lại là không đúng. Năng lượng sai số có thể tiến về zêrô ngay cả khi sai biệt hai vế e(t) là
khác zêrô trong một khỏng thời gian tách biệt nào đó. Lý do là nagy cả khi e(t) khác zêrô
trong các khoảng thời gian này, thì phần diện tích e
2
(t) vẫn là zêrô; nên chuỗi Fourier bên
vế phải phương trình (3.41) có thể khác f(t) tại một số hữu hạn các điểm. Trong thực tế,
khi f(t) có bước nhảy gián đoạn tại t = t
0
, chuỗi Fourier tương ứng tại hội tụ về trị trung
bình của f(t
0
+
) và f(t

0
-
).
Trong phương trình (3.41), năng lượng vế trái là E
f
, và năng lượng của vế phải là
tổng năng lượng các thành phần trực giao. Do đó

å
ò
¥
=
=++=
1
2
2
2
21
2
1
2
2
1
)(
n
nn
t
t
EcEcEcdttf L
(3.42)

Phương trình này được gọi là định lý Parseval. Nhắc lại là năng lượng tín hiệu (vùng
diện tích của trị bình phương tín hiệu) thì tương tự như độ dài của vectơ trong phép tương
đồng vectơ – tín hiệu. Trong không gian vectơ ta biết là bình phương của vectơ thì bằng
với tổng các bình phương của độ dài và các thành phần trực giao. Phương trình (3.42)
khẳng định điều áp dụng cho các tín hiệu.

Tổng quát cho tín hiệu phức
Kết quả trên có thể dùng cho các tín hiệu phức: Tập các hàm x
1
(t), x
2
(t), . . . , x
N
(t) là
trực giao tương hỗ trong khoảng [t
1
, t
2
] khi

ò
î
í
ì
=
¹
=
2
1
0

)(*)(
t
t
n
nm
nmE
nm
dttxtx (3.43)
Nếu tập là đầy đủ trong một số lớp tín hiệu, thì hàm f(t) trong lớp này có thể viết thành

L
L
++++= )()()()(
2211
txctxctxctf
ii
(3.44)

dttxtf
E
c
t
t
n
n
n
)(*)(
1
2
1

ò
=
(3.45)
Phương trình (3.39) hay phương trình (3.45) cho thấy một tính chất quan trọng của hệ
số c
1
, c
2
, . . . , c
N
; giá trị tối ưu của các hệ số trog phép xấp xỉ (3.37) là độc lập với số
lượng thừa số dùng trong phép xấp xỉ. Thí dụ, nếu ta chỉ dùng một thừa số (N=1) hay hai
thừa số (N=2) hay với bất kỳ thừa số nào, trị tối ưu của hệ số c
1
là như nhau (như trong
phương trình (3.39). Ưu điểm của phép xấp xỉ tín hiệu f(t) dùng các tín hiệu trực giao
tương hỗ là việc ta có thể tiếp tục thêm các thừa số vào phép xấp xỉ mà không làm ảnh
hưởng đến các thừa số trước đó. Đặc tính về tính finality các giá trị của các hệ số là rất
quan trọng trong thực tế.

Một số thí dụ về chuỗi Fourier tổng quát
Tín hiệu là vectơ theo mọi ý nghĩa. Tương tự vectơ, một tín hiệu có thể được biểu
diễn thành tổng các thành phần theo nhiều cách khác nhau. Giống như hệ trục tọa độ
vectơ được tạo nên từ các vectơ trực giao tương hỗ (hệ vuông góc, hệ trụ, hệ cầu), ta
cũng có hệ tọa độ tín hiệu (tín hiệu cơ sở) tạo nên từ nhiều tập tín hiệu trực giao tương
hỗ. Có rất nhiều tập tín hiệu trực giao có thể dùng như tín hiệu cơ sở trong chuỗi Fourier
tổng quát. Một số tập tín hiệu nổi tiếng là hàm lượng giác (sin), hàm mủ, hàm Waish,
hàm Bessel, đa thức Legendre, hàm Laguerre, đa thức Jacobi, đa thức Hermite, và đa
thức Chebyshev. Tài liệu này chỉ quan tâm đến các tập hàm lượng giác và hàm mủ.
Đôi dòng lịch sử: Nam tước Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830)

3.4 Chuỗi Fourier lượng giác

Xét tập tín hiệu {1, cos
w
0
t, cos2
w
0
t, . . . , cosn
w
0
t, , . . .;
sin
w
0
t, sin2
w
0
t, . . . , sinn
w
0
t, . . . } (3.46)
Sóng sin với tần số n
w
0
đươc gọi là hài bậc n của sóng sin tần số
w
0
khi n là số nguyên.

Trong tập này sóng sin tần số
w
0
được gọi là thành phần cơ bản. Chú ý là thừa số hằng 1
là hài bậc 0 trong tập do cos(0 x
w
0
t) = 1.
Phụ lục 3B chứng minh đây là tập trực giao trong mọi khoảng tồn tại T
0
= 2
p
/
w
0
, gọi
là chu kỳ cơ bản. Đặc biệt, cũng chứng minh là

ò
î
í
ì
¹=
¹
=
0
02/
0
coscos
0

00
T
mnT
mn
tmtn
ww
(3.47a)

ò
î
í
ì
¹=
¹
=
0
02/
0
sinsin
0
00
T
mnT
mn
tmtn
ww
(3.47b)

ò
=

0
0cossin
00
T
tmtn
ww
với mọi n và m (3.47c)
Ý niệm f
T0
là tích phân trong khoảng từ t = t
1
đến t
1
+ T
0
với mọi giá trị của t
1
. Phương
trình này cho thấy tập (3.46) là trực giao trong mọi khoảng kề nhau của thời gian tồn tại
T
0
. Đây là tập lượng giác, có thể chứng minh là tập đủ. Do đó, có thể biểu diễn tín hiệu
f(t) thành chuỗi Fourier lượng giác trong thời gian T
0
giây theo
f(t) = a
0
+ a
1
cos

w
0
t + a
2
cos2
w
0
t + . . .
+ b
1
sin
w
0
t + b
2
sin2
w
0
t + . . . t
1
£ t £ t
1
+T
0
(3.48a)
Hay

å
¥
=

++=
1
000
sincos)(
n
nn
tnbtnaatf
ww
t
1
£ t £ t
1
+T
0
(3.48b)
Với

0
0
2
T
p
w
=
(3.49)
Từ phương trình (3.39), ta xác định các hệ số Fourier a
0
, a
n
, và b

n
. Do đó

ò
ò
+
+
=
01
1
01
1
0
2
0
cos
cos)(
Tt
t
Tt
t
n
tdtn
tdtntf
a
w
w
n = 1, 2, 3, … (3.50)
Tích phân trong mẫu số của phương trình (3.50) theo phương trình (3.47a) (với m = n) là
T

0
/2 khi n ¹ 0. Hơn nữa, khi n = 0 thì mẫu số là T
0
. Do đó

ò
+
=
01
1
00
cos)(
Tt
t
tdtntfa
w
n = 1, 2, 3, … (3.51a)
Và

ò
+
=
01
1
0
0
cos)(
2
Tt
t

n
tdtntf
T
a
w
n = 1, 2, 3, … (3.51b)
Tương tự

ò
+
=
01
1
0
0
sin)(
2
Tt
t
n
tdtntf
T
b
w
n = 1, 2, 3, … (3.51c)

Dạng gọn của chuỗi Fourier
Chuỗi Fourier lượng giác trong phương trình (3.48) chứa các thừa số sin và cos
với cùng tần số. Có thể kết hợp lại thành một dạng sin với dùng tần số dùng đẳng thức
lượng giác

a
n
cos n
w
0
t + b
n
sin n
w
0
t = C
n
cos(n
w
0
t +
q
n
) (3.52)
với

22
nnn
baC += (3.53a)

÷
÷
ø
ö
ç

ç
è
æ
-
=
-
n
n
n
a
b
1
tan
q
(3.53b)
Để thống nhất, ta viết thừa số dc a
0
theo C
0
, tức là
C
0
= a
0
(3.53c)
Dùng đẳng thức (3.52), chuỗi Fourier lượng giác trong phương trình (3.48) có thể viết
thành dạng gọn của chuỗi Fourier theo

)cos()(
1

00 n
n
n
tnCCtf
qw
++=
å
¥
=
t
1
£ t £ t
1
+T
0
(3.54)
Các hệ số C
n
và
q
n
được tính từ a
n
và b
n
dùng phương trình (3.53).
Phương trình 3.51a cho thấy a
0
(hay C
0

) là trị trung bình của f(t) (lấy trung bình
trong một chu kỳ). Giá trị này thường được xác định bằng cách kiểm tra f(t).

