Tài liệu Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền phức Z doc

Ch
Ch
ương 2
ương 2
:
:
BI
BI
ỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC
ỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC
TRONG MIỀN PHỨC Z
TRONG MIỀN PHỨC Z
2.1 BIẾN ĐỔI Z
2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
2.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN Z
•
Nếu x(n) nhân quả thì : (*) (**)
•
Ký hiệu:
x(n) X(z) hay X(z) = Z{x(n)}
X(z) x(n) hay x(n) = Z
-
1
{X(z)}
2.1 BI
2.1 BI
Ế
Ế
N
N

ĐỔI
ĐỔI
Z
Z
2.1.1
2.1.1
ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI
ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI
Z:
Z:
∑
∞
=
−
=
0n
n
znxzX )()(
→←
Z
 →←
−1
Z
≡
Biểu thức (*) còn gọi là biến đổi Z hai phía
•
Biến đổi Z của dãy x(n):
Biến đổi Z 1 phía dãy x(n):
(*)
(**)

Trong đó Z – biến số phức
∑
∞
−∞=
−
=
n
n
znxzX )()(
•
Miền hội tụ của biến đổi Z - ROC (Region Of Convergence)
là tập hợp tất cả các giá trị Z nằm trong mặt phẳng phức sao
cho X(z) hội tụ.
2.1.2 MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z (ROC)
2.1.2 MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z (ROC)
+++=
∑
∞
=
)2()1()0()(
0
xxxnx
n
1)(lim
1
<
∞→
n
n
nx

0
0
Im(Z)
Re(z)
R
x+
R
x-
R
O
C
•
Để tìm ROC của X(z) ta áp dụng
tiêu chuẩn Cauchy
•
Tiêu chuẩn Cauchy:
Một chuỗi có dạng:
hội tụ nếu:
Ví dụ 2.1.1: Tìm biến đổi Z & ROC của x(n)=a
n
u(n)
( )
n
n
az
∑
∞
=
−
=

0
1
1
1
1
−
−
=
az
)z(X
azazlim
n
n
n
>⇔<





 −
∞→
1
1
1
∑
∞
−∞=
−
=

n
n
z)n(x)z(X
[ ]
∑
∞
−∞=
−
=
n
nn
z)n(ua
∑
∞
=
−
=
0n
nn
z.a
0
ROC
ROC
Im(z)
Re(z)
/a/
Theo tiêu chuẩn Cauchy,
X(z) sẽ hội tụ:
Nếu:
Vậy:

a;
az
)z(X >
−
=
−
Z:ROC
1
1
1
( )
m
m
za
∑
∞
=
−
−=
1
1
azzalim
n
n
n
<⇔<







−
∞→
1
1
1
∑
∞
−∞=
−
=
n
n
z)n(x)z(X
[ ]
∑
∞
−∞=
−
−−−=
n
nn
z)n(ua 1
∑
−
−∞=
−
−=
1

n
nn
z.a
( )
1
0
1
+−=
∑
∞
=
−
m
m
za
( )
1
0
1
+−=
∑
∞
=
−
n
m
za)z(X
1
1
1

−
−
=
az
0
ROC
ROC
Im(z)
Re(z)
/a/
Theo tiêu chuẩn Cauchy,
X(z) sẽ hội tụ:
Nếu:
Ví dụ 2.1.2: Tìm biến đổi Z & ROC của x(n)=-a
n
u(-n-1)
2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
2.2.1 Tuyến tính
RROC : )()(
222
=→← zXnx
Z
RROC : )()(
111
=→← zXnx
Z
)()()()(
22112211

zXazXanxanxa
Z
+→←+
•
Nếu:
•
Thì:
Ví dụ 2.2.1: Tìm biến đổi Z & ROC của
x(n)=a
n
u(n) - b
n
u(-n-1) với /a/</b/
ROC chứa R
1
∩ R
2
Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được:
1
1
1
)(
−
−
→←
az
nua
Z
n
1

1
1
)1(
−
−
→←−−−
bz
nub
Z
n
bzR <:
2
11
1
1
1
1
1
−−
−
+
−
→←−−−
bzaz
)n(ub)n(ua
Z
nn
0
ROC
ROC

Im(z)
Re(z)
/a/
0
ROC
ROC
Im(z)
Re(z)
/b/
azR >:
1
bzaRRR <<∩= :
21
0
ROC
ROC
Im(z)
Re(z)
/b/
/a/
Theo v
Theo v
í dụ 2.1.1 và 2.1.2, ta có:
í dụ 2.1.1 và 2.1.2, ta có:
2.2.2 Dịch theo thời gian
a
az
nua
Z
n

