BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC

Ch
Ch
ương 3
ương 3
:
:
BI
BI
ỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG
ỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG
MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC
MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC
3.1 BIẾN ĐỔI FOURIER
3.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER
3.3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI Z & F
3.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ
3.5 LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU




•
Ký hiệu:
x(n) X(ω) hay X(ω) = F{x(n)}
X(ω) x(n) hay x(n) = F
-1
{X(ω)}

3.1 BI
3.1 BI
Ế
Ế
N
N
ĐỔI
ĐỔI
FOURIER
FOURIER
3.1.1
3.1.1
ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI
ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI
FOURIER:
FOURIER:
→←
F
 →←
−1
F
Trong đó: ω - tần số của tín hiệu rời rạc, ω = Ω T
s

Ω - tần số của tín hiệu liên tục
T
s
- chu kỳ lấy mẫu
•
Biến đổi Fourirer của x(n):

∑
∞
−∞=
−
=
n
nj
enxX
ω
ω
)()(




•
X(ω) biểu diễn dưới dạng modun & argument:
•
Nhận thấy X(ω) tuần hoàn với chu kỳ 2π, thật vậy:
)(
)()(
ωϕ
ωω
j
eXX
=
Trong đó:
)(
ω
X

- phổ biên độ của x(n)
)](arg[)(
ωωϕ
X
=
- phổ pha của x(n)
∑
∞
−∞=
+−
=+
n
nj
enxX
)2(
)()2(
πω
πω
)()(
ω
ω
Xenx
n
nj
==
∑
∞
−∞=
−
Áp dụng kết quả:




≠
=
=
∫
−
0 :0
0:2
k
k
dke
jk
π
π
π
Biểu thức biến đổi F ngược:
∫
−
=
π
π
ω
ωω
π
deXnx
nj
)(
2

1
)(




Ví dụ 3.1.1
Ví dụ 3.1.1
:
: Tìm biến đổi F của các dãy:
1:)()(
1
<=
anuanx
n
Gi
Gi
ải:
ải:
nj
n
n
enuaX
ω
ω
−
∞
−∞=
∑
= )()(

1
( )
∑
∞
=
−
=
0n
n
j
ae
ω
ω
j
ae
−
−
=
1
1
1:)1()(
2
>−−−=
anuanx
n
nj
n
n
enuaX
ω

ω
−
∞
−∞=
∑
−−−= )1()(
2
( )
∑
−∞
−=
−
−
−=
1
1
n
n
j
ea
ω
( )
∑
∞
=
−
−=
1
1
m

m
j
ea
ω
( )
1
0
1
+−=
∑
∞
=
−
m
m
j
ea
ω
ω
j
ea
1
1
1
1
−
−
−=
ω
j

ae
−
−
=
1
1




∑
∞
−∞=
−
=
n
nj
enxX
ω
ω
)()(
3.1.2 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI BIẾN ĐỔI FOURIER
3.1.2 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI BIẾN ĐỔI FOURIER
∑
∞
−∞=
−
≤
n
nj

enx
ω
)(
∑
∞
−∞=
=
n
nx )(
Vậy, để X(ω) hội tụ thì điều kiện cần là:
∞<
∑
∞
−∞=n
nx )(
•
Các tín hiệu thỏa điều kiện hội tụ là tín hiệu năng lượng,
thậy vậy:
∑
∞
−∞=
=
n
x
nxE
2
)(
2
)(







≤
∑
∞
−∞=n
nx
Nếu:
∞<
∑
∞
−∞=n
nx )(
∞<=
∑
∞
−∞=n
x
nxE
2
)(




Ví dụ 3.1.2
Ví dụ 3.1.2

:
: Xét sự tồn tại biến đổi F của các dãy:
)()5.0()(
1
nunx
n
=
Gi
Gi
ải:
ải:
∑
∞
−∞=n
nx )(
1
)(2)(
2
nunx
n
=
)()(
3
nunx
=
)()(
4
nrectnx
N
=

∑
∞
−∞=
=
n
n
nu )()5.0(
∑
∞
=
=
0
)5.0(
n
n
2
5.01
1
=
−
=
∑
∞
−∞=n
nx )(
2
∑
∞
−∞=
=

n
n
nu )(2
∞==
∑
∞
=0
2
n
n
∑
∞
−∞=n
nx )(
3
∑
∞
−∞=
=
n
nu )(
∑
∞
−∞=n
nx )(
4
∑
∞
−∞=
=

n
N
nrect )(
∞==
∑
∞
=0
)(
n
nu
∑
−
=
=
1
0
)(
N
n
N
nrect
N=
X
2
(ω) không tồn tại
X
3
(ω) không tồn tại

