TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN

Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm
CHỦ ĐỀ I: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN
PHẦN I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
§1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Định nghĩa
Cho hàm số y=f(x) xác định trên (a,b)
1) f tăng trên (a,b) nếu với mọi x
1
, x
2
∈(a,b) mà x
1
<x
2
thì f(x
1
)<f(x
2
).
2) f giảm trên (a,b) nếu với mọi x
1
, x
2
∈(a,b) mà x
1
<x
2
thì f(x
1
)>f(x

2
).
3) x
0
∈(a,b) được gọi là điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó f’(x) khơng xác định hay bằng 0.
II. Định lý:
1) Định lý Lagrăng: Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a,b]và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn
tại một điểm c∈(a,b) sao cho
( ) ( )
( ) ( ) '( ).( ) '( )
f b f a
f b f a f c b a hay f c
b a
−
− = − =
−
2) Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a,b).
• Nếu f’(x)>0 ∀x∈(a,b) thì hàm số y=f(x) đồng biến trên (a,b).
• Nếu f’(x)<0 ∀x∈(a,b) thì hàm số y=f(x) nghịch biến trên (a,b).
(Nếu f’(x) =0 tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a,b) thì định lý vẫn còn đúng).
CÁC DẠNG BÀI TẬP
Hàm số bậc 3 ( hàm số hữu tỷ )
 Tập xác đònh
 Đạo hàm y
/
 Hàm số tăng trên R ( trong từng khoảng
xác đònh): y
/
≥ 0 ∀x ∈ R




≤∆
>
0
0a
Giải tìm m
 Chú ý: Nếu hệ số a của y
/
có chứa tham số
thì phải xét khi a = 0
• Tương tự cho hàm số giảm:
y
/
≤ 0 ∀x∈ R



≤∆
<
⇔
0
0a
2.Hàm số nhất biến :
dcx
bax
y
+
+

=
 Tập xác đònh
 Đạo hàm y
/
 Hàm số tăng (giảm) trong từng khoảng
xác đònh : y
/
> 0 ( y
/
< 0 ) . Giải tìm m
 Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét
thêm c = 0.
B. CÁC BÀI TẬP:
Bài 1: Cho hàm số
3 2
3 3(2 1) 1y x mx m x= − + − +
.
a) Khảo sát hàm số khi m=1.
b) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập
xác định.
c) Định m để hàm số giảm trên (1,4).
Bài 2: Cho hàm số
2
2y x x= −
a) Tính y’’(1)
b) Xét tính đơn điệu của hàm số.
Bài 3: Cho hàm số
1
2
mx

y
x m
−
=
+
a) Khảo sát và vẽ đồ thị khi m=2.
b) Xác định m để đồ thi hàm số khơng cắt
đường thẳng x=-1.
c) Chứng minh rằng với mỗi giá trị m hàm
số ln đồng biến trên khoảng xác định
của nó.
Bài 4: Chứng minh rằng
a) x > sinx ∀x ∈ (-π/2,π/2).
b)
1
2 x R
x
e x
+
≥ + ∀ ∈
.
c)
x>1
ln
x
e
x
≥ ∀
.
Bài 5 : Chứng minh phương trình sau có đúng một

nghiệm :
5 3
2 1 0x x x− + − =

§2. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1.Định nghĩa: Cho hàm số y= f(x) xác định trên (a,b) và điểm x
0
∈(a,b) .
• Điểm x
0
được gọi là điểm cực đại của hàm số y= f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận của điểm x
0
ta
có f(x) < f(x
0
) (x ≠ x
0
).
• Điểm x
0
được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận của điểm x
0
ta có f(x)>f(x
0
) (x ≠ x
0
).
2. Điều kiện để hàm số có cực trị:
Định lý fermat: Nếu hàm số y=f(x) liên tục (a, b) có đạo hàm tại x

0
∈(a, b) và đạt cực trị tại điểm đó thì f’(x
0
) = 0.

Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm
Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x
0
(có thể trừ tại x
0
)
a) Nếu f’(x
0
) > 0 trên khoảng (x
0
-δ; x
0
); f’(x) < 0 trên khoảng (x
0
; x
0
+ δ) thì x
0
là một điểm cực đại của
hàm số f(x).
b) Nếu f’(x) <0 trên khoảng (x
0
- δ; x
0
) ; f’(x) > 0 trên khoảng (x

0
; δ+ x
0
) thì x
0
là một điểm cực tiểu của
hàm số f(x).
Nói một cách vắn tắt: Nếu khi x đi qua x
0
, đạo hàm đổi dấu thì điểm x
0
là điểm cực trị.
Định lí 2. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại x
0
và f’(x
0
) = 0, f''(x
o
) ≠ 0 thì x
o
là một điểm
cực trị của hàm số. Hơn nữa
1) Nếu f”(x
0
) > 0 thì x
0
là điểm cực tiểu.
2) Nếu f”(x
0
) < 0 thì x

0
là điểm cực đại.
Nói cách khác:
1) f’(x
0
) = 0, f”(x
0
) > 0 ⇒ x
0
là điểm cực tiểu.
2) f’(x
0
) = 0, f”(x
0
) < 0 ⇒ x
0
là điểm cực đại.
Chú ý:
1) Nếu hàm số ln tăng ( giảm)trên (a;b) thì khơng có cực trị trên (a;b).
2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y
/
= 0.
3) x
0
là cực trị của hàm số 
/
( ) 0
0
/
( )

=



y x
y x
•
Tìm m để hàm sốá có cự c đại , cực tiểu
 Tập xác đònh
 Đạo hàm y
/
 Hàm số có cực đại,cực tiểu khi y
/
= 0 có hai
nghiệm phân biệt



>∆
≠
0
0a

 Giải tìm m
•
Dùng dấu hiệu 2 tìm cực trò
 Tập xác đònh
 Đạo hàm y
/
 Giải phương trình y

/
= 0 tìm nghiệm x
0
 Đạo hàm y
//
.Tính y
//
(x
0
)
* Nếu y
//
(x
0
) > 0 : hàm số đạt cực tiểu tại x
0
* Nếu y
//
(x
0
) < 0 : hàm số đạt cực đại tại x
0
•
Tìm m để hàm số đạt cực trò tại x
0
Cách 1:  Tập xác đònh
 Đạo hàm y
/
 Hàm số đạt cực trò tại x
0

:
y
/
(x
0
) = 0
y
/
đổi dấu khi x qua x
0
 Chú ý :
• Hàm số đạt cực tiểu tại x
0
:
0
y'(x ) = 0
y' doi dau tu " - " sang " +"



• Hàm số đạt cực đại tại x
0
:
•
0
'( ) 0
' dau tu "+" sang "-"
y x
y doi
=





Cách 2:
 Tập xác đònh
 Đạo hàm y
/
 Đạo hàm y
//
 Hàm số đạt cực trò tại x
0
:



≠
=
0)(
0)(
0
//
0
/
xy
xy

 Cực đại: { y
/
(x

0
) = 0 và y
//
(x
0
) < 0 }
 Cực tiểu : { y
/
(x
0
) = 0 và y
//
(x
0
) > 0}
•
Hàm số đạt cực trò bằng y
0
tại x
0
 Tập xác đònh
 Đạo hàm y
/

=

f
/
(x)
 Hàm số đạt cực trò bằng y

0
tại x
0
khi





≠
=
=
0)(
)(
0)(
0
//
00
0
/
xf
yxf
xf
đổi dấu qua x
0
Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm
Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y
/
khó xét dấu (như hàm lượng giác,mũ,logarit,luỹ thừa,… )
* Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là:

y = phần dư của phép chia f(x) cho f
/
(x).
Dạng 2: Cực trò của hàm hữu tỉ (xem thêm để thi ĐH nhé)
Cho h/s y =
u
v
u(x) ; v(x) là các đa thức có MXĐ: D
Và y
/
=
u v vu
2
v
′ ′
−
=
g(x)
2
v
dấu của y
/
là dấu của g(x)
Nếu h/s đạt cực trò tại x
0
thì y
/
(x
0
)= 0 => g(x

0
) = 0 <=> u
/
v−v
/
u = 0 =>
u u
v v
′
=
′
.
Do đó giá trò cực trò y(x
0
) =
u (x )
0
v (x )
0
′
′
Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp
- Để hàm số
( )
y f x=
có 2 cực trị
( )
0
' 0 ó nghiêm
0

a
f x c
≠

⇔ = ⇔

∆ >

- Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hồnh
. 0
CD CT
y y⇔ <
- Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung
. 0
CD CT
x x⇔ <
- Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm trên trục hồnh
0
. 0
CD CT
CD CT

y y
y y
+ >

⇔

>

- Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm dưới trục hồnh
0
. 0
CD CT
CD CT
y y
y y
+ <

⇔

<

- Để hàm số
( )
y f x=
có cực trị tiếp xúc với trục hồnh
. 0
CD CT

y y⇔ =
 u cầu đối với học sinh :

Biết số lượng cực trị của mỗi dạng hàm số được học trong chương trình:

Hàm số bậc 3 : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a
≠
0)
→
khơng có cực trị hoặc có 2 cực trị.

Hàm số bậc 4 dạng : y = ax
4
+ bx
2
+ c (a
≠
0)
→
có 1 cực trị hoặc 3 cưc trị.