>
−
→←
−
z:ROC;
1
1
)(
1
az
az
az
Z
>
−
→←
−
−
:
1
1
1
RROC : =→← )z(X)n(x
Z
R'ROC :
0
0
=→←−
−
)z(Xz)nn(x

nZ

R
R
R'



=
trừ giá trị z=0, khi n
0
>0
trừ giá trị z=∞, khi n
0
<0
Ví dụ 2.2.2: Tìm biến đổi Z & ROC của x(n)=a
n
u(n-1)
Nếu:
Thì:
Với:
Theo ví dụ 2.1.1:
Vậy
:
x(n)=a
n
u(n-1)=a.a
n-1
u(n-1)
2.2.3 Nhân với hàm mũ a

n
aR'
az
)az(X)n(ua)n(xa
Z
nn
>
−
=→←=
−
−
z:;
1
1
1
1
RROC : )()( =→← zXnx
Z
RROC : )()(
1
azaXnxa
Z
n
=→←
−
1−
∞
−∞=
∑
=→←= z)n(u)z(X)n(u)n(x

n
Z
Nếu:
Thì:
Ví dụ 2.2.3: Xét biến đổi Z & ROC của
x
1
(n)=u(n) và x
2
(n)=a
n
u(n)
1z
1
1
1
>
−
=
−
:R;
z
2.2.4 Đạo hàm X(z) theo z
a
az
zXnuanx
Z
n
>
−

=→←=
−
z:ROC;
1
1
)()()(
1
RROC : )()( =→← zXnx
Z
RROC : )( =−→←
dz
dX(z)
znxn
Z
dz
)z(dX
z)z(G)n(nx)n(g
Z
−=→←=
az
az
az
>
−
=
−
−
:
)1(
21

1
Nếu:
Thì:
Ví dụ 2.2.4: Tìm biến đổi Z & ROC của g(n)=na
n
u(n)
2.2.5 Đảo biến số
Nếu:
Thì:
a
az
zXnuanx
Z
n
>
−
=→←=
−
z:ROC;
1
1
)()()(
1
RROC : )()( =→← zXnx
Z
RXnx
Z
1ROC : )(z)(
-1
=→←−

( )
)()()(1)( nxnuanuany
n
n
−=−=−=⇒
−
( )
a/1z:ROC;
az1
1
za1
1
)z(X)z(Y
1
1
1
<
−
=
−
==
−
−
−
Áp dụng tính chất đảo biến số:
Ví dụ 2.2.4: Tìm biến đổi Z & ROC của y(n)=(1/a)
n
u(-n)
2.2.6 Liên hiệp phức
RROC : )()( =→← zXnx

Z
RXnx
Z
=→← ROC : (z*)*)(*
2.2.7 Tích 2 dãy
RRROC : d )(
2
1
)()(
21
1
1121
=






→←
∫
−
νν
ν
ν
π
c
Z
z
XXnxnx

2.2.8 Định lý giá trị đầu
Nếu x(n) nhân quả thì:
X(z) )0(
∞→
=
Z
Limx
RROC : )()(
222
=→← zXnx
Z
RROC : )()(
111
=→← zXnx
Z
Nếu:
Thì:
Nếu:
Thì:
Ví dụ 2.2.6: Tìm x(0), biết X(z)=e
1/z
và x(n) nhân quả
X(z) lim)0(
∞→
=
Z
x
2.2.9 Tổng chập 2 dãy
RROC : )()(
222

=→← zXnx
Z
RROC : )()(
111
=→← zXnx
Z
)()()(*)(
2121
zXzXnxnx
Z
→←
;ROC có chứa R
1
∩ R
2
1e lim
1/z
==
∞→Z
Thì:
Nếu:
Theo định lý giá trị đầu:
50
501
1
50
1
.z:ROC;
z.
)z(X)n(u).()n(x

Z
n
>
−
=→←=
−
2
21
1
12
1
<
−
=→←−−−=
−
z:ROC;
z
)z(H)n(u)n(h
Z
n
250
21
1
501
1
11
<<
−−
==
−−

z,:ROC;
)z(
.
)z.(
)z(H)z(X)z(Y
250
21
1
3
4
501
1
3
1
11
<<
−
+
−
−=
−−
z,:ROC;
)z(
.
)z.(
.
)1(2
3
4
)()5.0(