3.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER
3.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER
a) Tuyến tính
)()(
11
ω
Xnx
F
→←
)()()()(
22112211
ωω
XaXanxanxa
F
+→←+
Nếu:
Thì:
)()(
22
ω
Xnx
F
→←
b) Dịch theo thời gian
)()(
ω
Xnx
F

→←
Nếu:
Thì:
)()(
0
n-j
0
ω
ω
Xennx
F
→←−




)2();( −nn
δδ
Ví dụ 3.2.1
Ví dụ 3.2.1
:
: Tìm biến đổi F của dãy:
Gi
Gi
ải
ải
:
:
1)()()()( ==→←=
∑

∞
−∞=
−
n
nj
F
enXnnx
ω
δωδ
c) Liên hiệp phức
)()(
ω
Xnx
F
→←
Nếu:
)(*)(*
ω
−→←
Xnx
F
Thì:
Áp dụng tính chất dịch theo thời gian:
ωω
ωδ
22
1)()2()2(
jj
F
eXenxn

−−
=→←−=−




d) Đảo biến số
)()(
ω
Xnx
F
→←
)()(
ω
−→←− Xnx
F
Giải:
Giải:




Nếu:
Thì:
Ví dụ 3.2.2
Ví dụ 3.2.2
:
:
T
T

ì
ì
m bi
m bi
ến đổi F của dãy:
ến đổi F của dãy:
)(2)( nuny
n
−=
)(
2
1
)( nunx
n






=
( )
)(2)()( nunxny
n
−=−=
Theo ví dụ 6.1.1, có kết quả:
suy ra:
ω
ω
j

F
e
X
−
−
=→←
)2/1(1
1
)(
ω
ω
j
F
e
X
)2/1(1
1
)(
−
=−→←




e) Vi phân trong miền tần số
1);()(
<=
anunang
n
1a;

1
1
)()()(
<
−
=→←=
−
ω
ω
j
F
n
ae
Xnuanx
)()(
ω
Xnx
F
→←
)(
ω
ω
d
)dX(
jnxn
F
→←
)()( nnxng
=
( )

1;
1
)(
)(
2
<
−
==→←
−
−
a
ae
ae
d
dX
jG
j
j
F
ω
ω
ω
ω
ω
Giải:
Giải:


Theo ví dụ 6.1.1:
Nếu:

Ví dụ 6.2.3
Ví dụ 6.2.3
:
:
T
T
ìm
ìm biến đổi F của:
Suy ra:
Thì:




f) Dịch theo tần số
1);()cos()(
0
<= anunany
n
ω
1a;
1
1
)()()(
<
−
=→←=
−
ω
ω

j
F
n
ae
Xnuanx
)()(
ω
Xnx
F
→←
)-()(
0
0
ωω
ω
Xnxe
F
nj
→←
Giải:
Giải:


Theo ví dụ 6.1.1:
Nếu:
Ví dụ 3.2.4
Ví dụ 3.2.4
:
:
T

T
ìm
ìm biến đổi F của:
Thì:
)cos()()(
0
nnuany
n
ω
=
[ ]
njnj
n
eenua
00
2
1
)(
ωω
−
+=
[ ]
njnj
eenx
00
)(
2
1
ωω
−

+=




g) Tích 2 dãy
)()(
11
ω
Xnx
F
→←
∫
−
−→←
π
π
ωωωω
π
')'()'(
2
1
)(.)(
2121
dXXnxnx
F
Thì:
Nếu:
[ ]
)()(

2
1
)(
00
ωωωωω
++−=
XXY






−
+
−
=
+−−−
)1(
1
)1(
1
2
1
)(
)()(
00
ωωωω
ω
jj

aeae
Y
)()(
22
ω
Xnx
F
→←
∫
−
−=
π
π
ωωωω
π
')'()'(
2
1
12
dXX
→←
F




g) Tổng chập 2 dãy
)()(
11
ω

Xnx
F
→←
)()()(*)(
2121
ωω
XXnxnx
F
→←
Thì:
Nếu:
)()(
22
ω
Xnx
F
→←
Ví dụ 3.2.4
Ví dụ 3.2.4
:
:
T
T
ìm
ìm y(n)=x(n)*h(n), biết: x(n)=h(n)=δ(n+2)+δ(n-2)
Giải:
ωω
ωω
22
)()(

jj
eeHX
−
+==
Theo ví dụ 6.2.1, có kết quả:
222
)( )()()(
ωω
ωωω
jj
eeHXY
−
+==
ωω
44
2
jj
ee
−
++=
)]([)(*)()(
1
ω
YFnhnxny
−
==
)4()(2)4()(
−+++=
nnnny
δδδ