¢ Thí dụ 3.3
Tìm dạng gọn của chuỗi Fourier của hàm mủ e
-t/2
vẽ trong hình 3.7a trong khoảng
tô bóng 0 £ t £ p.
Do chỉ biểu diễn f(t) thành dạng chuỗi Fourier lượng giác trong khoảng 0 £ t £ p,
T
0
= p, và tần số cơ bản là

2
2
0
0
==
T
p
w
, do đó
å
¥
=
++=
1
0
2sin2cos)(
n

nn
ntbntaatf
0 £ t £ p.
Với (từ phương trình (3.51a)

ũ
==
-
p
p
0
2/
0
504,0
1
dtea
t


ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+
==
ũ
-
2

0
2/
161
2
504,02cos
2
n
ntdtea
t
n
p
p


ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+
==
ũ
-
2
0
2/
161
8
504,02sin

2
n
n
ntdteb
t
n
p
p

Do ú

ỳ
ỷ
ự
ờ
ở
ộ
+
+
+=
ồ
Ơ
=1
2
)2sin42cos(
161
2
1504,0)(
n
ntnnt

n
tf
p
Ê
Ê
t0

tỡm dng chui Fourier gn, tớnh cỏc h s t phng trỡnh (3.53) theo
504,0
00
== aC

ỳ
ỷ
ự
ờ
ở
ộ
+
=
+
+
+
=+=
2
22
2
22
22
161

2
504,0
)161(
64
)161(
4
504,0
n
n
n
n
baC
nnn

nn
a
b
n
n
n
4tan)4(tantan
111
-=-=
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố

ổ
-
=
q
(3.55)




Cỏc giỏ tr C
n
v
q
n
cho trng hp dc v by hi u c tớnh t cỏc phng trỡnh
trờn v v trong bng 3.1. T cỏc giỏ tr ny, ta biu din f(t) theo dng chui Fourier gn

å
¥
=
-
-
+
+=
1
1
2
)4tan2(cos
161
2

504,0504,0)(
n
nnt
n
tf
p
£
£
t0 (3.56a)
= 0,504 + 0,244cos(2t - 75,96
0
) + 0,125cos(4t - 82,87
0
)
+ 0,084cos(6t - 85,24
0
) + 0,063cos(6t - 86, 42
0
) + …
p
£
£
t0
(3.56b)
Nhắc lại vế phải chỉ biểu diễn e
– t/2
trong khoảng từ 0 đến p. Ngoài khoảng này, hai vế
không nhất thiết phải bằng nhau.

Bảng 3.1

n 0 1 2 3 4 5 6 7
C
n
0,504 0,244 0,125 0,084 0,063 0,0504 0,042 0,036
q
n

0 -75,96 - 82,87 -85,24 -86,42 -87,14 -87,61 -87,95
¢
Tính tuần hoàn của chuỗi Fourier lượng giác
Ta đã chứng minh phương thức biểu diễn một tín hiệu bất kỳ f(t) thành chuổi
Fourier lượng giác trong các khoảng T
0
giây. Trong thí dụ 3.3, ta chỉ biểu diễn e
– t/2
trong
một khoảng từ 0 đến p/2. Chuỗi Fourier tính từ phương trình (3.56) chỉ bằng e
– t/2
trong
khoảng này thôi. Bên ngoài khoảng này chuỗi không nhất thiết phải bằng e
– t/2
. Cũng
cần xem bên ngoài khoảng này thì chuỗi Fourier ra sao. Ta sẽ chứng minh là chuỗi
Fourier lượng giác là hàm tuần hoàn với chu kỳ T
0
(chu kỳ cơ bản). Gọi chuỗi Fourier
bên vế phải của phương trình (3.54) là
j
(t), thì

å
¥
=
++=
1
00
)cos()(
n
nn
tnCCt
qwj
với mọi t
Và

å
¥
=
+++=+
1
0000
])(cos[)(
n
nn
TtnCCTt
qwj


å
¥
=

+++=
1
00
])2(cos[
n
nn
ntnCC
qpw


å
¥
=
=++=
1
00
)()cos(
n
nn
ttnCC
jqw
với mọi t (3.57)
Kết quả này chứng tõ là chuỗi Fourier lượng giác là hàm tuần hoàn với chu kỳ T
0

(chu kỳ cơ bản). Thí dụ,
j
(t) là chuỗi Fourier bên vế phải của phương trình (3.56), là hàm
tuần hoàn với các thời đoạn của f(t) trong khoảng (0 £ t £ p) lập lại tuần hoàn theo từng p
giây, vẽ trong hình 3.7b. Do đó, khi ta biểu diễn tín hiệu f(t) dùng chuỗi lượng giác trong

một thời khoảng T
0
nào đó, thì hàm f(t) và chuỗi Fourier tương ứng
j
(t) chỉ cần bằng
nhau trong khoảng T
0
này thôi. Ngoài khoảng này, chuỗi Fourier lặp lại một cách tuần
hoàn với chu kỳ T
0
.
Nếu khi f(t) tự thân đã là hàm tuần hoàn với chu kỳ T
0
, thì chuỗi Fourier biểu diễn
f(t) trong khoảng T
0
cũng biểu diễn f(t) với mọi t (không chỉ trong khoảng T
0
). Một điều
thú vị nữa, là theo hình 1.7 thì tín hiệu tuần hoàn f(t) có thể được sinh ra từ việc lặp lại có
chu kỳ các thời đoạn có độ rộng là T
0
. Do đó, chuỗi Fourier lượng giác biểu diễn một thời
đoạn của f(t) tại thời điểm bắt đầu bất kỳ cũng biểu diễn f(t) với mọi t. Do đó, khi tính
toán các hệ số a
0
, a
n
và b
n

, ta có thể dùng giá trị t
1
bất kỳ trong phương trình (3.51). Nói
cách khác, ta có thể lấy tích phân này trong mọi khoảng T
0
. Vậy các hệ số của chuỗi
Fourier biểu diễn tín hiệu tuần hoàn f(t) (với mọi t) có thể viết thành.

ò
=
0
)(
1
0
0
T
dttf
T
a (3.58a)

ò
=
0
0
0
cos)(
2
T
n
tdtntf

T
a
w
n = 1, 2, 3, … (3.58b)

ò
=
0
0
0
sin)(
2
T
n
tdtntf
T
b
w
n = 1, 2, 3, … (3.58c)
Với
ò
0
T
là tích phân trong khoảng T
0
giây

Phổ Fourier
Chuỗi Fourier gọn trong phương trình (3.54) cho thấy là tín hiệu tuần hoàn f(t) có
thể được viết thành tổng các sóng sin có tần số 0 (dc),

w
0
, 2
w
0
, . . . , n
w
0
, với các biên độ
lần lượt là C
0
, C
1
, C
2
, . . . , C
n
, . . . và có pha là 0,
q
1
,
q
2
, . . . ,
q
n
, . . . Ta vẽ đồ thị biên
độ C
n
theo

w
(phổ biên độ) và
q
n
theo
w
(phổ pha). Hai đồ thị này gọi chung là phổ tần
số của f(t).

Hình 3.7c và 3.7d vẽ phổ biên độ và phổ pha của tín hiệu tuần hoàn
j
(t); tức là biên
độ và pha của nhiều thành phần sóng sin của
j
(t). Khi biết được phổ tần số, ta có thể tái
tạo hay tổng hợp
j
(t), như trong vế phải của phương trình (3.56). Do đó, phổ tần số trong
hình 3.7c và 3.7d cung cấp dạng mô tả khác là dạng mô tả trong miền tần số của
j
(t).
Mô tả trong miền thời gian của
j
(t) vẽ trong hình 3.7b. Do đó, một tín hiệu có hai dạng:
mô tả trong miền thời gian
j
(t) và mô tả trong miền tần số (phổ Fourier). Hai dạng này
bổ sung cho nhau, giúp hiểu rõ hơn bản chất của tín hiệu.

Hội tụ của chuỗi và các bước nhảy gián đoạn

Điều thú vị trong chuỗi Fourier là khi f(t) có bước nhảy gián đoạn, chuỗi tại điểm
gián đoạn lại hội tụ về trung bình của vế trái và giới hạn của vế phải của f(t) tại thời điểm
gián đoạn. Thí dụ, hình 3.7b,
j
(t) gián đoạn tại t = 0 với
j
(0
+
) = 1 và
j
(0
-
) = e
-p/2
=
0,208. Chuỗi Fourier tương ứng hội tụ về giá trị (1+0,02008)/2 = 0,604 tại t = 0. Có thể
kiểm nghiệm dễ dàng từ hình 3.56b bằng cách cho t = 0.