Hàm số nhất biến dạng:
ax+b
cx+d
=y

→
chỉ tăng hoặc chỉ giảm và khơng có cực trị.
B . CÁC BÀI TẬP:
Bài tập:1 Định tham số m để:
i) Hàm số y =
3 2
1
( 6) 1
3
x mx m x
+ + + −
có cực đại và cực tiểu.Kết quả: m < - 2 hay m > 3
2i)Hsố y =
2
2
1
x mx
mx
+ −
−
có cực trị. Kết quả: - 1 < m < 1
3i) Hàm số y = 2x
3
– 3(2m + 1)x
2
+ 6m(m + 1)x + 1 có cực đại và cực tiểu tại x
1
, x
2
và khi đó x

2
– x
1
khơng phụ
thuộc tham số m. Kết quả : ∀m và x
2
– x
1
= 1
Bài 2: Hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 3mx + 1 – m có cực đại và cực tiểu. Giả sử M
1
(x
1
;y
1
), M
2
(x
2
;y
2
) là 2 điểm cực trị của
đồ thị hàm số. Chứng minh rằng :
1 2
1 2 1 2
( )( 1)

y y
x x x x
−
− −
= 2.Kết quả : m < 1
Bài 3: Cho hàm số
4 2
2 2 1y x mx m= − + − +
(1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m=1/3.
GV: Dương Văn Trạng Tổ: Tốn -Tin học
Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hồnh.
c) Biện luận theo m số cực trị của hàm số (1).
Bài 4: Cho hàm số
mmxxmxy 26)1(32
23
−++−=
a)Khảo sát hàm số khi m = 1 gọi đồ thị là (C). Chứng tỏ rằng trục hồnh là tiếp tuyến của (C).
b) Xác định m để hàm số có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị
đó.
Bài 5: Định m để hàm số
3 2 2
1
( 1) 1
3
y x mx m m x= − + − + +
đạt cực tiểu tại x = 1.
Bài 6: Cho hàm số
2

1
x x m
y
x
− +
=
+
Xác định m sao cho hàm số.
a) Có cực trị.
b) Có hai cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu nhau.
Bài 7: Cho hàm số
3 2
( ) 3x 3 x+3m- 4y f x x m= = − + −
a) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị lớn hơn m.
b) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số
§3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1) Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trên D
Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu:
0 0
: ( )
: ( )
x D f x M
x D f x M
∀ ∈ ≤
∃ ∈ =
(ký hiệu M=maxf(x) )
Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu:
0 0
: ( )

: ( )
x D f x m
x D f x m
∀ ∈ ≥
∃ ∈ =
(ký hiệu m=minf(x) )
2) Cách tìm GTLN-GTNN trên (a,b)
+ Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a,b)
+ Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại (cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu) là
GTLN (GTNN) của hàm số trên (a, b)
3)Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b].
• Xét hàm số y = f(x)=… trên [a;b]
• Đạo hàm : y
/
= ?
cho y
/
= 0 ( nếu có ) _ x
1
, x
2
… . chỉ chọn các nghiệm thuộc [a;b]
• Tính f(x
1
) ; f(x
2
) ………. So sánh → KL
f(a) ; f(b)
• Kết luận:
max y

[a;b]
=
?
min y
[a;b]
=
?
B. CÁC BÀI TẬP:
Bài 1:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a)
3 2
2 3 1y x x= + −
trên [-2;-1/2] ; [1,3). b)
2
4y x x= + −
.
c)
3
4
2sinx- sin
3
y x=
trên đoạn [0,π] (TN-THPT 03-04/1đ)
d)
2 os2x+4sinxy c=
x∈[0,π/2] (TN-THPT 01-02/1đ)
e)
2
3 2y x x= − +
trên đoạn [-10,10].

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
y= x 1 3x 6x 9 + + − + +
trên đoạn[-1,3].
ℑ4. TIỆM CẬN
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1) Tiệm cận đứng:
Nếu
0
lim ( )
x x
f x
→
= ∞
thì đường thẳng (d) có phương trình x= x
0
là tiệm cân đứng của đồ thị (C).
2) Tiệm cận ngang:
Nếu
0
lim ( )
x
f x y
→∞
=
thì đường thẳng (d) có phương trình y= x
0
là tiệm cân ngang của đồ thị (C).
Cách xác đònh tiệm cận :
GV: Dương Văn Trạng Tổ: Tốn -Tin học

Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm
• Tiệm cận đứng :
f (x)
lim
x x
0
= ±∞
±
→
=> x = x
0
là tiệm cận đứng
Chú ý : tìm x
0
là những điểm hàm số không xác đònh
• Tiệm cận ngang :
f (x) y
lim 0
x
=
→±∞
=> y = y
0
là tiệm cận ngang
Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử ≤ bậc mẫu thì có tiệm
cận ngang
B. CÁC BÀI TẬP: Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số
a)
2
1y x= −

b)
3
2
1
1
x x
y
x
+ +
=
−
c)
2
3 1
1 2
x x
y
x
+ +
=
−
. d)
2
2
1
3 2 5
x x
y
x x
+ +

=
− −
PHẦN II: ƠN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ
Các bước khảo sát hàm số :
Các bước khảo sát hàm đa thức Các bước khảo sát hàm hữu tỷ
1.Tìm tập xác định: D=…
2. Tính đạo hàm: y’= cho y’=0 và tìm
nghiệm
3. Chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến
4. Chỉ rõ điểm CỰC ĐẠI,CỰC TIỂU
5.Tính giới hạn:
lim
x
y
→±∞
=

6.Lập bảng biến thiên
7.Nhận xét về đồ thị:
• Chỉ rõ tâm đối xứng(trục đối xứng
của đồ thị)
• Chỉ rõ giao điểm của (C) với trục
Oy và Ox
• Cho thêm điểm đặt biệt để vẽ
10. Vẽ đồ thị.
1.Tìm tập xác định: D=…
2.Tính đạo hàm: y’= cho y’=0 và tìm
nghiệm
3.Chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến
4.Tính giới hạn:

lim lim
o
x x
x
y y
±
→
→±∞
= =
với x
o
là
nghiệm mẫu
5.Tìm phương trình tiệm cận:
TCĐ: x = …; TCN: y=…
6.Lập bảng biến thiên
7.Nhận xét về đồ thị:
• Chỉ rõ tâm đối xứng(trục đối xứng
của đồ thị)
• Chỉ rõ giao điểm của (C) với trục
Oy và Ox
• Cho thêm điểm đặt biệt để vẽ
10. Vẽ đồ thị.
Sự khác biệt : Hàm đa thứcđồ thị khơng có tiệm cận, hàm hữu tỉ khơng cần xét đaọ hàm cấp hai( khơng có điểm
uốn).
1.Hàm số bậc 3 : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d ( a ≠ 0 )

+ TXĐ : D = R
+ Đạo hàm: y
/
= 3ax
2
+ 2bx + c với ∆
/
= b
2
− 3ac
∆
/
≤ 0 ∆
/
> 0
y
/
cùng dấu với hệ số a
•KL: hàm số tăng trên? (luôn
giảm trên?)
y
/
= 0 có hai nghiệm x
1
; x
2

•KL: hàm số tăng? Giảm?
•Hàm số không có cực trò • Cực tri ̣ cực đại? Cực tiểu?
+ Giới hạn:

•
)(lim
23
dcxbxax
x
+++
+∞→
=



<∞−
>+∞
)0(
)0(
a
a
•
)(lim
23
dcxbxax
x
+++
−∞→
=



<∞+
>−∞

)0(
)0(
a
a
+ Bảng biến thiên:
x −
∞
+
∞
x −
∞
x
1
x
2
+
∞
y
/
+ y
/
+ 0 − 0 +
y +
∞

-
∞
y CĐ +
∞
-

∞
CT
GV: Dương Văn Trạng Tổ: Tốn -Tin học
a > 0
Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm
x −
∞
+
∞
x −
∞
x
1
x
2
+
∞
y
/
−
y
/
− 0 + 0 −
y +
∞

−
∞
y +
∞

CĐ
CT −
∞

Chú ý : dù y
/
= 0 có nghiệm kép việc xét dấu vẫn đúng
+ Vẽ đồ thò : • Xác đinh Cực trò ?
• ; điểm đặc biệt

a>0 ; có 2 CT a<0; có 2 CT a>0,không CT a<0,không CT
2 Hàm trùng phương y = ax
4
+ bx
2
+ c ( a ≠ 0 )
+ TXĐ : D = R
+ Đạo hàm: y
/
= 4ax
3
+ 2b.x =2x.(2a x
2
+ b)
a,b cùng dấu a, b trái dấu
y
/
= 0 ⇔ x = 0
•KL: tăng? Giảm
y

/
= 0 ⇔ 2x (2ax
2
+ b) = 0 ⇔ x= 0; x
1,2
=±
a
b
2
−
•KL: tăng? Giảm?
•Giá trò cực trò : y(0) = c
có một cực trò
• Giá trò cực trò: y(0)= c ; y(±
a
b
2
−
) =−
a4
∆
Có 3 cực trò
+ Giới hạn :
)(lim
24
cbxax
x
++
±∞→
=




<∞−
>+∞
)0(
)0(
a
a

+ Bảng biến thiên :
x −
∞
0 +
∞
x −
∞
x
1
0 x
2
+
∞
y
/
− 0 + y
/
− 0 + 0 − 0 +
y
+

∞
+
∞
y +
∞
CĐ +
∞
CT CT
x −
∞
0 +
∞
x −
∞
x
1
0 x
2
+
∞
y
/
+ 0 − y
/
+ 0 − 0 + 0 −
y
−
∞
−
∞

y
CĐ CĐ
-
∞
CT -
∞
+ Vẽ đồ thò : • cực đại , cực tiểu ; • y = 0 −> x= ? giải pt trùng phương

GV: Dương Văn Trạng Tổ: Tốn -Tin học
a < 0
Điểm uốn I(−
a
b
3
;f(−
a
b
3
))
CĐ
a < 0
a > 0
CT
x
y
O
•
I
x
y

O
•
I
a < 0
a > 0
Dạng 2:hàm số khơng có cực trị
⇔ ?
x
y
O
•
I
x
y
O
•
I
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 2 cực trị ⇔ ?
x
y
O
x
y
O
a < 0
b<0
a > 0
b>0

Dạng 2: hàm số có 1 cực trị ⇔ ?
x
y
O
x
y
O
a < 0
b>0
a > 0
b<0
Dạng 1: hàm số có 3 cực trị ⇔ ?
Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm
3.Hàm phân thức : y =
dcx
bax
+
+
( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 )
+ TXĐ : D = R\






−
c
d
+ Đạo hàm : y

/
=
2
)( dcx
bcad
+
−
ad−bc < 0 ad−bc > 0
y
/
< 0 ∀ x ∈D y
/
> 0 ∀ x ∈D
Hàm số không có cực trò
Hàm số nghòch biến trên D Hàm số đồng biến trên D
+ Tiệm cận: • x =
c
d
−
là tiệm cận đứng vì
lim
d
x
c
ax b
cx d
±
 
→ −
 ÷

 
+
+
= ∞
• y =
c
a
là tiệm cận ngang vì
lim
x
ax b
cx d
→±∞
+
+
=
c
a
+Bảng biến thiên :
x −
∞
−d/c +
∞
x −
∞
−d/c +
∞
y
/
− || −

y
/
+ || +
y a/c ||+
∞

−
∞
a/c
y +
∞
|| a/c
a/c −
∞
+ Vẽ đồ thò : − Vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt
− Cho 2 điểm về 1 phía của tiệm cận đứng vẽ một nhánh , lấy đối xứng nhánh đó qua giao điểm hai
tiệm cận .
Phần III: ƠN TẬP CÁC BÀI TỐN CĨ LIÊN QUAN
Dạng 1: Dùng đồ thị biện luận phương trình:
f(x) = m hoặc f(x) = g(m) hoặc f(x) = f(m) (1)
+ Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát
+ Đường thẳng (d): y = m hoặc y = g(m) hoặc y = f(m) là một đường thẳng thay đổi ln cùng phương với trục Ox.
Các bước giải
Bước : Biến đổi phương trình đã cho về dạng pt (1)
Bước : Dựa vào đồ thị ta có bảng biện luận:
Ví dụ 1: 1. Biện luận phương trình
3 2
1
3
x x