3
1
)(*)()( −−−−== nununhnxny
nn
Z
-1
Ví dụ 2.2.7: Tìm y(n) = x(n)*h(n), biết
x(n)=(0.5)
n
u(n) và h(n)=-2
n
u(-n-1)
TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
x(n) X(z) R
a
1
x
1
(n)+a
2
x
2
(n) a
1
X
1
(z)+a
2
X

2
(z)
Chứa R
1
∩ R
2
x(n-n
0
)
Z
-n0
X(z) R’
a
n
x(n) X(a
-1
z) R
nx(n) -z dX(z)/dz R
x(-n) X(z
-1
) 1/R
x*(n) X*(z*) R
x
1
(n)x
2
(n)
R
1
∩ R

2
x(n) nhân quả x(0)=lim X(z ->∞)
x
1
(n)*x
2
(n) X
1
(z)X
2
(z)
Chứa R
1
∩ R
2
dvv
v
z
XvX
j
C
1
21
)(
2
1
−







∫
π
BIẾN ĐỔI Z MỘT SỐ DÃY THÔNG DỤNG
BIẾN ĐỔI Z MỘT SỐ DÃY THÔNG DỤNG
x(n) X(z) ROC
δ(n)
1
∀z
u(n) /z/ >1
-u(-n-1) /z/ <1
a
n
u(n) /z/ > /a/
-a
n
u(-n-1) /z/ < /a/
na
n
u(n) /z/ > /a/
-na
n
u(-n-1) /z/ < /a/
cos(ω
o
n)u(n) (1-z
-1
cosω

o
)/(1-2z
-1
cosω
o
+z
-2
)
/z/ >1
sin(ω
o
n)u(n) (z
-1
sinω
o
)/(1-2z
-1
cosω
o
+z
-2
)
/z/ >1
1
1
1
−
− z
1
1

1
−
− az
21
1
)1(
−
−
− az
az
2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
2.3.1 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
∫
−
=
C
n
dzz)z(X
j
)n(x
1
2
1
π
Với C - đường cong khép kín bao quanh gốc tọa độ trong
mặt phẳng phức, nằm trong miền hội tụ của X(z), theo
chiều (+) ngược chiều kim đồng hồ

Trên thực tế, biểu thức (*) ít được sử dụng do tính chất

phức tạp của phép lấy tích phân vòng
•
Các phương pháp biến đổi Z ngược:

Thặng dư

Khai triển thành chuỗi luỹ thừa

Phân tích thành tổng các phân thức tối giản
(*)
2.3.2 PHƯƠNG PHÁP THẶNG DƯ
2.3.2 PHƯƠNG PHÁP THẶNG DƯ
b) Phương pháp:
•
Theo lý thuyết thặng dư, biểu thức biến đổi Z ngược theo
tích phân vòng (*) được xác định bằng tổng các thặng dư
tại tất cả các điểm cực của hàm X(z)z
n-1
:
•
Thặng dư tại điểm cực Z
ci
bội r của F(z) được định nghĩa:
[ ]
[ ]
ci
ci
ZZ
r
ci

r
r
ZZ
zzzF
dz
d
r
zFs
=
−
−
=
−
−
= ))((
)!1(
1
)(Re
)1(
)1(
•
Thặng dư tại điểm cực đơn Z
ci
của F(z) được định nghĩa:
[ ] [ ]
ci
ci
ZZ
ci
ZZ

zzzFzFs
=
=
−= ))(()(Re
a) Khái niệm thặng dư của 1 hàm tại điểm cực:
∫
−
=
C
n
dzzzX
j
nx
1
)(
2
1
)(
π
•
Z
ci
– các điểm cực của X(z)z
n-1
nằm trong đường cong C
•
Res[X(z)z
n-1
]
z=z

ci
- thặng dư của X(z)z
n-1
tại điểm cực z
ci
Trong đó:

Tổng cộng các thặng dư tại tất cả các điểm cực, ta
được x(n)
Ví dụ 2.3.1: Tìm biến đổi Z ngược của
)2(
)(
−
=
z
z
zX
(*)
∫
−
=
C
n
dzzzX
j
nx
1
)(
2
1

)(
π
∫
−
−
=
C
n
dzz
)z(
z
j
1
22
1
π
Thay X(z) vào (*), ta được
•
n≥0:
)2(
)(
1
−
=
−
z
z
zzX
n
n

có 1 điểm cực đơn Z
c1
=2
Thặng dư tại Z
c1
=2:
2
)2(
Res
=






−
Z
n
z
z
2
)2(
)2(
=







−
−
=
Z
n
z
z
z
n
2=
•
n<0:
n
n
zz
zzX
−
−
−
=
)2(
1
)(
1
Z
c1
=2 đơn,
Z
c2

=0 bội m
m
zz )2(
1
−
=
Với: Z
c1
=2
2
)2(
1
Res
=






−
Z
m
zz
m
2
1
=
2
)2(

)2(
1
=






−
−
=
Z
m
z
zz

Chọn C là đường cong khép kín nằm bên ngoài vòng
tròn có bán kính là 2
0
ROC
ROC
Im(z)
Re(z)
2
C