Tồn tại của chuỗi Fourier: Điều kiện Dirichlet
Hai điều kiện cơ bản cho tồn tại của chuỗi Fourier là:
1. Để chuỗi tồn tại thì các hệ số a
0
, a
n
, và b
n
trong phương trình (3.51) phải hữu hạn.
Từ các phương trình (3.51a), (3.51b), và (3.51c) thì các hệ số này tồn tại nếu f(t)
là tích phân tuyệt đối trong một chu kỳ, tức là:

ò
¥<
0
)(
T
dttf
(3.59)
Điều kiện này gọi là điều kiện Dirichlet yếu. Nếu hàm f(t) thỏa điều kiện Dirichlet yếu,
thì điều kiện tồn tại của chuỗi Fourier được thỏa, nhưnh chuỗi có thể không hội tụ tại mọi
điểm. Thí dụ, nếu hàm f(t) là không hữu hạn tại một số điểm, thì rõ ràng chuỗi biểu diễn
hàm sẽ không hội tụ tại các điểm này. Tương tự, nếu hàm có vô số điểm cực đại và cực
tiểu trong một chu kỳ, thì hàm chứa lượng đáng kể các thành phần tần số tiến về vô cùng.
Do đó, các hệ số của chuỗi tại tần số cao không suy giảm nhanh, nên chuỗi không hội tụ
u v nhanh. Vy, chui Fourier hi t, ngoi iu kin (3.59), cn cú thờm iu kin
sau

2. Hm f(t) ch cú hu hn cỏc im cc i v cc tiu trong mt chu k, v ch
cú mt s hu hn cỏc im giỏn on trong mt chu k. Hai iu kin ny c gi l
iu kin Dirichlet mnh. Cn chỳ ý l cỏc tớn hiu tun hon t cỏc phũng thớ nghim
tha iu kin Dirichlet, nờn u cú chui Fourier hi t. Vy, cỏc tớn hiu tun hon
trong thc t u tha iu kin chui hi t.

 Thớ d 3.4
Tm chui Fourier lng giỏc dng gn ca súng vuụng tun hon f(t) v trong hỡnh
3.8a, ri v ph biờn v ph pha.

Trng hp ny, T
0
= 2p v
w

0
= 2p/ T
0
= 1. Do ú

ồ
Ơ
=
++=
1
0
sincos)(
n
nn
ntbntaatf
, vi

ũ
=
0
)(
1
0
0
T
dttf
T
a
Trong cỏc phng trỡnh trờn, ta cú th ly tớch phõn f(t) trong cỏc khong thi gian
T

0
= 2p. Hỡnh 3.8 cho thy chn la tt nht ly tớch phõn l t - p n p. Do f(t) ch
bng 1 trong khong
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
-
2
,
2
pp
v f(t) = 0 trong on cũn li,


2
1
2
1
2/
2/
0
==
ũ
-
p
p
p

dta
(3.60a)
Ngoi ra, t hỡnh 3.8a, ta cng cú th tỡm c tr trung bỡnh ca f(t) l a
0
l ẵ. ng thi

ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
==
ũ
-
2
sin
2
cos
1
2/
2/
p
pp
p
p
n
n
ntdta
n

ù
ù
ù
ợ
ù
ù
ù
ớ
ỡ
=-
==
L
L
,15,11,7,3
2
,13,9,5,1
2
_0
n
n
n
n
evenn
p
p
(3.60b)

0sin
1
2/
2/
==
ũ
-
p
p
p
ntdtb
n
(3.60c)
Do ú

ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+-+-+= Ltttttf 7cos
7
1
5cos
5
1
3cos
3
1

cos
2
2
1
)(
p
(3.61)
Nhn thy 0=
n
b v cỏc tha s sin u bng zờrụ. Ch cú tha s cosin xut hin trong
chui lng giỏc. Do ú, chui t thõn ó dng gn tr vic biờn ca cỏc súng hi
luõn phiờn l õm. T nh ngha, cỏc biờn C
n
luụn dng (phng trỡnh (3.53a). Cỏc
du õm cú th c x lý dựng gúc pha p trong biu thc lng giỏc.

