PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG mẫu mực doc

Mục lục:
PHƯƠNG TRÌNH
PHƯƠNG TRÌNH
I. Phương pháp thường vận dụng
1. Đưa về phương trình tích
2. Áp dụng bất đẳng thức
3. Chứng minh nghiệm duy nhất
4. Đưa về hệ phương trình
II.Bài tập vận dụng
1. Đề bài
2. Hướng dẫn giải
PHƯƠNG TRÌNH
I.PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG VẬN DỤNG:
1. Đưa về phương trình tích
a) Các bước
Tìm tập xác định của phương trình.
Dùng các phép biến đổi đại số, đưa phương trình dạng f(x) . g(x) … h(x) = 0 (gọi
là phương trình tích). Từ đó suy ra f(x) = 0; g(x) = 0; … ; h(x) = , là những
phương trình quen thuộc. Nghiệm của phương trình là tập hợp các nghiệm của các
phương trình f(x)=0; g(x) = 0; … ;h(x) = 0 thuộc tập xác định.
Đôi khi dùng ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ẩn, đưa về dạng tích (với ẩn
phụ). Giải phương trình với ẩn phụ, từ đó tìm nghiệm của phương trình đã cho.
Dùng cách nhóm số hạng, hoặc tách các số hạng … để đưa phương trình về dạng
quen thuộc mà ta đã biết cách giải
b) Thí dụ
1.Giải phương trình:
2
10 21 3 3 2 7 6x x x x
+ + = + + + −
(1)
Giải

(1)
⇔
( 3)( 7) 3 3 2 7 6 0x x x x+ + − + − + + =
⇔
3( 7 3) 2( 7 3) 0x x x+ + − − + − =
⇔
( 7 3)( 3 2) 0x x+ − + − =
⇔
3 2 0
7 3 0
x
x

+ − =

+ − =


1
⇔
7 9
3 4
x
x
+ =


+ =

⇔

2
1
x
x
=


=

Đs: 2 ; 1
2.Giải phương trình:
3 3 2 3
( 3 2) ( 1) (2 3) 0x x x x x− + + − + + + − =
(2)
Giải
Áp dụng hằng đẳng thức: (a-b)
3
+ (b-c)
3
+ (c-a)
3
= 3(a-b)(b-c)(c-a)
Với :
2
2
1
2 3
4
a x x
b x

c x x
= − −
= −
= + −
Đs:
1 5 3
2;1; ;
2 2
±
2
3.Giải phương trình:
5 4 3 2
2x x x x x
= + + + +
(3)
Giải
Đs: 2
4. Giải phương trình:
2 2 2
1 1 1 1
9 20 11 30 13 42 18x x x x x x
+ + =
+ + + + + +
(4)
Giải
1 1 1 1
(4)
( 4)( 5) ( 5)( 6) ( 6)( 7) 18x x x x x x
⇔ + + =
+ + + + + +

(điều kiện x ≠ -4 ,-5, -6, -7)
2
1 1 1 1 1 1 1
(4)
4 5 5 6 6 7 18
1 1 1
4 7 18
11 26 0
( 13)( 2) 0
x x x x x x
x x
x x
x x
⇔ − + − + − =
+ + + + + +
⇔ − =
+ +
⇔ + − =
⇔ + − =
Đs: -13; 2
5. Giải phương trình:
294 296 298 300
4
1700 1698 1696 1694
x x x x
− − − −
+ + + =
(5)
Giải
( )

294 296 298 300
(5) 1 1 1 1 0
1700 1698 1696 1694
1 1 1 1
1994 0
1700 1698 1696 1694
1994 0
x x x x
x
x
− − − −
       
⇔ − + − + − + − =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
 
⇔ − + + + =
 ÷
 
⇔ − =
Do
1 1 1 1
0
1700 1698 1696 1694
+ + + 〉
Đs: 1994
6. Giải phương trình:
1 1 1
1
3 2 2 1 1x x x x x x

+ + =
+ + + + + + + +
(6)
Giải
Điều kiện: x ≥ 0
( ) ( ) ( )
(6) 3 2 2 1 1 1
3 1
1
x x x x x x
x x
x
⇔ + − + + + − + + + − =
⇔ + − =
⇔ =
Đs:1
3
5 4 3 2
4 3 2
(3) ( 1) ( 1)
( 2)( 1) 0
x x x x x
x x x x x
⇔ − − + + + +
⇔ − + + + + =
7. Giải phương trình:
( ) ( ) ( )
4 3
4 2 2 13 50 2 13x x x
+ = + + +

(7)
Giải
Đặt
2 3 5
4
2 2
x
y x y
+
= ⇒ + = −
4
3
5
(7) 16 100
2
y y y
 
⇔ − = +
 ÷
 

4
2
5 25
16 0
2 4
y y y
   
⇔ − − + =
 ÷  ÷

   
(*)
Ta có
2
2 2
25 5
5
4 2
y y y
 
+ = − +
 ÷
 
nên(*)được viết là:
4 2
2 2
5 5
16 80 0
2 2
y y y y
   
− − − − =
 ÷  ÷
   
(**)
Đặt
2
5
2
t y

 
= −
 ÷
 
(**) trở thành :
( ) ( )
2 2
16 80 0
4 20 0
t yt y
t y t y
− − =
⇔ + − =
Giải ra ta được Đs:
10 6 1 10 6 1
;
4 4
− − −
8. Giải phương trình:
(
)
(
)
2 3 2 3 4
x x
+ + − =
(8)
(câu 3 dề 52 bộ tuyển sinh đại học 1993)
Giải
Đặt

(
)
2 3
x
y = −
(y > 0)
Đs: 2 ; -2
9. Giải phương trình:
( )
( )
2 2
4 1 1 2 1 2 1x x x x− + = + + −
(9)
(Trích câu 2 đề 78 bộ dề thi tuyển sinh đại học 1993)
Giải
4
( )
2
2
1 2
1
(8) 4
1 4
2 3
3 2 ; 2 3
y
y
y y
y
y y

⇔ + =
⇔ + =
⇔ − =
⇔ = + = −
Đặt:
2
1 ; 1y x y= + ≥
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2
2
(9) 4 1 2 2 1
2 4 1 2 1 0
2 4 2 2 1 0
2 1 2 1 0
x y y x
y x y x
y xy y y x
y x y
⇔ − = + −
⇔ − − + − =
⇔ − + − − + =
⇔ − + − =
Đs:
4
0 ;

3
2. Áp dụng bất đẳng thức
a) Các bước
Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(x) mà f(x) ≥ a; g(x) ≤ a (a là hằng số)
Nghiệm của phương trình là các giá trị x thỏa mãn đồng thời f(x) = a và g(x) = a
Biến đổi phương trình về dạng h(x) = m (m là hằng số)mà ta luôn có h(x) ≥ m
hoặc h(x) ≤ m thì nghiệm của hệ là các giá trị x làm cho dấu đẳng thức xảy ra.
Áp dụng các bất đẳng thức
Cauchy, Bunhiacốpki,…
b) Thí dụ
1. Giải phương trình:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
13 3 6 2 7 5 12 33x x x x x x
 
− + + − + = − +
 
 
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpki cho 4 số:
( ) ( )
( )
2
2 2 2 2
a b c d ac bd+ + ≥ +
Dấu “=” xảy ra khi
a b
c d
=

Với
2 2
2; 3; 3 6; 2 7a b c x x d x x= = = − + = − +

Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 3 3 6 2 7 2 3 6 3 2 7 5 12 33x x x x x x x x x x
 
 
+ − + + − + ≥ − + + − + = − +
 
 
 
Do đó:
( ) ( )
2 2
2
3 3 6 2 2 7
5 4 0
x x x x
x x
− + = − +
⇔ − + =
Đs: 1; 4
2. Giải phương trình:
( ) ( )
2 2 2

3 3.5 2 2 4 5x x x x x x
− + = − + − +
Giải:
Ta có:
( )
( )
( ) ( )
2
2
2
2
2 2
2
2 2 1 1 0
4 5 2 1 0
2 2 4 5
3 3.5
2
x x x
x x x
x x x x
x x
− + = − + 〉
− + = − + 〉
− + + − +
− + =
5
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương
( )
2

2 2x x− +
và
( )
2
4 5x x− +
Đs:
3
2
3. Giải phương trình:
2 2 2
4
6 11 6 13 4 5 3 2x x x x x x
− + + − + + − + = +
(3)
Giải:
( ) ( ) ( )
2 2 2
4
(3) 3 2 3 4 2 1 3 2x x x⇔ − + + − + + − + = +
(*)
Mà
( ) ( ) ( )
2 2 2
4
3 2 3 4 2 1 2 4 1 3 2x x x− + + − + + − + ≥ + + = +
Nên (*) xảy ra khi và chỉ khi
( )
( )
2
2

3 0
2 0
x
x

− =


− =


Điều này không thể có được. Vậy phương
trình vộ nghiệm
4. Giải phương trình:
2
2
2
6 15
6 18
6 11
x x
x x
x x
− +
= − +
− +
(4)
Giải:
( )
( )

2
2
4
(4) 1 3 9
3 2
x
x
⇔ + = − +
− +
Mà
( )
2
4 4
1 1 3
2
3 2x
+ ≤ + =
− +

( )
2
3 9 3x − + ≥
Do đó ta có:
( )
2
3 0 3x x− = ⇔ =
Đs:x = 3
5. Giải phương trình:
6
4

2 2
1 1 3 2
19 5 95 3
x x x x
− − − +
+ + =
Giải:
*Điều kiện:
2
2
1 0
1 0
3 2 0
x
x
x x
− ≥


− ≥


− + ≥

*Ta có:
6
4
2 2
1 1 3 2 0 0 0
19 5 95 19 5 95 3

x x x x
− − − +
+ + ≥ + + =
Nên
2 2
1 0 ; 1 0 ; 3 2 0x x x x− = − = − + =
Đs: 1
3. Chứng minh nghiệm duy nhất
a) Các bước
Ở một số phương trình ta có thể thử trực tiếp để thấy nghiệm của chúng, rồi tìm
cách chứng minh rằng ngoài nghiệm này ra không còn nghiệm nào khác nữa.
6
b) Thí dụ
1. Giải phương trình:
2 2
3
2 3 9
x x
+
+ =
(1)
Giải:
x = 0 là một nghiệm (1)
Nếu x ≠ 0 ta có
2 2
3 0 3 0
2 3 2 3 9
x x
+ +
+ 〉 + 〉

Do đó x ≠ 0 không thể là nghiệm của (1) Đs: 0
2. Giải phương trình:
( )
2 3 1
x
x
= +
(2)
Giải:
* Dễ thấy x = 2 không phải là nghiệm của (2)
* Xét x > 2.Ta có:
2
2
3 1 3 1
1
2 2 2 2
x
x
   
   
+ 〈 + =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
   
x < 2. Ta có:
2
2
3 1 3 1

1
2 2 2 2
x
x
   
   
+ 〉 + =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
   
Đs: 2
3. Giải phương trình:
1 1 1
2 3 5 2 3 5
x x x x x x− − − −
+ + = + +
(3)
Giải:
( ) ( ) ( )
1 2 1 1 2 1 2 1
(3) 2 2 1 3 3 1 5 5 1 0
x x x x x x
− − − − − −
⇔ − + − + − =
*
1
2
x =

là nghiệm của (3)
* Xét
1
2
x〉
=>
2 1 2 1 2 1
2 1 ; 3 1; 5 1
x x x− − −
〉 〉 〉 ⇒
vế trái của (*) lớn hơn 0
* Xét
1
2
x〈
. Tương tự với lý luận trên
⇒
vế trái của (*) nhỏ hơn 0. Đs:
1
2
4. Giải phương trình:
5 2 3 2
28 2 23 1 2 9x x x x
+ + + + − + = +
Giải:
x = 2 là nghiệm của (3)
Xét
1 2 à x 2 x v≤ 〈 〉
không thỏa (3) Đs: 2
5. Giải phương trình:

1994 1995
3 4 1x x
− + − =
Giải:
x = 3 và x = 4 là nghiệm của phương trình
Xét
3 ; 4 ; 3 4x x x〈 〉 〈 〈
Đs: 3 ; 4
7
6. Giải phương trình:
4 2 4 2 4 2
8 17 8 18 8 16
19 5 94 45
x x x x x x− + − + − +
+ + =
(6)
Giải:
*Ta có:
( )
( )
( )
2
4 2 2
2
4 2 2
2
4 2 2
8 17 4 1 0
8 18 4 2 0
8 16 4 0

x x x
x x x
x x x
− + = − + 〉
− + = − + 〉
− + = − ≥
Nhận thấy: x = ± 2 là nghiệm của phương trình (6)
* Xét x ≠ ± 2: không là nghiệm của phương trình (5)
Đs: ±2
4. Đưa về hệ phương trình
a) Các bước
Tìm điều kiện tồn tại của phương trình
Biến đổi phương trình để xuất hiện nhân tử chung
Đặt ẩn phụ thích hợp để đưa việc giải phương trình về việc giải hệ phương trình
quen thuộc
b) Thí dụ
1. Giải phương trình:
3 3
1x a x b+ − + =
Giải:
Đặt:
3
u x a= +
và
3
v x b= +
Ta có:
3 3
1u v
u v

− =


−

⇔
1
1
.
3
u v
a b
u v
− =


− −

=


⇔
( )
( )
1
1
.
3
u v
a b

u v

+ − =


− + +
− =


u, -v là nghiệm của phương trình
2
1
0
3
a b
y y
− + +
− + =
⇔
2
3 3 1 0y y a b− − + + =
( )
3 4 4 1a b∆ = − −
Nếu
1
4
a b− 〈
thì
0∆〈
: phương trình vô nghiệm

Nếu
1
4
a b− =
thì
0∆ =
:
suy ra
3 1
2.3 2
u v= − = =
8
do đó
3
3
1
2
1
2
x a
x b

+ =




+ = −



⇒
1
8
x b= − −
Nếu
1
4
a b− 〉
thì
0∆〉
( )
1
3 3 4 4 1
6
a b
y
+ − −
=
;
( )
2
3 3 4 4 1
6
a b
y
− − −
=
( )
3 3 4 4 1

6
a b
u
+ − −
=

⇒

( )
3 3 4 4 1
6
a b
v
− − − −
=
⇒
( )
3
3 3 4 4 1
6
a b
x b
 
− − − −
 ÷
= −
 ÷
 
( )
3 3 4 4 1

6
a b
u
− − −
=
⇒
( )
3 3 4 4 1
6
a b
v
− + − −
=
⇒
( )
3
3 3 4 4 1
6
a b
x b
 
− + − −
 ÷
= −
 ÷
 
2. Giải phương trình:
( ) ( )
2 2
2

3 3
3 1 3 1 9 1 1x x x
+ + − + − =
(6)
Giải:
Đặt:
3
3 1u x= +
và
3
3 1v x= −
(6) trở thành:
2 2
3 3
. 1
2
u v u v
u v

+ + =


− =


2 2u v u v
⇒ − = ⇒ = +
Do đó:
( ) ( )
2

2
2 2 1v v v v+ + + + =
( )
2
2
3 6 3 0
3 1 0
1 1
v v
v
v u
⇔ + + =
⇔ + =
⇔ = − ⇒ =
Vậy ta có:
3
3
3 1 1
0
3 1 1
u x
x
v x

= + =

⇒ =

= − = −



Đs: 0
3. Giải phương trình:
( ) ( )
1 1 1 1 2x x x+ − − + =
Giải:
Điều kiện:
1 1x− ≤ ≤
Đặt:
1 x u+ =

( )
0 2u≤ ≤
9
Suy ra:
2
1x u= −
Phương trình trở thành:
( )
(
)
( )
2 2
1 2 1 2 1u u u− − + = −
( )
(
)
( )
(
)

( )
2
2
1 2 1 2 1 0
1 0
2 1 2 1 0
u u u
u
u u
 
⇔ − − + − + =
 
 
− =


⇔
− + − + =


a)
1 0 1u u− = ⇒ =
(thỏa
0u ≥
)
suy ra
0x
=
b)
(

)
( )
2
2 1 2 1u u− + = +
2
2 2 1u u⇔ − = +
( )
2
2
2 2 1
2 1 0 ( ng v 0)
u u
uđúì u

− = +

⇔

+ ≥ ≥


2
5 4 1 0 ( 0)u u a b c⇔ + − = − + =
1
1u = −
;
2
1
5
u =

(loại
1
1u = −
vì -1<0)
Ta có:
2
2
2
1 24
1 1
5 25
x u
 
= − = − = −
 ÷
 
Đs: 0 ;
24
25
−
II.Bài tập vận dụng
Đề bài:
Bài 1:Giả sử x
1
,x
2
,x
3
là nghiệm của PT:
CM:

Bài 2: Giả sử x
1
,x
2
,x
3
là nghiệm của PT:
CM:
Bài 3:Giải PT:
Bài 4:CM: là số vô tỉ
Bài 5:CM: là số vô tỉ
B ài 6:C ó bao nhi êu PT d ạng:
10
c ó 3 nghi ệm a;b;c?
B ài 7: T ìm m sao cho PT c ó nghi ệm duy
nh ất
B ài 8:Gi ải c ác PT sau:
a)
b)
c)
B ài 9:Gi ải PT:

B ài 10:Gi ải PT
B ài 11:Gi ải PT:
B ài 12:Gi ải PT:
B ài 13: Gi ải PT:
Bài 14: Giải PT:
Bài 15: Giải PT:
Bài 16: Giải PT:
Bài 17: Giải các PT sau:

a)
11
b)
c)
d)
Bài 18: Giải các PT sau:
a)
b)
c) (3)
d)
e)
f) (6)
g)
Bài 19:Giải PT:
Bài 20:Giải PT:
Bài 21: Giải PT
Bài 22: Giải PT:
Bài 23: Giải PT:
Bài 24: Giải PT:
Bài25: Giải PT:
Bài 26: Giải PT:
Bài 27:
12
Bài 28:
Bài 29:
Bài 30:
Bài 31:
Bài 32:
Bài 33: Giải PT:
Bi ết r ằng:

B ài 34:
B ài 35:
B ài 36:
Bài 37:
Giải phương trình:
38.
2 8
3
2
8
x x= +
39.
3
1 2 5x x+ + + =
40.
4 4 2 4 2
8 8 4 11 11 6 19 2x x x x x x x x+ + + + + + + + + =
41.
2 2
2 2 1 3 4 1x x x x x+ + − = + +
42.
3 33 2 3 2
2 2 3 1 3 1 2x x x x x x− + − + = + + +
13
43.
2
1 2 1
2
x
x x− − = −

44.
2 2
8 816 10 267 2003x x x x− + + + + =
45.
10 6
5 5
27 5 864 0x x− + =
46.
2005 2006 2007 2008 2x x x y− + − + − + − =
47. ( x – 3 )
2
+ x
4
= -y
2
+6y – 4
48.
4 9 1
11
12
x yz x y z xy z
xyz
− + − + −
=
49.
2 2 2
3 2 1
20 11 2006 10127
x y z+ + +
+ + =

50.
2005 2004 2
2004 4009 2005
x y
x y y x z
+ + + =
+ + +
51.
( )
10 10
2
16 16 2 2
2 2
2 4 1 10
x y
x y x y
y x
 
+ + + = + −
 ÷
 
52.
( ) ( ) ( )
4 4 4 2 2 2
16 1 1 1 32
n n n n n n
x y z x y z+ + + =
( n là tham số nguyên dương)
14