−
= m
2. Biện luận phương trình
3 2
1
3
x x−
= 3m -2
3. Biện luận phương trình
3 2
1
3
x x
−
=
3 2
1
3
m m−

Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng & thể tích vật thể tròn xoay.(xem chi tiết ở phần sau)
Học sinh cần nhớ và vận dụng thành thạo các cơng thức:
• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
(C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b)
GV: Dương Văn Trạng Tổ: Tốn -Tin học
y
I
x
y
O

Dạng 2: h/số nghịch biếnDạng 1: h/số đồng biến
x
O
I
Tài liệu ôn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm
→ Ta sử dụng công thức
b
a
S f x dx=
∫
( )
(I)
• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
(C): y = f(x), y = g(x) / [a;b]
→ Ta sử dụng công thức
b
a
S f x g x dx
= −
∫
( ) ( )
(II)
• Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H) giới hạn bởi
(C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b), khi (H) quay quanh Ox.
→ Ta dùng công thức
[ ]
2
b
a
V f x dx

π
=
∫
( )
(III)
• Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H’) giới hạn bởi (C): x = g(y), trục Oy và 2 đường
thẳng y = a, y = b ( a < b), khi (H’) quay quanh Oy.(xem thêm)
→
Ta dùng công thức
[ ]
2
=
∫
b
a
V g y dy( )
π
(IV)
Đặc biệt hóa trong các trường hợp khi cần thiết hoặc phù hợp với một đề bài cụ thể, đồng thời nắm
được các bước cơ bản khi giải dạng toán này:
 Khi cần tính diện tích 1 hình phẳng:
 Nắm các dấu hiệu để biết sử dụng công thức (I) hay (II) (có hay không có Ox).
 Xác định được cận dưới a và cận trên b (nếu chưa có thì biết đi tìm).
 Dựa vào đồ thị (hoặc xét dấu riêng), để biết dấu của biểu thức f(x)/[a;b]. (hay dấu của f(x) – g(x) /[a;b]).
 Biết các bước trình bày bài giải và tính đúng kết quả.
 Khi cần tính thể tích vật thể tròn xoay:
 Nắm các dấu hiệu để biết sử dụng công thức (III) hay (IV) (hình sinh quay quanh Ox hay quay quanh Oy)
 Xác định các cận trên, cận dưới và tính đúng kết quả.
Ví dụ : (trích đáp án kì thi THPT không phân ban 2006 )
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hàm số y = e

x
, y = 2 và đường thẳng x = 1.
Giải: (0,75 đ)
Ta có: e
x
= 2 ⇔ x = ln2
Diện tích hình phẳng cần tìm S =
( )
1 1
ln2 ln2
2 2
x x
e dx e dx− = −
∫ ∫
(0,25 đ)
=
( )
1
ln2
2 ( 2) (2 2ln 2) 2ln 2 4
x
e x e e− = − − − = + −
(đvdt) (0,25đ + 0,25đ)
Ví dụ : ( trích đáp án kì thi THPT phân ban 2006)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) : y = – x
3
– 3x
2
và trục Ox.
Giải:

Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Từ đồ thị ta có:
3 3
3 2 3 2
0 0
3 ( 3 )S x x dx x x dx= − + = − +
∫ ∫

3
4
3
0
4
x
x
 
= − +
 ÷
 
= 27/4 ( đvdt)
Bài tập : (cho dạng 1 và dạng 2)
Bài 1: Cho hàm số y = x
3
– mx + m + 2. có đồ thị là (Cm)
a) Khảo sát hàm số khi m = 3.
GV: Dương Văn Trạng Tổ: Toán -Tin học
Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm
b) Dùng đồ thị (C3), biện luận theo k số nghiệm của phương trình: x
3
– 3x – k +1 = 0
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (D): y = 3.

Bài 2: Cho hàm số y = x
3
– 2x
2
– (m - 1)x + m = 0
a) Xác định m để hàm số có cực trị.
b) Khảo sát hàm số trên. Gọi đồ thị là (C).
c) Tiếp tuyến của (C) tại O cắt lại (C) tại một điểm A. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đoạn OA.
Bài 3: Cho hàm số y = (x +1)
2
(x –1)
2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo n số nghiệm của phương trình : (x
2
– 1)
2
– 2n + 1 = 0
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hồnh.
Bài 4: Cho hàm số
mx
mxm
y
−
+−
=
)1(
(m khác 0) và có đồ thị là (Cm)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C
2

).
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C
2
), tiệm cận ngang của nó và các đường thẳng x = 3, x = 4.
Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong : y =
2
4
1
x
; y =
xx 3
2
1
2
+−
.
Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi 2 đường: x
2
+ y – 5 = 0; x + y – 3 = 0.
Tính thể tích vật thể tạo ra do D quay quanh Ox.
Bài 7: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi phần mặt phẳng bị giới hạn bởi các đường: y = x
2
và y =
x
quay quanh
Ox.
Dạng 3: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)(Đường thẳng và đường cong)
PP chung: Ta tìm Số giao diểm của hai đường cong (C
1
) y= f(x) và (C

2
) y=g(x) là số nghiệm của phương trình
hồnh độ giao điểm f(x) = g(x) (1)
PP cụ thể:
1. Cho hai đồ thò (C
1
) : y = f(x) ; (C
2
) : y = g(x)
Hoành độ giao điểm của (C
1
) và (C
2
) nếu có là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1)
• pt(1) vô nghiệm <=> (C
1
) và (C
2
) không có điểm chung
• pt(1) có n nghiệm <=> (C
1
) và (C
2
) có n điểm chung
* Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong.
2. Điều kiện tiếp xúc : Đồ thò (C
1
) tiếp xúc (C
2
) <=> hệ pt

f (x) g(x)
f (x) g (x)
=
′ ′
=



có nghiệm
•
Biện luận số giao điểm của ( C) và d
 (d): y = k(x – x
A
) + y
A
= g(x)
 Phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*)
• Nếu (*) là phương trình bậc 2 :
1) Xét a= 0:kết luận số giao điểm của (C) và(d)
2) Xét a ≠ 0 : + Lập ∆ = b
2
– 4ac
+ Xét dấu ∆ và kết luận
(Chú ý: (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt



>∆
≠
⇔

0
0a
• Nếu (*) là phương trình bậc 3 :
1) Đưa về dạng (x – x
0
)(Ax
2
+ Bx + C) = 0




==++
=
(2) )(0
2
0
xgCBxAx
xx

2) Xét trường hợp (2) có nghiệm x = x
0
3) Tính ∆ của (2), xét dấu ∆ và kết luận
(Chú ý: (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi phương trình (2) có 2 n
o
pb x
1
, x
2
khác x

0
)
GV: Dương Văn Trạng Tổ: Tốn -Tin học
Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm






≠
>∆
≠
⇔
0)(
0
0
0
)2(
xg
A
Ví dụ Cho hàm số
1
1
−
+
=
x
x
y

và đường thẳng y= mx - 1 biện luận số giao điểm của hai đường cong.
Giải : Số giao điểm của hai đường cong là số nghiệm của phương trình
1
1
1
−=
−
+
mx
x
x
(điều kiện x khác 1)
0)2(
2
=+−⇔ xmmx
0))2(( =+−⇔ mmxx
+Nếu m = 0 hay m = -2: Phương trình có một nghiệm x = 0 nên đường thẳng cắt đường cong tại một điểm
+Nếu m ≠ 0 và m ≠ -2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = m và
x =
2m
m
+
. Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt (chú ý cả hai nghiệm đều khác 1)
Kết luận: + m = 0 hay m = - 2 có một giao điểm.
+ m
≠
0 và m
≠
- 2 có hai giao điểm.
B ÀI TÂP:

Bài 1: Biện luận số giao điểm của đồ thị (C):
3 2
2
3 2
x x
y x= + −
và đường thẳng (T):
13 1
( )
12 2
y m x
− = +
.
KQ: 1 giao điểm ( m ≤
27
12
−
), 3 giao điểm ( m >
27
12
−
)
Bài 2: Định a để đường thẳng (d): y = ax + 3 khơng cắt đồ thị hàm số
3 4
1
x
y
x
+
=

−
. KQ: -28 < a ≤ 0
Dạng 4: Viết PTTT của đồ thị hàm số
u cầu học sinh nắm được các bước trình bày bài giải các dạng bài tốn sau:
Tiếp tuyến tại M(x
0
; f(x
0
))
o TT có phương trình là : y - f(x
0
)= f
/
(x
0
)(x− x
0
)
o Từ x
0
tính f(x
0
) ; Đạo hàm : y
/
= f
/
(x) => f
/
(x
0

) = ?
o P.trình tiếp tuyến tại M là: y = f
/
(x
0
)(x− x
0
) + f(x
0
)
2. Tiếp tuyến đi qua(kẻ từ) một điểm A(x
1
; y
1
) của đồ thò h/s y =f(x) ( các em xem thêm )
1. Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi qua A
Pt đường thẳng (d) là : y = k(x − x
1
) + y
1
2. Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với Đồ thò (C) là hệ phương trình :
(1)
= − +
=



f(x) k(x x ) y
1 1
/

f (x) k (2)

có nghiệm
3. Thay (2) vào (1) giải tìm x => k = ? Kết luận
3. Tiếp tuyến có hệ số góc k :
Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a
tiếp tuyến ⊥ đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = −
a
1
4. Giả sử M(x
0
; f(x
0
)) là tiếp điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f
/
(x
0
).
5. Giải phương trình f
/
(x
0
) = k => x
0
= ? −> f(x
0
) = ?
6. Phương trình tiếp tuyến y = k (x − x
0
) + f(x

0
)
Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k
1
.k
2
= −1
+ Hai đường thẳng song song nhau : k
1
= k
2