)cos(cos
p
-
=
-
xx

Vit li (3.61) thnh

ỳ
ỷ
ự
ờ
ở

ộ
++ + += Lttttttf 9cos
9
1
)7cos(
7
1
5cos
5
1
)3cos(
3
1
cos
2
2
1
)(
pp
p

õy ỳng l chui Fourier lng giỏc dng gn. Biờn l

2
1
0
=C


ù

ợ
ù
ớ
ỡ
=
oddn
n
evenn
C
n
_
2
_0
p



ợ
ớ
ỡ
=-
ạ
=
L
L
,15,11,7,3
,15,11,7,30
n
n
n

p
q

Dựng cỏc giỏ tr trờn ta v c th ph biờn v ph pha. Tuy nhiờn, n
gin, ta cho phộp C
n
tn ti cỏc giỏ tr õm luõn phiờn nhau. Cha cn thờm - p loi giỏ
tr õm. Núi cỏch khỏc, cỏc pha ca mi thnh thnh l zờrụ, nờn ta cú th b qua ph pha
v ch x lý ph biờn , nh trong hỡnh 3.8b. Quan sỏt l phng phỏp ny n gin hn
m khụng lm mt thụng tin v ph biờn trong hỡnh 3.8 cú y thụng tớn v chui
Fourier trong (3.61). Do ú, khi cỏc thnh phn sin trit tiờu (b
n
= 0), nờn cho phộp C
n

cú cỏc giỏ tr õm. Phng phỏp ny cho phộp thụng tin v ph c chuyn sang mt
dng ph - ph biờn . Â

 Thớ d 3.5
Tm chui Fourier lng giỏc dng gn ca súng vuụng tun hon f(t) v trong
hỡnh 3.9a, ri v ph biờn v ph pha ca f(t).




Trường hợp này, chu kỳ T
0
= 2, vậy

p

p
w
==
2
2
0
, và

å
¥
=
++=
1
0
sincos)(
n
nn
tnbtnaatf
pp

Với

î
í
ì
£<-
£
=
)2/3()2/1()1(2
2/12

)(
ttA
tAt
tf

Trường hợp này nên chọn khoảng tích phân từ (-1/2) đến (3/2) thay vì từ 0 đến 2.
Hình 3.9a cho thấy trị trung bình (dc) của f(t) là zêrô, nên a
0
= 0, và

òòò
-+==

2/3
2/1
2/1
2/1
2/3
2/1
cos)1(2cos2cos)(
2
2
tdtntAtdtnAttdtntfa
n
ppp

Tính các tích phân này cho giá trị
a
n
= 0 (3.62a)

òò
-+=
-
2/3
2/1
2/1
2/1
sin)1(2sin2 tdtntAtdtnAtb
n
pp

Tính các tích phân này, cho ta

ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
=-
==
÷
ø
ö
ç
è

æ
=
L
L
,15,11,7,3
8
,13,9,5,1
8
_0
2
sin
8
22
2222
n
n
A
n
n
A
evenn
n
n
A
b
n
p
p
p
p

(3.62b)


Vậy

ú
û
ù
ê
ë
é
+-+-= Ltttt
A
tf
pppp
p
7sin
49
1
5sin
25
1
3sin
9
1
sin
8
)(
2
(3.63)

Để vẽ phổ Fourier, cần chuyển chuỗi thành dạng lượng giác gọn như trong phương trình
(3.54), Trong trường hợp này, thừa số sin đã được chuyển thành dạng cosin dùng phép
dời pha thích hợp. Thí dụ

)90cos(sin
0
m
ktkt =±

Dùng đặng thức này, phương trình (3.63) viết thành

ú
û
ù
ê
ë
é
+++-+++-= L)907cos(
49
1
)905cos(
25
1
)903cos(
9
1
)90cos(
8
)(
0000

2
tttt
A
tf
pppp
p

(3.64)
Trong chuỗi này, các hài bậc chẵn triệt tiêu. Pha các hài bậc lẻ luân phiên thay đổi từ -90
0

sang 90
0
. Hình 3.9 vẽ phổ biên độ và phổ pha của f(t). ¢

3.4-1 Ảnh hưởng của tính đối xứng
Chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn trong hình 3.7a (thí dụ 3.3) gồm các thừa số
sin và cosin, nhưng chuỗi của tín hiệu f(t) trong hình 3.8a (thí dụ 3.4) chỉ chứa các thừa
số cosin, và chuỗi của tín hiệu f(t) trong hình 3.9a (thí dụ 3.5) chỉ chứa các thừa số sin.
Đây không phải là điều gì bất thường. Ta có thể chứng minh là chuỗi Fourier của hàm
chẵn f(t) chỉ gồm các thừa số cosin và chuỗi Fourier của hàm lẻ f(t) chỉ gồm các thừa số
sin. Tuy nhiên, từ tính đối xứng (chẵn hay lẻ), thông tin trong một chu kỳ của f(t) chỉ là
ẩn trong nữa chu kỳ, như trong hình 3.8a và 3.9a. Trong các trường hợp này, khi biết
được tín hiệu trong nữa chu kỳ và tùy theo dạng đối xứng (chẵn hay lẻ), ta xác định được
dạng sóng tín hiệu trong toàn chu kỳ. Do đó, các hệ số Fourier trong các trường hợp này
có thể được tính bằng cách chỉ lấy tích phân trong nữa chu kỳ thay vì toàn chu kỳ. Để
chứng minh, hảy xem lại là

ò
-

=
2/
2/
0
0
0
0
)(
1
T
T
dttf
T
a
(3.65a)

ò
-
=
2/
2/
0
0
0
0
cos)(
1
T
T
n

tdtntf
T
a
w
(3.65b)

ò
-
=
2/
2/
0
0
0
0
sin)(
1
T
T
n
tdtntf
T
b
w
(3.65c)
Đồng thời, cũng cần nhớ là cosn
w
0
t là hàm chẵn và sinn
w

0
t là hàm lẻ theo t. Nếu f(t) là
hàm chẵn theo t, thì f(t)cosn
w
0
t cũng là hàm chẵn và f(t)sinn
w
0
t là hàm lẻ theo t (xem
phần 1.5-1), do đó dùng các phương trình (1.33a) và (1.33b) ta có:

ò
=
2/
0
0
0
0
)(
2
T
dttf
T
a
(3.66a)

ò
=
2/
0

0
0
0
cos)(
4
T
n
tdtntf
T
a
w
(3.65b)

0=
n
b
(3.66c)

Tng t, nu f(t) l hm l theo t, thỡ f(t)cosn
w
0
t l hm l theo t v f(t)sinn
w
0
t l hm
chn theo t. Do ú
0
0
==
n

aa (3.67a)

ũ
=
2/
0
0
0
0
sin)(
4
T
n
tdtntf
T
b
w
(3.67b)
Nh tớnh i xng nờn khi tớnh cỏc h s ch cn tớnh tớch phõn trong na chu k.


Nu tớn hiu tun hon f(t), di i na chu k, thỡ vn gia nguyờn tr vic cú du 1,
tc l, nu

)(
2
0
tf
T
tf -=

ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
-

thỡ tớn hiu c gi i xng na súng. Cú th chng minh l tớn hiu i xng na
súng, thỡ cú cỏc thnh phn súng hi bc chn trit tiờu (xem bi tp 3.4-7). Tớn hiu
trong hỡnh 3.9a l thớ d v dng i xng ny. Dng i xng ny cng cú trong tớn hiu
hỡnh 3.8a nhng dng khú phỏt hin hn.
Tuy nhiờn, dng i xng na súng cng rừ rng khi ta tr thnh phn dc 0,5 khi tớn
hiu. Chỳ ý l tớn hiu cú thnh phn dc 0,5 v ch cú hi bc l.



r Bi tp E3.6
Tỡm chui Fourier lng giỏc dng gn ca cỏc tớn hiu tun hon trong hỡnh 3.10a
v 3.10b. V th ph biờn v ph pha. Cho phộp C
n
cú cỏc giỏ tr õm nu b
n
= 0 sao
cho cú th loi c ph pha. Hng dn: dựng phng trỡnh (3.66) v (3.67) cho tớnh
i xng.
ỏp s:
(a)
ữ
ứ

ử
ỗ
ố
ổ
+-+ = Ltttttf
pppp
p
4cos
16
1
3cos
9
1
2cos
4
1
cos
4
3
1
)(
2


ỳ
ỷ
ự
ờ
ở
ộ

+-++ = L)3cos(
9
1
2cos
4
1
)cos(
4
3
1
2
ppppp
p
ttt

(b)
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+-+-= Ltttt
A
tf
pppp
p
4sin
4
1

