Tài liệu Phương trình không mẫu mực docx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (518.73 KB, 29 trang )
Phương trình không mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình không mẫu mực
1
PH
ƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC
Ta xem ph
ương trình không mẫu mực những phương trình không thể biến ñổi
t
ương tương, hoặc biến ñổi hệ quả từ ñầu cho ñến khi kết thúc. Một sự phân loại
như thế chỉ có tính tương ñối.
I. PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ðẶT ẨN PHỤ.
1. M
ục ñích ñặt ẩn phụ.
1.1. H
ạ bậc một số phương trình bậc cao.
• ðưa một số phương trình bậc 4 về phương trình trùng phương.
Ph
ương trình bậc bốn: ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e = 0 ( a
≠
0 ) ñưa về ñược phương
trình trùng ph
ương chỉ khi ñồ thị hàm số:
f(x) = ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e
có tr
ục ñối xứng. Gọi x = x
0
là trục ñối xứng. Phép ñặt ẩn phụ x = x
0
+ X sẽ ñưa
ph
ương trình ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e = 0 về phương trình trùng phương.
Ví d
ụ 1: Giải phương trình x
4
- 4x
3
- 2x
2
+ 12x - 1 = 0
Gi
ải. ðặt y = x
4
- 4x
3
- 2x
2
+ 12x - 1
Giả sử ñường thẳng x = x
0
là trục ñối xứng của ñồ thị hàm số.
Khi
ñó qua phép biến ñổi:
0
x x X
y Y
= +
=
hàm số ñã cho trở thành:
Y = (x
0
+ X)
4
- 4(x
0
+ X)
3
- 2(x
0
+ X)
2
+ 12(x
0
+ X) - 1
=
4 3 2 2 3 4
0 0
4 6 4
o o
x x X x X x X X+ + + +
-
-
3 2 2 3
0 0 0
4 12 12 4x x X x X X− − −
-
-
2 2
0 0
2 4 2x x X X− −
+
0
12 12
1
x X+ + −
−
Y là hàm số chẵn của X
0
3 2
0 0 0
4 4 0
4 12 4 12 0
x
x x x
− =
⇔
− − + =
Suy ra: x
0
= 1 và Y = X
4
- 8X
2
+ 6
Phương trình ñã cho tương ñương với: X
4
- 8X
2
+ 6 = 0
⇔
X
2
= 4
10±
⇔
X = 4 10± − , X = 4 10± +
Suy ra ph
ương trình có 4 nghiệm: x = 1 4 10± − , x = 1 4 10± +
Ví d
ụ 2: Giải phương trình x
4
+ 8x
3
+ 12x
2
- 16x + 3 = 0
Gi
ải. ðặt y = x
4
+ 8x
3
+ 12x
2
- 16x + 3.
Gi
ả sử ñường thẳng x = x
0
là trục ñối xứng của ñồ thị hàm số.
Phương trình không mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình không mẫu mực
2
Khi
ñó qua phép biến ñổi:
0
x x X
y Y
= +
=
hàm số ñã cho trở thành:
Y = (x
0
+ X)
4
+ 8(x
0
+ X)
3
+ 12(x
0
+ X)
2
- 16(x
0
+ X) + 3 =
=
4 3 2 2 3 4
0 0
4 6 4
o o
x x X x X x X X+ + + +
-
3 2 2 3
0 0 0
8 24 24 8x x X x X X+ + + + +
2 2
0 0
12 24 12x x X X+ + + +
0
16 16
3
x X− − +
+
Y là hàm s
ố chẵn, suy ra: x
0
= - 2
Y = X
4
- 12X
2
+ 35
Y = 0
⇔
X
2
= 5, X
2
= 7
⇔
X =
5±
, X =
7±
Suy ra bốn nghiệm X = - 2
5±
, X = - 2
7±
Bài tập tương tự:
BT1. Gi
ải phương trình 2x
4
- 16x
3
+ 43x
2
- 44x + 14 = 0
ðSố: x = 2
1
2
±
, x = 2 2± .
BT2. Gi
ải phương trình 6x
4
+ 24x
3
+ 23x
2
- 2x - 1 = 0
ðSố: x = - 1
2
3
±
, x = - 1
3
2
±
.
• ðưa phương trình bậc bốn dạng: (x - a)(x - b)(x - c)(x - d) = m, trong ñó a + d
= b + c v
ề phương trình bậc hai.
Do a + d = b + c nên ph
ương trình ñã cho tương ñương:
(x - a)(x - d)(x - b)(x - c) = m
⇔
[x
2
- (a+d)x + ad] [x
2
- (b+c)x + bc] = m
2 2
( )( )
( ) ( )
X ad X bc m
x a d x X x b c x
+ + =
⇔
− + = = − +
Ph
ương trình ñã cho chuyển ñược chuyển về: (X + ad)(X + bc) = m
⇔
X
2
+ (ad + bc)X + abcd - m = 0
Ví d
ụ 1: Giải phương trình (x - 1)(x - 2)(x + 3)(x + 4) = 14.
Gi
ải. Phương trình ñẫ cho tương ñương với:
(x - 1)(x + 3)(x - 2)(x + 4) = 14
⇔
(x
2
+ 2x - 3)(x
2
+ 2x - 8) = 14
2
( 3)( 8) 14
2
X X
x x X
− − =
⇔
+ =
⇔
2
2
11 10 0
2
X X
x x X
− + =
+ =
⇔
2
1, 10
2
X X
x x X
= =
+ =
⇔ x = - 1 2± , x = - 1 11± .
Phương trình không mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình không mẫu mực
3
Ví d
ụ 2: Giải phương trình (x
2
- 1)(x + 2)(x + 4) = 7
Gi
ải. Phương trình ñẫ cho tương ñương với:
(x - 1)(x + 4)(x + 1)(x + 2) = 7
⇔
(x
2
+ 3x - 4)(x
2
+ 3x + 2) = 7
2
( 4)( 2) 7
3
X X
x x X
− + =
⇔
+ =
⇔
2
2
2 15 0
3
X X
x x X
− − =
+ =
⇔
2
3, 5
3
X X
x x X
= − =
+ =
⇔ x =
3 29
2
− ±
Ví d
ụ 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m ñể phương trình sau:
(x
2
- 1)(x + 3)(x + 5) = m
a) Có nghi
ệm.
b) Có b
ốn nghiệm phân biệt.
Gi
ải. Phương trình ñẫ cho tương ñương với:
(x - 1)(x + 5)(x + 1)(x + 3) = m
⇔
(x
2
+ 4x - 5)(x
2
+ 4x + 3) = m
2
( 5)( 3)
4
X X m
x x X
− + =
⇔
+ =
⇔
2
2
2 15 (1)
4 (2)
X X m
x x X
− − =
+ =
a) Ph
ương trình (2) có nghiệm ⇔ X ≥ - 4
Ph
ương trình ñã cho có nghiệm chỉ khi phương trình (1) có nghiệm X ≥ - 4.
Cách 1: Ph
ương trình (1) có nghiệm X ≥ - 4
( 4) 0
' 0
( 4) 0
4
2
f
f
b
a
− ≤
∆ ≥
⇔
− ≥
− ≥ −
⇔
m
≥
- 16
Cách 2: Hàm s
ố f(X) = X
2
- 2X - 15 , X
≥
- 4 có f '(X) = 2X - 2. f(X) liên tục trên
[- 4; + ∞ ) và có cực tiểu duy nhất trên ñó tại X = 1.
Suy ra, trên [- 4; +
∞ ) ta có min f(X) = f(1) = - 16. Vậy phương trình (1) có
nghi
ệm X
≥
- 4 khi m
≥
- 16.
b) 4 nghi
ệm phân biệt ?
Th
ấy ngay là các phương trình x
2
+ 4x = X
1
, x
2
+ 4x = X
2
có nghiệm trùng nhau khi
và ch
ỉ khi X
1
= X
2
. Do vậy phương trình ñã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ
khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt X
1
> X
2
≥
- 4.
Phương trình không mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình không mẫu mực
4
Cách 1. Ta ph
ải có:
' 0
( 4) 0
4
2
f
b
a
∆ >
− ≥
− > −
⇔
- 16 < m
≤
9
Cách 2: Hàm s
ố f(X) = X
2
- 2X - 15 , X
≥
- 4 có f '(X) = 2X - 2.
X -
4 1
+ ∞
f '(X) - 0 +
f(X)
9
+ ∞
- 16
Bài tập tương tự:
BT1. Gi
ải phương trình x
4
- 2x
3
- 7x
2
+ 8x + 7 = 0.
HD. Tìm a, b: (x
2
- x + a)(x
2
- x + b) = x
4
- 2x
3
- 7x
2
+ 8x + 7. ðặt x
2
- x = t
BT2. Cho ph
ương trình (x + 1)(x + 2)(x + 3)( x + 4) = m.
• ðưa phương trình bậc bốn dạng: ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ bx + a = 0(a
≠
0)
Th
ấy ngay x = 0 không thoả phương trình.
Chia hai v
ế của phương trình cho x
2
:
Ph
ương trình ñã cho tương ñương : ax
2
+ bx
+ c + b
1
x
+ a
2
1
x
= 0
2
2
1 1
( ) 0a x b x c
x x
⇔ + + + + =
( )
2
2 0a X bX c⇔ − + + = ,
trong ñó X = x +
1
x
hay x
2
- Xx + 1 = 0,
2X ≥
VD1. Gi
ải phương trình 2x
4
+ 3x
3
- 10x
2
+ 3x + 2 = 0.
2
2
1 1
2 3( ) 10 0x x
x x
⇔ + + + − =
( )
2
2 2 3 10 0X X⇔ − + − =
2
2 3 14 0X X⇔ + − =
7
2,
2
X X⇔ = = −
, trong ñó X = x +
1
x
hay x
2
- Xx + 1 = 0,
2X ≥
i) X = 2: x
2
- 2x + 1 = 0
⇔
x = 1
ii) X = -
7
2
: 2x
2
+ 7x + 2 = 0
⇔
7 33
4
− ±
VD2. Cho ph
ương trình x
4
+ hx
3
- x
2
+ hx + 1 = 0.
Tìm h
ñể phương trình có không ít hơn hai nghiệm âm phân biệt.
Phương trình không mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình không mẫu mực
5
Gi
ải.
2
2
1 1
( ) 1 0x h x
x x
⇔ + + + − =
( )
2
2 1 0X hX⇔ − + − =
2
3 0X hX⇔ + − =
(1), trong ñó
X = x +
1
x
hay x
2
- Xx + 1 = 0 (2) ,
2X ≥
.
Cách 1. Phương trình (2) nếu
2X ≥
thì có hai nghiệm cùng dấu. Nên muốn có
nghi
ệm âm thì
- b/a = X < 0. Suy ra X
≤
- 2. Nhưng (1) luôn luôn có hai nghiệm X
1
< 0 < X
2
nên
ch
ỉ mang về cho (2) ñược X
1
. Vậy X
1
< - 2 < 0 < X
2
. Khi ñó f(- 2) < 0, f(X) =
2
3X hX+ −
1 2 0h⇔ − <
1
2
h⇔ >
.
Cách 2. (1)
⇔
2
3 X
h
X
−
=
,
2X ≥
ðặt
2
3
( )
X
f X
X
−
=
,
2X ≥
⇒
2 2
2
3 3
'( ) 0,
X X
f X
X X
− − −
= = <
2X ≥
X - ∞ - 2 2
+ ∞
f '(X) - -
f(X)
+
∞ -
1
2
1
2
- ∞
Phương trình (2) nếu
2X ≥
thì có hai nghiệm cùng dấu. Nên muốn có nghiệm âm
thì
- b/a = X < 0. Suy ra X
≤
- 2. Nhưng (1) luôn luôn có hai nghiệm X
1
< 0 < X
2
nên
ch
ỉ mang về cho (2) ñược X
1
. Vậy X
1
< - 2 < 0 < X
2
. Theo trên:
1
2
h
>
.
Bài t
ập tương tự:
BT1. Gi
ải phương trình 2x
4
- 5x
3
+ 2x
2
- 5x + 2 = 0.
BT2. Cho ph
ương trình x
4
+ mx
3
- 2x
2
+ mx + 1 = 0.
Tìm m
ñể phương trình có không ít hơn hai nghiệm dương phân biệt.
1.2. Làm m
ất căn thức.
VD1. Gi
ải phương trình x(x + 5) = 2
3
2
5 2 2x x+ − −
Gi
ải. ðặt
3
2
5 2x x+ −
= X
⇒
3 2
2 5X x x+ = +
Ph
ương trình ñã cho
⇔
3
2 4 0X X− + = ⇔
X = - 2
⇒
2
5 6 0x x+ + =
⇒
x = - 2, x = - 3
VD2. Cho phương trình
3 6 (3 )(6 )x x x x m+ + − − + − =
(1)
Phương trình không mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình không mẫu mực
6
1) Gi
ải phương trình khi m = 3
2) Tìm t
ất cả các giá trị m ñể phương trình (1) có nghiệm.
Gi
ải. ðặt
3 6 , 3 6x x t x+ + − = − ≤ ≤
⇒
1 1
' , 3 6
2 3 2 6
t x
x x
= − − < <
+ −
.
3
' 0 3
2
t x≥ ⇔ − < ≤
X -
3 3/ 2
6
f '(X) + 0 -
f(X)
3 2
3
3
Suy ra: 3
≤
t
≤
3 2
Ta có
2
9
(3 )(6 )
2
t
x x
−
+ − =
Phương trình ñã cho tương ñương: t -
2
9
2
t −
= m
⇔
t
2
- 2t + 2m - 9 = 0 (*)
VD3. Cho ph
ương trình
1
( 3)( 1) 4( 3)
3
x
x x x m
x
+
− + + − =
−
(1)
1) Gi
ải phương trình khi m = - 3
2) Tìm tất cả các giá trị m ñể phương trình (1) có nghiệm
HD.
ðặt
1
( 3)
3
x
x t
x
+
− =
−
(1)
⇒
2
( 3)( 1)x x t− + =
, x
≤
- 1 hoặc x > 3 (2)
Ph
ương trình
⇔
t
2
+ 4t = m (3)
1) m = - 3: Ph
ương trình (3)
⇔
t
2
+ 4t + 3 = 0
⇔
t = - 1, t = - 3.
Thay vào (1):
* t = - 1:
2
3 0
3 0
1
( 3) 1
( 3)( 1) 1
3
2 4 0
x
x
x
x
x x
x
x x
− <
− <
+
− = − ⇔ ⇔
− + =
−
− − =
1 5x⇔ = −
1 5x = −
thoả ñiều kiện x
≤
- 1.
* t = - 3:
2
3 0
3 0
1
( 3) 3
( 3)( 1) 9
3
2 12 0
x
x
x
x
x x
x
x x
− <
− <
+
− = − ⇔ ⇔
− + =
−
− − =
1 13x⇔ = −
1 13x = −
thoả ñiều kiện x
≤
- 1.
2) (3) có nghi
ệm t
⇔
m
≥
- 4.
Xét ph
ương trình
2
( 3)( 1)x x t− + =
, x
≤
- 1 hoặc x > 3
⇔
x
2
- 2x - 3 = t
2
, x
≤
- 1 hoặc x > 3
ðặt f(x) = x
2
- 2x - 3, x
≤
- 1 hoặc x > 3
Phương trình không mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình không mẫu mực
7
f '(x) = 2x - 2
x -
∞ - 1 3 + ∞
f '(x) - +
f(x)
+ ∞ + ∞
0 0
vì t
2
≥
0 nên (2) luôn luôn có nghiệm.
Cách 2. N
ếu dùng ñịnh lý ñảo về dấu của tam thức bậc hai thì với m
≥
- 4.
Xét 3 tr
ường hợp khi thay vào (1):
i) t = 0:
1
( 3) 0
3
x
x
x
+
− =
−
: Phương trình có nghiệm x = - 1.
ii) t > 0: (1)
2 2 2
3 0 3
( 3)( 1) ( ) 2 3 0
x x
x x t F x x x t
− > >
⇔
− + = = − − − =
Th
ấy ngay F(3) = - t
2
< 0 nên F(x) có nghiệm x > 3.
3i) t < 0: (1)
2 2 2
1 0 1
( 3)( 1) ( ) 2 3 0
x x
x x t F x x x t
+ ≤ ≤ −
⇔
− + = = − − − =
Th
ấy ngay F(- 1) = - t
2
< 0 nên F(x) có nghiệm x
≤
- 1.
VD4. Giải phương trình
2 2 2
( 1) 3 ( 1) 2 1, 2
n
n n
x x x n+ − − = − − ≥
HD. Th
ấy ngay x =
±
1 không thoả phương trình.
V
ới x
≠
±
1:
Chia hai v
ế của phương trình cho
2
1
n
x −
, ta có:
1 1
3 2
1 1
n n
x x
x x
+ −
− = −
− +
(1)
ðặt
1
1
n
x
t
x
+
=
−
, khi ñó (1)
⇔
t
- 3
1
t
+ 2 = 0
⇔
t
2
+ 2t - 3 = 0
⇔
t = 1, t = - 3
i) t = 1 :
1 1
1 1
1 1
n
x x
x x
+ +
= ⇔ =
− −
: Vô nghiệm
ii) t = - 3:
1
3
1
n
x
x
+
= −
−
(2)
+ n ch
ẵn: (2) vô nghiệm
+ n l
ẻ: (2)
⇔
( )
1 3 1
3 1 ( 1)( 3) (3 1) 3 1
1 3 1
n
n
n n n
n
x
x x x x
x
+ −
= − ⇔ + = − − ⇔ + = − ⇔ =
− +
1.3. Làm m
ất giá trị tuyệt ñối.
VD1. Tìm m
ñể phương trình sau có nghiệm
2 2
2 1 0x x m x m− − − + =
Phương trình không mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình không mẫu mực
8
HD.
ðặt
1 0x t− = ≥
⇒
2 2
2 1x x t− = −
Ph
ương trình ñã cho tương ñương t
2
- mt + m
2
- 1 = 0 (1)
Ph
ương trình ñã cho có nghiệm khi chỉ khi phương trình (1) có nghiệm t
≥
0.
∆ = m
2
- 4m
2
+ 4 = 4 - 3m
2
i)
∆ = 0
⇔
4 - 3m
2
= 0
⇔
m =
2
3
±
: Pt(1) có nghiệm kép t =
2
m
⇒
m =
2
3
thoả
ii) ∆ > 0
⇔
-
2
3
< m <
2
3
:
+ (1) có 2 nghiệm dương
⇔
P > 0, S > 0
⇔
m > 1. Suy ra 1 < m <
2
3
thoả
+ (1) có hai nghi
ệm trái dấu
⇔
P < 0
⇔
- 1 < m < 1
+ (1) có 1 nghi
ệm bằng 0
⇔
m = 1± . Khi ñó nghiệm kia t = m nên m = 1
tho
ả
KL: - 1 < m
≤
2
3
VD2. Cho ph
ương trình
2
2 1x x m x− + = − (1)
1) Gi
ải phương trình khi m = 0.
2) Tìm m
ñể phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
HD.
ðặt x - 1 = t
⇒
2 2
2 1x x t− = −
Pt(1)
⇔
2
1t m t− + =
⇔
2
2
0
1 0
0
1 0
t
t t m
t
t t m
≥
− − + =
≥
+ − + =
⇔
2
2
0
( ) 1
0
( ) 1
t
f t t t m
t
g t t t m
≥
= − − = −
≥
= + − = −
f '(t) = 2t - 1, g'(t) = 2t + 1
Vì x = 1 + t nên m
ỗi nghiệm t cho (1) một nghiệm x. Suy ra không có m thoả
1.4. L
ượng giác hoá các phương trình.
VD. Gi
ải phương trình
3 2 3 2
(1 ) 2(1 )x x x x+ − = −
HD. Do 1 - x
2
≥
0
⇔
- 1
≤
x
≤
1. ðặt x = cost,
[ ]
0;t
π
∈
Ptrình
ñã cho
⇔
3 3
cos sin 2 sin cost t t t+ =
x 0 + ∞
g '(x) +
g(x)
+ ∞
- 1
x 0 1/2 + ∞
f '(x) - 0 +
f(x)
- 1 + ∞
- 5/4
Phương trình không mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình không mẫu mực
9
⇔
3
(cos sin ) 3sin cos (sin cos ) 2 sin cost t t t t t t t+ − + =
(1)
ðặt sint + cost = X
⇒
2
1
cos , 2,sin cos
4 2
2
X X
x X t t
π
−
− = ≤ =
.
(1)
⇔
2 2
3
1 1
3 2
2 2
X X
X X
− −
− =
3 2
2 3 2 0X X X⇔ + − − =
2
( 2)( 2 2 1) 0X X X⇔ − + + = 2, 2 1X X⇔ − = − ±
.
Nh
ưng
2 2, 1 2X X X≤ ⇒ = = −
.
i) X =
2 : sint + cost = 2
2
1 2x x⇔ + − =
2
1 2x x⇔ − = −
2 2
1 2 2 2
2 0
x x x
x
− = − +
⇔
− ≥
2
2 2 2 1 0
2
x x
x
− + =
⇔
≤
1
2
x⇔ =
.
i) X = 1-
2
: sint + cost = 1 -
2
2
1 1 2x x⇔ + − = −
2
1 1 2x x⇔ − = − −
2 2
1 2 2 2 2(1 2)
1 2 0
x x x
x
− = − − − +
⇔
− − ≥
2
(1 2) 1 2 0
1 2
x x
x
− − + − =
⇔
≤ −
1 2 2 2 1
2
x
− − −
⇔ =
.
1.5.
ðại số hoá các phương trình lượng giác, mũ, loga.
VD1. Gi
ải phương trình
(
)
(
)
2 3 2 3 4
x x
− + + =
HD.
ðặt
(
)
2 3 0
x
t+ = >
⇒
(
)
1
2 3
x
t
− =
Pt
⇔
1
4t
t
+ = ⇔
t
2
- 4t + 1 = 0
⇔
2 3t
= ±
⇔
(
)
(
)
2 3 2 3
2 3 2 3
x
x
+ = +
+ = −
⇔
(
)
(
)
2
2
2 3 2 3 2 3
x
x
−
=
+ = − = +
2, 2.x x⇔ = = −
VD2. Cho phương trình
( ) ( )
tan
5 2 6 5 2 6
x tanx
m+ + − =
1) Gi
ải phương trình khi m = 4
2) Gi
ải và biện luận phương trình (1) theo m.
HD.
ðặt
( )
tan
5 2 6 0
x
t+ = >
⇒
( )
tan
1
5 2 6
x
t
− =
Pt ñã cho tương ñương
2
1
1 0t m t mt
t
+ = ⇔ − + =
(1)
Phương trình không mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình không mẫu mực
10
1) m = 4:
2 3t = ±
( ) ( )
tan
5 2 6
5 2 6 2 3 log 2 3
x
tanx
+
⇔ + = ± ⇔ = ±
( )
5 2 6
log 2 3x arctan k
π
+
⇔ = ± +
2) Ptrình
ñã cho có nghiệm khi và chỉ khi Pt(1) có nghiệm t > 0
Th
ấy ngay rằng, nếu (1) có nghiệm thì có hai nghiệm cùng dấu. Do vậy nếu pt (1)
có nghi
ệm dương thì có hai nghiệm dương. Suy ra, cần và ñủ là:
2
4 0
2
0
m
m
S m
∆ = − ≥
⇔ ≥
= >
. Khi ñó t =
2
4
2
m m± −
⇔
( )
2
tan
4
5 2 6
2
x
m m± −
+ =
⇔
2 2
5 2 6 5 2 6
4 4
tan log arctan log
2 2
m m m m
x x k
π
+ +
± − ± −
= ⇔ = +
.
2. Các ki
ểu ñặt ẩn phụ.
1.1.
ðặt một ẩn phụ chuyển phương trình về phương trình của ẩn phụ.
VD. Giải và biện luận phương trình
24
3 1 1 2 1x m x x− + + = −
HD. Th
ấy rằng x = - 1 không thoả ptrình.
Pt
ñã cho tương ñương với
4
1 1
3 2
1 1
x x
m
x x
− −
+ =
+ +
(1)
ðặt
4
1
0
1
x
t
x
−
= ≥
+
. Khi ñó (1)
⇔
2
3 2 0t t m− + =
(2)
Ptrình
ñã cho có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm không âm
Cách 1: Ph
ương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu
⇔
m < 0
Ph
ương trình (2) có 2 nghiệm không âm
⇔
' 0
0
0
P
S
∆ ≥
≥
≥
⇔
1
0
3
m≤ ≤
Hai nghi
ệm của (2) là
1 1 3
3
m
t
± −
=
Nh
ư thế, khi m < 0:
1 1 3
3
m
t
+ −
=
4
1 1 1 3
1 3
x m
x
− + −
⇒ =
+
4
1
1
1
11 1 1 3
1 3 1
Mx m
M x
x M
−− + −
⇒
= =
⇒
=
+ +
khi 0
≤
m
1
3
≤
:
4
1 1 1 3
1 3
x m
x
− ± −
⇒ =
+
4
1
1
1
11 1 1 3
1 3 1
Mx m
M x
x M
−− + −
⇒
= =
⇒
=
+ +
ho
ặc
4
2
2
2
11 1 1 3
1 3 1
Mx m
M x
x M
−− − −
= =
⇒
=
+ +
1.2. ðặt một ẩn phụ và duy trì ẩn cũ trong cùng một phương trình.
VD1. Gi
ải phương trình 2(1 - x)
2 2
2 1 2 1x x x x+ − = − −
Phương trình không mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình không mẫu mực
11
HD. Cách 1:
ðặt
2
2 1x x t+ − = ≥
0
2 2 2 2
2 1 2 1 4x x t x x t x⇒ + − = ⇒ − − = −
Pt
⇔
2
2(1 ) 4x t t x− = − ⇔
2
2(1 ) 4 0t x t x− − − =
2
' ( 1)x∆ = +
⇒
(1 ) ( 1) 2, 2t x x t t x= − ± + ⇔ = = −
2 0 0t x x= − ≥ ⇒ ≤ :
2 2 2 2
2 1 2 2 1 4 3 2 1 0x x x x x x x x+ − = − ⇔ + − = ⇒ − + =
: VN
2t = :
2 2
2 1 2 2 5 0 1 5x x x x x+ − = ⇔ + − = ⇒ = − ±
Cách 2: Pt
⇔
(x - 1)
2
- 2(x - 1)
2
2 1x x+ −
- 2 = 0
VD2. Gi
ải phương trình (4x - 1)
2 2
1 2 2 1x x x+ = + +
Cách 1:
ðặt
2
1x t+ =
Cách 2: Bình ph
ương hai vế
1.3.
ðặt một ẩn phụ và duy trì ẩn cũ trong một hệ phương trình.
VD1. Giải phương trình x
2
+
5 5x + =
HD. ðặt
2
5 0 5x y y x+ = ≥ ⇒ = +
(1)
T
ừ Pt ñã cho
⇒
x
2
= 5 - y (2)
Tr
ừ từng vế (1) và (2) ta có: y
2
- x
2
= x + y
⇔
x + y = 0 hoặc y - x - 1 = 0
i) x = y = 0
⇔
y = - x
≥
0
⇒
x
≤
0: (1)
⇔
x
2
- x - 5 = 0
⇔
x =
1 21
2
− ±
Nh
ưng x
≤
0 nên
1 21
2
x
− −
=
ii) y - x - 1 = 0
⇔
y = x + 1
≥
0
⇔
x
≥
- 1: (2)
⇔
x
2
- x - 4 = 0
⇔
x =
1 17
2
− ±
Nh
ưng x
≥
- 1 nên
1 17
2
− +
Cách 2.(Bi
ến ñổi Pt về dạng tích)
x
2
+
5 5x + =
2
( 5) ( 5) 0x x x x⇔ − + + + + = ( 5)( 5 1) 0x x x x⇔ + + − + + =
VD2. Giải phương trình x
3
+ 1 =
3
2 2 1x −
HD.
ðặt
3
3
2 1 2 1x y y x+ = ⇒ = +
(1)
T
ừ Pt ñã cho
⇒
x
3
= 2y - 1 (2)
H
ệ (1)&(2) là một hệ ñối xứng loại 2.
Cách 2.(Dùng tính ch
ất ñồ thị của hai hàm ngược nhau)
Pt
ñã cho tương ñương
3
3
1
2 1
2
x
x
+
= −
(1)
Các hàm số
3
3
1
, y 2 1
2
x
y x
+
= = −
là các hàm số ngược của nhau. Vậy nên phương
trình (1) t
ương ñương
3
1
2
x
x
+
=
3
2 1 0x x⇔ − + =
-1 5
1, x =
2
x
±
⇔ =