−
−−
−
=
−
m
m
m
m
)2(
)1()!1(
)!1(
1
1
m
2
1
−=
Vậy, với n<0:
0
2
1
2
1
=−=
mm
suy ra
0:2)( ≥= nnx

n
hay
)(2)( nunx
n
=
Với: Z
c2
=0 bội m:
0
)2(
1
Res
=






−
Z
m
zz
0
1
1
)2(
1
)!1(
1

=
−
−






−
−
=
Z
m
mm
m
z
zzdz
d
m
2.3.3 PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN CHUỖI LUỸ THỪA
2.3.3 PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN CHUỖI LUỸ THỪA
Giả thiết X(z) có thể khai triển:
∑
∞
−∞=
−
=
n
n

n
zazX )(
Theo định nghĩa biến đổi Z
∑
∞
−∞=
−
=
n
n
znxzX )()(
(*)
(**)
Đồng nhất (*) & (**), rút ra:
n
anx =)(
Ví dụ: 2.3.2: Tìm x(n) biết X(z) = z
2
+ 2z + 3 - 4z
-1
- 5z
-2

ROC: 0</z/<
∞
∞
21012
2
2
21012

−−
−=
−
+++−+−==
∑
z)(xz)(xz)(xz)(xz)(xz)n(x)z(X
n
n
Suy ra:
Ví dụ: 2.3.3: Tìm x(n) biết:
2:
21
1
)(
1
>
−
=
−
z
z
zX
Do ROC của X(z) là /z/>2, nên x(n) sẽ là dãy nhân quả
và sẽ được khai triển thành chuỗi có dạng:
+++==
−−
∞
=
−
∑

2
2
1
10
0
zazaaza)z(X
n
n
n
Để có dạng (*), thực hiện phép chia đa thức dưới đây:
(*)
1
2
−
+ z
22
2
−
+ z
+
∑
∞
=
−
=⇒
0
2)(
n
nn
zzX

)(20:2)( nunnx
nn
≡≥=⇒
2:
21
1
)(
1
<
−
=
−
z
z
zX
Do ROC của X(z) là /z/<2, nên x(n) sẽ là dãy phản nhân
quả và sẽ được khai triển thành chuỗi có dạng:
+++==
−−−
−∞
−=
−
∑
3
3
2
2
1
1
1

zazazaza)z(X
n
n
n
Để có dạng (**), thực hiện phép chia đa thức dưới đây:
(**)
22
2 z
−
−
33
2 z
−
−
+
∑
−∞
−=
−
−=⇒
1
2)(
n
nn
zzX
)1(20:2)( −−−≡<−=⇒ nunnx
nn
Ví dụ: 2.3.4: Tìm x(n) biết:
2.3.4 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH TỔNG
2.3.4 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH TỔNG

CÁC PHÂN THỨC TỐI GIẢN
CÁC PHÂN THỨC TỐI GIẢN
Xét X(z) là phân thức hữu tỉ có dạng:
)(
)(
)(
zB
zD
zX =
01
1
1
01
1
1


bzbzbzb
dzdzdzd
N
N
N
N
K
K
K
K
++++
++++
=

−
−
−
−
với: K, N >0
•
Nếu K>N, thực hiện phép chia đa thức:
)(
)(
)(
zB
zD
zX =
)(
)(
)(
zB
zA
zC +=
01
1
1
01
1
1


)(
bzbzbzb
azazaza

zC
N
N
N
N
M
M
M
M
++++
+++
+=
−
−
−
−
Ta được C(z) là đa thức và phân thức A(z)/B(z) có bậc M≤N
•
Nếu K≤N, thì X(z) có dạng giống phân thức A(z)/B(z)
Việc lấy biến đổi Z ngược đa thức C(z) là đơn giản, vấn đề
Việc lấy biến đổi Z ngược đa thức C(z) là đơn giản, vấn đề
phức tạp là tìm
phức tạp là tìm


biến đổi Z ngược A(z)/B(z) có bậc M
biến đổi Z ngược A(z)/B(z) có bậc M
≤
≤
N

N