3sin
3
1
2ins
2
1
sin
2
)(


ỳ
ỷ
ự
ờ
ở
ộ
+-+-+-= L)903cos(
3
1
)902cos(
2
1
)90cos(
2
000
ttt
A
ppp
p

s
3.4-2 Tìm tần số cơ bản và chu kỳ

Ta đã thấy là các tín hiệu tuần hoàn có thể được biểu diễn thành tổng các sóng sin
có tần số cơ bản
w
0
và các sóng hài của nó. Như thế, phương thức xác định tần số cơ bản
là như thế nào? Xét ba hàm sau:
)cos(5)cos(3)cos(72)(
3
6
7
2
3
2
1
2
1
1
qqq
++++++= ttttf
)sin(5)2cos(2)(
212
qpq
+++= tttf
)26cos(7)23sin(3)(
3
fq
+++= tttf

Nhắc lại là mỗi tần số trong tín hiệu tuần hoàn là bội số nguyên của tần số cơ bản
w
0
. Do
đó, tỉ số của hai tần số có dạng m/n trong đó m và n là các số nguyên. Tức là tỉ số giữa hai
tần số là số hữu tỷ. Khi tỉ số giữa hai tần số là số hữu tỷ, thì chúng được gọi là có quan hệ
sóng hài (harmonically related).
Số dương lớn nhất mà mọi tần số đều là bội số nhân được gọi là tần số cơ bản.
Các tần số trong phổ của f
1
(t) là ½, 2/3 , và 7/6 (ta không xét thành phần dc). Tỉ số giữa
các tần số liên tiếp lần lượt là ¾ và 4/7. Do các số đều là hữu tỷ, ba tần số trong phổ
được gọi là có quan hệ hài nên tín hiệu f
1
(t) là tuần hoàn. Số lớn nhất của các bội số ½,
2/3 và 7/6 là 1/6. Hơn nữa, 3(1/6) = ½, 4(1/6)= 2/3, và 7(1/6) = 7/6. Do đó tần số cơ bàn
là 1/6. Ba tần số trong phổ là các hài bậc ba, bậc bốn và bậc bảy. Quan sát thấy không có
thành phần tần số cơ bản trong chuỗi Fourier này.
Tín hiệu f
2
(t) là không tuần hoàn do tỉ số giữa hai tần số trong phổ là 2/p, không
phải là số hữu tỷ. Tín hiệu f
3
(t) là tuần hoàn do tỉ số giữa các tần số 3
2
và 6
2
là ½, là
số hữu tỷ. Do đó, tần số cơ bản là 23
0

=
w
, và chu kỳ

p
p
3
2
)23(
2
0
==T
r Bài tập E3.7
Tìm tính chu kỳ của tín hiệu

÷
ø
ö
ç
è
æ
++
÷
ø
ö
ç
è
æ
+=
00

45
5
4
sin30
3
2
cos)( tttf

Nếu là tín hiệu tuần hoàn, tìm tần số cơ bản và chu kỳ. Tìm các hài hiện diện trong f(t)?
Đáp số: Tín hiệu tuần hoàn với
15
2
0
=
w
và chu kỳ T
0
= 15p. Hài bậc năm và bậc sáu s
3.4-3 Vai trò của phổ biên độ và phổ pha trong dạng sóng

Chuỗi Fourier lượng giác của tín hiệu f(t) cho thấy tính tường minh của các thành
phần sóng sin trong f(t). Ta có thể tổng hợp f(t) bằng cách cộng các sóng sin trong phổ
của f(t). Để tổng hợp xung vuông tuần hoàn f(t) trong hình 3.8a, ta cộng liên tiếp từng
bước các sóng hài và xem xét tính tương đồng với giữa tín hiệu có được và f(t). Chuỗi
Fourier của hàm này tìm được trong thí dụ 3.4 là:

÷
ø
ö
ç

è
æ
+-+-+= Ltttttf 7cos
7
1
5cos
5
1
3cos
3
1
cos
2
2
1
)(
p

Bắt đầu tổng hợp chỉ dùng thừa số thứ nhất trong chuỗi (n = 0), là thành phần hằng ½
(dc); đây là phép xấp xỉ thô của sóng vuông, vẽ trong hình 3.11a. Bước kế. ta cộng thành
phần dc với hài bậc một (cơ bản), tạo tín hiệu vẽ trong hình 3.11b. Ta thấy tín hiệu tổng