Bài tập về PTTT của đồ thị (C ):
Bài 1: Cho hàm số y = x
2
– 2x + 3 có đồ thị là (C)và (d): 8x – 4y + 1 = 0
a) CMR (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm A và B
b) CMR các tiếp tuyến của (C) tại A,B vng góc nhau.
Bài 2: Cho hàm số y = x
3
+ mx
2
– m – 1, có đồ thị (C).
GV: Dương Văn Trạng Tổ: Tốn -Tin học
Tài liệu ôn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm
a) Tìm các điểm cố định của (Cm).
b) Lập pttt tại các điểm cố định đó.
Bài 3: Cho hàm số y = -x
4
+ 2mx

2
– 2m + 1. Tìm m để các tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A(1;0), B(-1;0) vuông
góc nhau
Bài 4: Cho hàm số y =
2
2
x
x
+
−
. Lập PTTT của đồ thị (C) của hàm số tại các giao điểm với trục tung và trục hoành
Bài 5: Cho hàm số y =
2
2
x
x
+
−
. Viết PTTT Của (C) đi qua A(-6;5)
Bài 7: Cho hàm số y = x
3
– 3x. Lập các PTTT kẻ từ điểm A(-1;2) tới đồ thị hàm số
Bài 8: Cho hàm số y = 2x
3
+ 3x
2
– 12x – 1. Tìm M ∈ đồ thị (C) của hàm số đã cho sao cho tiếp tuyến tại M đi qua
gốc tọa độ O.
MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP
Bài 1 : Cho hàm số

1
3
+
+
=
x
x
y
gọi (C) là đồ thị hàm số đã cho
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm các điểm trên (C ) có tọa độ là những số nguyên
c) Chứng minh rằng đường thẳng D:y=2x+m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt MN ;xác định m
để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất
d*)Tìm những điểm trên trục hoành từ đó vẽ đúng hai tiếp tuyến với (C) trường hợp vẽ được hai tiếp tuyến
có tiếp điểm là P;Q viết phương trình đường thẳng PQ
e*) Tìm tọa độ hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (C) sao cho khoảng cách giửa chúng bé nhất
f*)Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm I; J chứng minh rằng S là
trung điểm của IJ
g) Với giá trị m nào thì đường thẳng y=-x+m là tiếp tuyến của đường cong (C)
Bài 2:Cho hàm số
)4()1(
2
xxy −−=
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Chứng tỏ rằng đồ thị có tâm đối xứng (làm thêm)
c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) tại điểm A(3; y
0
)
d) Tìm m để đường thẳng y=3/4.x +m cắt (C) theo hai đoạn bằng nhau
e) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt:

3 2
6 9 4 0x x x m− + − − =
Bài 3: Cho hàm số
mmxxmxy 26)1(32
23
−++−=
a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m=1 chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C)
b) Xác định m để hàm số có cực trị tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm
cực trị đó
c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1; +∞)
Bài 4 : Cho hàm số
3 2
5
- 2
3
= + +y x x x
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3x
3
-6x
2
-5x+m=0.
c) Tiếp tuyến với (C) tại gốc tọa độ O cắt đồ thị (C) ở điểm M tìm tọa độ M.
d) Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thẳng d có phương trình y=kx.
e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
CHUYÊN ĐỀ 2: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
§1. NGUYÊN HÀM:
1). Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ
( )
a,b R a 0∈ & ≠

:
dx x C
= +
∫
1
ln
dx
ax b C
ax b a
= + +
+
∫
( )
1
1
1
,
x
x dx C
α
α
α
α
+
= + ≠ −
+
∫
x x
e dx e C
= +

∫
GV: Dương Văn Trạng Tổ: Toán -Tin học
Tài liệu ôn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm
sin cosxdx x C
= − +
∫
1
ax ax
e dx e C
a
= +
∫
cos sinxdx x C
= +
∫
1
sin cosaxdx ax C
a
= − +
∫
2
2
π
π
= + ≠ +
∫
tan ,
cos
dx
x C x k

x
1
cos sinaxdx ax C
a
= +
∫
2
π
= − + ≠
∫
cot ,
sin
dx
x C x k
x
2
1
2
π
π
= + ≠ +
∫
tan ,
cos
dx
x C x k
ax a
( )
0ln ,
dx

x C x
x
= + ≠
∫
2
1
π
= − + ≠
∫
cot ,
sin
dx
ax C x k
ax a
Bài tập:
Ghi nhớ:
− Nguyên hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chính là tổng (hiệu) của
các nguyên hàm của những hàm số thành phần.
− Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm số không bao giờ bằng
tích (thương) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần.
− Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số ta phải biến đổi hàm số này thành một
tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm.
Áp Dụng: Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau bằng cách biến đổi và sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản
1.
4
x dx
∫
2.
(3 1)x dx−
∫

3.
2
(3 6 1)x x dx+ −
∫
4.
4 2
( 5)x x dx− −
∫
5.
2
3
2
(3 1)x dx
x
+ −
∫
6.
2
3
( 3 1)x x x dx+ − −
∫
7.
2
(3 6 )
x
x x e dx+ −
∫
8.
( 5.3 )
x x

e dx−
∫
9.
(3sinx-5cos 1)x dx−
∫
10.
2
7
(3sinx+2cos )
os
x dx
c x
−
∫
11.
2
(2 )
os
x
x
e
e dx
c x
−
+
∫
12.
2 5x dx+
∫
13.

3 8x
e dx
−
∫
14.
1
1 5
dx
x−
∫
15.
2
7
x
x
dx
∫
16.
1
7 5
dx
x −
∫
17.
sin 5xdx
∫
18.
cos(4 2 )x dx−
∫
19.

2
sin 3xdx
∫
20.
2
cos (1 7 )x dx−
∫
21.
sinx sin 5xdx
∫
22.
sinxcos3xdx
∫
23.
cos2xcos3xdx
∫
24.
7
sin .cosx xdx
∫
25.
tan5xdx
∫
26.
2
tan xdx
∫
27.
1
( 1)

dx
x x +
∫
28.
2
1
4
dx
x −
∫
29.
2
1
5 4
dx
x x− +
∫
30.
2
1
3 7 10
dx
x x+ −
∫
31.
2
1
9 7 2
dx
x x+ −

∫
32.
sin
1 5cos
x
dx
x+
∫
33.
sin
cos
x
e xdx
∫
Bài toán 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.
Dạng 1: Tính I =
f[u(x)].u '(x)dx
∫
bằng cách đặt t = u(x)
• Đặt t = u(x)
dt u'(x)dx⇒ =
• I =
f[u(x)].u '(x)dx f (t)dt=
∫ ∫
Dạng 2: Tính I =
f (x)dx
∫
Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số các hàm
biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:
1

2 2
a x ;
2 2
a x
−
−
thì đặt x = asint (hoặc x=acost)
1
2 2
a x ;
2 2
a x
+
+
thì đặt x = atant.(hoặc x=acott)
GV: Dương Văn Trạng Tổ: Toán -Tin học
Tài liệu ôn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm
CHÚ Ý:
1.
∫
)().(
/)(
dxxuef
xu
Đặt
)(xut =
2.
1
(ln ). f x dx
x

∫
Đặt
lnt x=
3.
∫
+ ).( dxbaxf
n
Đặt
n
baxt +=
4.
∫
dxxxf )cos,(sin

• Nếu f là hàm lẻ đối với cosx : đặt t = sinx
• Nếu f là hàm lẻ đối với sinx : đặt t = cosx
• Nếu f là hàm chẵn đối với sinx, cosx dùng công thức hạ bậc:
2
2cos1
sin,
2
2cos1
cos
22
x
x
x
x
−
=

+
=
• Nếu f chỉ chứa sinx hoặc cosx đặt
2
tan
x
t =
5.
∫
− ).(
22
dxxaf
Đặt
tax sin
=
6.
∫
+ ).(
22
dxxaf
Đặt
tax tan=
7.
∫
− ).(
22
dxaxf
Đặt
t
a

x
cos
=
8.
∫
±
).
1
(
22
dx
ax
f
Đặt
22
axxt ±+=
Bài 2. Tìm các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số:
1.
7
(2 )x x dx−
∫
(đặt t= 2-x) 2.
3 4x xdx−
∫
(đặt
3 4t x= −
) 3.
2
1 1
sin dx

x x
∫
(đặt
1
t
x
=
)
4.
2
ln x
dx
x
∫
(đặt
lnt x=
) 5.
2 3 3
3x x dx+
∫
( đặt t= 3+x
3
) 6.
1
x x
dx
e e
−
−
∫

(đặt
x
t e=
)
7.
2 2
(1 )
x
dx
x+
∫
(đặt t=1+x
2
) 8.
3 2
2x x dx+
∫
(đặt t=2+x
2
) 9.
sin(ln )x
dx
x
∫
(đặt t=lnx)
Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
u(x).v'(x)dx u(x).v(x) v(x).u'(x)dx= −
∫ ∫
Hay

udv uv vdu
= −
∫ ∫
( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
phân tích các hàm số dX phát hiện u và dv
@ Dạng 1
sin
( )
∫
 
 
 
 
ax
f x cosax dx
ax
e
với f(x) là đa thức:
Đặt
( ) '( )
sin sin
cos
= =
⇒
= =
∫
 
 
 
   

 
   
 
   
 
   
 
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
ax ax
e e
Sau đó thay vào công thức
udv uv vdu= −
∫ ∫
để tính
@ Dạng 2:
( ) ln( )+
∫
f x ax b dx
Đặt
.
ln( )
( )
( )
= + =
⇒
+
=
=

∫

 
 



a dx
u ax b du
ax b
dv f x dx
v f x dx
Sau đó thay vào công thức
udv uv vdu= −
∫ ∫
để tính
@ Dạng 3:
( ) (a 0)
ax
f x e dx ≠
∫
Đặt
'( )
( )
1
du f x dx
u f x
ax
ax
v e

dv e dx
a
=
=
⇒
=
=



 



Sau đó thay vào công thức
udv uv vdu
= −
∫ ∫
để tính
GV: Dương Văn Trạng Tổ: Toán -Tin học
Tài liệu ôn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm
@ Dạng 4:
sin
.
∫
 
 
 
ax
ax

e dx
cosax
Ta thực hiện từng phần hai lần với u = e
ax
Bài 3. Tìm các nguyên hàm sau bằng phương pháp nguyên hàm từng phần:
i)
(3 1)sinx xdx+
∫
2i)
(2 3)cosx xdx+
∫
3i)
(3 5 )cos
2
x
x dx−
∫
4i)
2
(1 )sinx xdx−
∫

5i)
(2 3)
x
x e dx−
∫
6i)
2
( 4 1)

x
x x e dx− +
∫
7i)
(2 1)
x
x e dx
−
+
∫
8i)
sin
x
e xdx
∫
(2 3)
x
x e dx−
∫
9i)
2
( 4 1)
x
x x e dx− +
∫
10i)
(2 1)
x
x e dx
−

+
∫
11i)
sin
x
e xdx
∫
12i)
3
ln x
dx
x
∫
13i)
ln(1 )x x dx−
∫
14i)
2
lnx xdx
∫
15i)
2
1
sin
x
dx
x
+
∫
Bài toán 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản).

Dạng 1:
sin(ax+b).sin(cx+d)dx
∫
;
sin(ax+b).cos(cx+d)dx
∫

cos(ax+b).cos(cx+d)dx
∫
.
* Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân.
Dạng 2:
n m
sin ax.cos axdx
∫
(n,m là các số nguyên dương)
*) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax.
*) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax.
*) Nếu n, m đều chẵn thì : Dùng công thức nhân đôi sau đó dung tiếp công thức hạ bậc để tính. (nếu một trong
2 số n hoặc n = 0 số còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung công thức hạ bậc).
*) n, m ∈ Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì có thể đặt t = tanax hoặc t = cotax.
Dạng 3:
R(sinx,cosx)dx
∫
R là hàm số hữu tỷ. (mở rộng thi đại học).
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(−sinx, cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = cosx.
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, −cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = sinx.
*) Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là R(−sinx,− cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx.
Bài toán 5: Tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỷ
Yêu cầu tính

f (x)
dx
g(x)
∫
trong đó f(x), g(x) là các đa thức theo x.
Trường hợp 1: Bậc của f(x)≥ Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn đến:
f (x) r(x)
h(x)
g(x) h(x)
= +
. Trong đó h(x) (thương của phép chia) là một đa thức còn r(x) (phần dư của phép chia) là một đa
thức có bậc nhỏ hơn bậc của g(x).
Nên
f (x) r(x)
( )dx h(x)dx dx
g(x) h(x)
= +
∫ ∫ ∫
.Như vậy
h(x)dx
∫
ta tích được bằng bảng nguyên hàm vì vậy ta chỉ còn phải
tính
r(x)
dx
g(x)
∫
theo trường hợp sau.
Trường hợp 2: tính
r(x)

dx
g(x)
∫
với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x).
*) Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức.
*) Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắn hạn:
r(x) r(x) A B C
2 2
g(x) (x x ) (x x )
a(x ).(x x ) (x x )
1 2
1 2 2
= = + +
− −
− α − −
(*) ( x
1
; x
2
là nghiệm của g(x)).
2
2 1 2 1
( ) ( ) ( )( ) ( ) (**)r x A x x B x x x x C x x= − + − − + −
*) Ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các giá trị của x vào biểu thức (**) để tìm các hệ
số A, B, C ( thông thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để tìm các hệ số được dễ dàng).
*) Sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính.
Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích về thành tích của các nhị thức .
Bài toán 6: Tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỷ: dùng phương pháp đổi biến số.
Phuơng pháp chung:
• PP đổi biến dạng 1

∫
+ ).( dxbaxf
n
Đặt
n
baxt +=
• PP đổi biên dạng 2: Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số các hàm
biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:
o
∫
− ).(
22
dxxaf
Đặt
tax sin=
o
∫
+ ).(
22
dxxaf
Đặt
tax tan=
GV: Dương Văn Trạng Tổ: Toán -Tin học
Tài liệu ôn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm
o
∫
− ).(
22
dxaxf
Đặt

t
a
x
cos
=
o
∫
±
).
1
(
22
dx
ax
f
Đặt
22
axxt ±+=
Bài 4: Cho hai hàm số
( )
1 1
2
2 4
sinF x x x
= +
;
( )
2
cosf x x=
.

a. Chứng minh rằng
( )
F x
là nguyên hàm của
( )
f x
.
b. Tìm nguyên hàm
( )
G x
biết rằng
0
4
G
π
 
=
 ÷
 
.
Bài 5: Cho hàm số
( )
4 4
2 3cos cos cos
cos sin
x x x
f x
x x
+ +
=

−
.
Tìm nguyên hàm
( )
F x
của hàm số
( )
f x
biết rằng
( )
F
π π
=
.
Bài 6: Cho hàm số
( )
8 2 4sin cos cos cosf x x x x x=
.
a. Giải phương trình
( ) ( )
0f x f x
′′
+ =
.
b. Tìm nguyên hàm
( )
F x
của hàm số
( )
f x

biết rằng đồ thị của hàm số
( )
F x
đi qua điểm
0
8
;M
π
 
−
 ÷
 
.
Bài 7: Biết rằng hàm số
( )
1
sin
cos
x
F x
x
=
+
là nguyên hàm của
( )
f x
. Hãy tìm các giá trị của
x
sao cho
( ) ( )

0f x f x
′
− =
.
Bài 8: Cho hàm số
x
y xe=
.
a. Tính
y
′
và
( )
2y
′
.
b. Tìm nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
2007
x
f x x e
= +
.
Bài 9: Cho hàm số
( )
sin
x
f x e x=
. Chứng minh rằng hàm số
( ) ( )

f x f x
′ ′′
−
là nguyên hàm của hàm số
( )
2 f x
.
Bài 10: Tìm nguyên hàm
( )
F x
của hàm số
( )
3 2
2
3 3 1
2 1
x x x
f x
x x
+ + −
=
+ +
,biết rằng
( )
1
1
3
F
=
. (TNPT 2003)

§2. TÍCH PHÂN :
1). Định nghĩa:
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫
2). Bài tập:
 Ghi nhớ:
− Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hoặc
hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm.
− Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu ta
phải thực hiện phép chia tử cho mẫu.
− Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét dấu biểu thức
nằm trong dấu GTTĐ. Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành những đoạn con sao cho trên mỗi đoạn con
biểu thức nằm trong dấu GTTĐ không đổi dấu. Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
a.
4
0
2cos cosx xdx
π
∫
b.
4
cos sinx x dx
π

π
+
∫
c.
21
1
2 3
2
x x
dx
x
−
+ +
+
∫
d.
2
2
1
lnx x
e
dx
x
+
∫
GV: Dương Văn Trạng Tổ: Toán -Tin học
Tài liệu ôn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm
Bài 2: Cho hàm số
( )
2

1
x
f x
x
=
+
và hàm số
( )
2
1lnF x x
= +
.
a. Chứng minh rằng
( )
F x
là nguyên hàm của
( )
f x
. b. Áp dụng câu a. tính
1
2
0
1
xdx
x
+
∫
.
Bài 3: Cho hàm số
( )

2
2ln lnf x x x x x
= −
. a. Tính
( )
f x
′
. b. Áp dụng câu a. tính
2
1
ln
e
xdx
∫
.
Bài 4: Biết hàm số
( )
cos sin
cos sin
x x
F x
x x
−
=
+
là một nguyên hàm của
( )
f x
. Hãy tính :
( )

4
0
f x dx
π
′
∫
.
Bài 5: Tính các tích phân sau:
1.
∫
3
2
1
1
dx
x
. 2.
∫
+
2
1
2
3
2
dx
x
x
3.
∫
−

−
π
π
dxxx ).cos3sin2(
4.
∫
2
4
2
.
sin
1
π
π
dx
x
. 5.
4
4 4
0
(cos sin )x x dx
π
−
∫
6.
∫
6
0
.4sin.sin
π

dxxx
7.
∫
π
0
.3cos.2sin dxxx
. 8.
0
6
cos3 .cos5x xdx
π
−
∫
9.
∫
π
0
2
.sin dxx
.
10.
4
6
cot xdx
π
π
∫
11.
3
2

0
tan xdx
π
∫
12.
2
0
1
3 7
dx
x +
∫
13.
2
1
1
( 4)
dx
x x −
∫
14.
0
2
1
1
2 5 3
dx
x x
−
− −

∫
15.
0
2
1
4 3
6 5
x
dx
x x
−
+
− +
∫
16.
2
1
3 1
1
x
dx
x
−
+
∫
17.
2
2
0
2 5 1

3
x x
dx
x
+ −
−
∫
18.
0
sin
6
x
dx
π
∫
19.
3
0
2x dx−
∫
20.
4
2
0
4 3x x dx− +
∫
21.
2
0
1 sin 2xdx

π
−
∫
22.
2
sin
3
x
dx
π
π
−
∫
§3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:
1). Công thức tổng quát:
( ) ( ) ( )
.
b
a
f x x dx f t dt
β
α
ϕ ϕ
′
=
 
 
∫ ∫
Công thức trên, tích phân cần tính là tích phân ở vế trái. Hàm số dưới dấu tích phân có dạng tích của
( )

f x
ϕ
 
 
(hàm số theo biến là
( )
x
ϕ
) với đạo hàm của hàm
( )
x
ϕ
. Áp dụng công thức trên vào các trường hợp
thường gặp, ta có cách đặt cụ thể như sau:
a). TH1:
( )
sin .cosf x xdx
β
α
∫
.
→ Đặt
sint x=

→ hoặc
sint p x q= +

( )
,p q∈¡

→ hoặc
sin
n
t p x q= +
nếu như biểu thức
sinp x q+
nằm trong
n
.
b). TH2:
( )
cos .sinf x xdx
β
α
∫
.
→ Đặt
cost x=

→ hoặc
cost p x q= +

( )
,p q∈¡

→ hoặc
cos
n
t p x q= +
nếu như biểu thức

cosp x q+
nằm trong
n
.
c). TH3:
( )
1
ln .f x dx
x
β
α
∫
.
→ Đặt
lnt x=

→ hoặc
lnt p x q= +

( )
,p q∈¡

GV: Dương Văn Trạng Tổ: Toán -Tin học
Tài liệu ôn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm
→ hoặc
ln
n
t p x q= +
nếu như biểu thức
lnp x q+

nằm trong dấu
n
.
d). TH4:
( )
2
1
β
α
∫
tan .
cos
f x dx
x
.
→ Đặt
=
tant x

→ hoặc
= +tant p x q

( )
,p q∈¡

→ hoặc
= +tan
n
t p x q
nếu như biểu thức

ptgx q+
nằm trong dấu
n
.
e). TH5:
( )
2
1
β
α
∫
.
sin
f cotx dx
x
.
→ Đặt
=t cotx

→ hoặc
= +t pcotx q

( )
,p q∈¡

→ hoặc
= +
n
t pcotx q
nếu như biểu thức

+pcotx q
nằm trong
n
.
2). Bài tập:
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
a.
( )
6
3
0
2 1
cos
sin
xdx
x
π
+
∫
b.
2
3
6 1cos sinx xdx
π
π
+
∫
c.
( )
1

3 2ln
e
dx
x x
+
∫
d.
19
2
3
0
8
xdx
x +
∫
Bài 2: Tính các tích phân sau đây:
a.
( )
1
2
0
2
4 5
x dx
x x
−
− +
∫
b.
2

4
2
0
π
∫
tan
cos
x
e dx
x
c.
( )
2
2
6
3 1
π
π
+
∫
cot sin
dx
x x
d.
4
2 1
1
x
dx
e x

+
∫
Bài 3: Tính các tích phân sau đây:
a.
3
3
0
π
∫
tan
cos
xdx
x
b.
2
2 3
6
sin cosx xdx
π
π
∫
c.
6
4 4
0
2sin
cos sin
xdx
x x
π

−
∫
d.
( )
4
2
0
2cos
sin cos
xdx
x x
π
+
∫
Bài 4: Tính các tích phân sau đây:
a.
3
3
4
0
sin
cos
xdx
x
π
∫
b.
3
2 3
0

1x x dx
+
∫
c.
6
0
2
2 1
sin
sin
xdx
x
π
+
∫
d.
4
3
6
π
π
+
∫
tan tan
dx
x x
Bài 5: Tính các tích phân sau đây: ( Tổng hợp)
1
dx
x

∫
+
3
3
0
2
1
1
(HD: x=tant) 2.
dx
x
∫
+
3
3
2
9
1
(HD: x=3tant) 3
dxx
∫
−
−
−
2
1
1
2
1
(HD: x=sint)

4.
4
2
2
16 x dx−
∫
( HD: x=4sint) 5.
dxxx
∫
−
2
1
22
4
(HD: x=2sint) 6.
dx
xx
∫
−
++
0
1
2
22
1
(HD: đặt x+1=tant)
7.
3
2 2
0

1
( 0)
a
dx a
a x
>
−
∫
(HD: x=asint) 8.
0
sin 4
1 sin
x
dx
x
π
+
∫
(
x t
π
= −
)
Bài 6: Tính các tích phân sau đây: ( Tổng hợp)
GV: Dương Văn Trạng Tổ: Toán -Tin học
Ti liu ụn thi TN THPT nm 2010-2011 Trng THPT Khỏnh Lõm
1.


1

0
2009
)1( dxxx
(t =1-x) 2.

+
1
0
32 dxxx

( 2 3)t x= +
3.

+
1
0
2
1dxxx
2
( 1)t x= +
4.
dxxx
2
1
0
3
1


2

( 1 )t x=
5.

+
6
0
sin31cos

dxxx

( 1 3sin )t x= +
6.
dx
x
x
e

+
1
ln1
(t=lnx) 7.
dx
x
x
e

+
1
ln32
( 2 3ln )t x= +

8.
dxx
x
x
e

+
1
ln
ln31

( 1 3ln )t x= +
9.
dx
x
x

+
1
0
15

( 5 1)t x= +
10.
dx
x
x

+
+

2
0
3
13
1

3
( 3 1)t x= +
11


2
1
1
dx
e
e
x
x
.
( 1)
x
t e=
12.
ln8
ln3
1
x
e dx+

( 1)
x
t e= +
` 13.
dx
x
e
x

+
4
1
2
2tan
cos

(t = tanx+2)
Đ4. TNH TCH PHN BNG PHNG PHP TNG PHN:
1). Cụng thc tng quỏt:
( )
b b
b
a
a a
uv dx uv vu dx

=

hay

( )
b b
b
a
a a
udv uv vdu
=

(1)
2). Cỏc bc thc hin:
Bc 1:
( ) ( ) ( )
ẹaởt
( ) ( ) (nguyeõn haứm)
u u x du u x dx ẹaùohaứm
dv v x dx v v x

= =




= =

Bc 2: Th vo cụng thc (1).
Bc 3: Tớnh
( )
b
a
uv

v suy ngh tỡm cỏch tớnh tip
b
a
vdu


(tớch phõn ny cú th tớnh bng nh ngha hoc i bin s hoc tớch phõn tng phn tựy tng bi toỏn c th m ta
phi xem xột).
3). Cỏc dng tớch phõn tớnh bng phng phỏp tng phn:
Tớch phõn tng phn thng c ỏp dng tớnh cỏc tớch phõn cú dng nh sau:
a). Dng 1:
( ) ( )
.
b
a
p x q x dx

Trong ú
( )
p x
l hm s a thc, cũn
( )
q x
l hm
sin ( )x

hoc
cos ( )x

.

Trong trng hp ny ta t:
( )
( )
u p x
dv q x dx
=

=

Ghi nh :
Trong trng hp ny nu t ngc li thỡ khi th vo cụng thc ta c
b
a
vdu

phc tp hn
b
a
udv

ban u.
b). Dng 2:
( ) ( )
.
b
a
p x q x dx

Trong ú
( )

p x
l hm s a thc, cũn
( )
q x
l hm logarit.
Trong trng hp ny ta t:
( )
( )
u q x
dv p x dx
=

=

Ghi nh: Trong trng hp ny nu t ngc li thỡ ta gp khú khn khi suy ra
v
t
dv
.
4). Bi tp:
Bi 1: Tớnh cỏc tớch phõn sau õy:
GV: Dng Vn Trng T: Toỏn -Tin hc
Tài liệu ôn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm
a.
( )
0
2 1 sinx xdx
π
+
∫

b.
( )
2
0
2 cosx x xdx
π
+
∫
c.
4
2
0
cosx xdx
π
∫
d.
4
2
0
cos
xdx
x
π
∫
e.
( )
1
2
2
0

1
x
x e dx
+
∫
f.
1
0
3 2
x
x
dx
e
−
∫
g.
1
0
3 2( )
x
x dx
−
∫
h.
( )
1
2
0
x
x e dx+

∫
Bài 2: Tính các tích phân sau đây:
a.
( )
3
2
1
3 1 lnx xdx
+
∫
b.
( )
1
0
1lnx x dx
+
∫
c.
2
1
ln
e
xdx
∫
d.
( )
1
2
0
1lnx x dx

+
∫
Bài 3. Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần:
1.
xdxx sin)2(
2
0
∫
+
π
2.
xdxx cos)1(
2
0
∫
−
π
3.
xdxx 3sin
2
0
∫
π
4.
dx
x
x
2
cos)1(
∫

−
+
π
π
5.
dxex
x2
1
0
∫
6.
dxexx
2
1
0
2
)13(
∫
+−
7.
xdxe
x
cos
2
0
∫
π
8.
dxex
x2

0
sin
∫
π
9.
∫
e
xdx
1
ln
10.
∫
+
1
0
)3ln( dxx

11.
∫
e
xdx
1
ln
12.
∫
−
−
0
1
)31ln( dxx

13.
∫
e
dxx
1
2
)(ln
14.
∫
−
e
dxxx
1
)ln2(
15.
∫
+
2
0
2
cos
1
π
dx
x
x

16.
xdxe
x

2sin
2
sin
2
4
∫
π
π
17.
∫
e
dxxx
1
23
)(ln
18.
dxxcos
4
0
∫
19.
∫
+
e
e
dx
x
x
1
2

)1(
ln
20.
dxe
x
∫
4
0
.
Bài toán 7: Tính tích phân chứa dấu giá trị tuyên đối. Tính
b
f (x) dx
a
∫

+) Tìm nghiệm của f(x) = 0.
Nếu f(x) = 0 vô nghiệm trên (a;b) hoặc có nghiệm nhưng không có nghiệm nào thuộc [a;b] hoặc có một nghiệm
x= a hoặc x = b các nghiệm còn lại không thuộc [a;b] thì
b
f (x) dx
a
∫
=
b
f (x)dx
a
∫
Nếu f(x) = 0 có nghiệm x = c ∈(a;b) thì
b
f (x) dx

a
∫
=
c b
f (x)dx f (x)dx
a c
+
∫ ∫
*Chú ý: 1) Nếu có nhiều hơn 1 nghiệm trên (a;b) thì vẫn dùng công thức trên tùy theo trường hợp nghiệm như thế
nào. (cách làm này có lợi vì ta khôngcần xét dấu f(x)).
2) Ở mức độ thi TNTHPT không cần nắm bất đẳng thức tích phân.
§5. CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN:
Tính các tích phân sau đây:
a.
( )
2
2
6
1 cos
sin
x dx
x
π
π
−
∫
b.
( )
2
2

1
ln
x
x x e dx
x
+
∫
c.
( )
2
2
2
6
2
π
π
+
∫
cot sin
sin
x x dx
x
d.
2
0
2
3 1
sin
cos
x xdx

x
π
 
+
 ÷
+
 
∫

e.
2
0
1
sin cos
cos
x xdx
x
π
+
∫
f.
1
2
0
1 1
2
x
xdx
x e
 

−
 ÷
+
 
∫
g.
0
2
2 2
2 3
cos cos
sin
x xdx
x
π
 
+
 ÷
+
 
∫
h.
1
2
0
3 1lnx x dx
+
∫
§6. DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG:
1). Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:

( ) ( ) ( ) ( )
1 2
: ; : ; ;C y f x C y g x x a x b= = = =

(trong đó hai đường thẳng
;x a x b= =
có thể thiếu một hoặc cả hai).
a). Công thức:
( ) ( )
b
a
S f x g x dx
= −
∫
(2)
b). Các bước thực hiện:
GV: Dương Văn Trạng Tổ: Toán -Tin học
Tài liệu ôn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm
• Bước1: Nếu hai đường
,x a x b= =
đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải phương trình
( ) ( )
f x g x=
(PTHĐGĐ của
( )
1
C
và
( )
2

C
để tìm.)
• Bước 2: Áp dụng công thức (2).
• Bước 3: Rút gọn biểu thức
( ) ( )
f x g x−
, sau đó xét dấu của hiệu này.
• Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
c). Chú ý: Nếu bài toán này được cho chung trong bài khảo sát hàm số thì ta dùng hình vẽ để khử dấu GTTĐ
sẽ dễ dàng hơn. Có nghĩa là, nếu trên một đoạn tích phân nào đó mà trên hình vẽ,
( )
1
C
nằm trên
( )
2
C
thì hiệu
( ) ( )
0f x g x− ≥
, và
( )
1
C
nằm dưới
( )
2
C
thì hiệu
( ) ( )

0f x g x− ≤
.
2). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường kông rơi vào trường hợp 1:
• Bước 1: Vẽ hình (không cần phải khảo sát).
• Bước 2: Chia hình cần tính thành các hình nhỏ sao cho mỗi hình nhỏ
tính được diện tích bằng công thức (2).
• Bước 3: Dùng công thức (2) tính diện tích các hình nhỏ sau đó tính tổng diện tích
tất cả các hình nhỏ.
3). Thể tích của hình tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh trục Ox:

( ) ( )
: ; ; ;C y f x Ox x a x b
= = =
(trong đó hai đường thẳng
;x a x b= =
có thể thiếu một hoặc cả hai).
a). Công thức:
( )
2
b
a
V f x dx
π
=  
 
∫
(3)
b). Các bước thực hiện:
• Bước 1: Nếu hai đường
,x a x b= =

đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải phương trình
( )
0f x
=
(PTHĐGĐ của
( )
C
và trục Ox) để tìm.
• Bước 2: Áp dụng công thức (3).
4). Bài tập:
ÁP Dụng 1:
Bài i. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau:
1.
1, 0, 0, 3y x y x x= − = = =
2.
2
3 4, 0, 1, 3y x x y x x= + − = = − =
3.
3 2
5 4 , 0, 1, 3y x x x y x x= − + = = − =
4.
3
sin , 0, 0,
2
y x y x x
π
= = = =
5.
x
os , 0, ,

2 2
y c y x x
π
π
= = = − =
6.
2 1
, 0, 0, 1
x
y e y x x
+
= = = =
7.
2
2
, 0, 0, 2
x
y xe y x x
+
= = = =
8.
2
1
ln , 0, ,y x y x x e
e
= = = =
9.
2 3
sin cos , 0, 0,
2

y x x y x x
π
= = = =
10.
2
ln , 0, 1,y x x y x x e= = = =
Bài 2i. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau:
1.
2
, 4 4 , 0, 3y x x y x x x= − = − = =
2.
2
, 2 0y x x y= − + + =
3.
2 2
5, 3 7y x x y x x= + − = − + +
4.
( 1)( 2)( 3), 0y x x x y= − + − =
5.
, 1, 2
x
y e y x= = =
6.(C):
3 2
3 6 2y x x x= + − +
và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1;
8.
sin , cos , 0,y x y x x x
π
= = = =

Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( )
2
6 5
2 1
:
x x
C y
x
− +
=
−
và trục Ox.
Bài 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( ) ( )
2
3:C y x x
= −
và trục Ox.
GV: Dương Văn Trạng Tổ: Toán -Tin học
Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm
Bài 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( )
4 2
:C y x x
= −
và trục Ox.
Bài 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( )
3

3 1:C y x x
= − +
và đường thẳng
3:d y =
.
Bài 5: Cho đường cong
( )
3 2
3 4:C y x x x
= − +
. Viết phương trình tiếp tuyến
d
của
( )
C
tại gốc tọa độ O. Từ
đó tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi
( )
C
và
d
.
Bài 7: Cho parabol
( )
2
6 5:P y x x
= − +
.
a. Viết phương trình các tiếp tuyến của
( )

P
tại các giao điểm của
( )
P
với trục Ox.
b. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi
( )
P
và các tiếp tuyến nói ở câu a.
Bài 8: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
:C y x
=
;
2:d y x
= −
và trục Ox.
Bài 9: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol
( )
2
4:P y x
=
và đường thẳng
2 4:d y x= −
.
Bài 10: Cho parabol
( )
2
4:P y x=
.

a. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
P
tại điểm tung độ bằng 4.
b. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
P
, trục Ox và tiếp tuyến nói ở câu a.
Bài 11: Cho đường cong
( )
2 1
1
:
x
C y
x
+
=
+
. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
; ;C Ox Oy
. Tính thể
tích của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox.
Bài 12: Cho đường cong
( )
4 2
:C y x x= −
. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi
( )

C
và trục Ox. Tính thể tích
của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox.
Bài 13. Tính thể tich của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D được tạo bởi các đường sau khi quay xung quanh
trục Ox.
1.
2
3 , 0y x x y= − =
2.
2
, 3y x y x= =
3.
3
1, 0, 0, 1y x y x x= + = = =
4.
4
5 ,y x y
x
= − =
5.
sin , 0, 0,
2
y x y x x
π
= = = =
6.
, 0, 0, 1
x
y xe y x x= = = =
7.

ln , 0, 1,y x x y x x e= = = =
8.
4 4
cos sin , 0, 0,
2
y x x y x x
π
= + = = =
CHUN ĐỀ 3: HÀM SỐ MŨ VÀ LƠGARIT
A. HỆ THỐNG LÝ THUYẾT:
LŨY THỪA
aaaa
n

=•
( n thừa số)
0
1
1

n
n
a
a
a
−
• =
• =

.

m n m n
m
m n
n
a a a
a
a
a
+
−
• =
• =
( . ) .
a

b
n n n
n
n
n
a b a b
a
b
• =
 
• =
 ÷
 
.

1
( ) ( )
(m,n N, n>1)

m n n m m n
m
n m
n
n
n
a a a
a a
a a
• = =
• = ∈
• =
Hàm số mũ : y =
x
a
với a > 0 ; a ≠ 1
TXĐ : D = R MGT : (0; +∞ )
+ a > 1 ; h/s đồng biến : x
1
> x
2
⇔
1
x
a
>

2
x
a
+ 0 < a < 1 ; h/s nghòch biến : x
1
> x
2
⇔
1
x
a
<
2
x
a
PHƯƠNG TRÌNH MŨ



∩
=
∨



=
≠<
⇔=
)()(
)()(

1
)()(
10
xgxf
xgxf
DD
a
xgxf
a
aa
[ ]



>−−
>
⇔>
0)()().1(
0
)()(
xgxfa
a
aa
xgxf
)()( thì1a0
)()( ì th1a
)()(
)()(
xgxfaa
xgxfaa

xgxf
xgxf
<⇔><<•
>⇔>>•
LOGARIT
• α = log
a
N ⇔ a
α
= N
• log
a
x = b ⇔ x= a
b
• Đặc biệt :
x
a
a
log
= x ; log
a
x
a
= x ; log
a
1 = 0
• Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > 0 ; a ≠ 1
ta có:
GV: Dương Văn Trạng Tổ: Tốn -Tin học
Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm

• log
a
(B.C) = log
a
B + log
a
C
• log
a
B
C
 
 ÷
 
= log
a
B − log
a
C
• log
α
a
B
β
=
β
α
log
a
B

• Công thức đổi cơ số : với a, b, c > 0;
a, c ≠ 1 ta có :
log
c
a.log
a
b =
log
c
b ⇔
log b
c
log b
a
log a
c
=
0 < a, b ≠ 1 : log
a
b =
1
log a
b
Chú ý : log
10
x = lg x ; log
e
x = ln x
• Hàm số Logarit: y = log
a

x với a > 0 ; a ≠ 1
TXĐ : D = (0 ; +∞ ) MGT : R
+ a > 1 ; h/s đồng biến, tức là:
với x
1
> x
2
> 0 ⇔ log
a
x
1
> log
a
x
2

+ 0 < a < 1;h/s ngh biến,tức là:
x
1
> x
2
> 0 ⇔ log
a
x
1
<log
a
x
2

PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT.





=
>>
≠<
⇔=
g(x)f(x)
) 0g(x) ( 0)(
10
)(log)(log xf
a
xgxf
aa







>
>
>
≠<
⇔>
0g(x)]-1)[f(x)-(a

0g(x)
0)(
10
)(log)(log
xf
a
xgxf
aa
BÀI TẬP CƠ BẢN:
Bài 1 Lũy thừa với số hữu tỉ
1.Tính
a)
1 2
3 5
-0,25
1 1
A = 625
27 32
− −
   
+ −
 ÷  ÷
   
b)
2
1
1
3
6
4

1
0,0001 64
125
B
−
−
−
 
= + +
 ÷
 
2.Rút gọn biểu thức
( )
3 3 1 1
2 2 2 2
1 1
2 2
( ) 2x y x y x y y
A
x y
x y x y
+ − +
= +
 
+
− +
 ÷
 

1 1

1 1
2 2
4 4
3 1 1 1 1
4 2 4 4 4
: ( )
a b a b
B a b
a a b a b
 
− −
 
= − −
 
+ +
 
 

3 3 3 3
4 4 4 4
1 1
2 2
a b a b
C ab
a b
  
− +
 ÷ ÷
  
= −

−

2
3 3 1 1
2 2 2 2
1 1
2 2
.
a b a b
D ab
a b
a b
   
− −
 ÷
 
= +
 ÷
 
−
 ÷
−
 
   
3.Rút gọn biểu thức
4
4
3 1
4 2
1

. 1
1
a a a
A a
a
a a
− −
= +
+
−

1
1
3 3
2
3
2 2
3 3
3 3
:
a b a b
B ab
a b
a b
−
−
 
− −
 
 ÷

= +
 ÷
 ÷
−
 
−
 
1 7 1 5
3 3 3 3
1 4 2 1
3 3 3 3
a a a a
C
a a a a
−
−
− −
= −
− −

1
1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3
6 6
3 2 3 2
. . . .a b a b a b b a
D
a b
a a
−

− −
 
− +
 ÷
= −
 ÷
+
−
 ÷
 

2
3
112
1
.
22
)1(
2
−
−
−−
−






−

+
=
a
a
aa
a
E
4.Tính giá trị biểu thức
7 4 3 7 4 3A = − + +

3 3
10 6 3 10 6 3B = + + −
3 3
9 80 9 80C = + + −

3
3 2 2 7 5 2D = + + −
Bài 2 Lũy thừa với số mũ thực
1.Tính giá trị các biểu thức
a)
3 2 1 2 2
2 .8A
− − +
=
b)
2
4
3 2 1 2 2
1
2 .0,25 .

16
B
− +
 
=
 ÷
 
c)
( )
18
3 2 3 1 2 4
0,2 .125 . 5 .(0,04)C
+ − +
=
2.Rút gọn các biểu thức
GV: Dương Văn Trạng Tổ: Tốn -Tin học
Tài liệu ôn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm
5
9
3
3
2 2 2 2
:
5 5 5 5
A
 
=
 ÷
 

3 1 2 3
3 1
2 3
3 1
.
1
.
a a
B
a
a
+ −
+
−
− −
=
 
 ÷
 

( )
2 1
2 3 4
3 1
3 1
2 1
3 2 3
6
.
1

a
a
a
C
b
b
−
+
+
+
+
−
−
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
=
 
 ÷
 
3.Giải các phương trình
a)
8 4
8 9 0x x− − =
b)
10 5
3 4 0x x− − =
c)

4
2x x− =
d)
4
14 1 0x x− + =
e)
6
3 2 0x x− + =
4.Giải các bất phương trình
a)
4
5x <
b)
5
6x <
c)
10
3x >
d)
9
3x ≤

Bài 3 lôgarit
1.Tính các lôgarít
a)
3
log 27
b)
1
9

log 3
c)
3
2
1
3
1
log
81
d)
2
log 5
16
e)
5
log 3
1
25
 
 ÷
 
2.Tính các lôgarít
a)
2
4
log
a
a
b)
3

2
1
log
a
a
c)
3
2
1
1
log
a
a
d)
log 5
a
a
e)
1
log 2
3
1
a
a
−
 
 ÷
 
3.Rút gọn
a)

3 27
3
1
log 2 log 3log 4
16
81A
+ −
=
b)
5 2008
5
1
log 4 2log 3log 1
2
5B
+ −
=
c)
1
1
log 2 log 3log 4 2
16
2
1
a a
a
C
a
+ − −
 

=
 ÷
 
4.Cho
2
log 5a =
,
2
log 3b =
.Tính
2
log 45

5.Cho
3
log 5a =
,
2
log 3b =
.Tính
3
log 100

6.Cho
1
2
log 3a =
,
2
log 5b =

.Tính
2
log 0,3
7.Chứng minh các đẳng thức
a)
a x
log log
log ( )
1 log
a a
a
b x
bx
x
+
=
+
b)
log
1 log
log
a
a
ab
c
b
c
= +

c)

log .log .log
log .log log .log log .log
log
a b c
a b b c c a
abc
d d d
d d d d d d
d
+ + =
d)
2
1 1 1 ( 1)

log log log 2log
k
a a
a a
k k
x x x x
+
+ + + =

Bài 4 Lôgarit thập phân và logarit tự nhiên
1.Tính
a)
2ln3
e
b)
1

ln
e
c)
log1000
d)
log0,01
e)
3ln 2
loge
f)
2
log
ln10
e
−
Bài 5 Hàm số mũ và logarit
1.Xét sự đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau trên tập xác định của nó
a)
2
3
x
y
 
=
 ÷
 
b)
1
4
x

y
π
+
 
=
 ÷
 
c)
x
y e=
d)
2
logy x=
e)
1
log
e
y x=
f)
logy x=

2.Tính đạo hàm các hàm số
a)
2 3
3 2.3
x x
y
π
+
= + +

b)
2 1
x
y = −
c)
3 1
2
5
x
x
y
−
= +
d)
( ) ( )
5
2 3 2
x x
y
π π
= + −
3.Tính đạo hàm các hàm số
GV: Dương Văn Trạng Tổ: Toán -Tin học
Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm
a)
2
3 1
x x x
y e e e
−

= + − −
b)
x x
x x
e e
y
e e
−
−
−
=
+
4.Tính đạo hàm các hàm số
a)
2 3 5
log 2log (2 ) logy x x x= + −
b)
log 2
x
y =
c)
logx-3log(2x-3)y =
5.Tính đạo hàm các hàm số
a)
2 2
ln ln 2ln 2y x x x= + − −
b)
1
ln
2

x
y
x
−
=
+
c)
(2 )
x
y x=
d)
2x
y x
−
=
6.Xét sự biến thiên và tìm cực trị của hàm số
a)
( )
2
4
x
y x x e= −
b)
( )
2
ln 1y x= +

7.Chứng minh rằng
1
x

e x− ≥
Bài 6 Phương trình mũ và logarit
*Giải phương trình mũ: 6 cách
Cách 1. S ử dụng định nghĩa
a a
log
x x x
a = b <=> x=log (a = b <=>a = a <=> x=log )
a
b
b b

Cách 2 . S ử dụng pp đưa về cùng cơ số
f (x) g(x)
f (x) g(x)
a a
0 a 1
=
= <=>
< ≠



Cách 3 . S ử dụng pp đưa về cùng cơ số và đặt ẩn phụ
α.
2f (x)
a
+β.
f (x)
a

+ γ = 0 ; Đặt : t =
f (x)
a
Đk t > 0
α.
b f(x)
a
+
+β.
b f (x)
a
−
+ γ = 0 ; Đặt : t =
f (x)
a
Đk t > 0
α.
f (x)
a
+β.
f (x)
b
+ γ = 0 và a.b = 1; Đặt: t =
f (x)
a
;
1
t
=
f (x)

b
α.
2f (x)
a
+β.
( )
f (x)
a.b
+ γ.
2f (x)
b
= 0 ; Đặt t =
f (x)
a
b
 
 ÷
 
Cách 4 . S ử dụng pp logarit hố 2 vế :
Cách 5 . S ử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ (thường thì PT có 1 nghiệm duy nhất)
Cách 6 . S ử dụng pp đồ thị
Chú ý: Dạng
f (x)
u(x)
= 1 ⇔ [u(x) −1].f(x) = 0 ( trong đó u(x) và f(x) có chứa biến )
* Giải phương trình logarit : 6 cách
Cách 1. S ử dụng định nghĩa
a
f(x) 0
log f(x)=b<=> 0 1

f(x)=a
b
a

>

< ≠




Cách 2 . S ử dụng pp đưa về cùng cơ số
a a
f (x) 0 (hay g(x) 0)
0 a 1
f (x) g(x)
log f(x) log g(x)
> >
= <=> < ≠
=





Cách 3 . S ử dụng pp đưa về cùng cơ số và đặt ẩn phụ
Cách 4 . S ử dụng pp mũ hố 2 vế :
Cách 5 . S ử dụng tính đơn điệu của hàm số logarit (thường thì PT có 1 nghiệm duy nhất)
Cách 6 . S ử dụng pp đồ thị
* Giải bất phương trình mũ và logarit

Về cơ bản thì phương trình mũ và logarit có các cách gải nào thì bất phương trình mũ và logarit có các cách giải
đó
Tuy nhiên,ta cần chú ý dạng cơ bản sau:
• Bất phương trình mũ dạng:
f (x) g(x)
u(x) u(x)≥
GV: Dương Văn Trạng Tổ: Tốn -Tin học
Tài liệu ôn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm
f (x) g(x)
TH1: 0 < u(x) <1 ; u(x) u(x) f (x) g(x)
f (x) g(x)
TH1: u(x) > 1 ; u(x) u(x) f (x) g(x)
0 < u(
f (x) g(x)
TQuat : u(x) u(x)
≥ <=> ≤
≥ <=> ≥
≥ <=>
x) 1
[ u(x) -1][f (x) g(x)] 0

≠


− ≥


• Bất phương trình logarit dạng:
a a
log f(x) log g(x)≥

u(x) u(x)
u(x) u(x)
u(x)
TH1: 0 < u(x) <1 ; f (x) g(x)
TH1: u(x) > 1 ; f (x) g(x)
TQuat :
log f(x) log g(x)
log f(x) log g(x)
log f(
<=> ≤
<=> ≥
≥
≥
u(x)
0 < u(x) 1
f(x) 0
g(x) 0
[ u(x) -1][f (x) g(x)] 0
x) log g(x)

≠

>

<=>

>


− ≥


≥
Lưu ý:
*) Trong trường hợp có ẩn dưới cơ số thì chúng ta nên sử dụng công thức sau để bài toán trở nên dễ dàng hơn.
1.
f (x)
a
>
g(x)
a
 (a−1)(f(x) − g(x)) > 0.
2. log
a
f(x) > log
a
g(x)  (a−1)(f(x) − g(x)) > 0.
*) Khi giải bài toán bất phương trình mũ hoặc logarit thì phải nắm thật vững tính chất đơn điệu của hai hàm số
trên.
*) Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao của hai hay nhiều tập hợp số.
* Giải hệ phương trình mũ và logarit (Không có ở ban cô bản)
Thông thường giải bằng PP thế
Bài Tập:
1.Giải các phương trình
a)
3
1
.4 0,25
64
x
x

−
=
b)
2
3
1
.0,2 25
0,04
x x
x
−
=
c)
2
2
1 1
.
x
x
x
x
e
e
e
 
=
 ÷
 
d)
( ) ( )

1 2
2 1
10 3 10 3
x x
x x
− −
+ +
− = +
e)
( ) ( )
2
1 1
7 4 3 2 3
x x
x x+ +
+ = −
f)
1
5 .8 500
x
x
x
−
=
g)
1
3 .8 36
x
x
x+

=
h)
1
5 .8 100
x
x
x+
=
2.Giải các phương trình
a)
2
3 2.3 15 0
x x
− − =
b)
1 3
5 5 26 0
x x− −
+ − =
c) 3
3.4 2.10 25 0
x x x
− − =
d)
(
)
(
)
2 3 2 3 4
x x

− + + =
e)
( ) ( )
5 2 6 49 20 6 2
x x
− + + =
f)
(
)
(
)
cos cos
7 4 3 7 4 3 4
x x
− + + =
3.Giải các phương trình
a)
3
3( 1)
1 12
2 6.2 1
2 2
x x
x x−
− − + =
b)
( )
2
7
6. 0,7 7

100
x
x
x
= +
c)
2 2
sin cos
9 9 10
x x
+ =
d)
2 2 2
2 2 2
2.4 6 9
x x x x x x− − −
+ =
e)
2 2 2
3 3 2 6
2.25 10 2
x x x x x x+ + +
+ =
f)
2 4 4
3 8.3 9.9
x x x x+ + +
− =
g)
2 2

2 1 2 2
2 9.2 2
x x x x+ + +
− =
4.Giải các phương trình (hơi khó nhé)
a)
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1
x x x x x x− + + + + +
+ = +
b)
2 2
5 6 1 7 5
2 2 2 1
x x x x− + − −
+ = +
c)
2 2
log log2
6 2.9
x x
x + =
d)
5 5
log log
2
2.15 3.9
x x
x + =

5.Giải các phương trình
a)
5 12 13
x x x
+ =
b)
2 2
log log 52
3
x
x x+ =
c)
3 5
log ( 1) lg (2 1)x x+ = +
d)
2 7
log ( 1) lg (2 5)x x+ = +
e)
( )
5
log 3
2
x
x
+
=
6.Giải các phương trình (làm thêmi)
a)
( )

3
2 1
x
x
−
+ =
b)
( )
1
2
4 1
x
x
+
− =
c)
9 2.( 2).3 2 5 0
x x
x x+ − + − =
d)
3.4 (3 10).2 3 0
x x
x x+ − + − =
7.Giải các phương trình logarit
GV: Dương Văn Trạng Tổ: Toán -Tin học