BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC

Ch
Ch
ương 4
ương 4
:
:
BI
BI
ỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG
ỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG
MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC
MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC
4.1 KHÁI NiỆM DFT
4.2 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT)
4.3 CÁC TÍNH CHẤT DFT
4.4 BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH (FFT)




4.1 KHÁI NiỆM DFT
4.1 KHÁI NiỆM DFT
X(ω) có các hạn chế khi xử lý trên thiết bị, máy tính:


Tần số ω liên tục


Độ dài x(n) là vô hạn: n biến thiên -∞ đến ∞
Biến đổi Fourier dãy x(n):
∑
−∞
∞=
−
=
n
nj
enxX
ω
ω
)()(
Khi xử lý X(Ω) trên thiết bị, máy tính cần:

Rời rạc tần số ω -> ω
K


Độ dài x(n) hữu hạn là N: n = 0 ÷ N -1
⇒ Biến đổi Fourier của dãy có độ dài hữu hạn theo tần
số rời rạc, gọi tắt là biến đổi Fourier rời rạc – DFT
(Discrete Fourier Transform)




4.2 BI
4.2 BI
Ế

Ế
N
N
ĐỔI
ĐỔI
FOURIER RỜI RẠC - DFT
FOURIER RỜI RẠC - DFT

DFT của x(n) có độ dài N định nghĩa:





−≤≤
=
∑
−
=
−
: 0
10:)(
)(
1
0
2
k
Nkenx
kX
N

n
kn
N
j
π
còn lại
r
N
r
N
jmNr
N
j
mNr
N
WeeW
===
−+−
+
ππ
2
)(
2
)(





−≤≤

=
∑
−
=
: 0
10:)(
)(
1
0
k
NkWnx
kX
N
n
kn
N
còn lại
N
j
N
eW
π
2
−
=

W
N
tuần hòan với độ dài N:


X(k) biểu diễn dưới dạng modun & argument:
)(
)()(
kj
ekXkX
ϕ
=
Trong đó:
)(kX
- phổ rời rạc biên độ
)](arg[)( kXk
=
ϕ
- phổ rời rạc pha

IDFT:





−≤≤
=
∑
−
=

: 0
10:)(
1
)(
1
0
2
n
NnekX
N
nx
N
k
kn
N
j
π
còn lại







−≤≤=
−≤≤=
∑
∑
−

=
−
−
=
10:)(
1
)(
10: )()(
1
0
1
0
NnWkX
N
nx
NkWnxkX
N
k
kn
N
N
n
kn
N

Cặp biến đổi Fourier rời rạc:

Ví dụ 4.2.1: Tìm DFT của dãy:
{ }
4,3,2,1 )(
↑
=
nx
∑
=
=
3
0
4
)()(
n
kn
WnxkX
jWWjeW
j
=−=−==
−
3
4
2
4
4
2
1
4
;1;
π

10)3()2()1()0()()0(
3
0
0
4
=+++==
∑
=
xxxxWnxX
n
22)3()2()1()0()()1(
3
4
2
4
1
4
3
0
4
jWxWxWxxWnxX
n
n
+−=+++==
∑
=
2)3()2()1()0()()2(
6
4
4

4
2
4
3
0
2
4
−=+++==
∑
=
WxWxWxxWnxX
n
n
22)3()2()1()0()()3(
9
4
6
4
3
4
3
0
3
4
jWxWxWxxWnxX
n
n
−−=+++==
∑
=

4.3 CÁC TÍNH CHẤT DFT
4.3 CÁC TÍNH CHẤT DFT
a) Tuyến tính
N
D F T
N
kXnx )()(
11
 →←
NN
DFT
NN
kXakXanxanxa )()()()(
22112211
+ →←+

Nếu:

Thì:
N
DFT
N
kXnx )()(
22
 →←
b) Dịch vòng:

)()(
N
DFT
N
kXnx
 →←

Nếu:
)()(
0
0 N
kn
N
DFT
N
kXWnnx
 →←−

Thì:
Với:
(n)rect)(
~
)(
N00 NN
nnxnnx
−=−
gọi là dịch vòng của
x(n)
N
đi n

0
đơn vị
21
21 xx
LNNL
=≠=
Nếu: Chọn:
},max{
21
NNN
=




Ví dụ 4.3.1: Cho:
a) Tìm dịch tuyến tính: x(n+3), x(n-2)
b)Tìm dịch vòng: x(n+3)
4
, x(n-2)
4
{ }
4,3,2,1 )(
↑
=
nx
x(n)
n
0 1 2 3
4

3
2
1
a)
n
x(n-2)
0 1 2 3 4 5
4
3
2
1
n
x(n+3)
-3 -2 -1 0
4
3
2
1




b)
x(n)
n
0 1 2 3
4
3
2
1

N
x(n-1)
4
n
0 1 2 3
4
3
2
1
x(n+1)
4
n
0 1 2 3
4
3
2
1




c) Chập vòng:
N
D F T
N
kXnx )()(
11
 →←
NN
D F T

NN
kXkXnxnx )()()()(
2121
 →←⊗

Nếu:

Thì:
N
D F T
N
kXnx )()(
22
 →←
∑
−
=
−=⊗
1
0
2121
)()()()(
N
m
NNNN
mnxmxnxnx
Với:
Chập vòng 2 dãy
x
1

(n) & x
2
(n)
21
21 xx
LNNL
=≠=
Nếu: Chọn:
},max{
21
NNN
=
Chập vòng có tính giao hóan:
NNNN
nxnxnxnx )()()()(
1221
⊗=⊗
)()(
~
)(
22
nrectmnxmnx
NNN
−=−
Và:
Dịch vòng dãy
x
2
(-m) đi n đ/vị

Ví dụ 4.3.1: Tìm chập vòng 2 dãy
30:)()()()()(
3
0
4241424143
≤≤−=⊗=
∑
=
nmnxmxnxnxnx
m
4},max{4,3
2121
==⇒==
NNNNN

Đổi biến n->m:

Xác định x
2
(-m)
4
:

Chọn độ dài N:

m
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
4
3
2
1
)(
~
2
mx
−
x
2
(m)
m
0 1 2 3
4
3
2
1
x
2
(-m)
m
-3 -2 -1 0
4
3
2
1

m
0 1 2 3
4
3
2
1
)()(
~
)(
4242
nrectmxmx −=−
m
0 1 2 3
4
3
2
1
)()(
~
)(
4242
nrectmxmx −=−





Xác định x
2
(n-m) là dịch vòng của x

2
(-m) đi n đơn vị
n>0: dịch vòng sang phải, n<0: dịch vòng sang trái
x
2
(1-m)
4
m
0 1 2 3
4
3
2
1
x
2
(2-m)
4
m
0 1 2 3
4
3
2
1
m
0 1 2 3
4
3
2
1
x

2
(3-m)
4
m
0 1 2 3
4
3
2
1
x
2
(-m)
4




30:)()()(
3
0
424143
≤≤−=
∑
=
nmnxmxnx
m

n=0:

Nhân các mẫu

x
1
(m) & x
2
(n-m)
và cộng lại:
26)0()()0(
3
0
424143
=−=
∑
=
m
mxmxx

n=1:
23)1()()1(
3
0
424143
=−=
∑
=
m
mxmxx

n=2:
16)2()()2(
3

0
424143
=−=
∑
=
m
mxmxx

n=3:
25)3()()3(
3
0
424143
=−=
∑
=
m
mxmxx
Vậy:




4.4 BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH FFT
4.4 BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH FFT
4.4.1 KHÁI NiỆM BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH FFT

Vào những năm thập kỷ 60, khi công nghệ vi xử lý phát
triển chưa mạnh thì thời gian xử lý phép tóan DFT trên
máy tương đối chậm, do số phép nhân phức tương đối

lớn.

DFT của x(n) có độ dài N:
10 :)()(
1
0
−≤≤=
∑
−
=
NkWnxkX
N
n
kn
N

Để tính X(k), với mỗi giá trị k cần có N phép nhân và (N-1)
phép cộng, vậy với N giá trị k thì cần có N
2
phép nhân và
N(N-1) phép cộng.

Để khắc phục về mặt tốc độ xử lý của phép tính DFT,
nhiều tác giả đã đưa ra các thuật tóan riêng dựa trên DFT
gọi là FFT (Fast Fourier Transform).




4.4.2 THUẬT TOÁN FFT CƠ SỐ 2

4.4.2 THUẬT TOÁN FFT CƠ SỐ 2
a. THUẬT TÓAN FFT CƠ SỐ 2 PHÂN THEO THỜI GIAN

Thuật tóan dựa trên sự phân chia dãy vào x(n) thành các
dãy nhỏ, do biến n biểu thị cho trục thời gian nên gọi là
phân chia theo thời gian.
∑
−
=
=
1
0
)()(
N
n
kn
N
WnxkX
∑∑
−
=
−
=
+=
1
3,5...,1n
1
2,4...,0n
)()(
N

kn
N
N
kn
N
WnxWnx
∑∑
−
=
+
−
=
++=
1)2/(
0r
)12(
1)2/(
0r
2
)12()2()(
N
rk
N
N
kr
N
WrxWrxkX

Thay n=2r với n chẵn và n=2r+1 với n lẽ:


Giả thiết dãy x(n) có độ dài N=2
M
, nếu không có dạng lũy
thừa 2 thì thêm vài mẫu 0 vào sau dãy x(n).





X
0
(k) – DFT của N/2 điểm ứng với chỉ số n chẵn

X
1
(k) – DFT của N/2 điểm ứng với chỉ số n lẽ
∑
−
=
=
1)2/(
0r
2/0
)2()(
N
kr
N
WrxkX
∑
−

=
+=
1)2/(
0r
2/1
)12()(
N
kr
N
WrxkX
Đặt:
)(.)()(
10
kXWkXkX
k
N
+=

Lấy ví dụ minh họa cho x(n) với N=8
∑∑
−
=
−
=
++=
1)2/(
0r
2/
1)2/(
0r

2/
)12(.)2()(
N
kr
N
k
N
N
kr
N
WrxWWrxkX
kr
N
kr
N
j
rk
N
j
rk
N
WeeW
2/
2/
2
2
2
2
===
π

π
Do: