Tài Liệu ôn thi môn toán 2012 - 2013 pptx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (880.41 KB, 62 trang )
Tài liệu ôn tập thi TN THPT năm học 2012 – 2013
Trang 1
Chủ đề 1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I.Định nghĩa: Cho hàm số
( )
y f x
=
xác đị
nh trên D, v
ớ
i D là m
ộ
t kho
ả
ng, m
ộ
t
đ
o
ạ
n ho
ặ
c n
ử
a kho
ả
ng.
1.Hàm s
ố
( )
y f x
=
đượ
c g
ọ
i là
đồ
ng bi
ế
n trên D n
ế
u
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )
x x D x x f x f x
∀ ∈ < ⇒ <
2.Hàm s
ố
( )
y f x
=
đượ
c g
ọ
i là ngh
ị
ch bi
ế
n trên D n
ế
u
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )
x x D x x f x f x
∀ ∈ < ⇒ >
II.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n
để
hàm s
ố
đơ
n
đ
i
ệ
u: Gi
ả
s
ử
hàm s
ố
( )
y f x
=
có
đạ
o hàm trên kho
ả
ng D
1.N
ế
u hàm s
ố
( )
y f x
=
đồ
ng bi
ế
n trên D thì '( ) 0,
f x x D
≥ ∀ ∈
2.N
ế
u hàm s
ố
( )
y f x
=
ngh
ị
ch bi
ế
n trên D thì '( ) 0,
f x x D
≤ ∀ ∈
III.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
đủ
để
hàm s
ố
đơ
n
đ
i
ệ
u:
1.
Đị
nh lý 1. N
ế
u hàm s
ố
( )
y f x
=
liên t
ụ
c trên
đ
o
ạ
n
[
]
,
a b
và có
đạ
o hàm trên kho
ả
ng (a,b) thì t
ồ
n t
ạ
i ít
nh
ấ
t m
ộ
t
đ
i
ể
m
( , )
c a b
∈
sao cho:
( ) ( ) '( )( )
f b f a f c b a
− = −
2.
Đị
nh lý 2. Gi
ả
s
ử
hàm s
ố
( )
y f x
=
có
đạ
o hàm trên kho
ả
ng D
1.N
ế
u '( ) 0,
f x x D
≥ ∀ ∈
và
'( ) 0
f x
=
ch
ỉ
t
ạ
i m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n
đ
i
ể
m thu
ộ
c D thì hàm s
ố
đồ
ng bi
ế
n trên D
2.N
ế
u '( ) 0,
f x x D
≤ ∀ ∈
và
'( ) 0
f x
=
ch
ỉ
t
ạ
i m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n
đ
i
ể
m thu
ộ
c D thì hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên D
3.N
ế
u '( ) 0,
f x x D
= ∀ ∈
thì hàm s
ố
không
đổ
i trên D
PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN
*Phương pháp : Xét chiều biến thiên của hàm số
( )
y f x
=
1.Tìm t
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a hàm s
ố
( )
y f x
=
2.Tính
' '( )
y f x
=
và xét d
ấ
u y’ ( Gi
ả
i ph
ươ
ng trình y’ = 0 )
3.L
ậ
p b
ả
ng bi
ế
n thiên
4.K
ế
t lu
ậ
n
Ví d
ụ
: Xét tính bi
ế
n thiên c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
1.y = -x
3
+3x
2
-3x+1 4. y=
3 2
2 1
x
x
− +
−
2. y= 2x
4
+5x
2
-2 5.
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
3. y= (x+2)
2
(x-2)
2
6.
2
2
2 3
10
x x
y
x
− −
=
−
7.
2
6 10
y x x
= − +
8.
2
3
2 1
x x
y
x
− +
=
+
9.y= 2 1 3
x x
+ + −
10.y=2x +
2
1
x
−
11.y = x + cosx trên kho
ả
ng (0;
π
) 12. y= sin2x -
3
x trên kho
ả
ng (0;
2
π
)
13.y= x.tanx trên kho
ả
ng (
;
2 2
π π
− ) 14.y = -6sinx +4tanx -13x trên (0;
π
)
Ví d
ụ
:
1.Tìm m
để
hàm s
ố
y= 2x
3
-3mx
2
+2(m+5)x-1
đồ
ng bi
ế
n trên R
2.Tìm m
để
hàm s
ố
y=
2
1
x x m
mx
+ +
+
đồ
ng bi
ế
n R
3.Tìm m
để
hàm s
ố
y= 3mx+
2
2
x
+
đồ
ng bi
ế
n trên R
4.Tìm m
để
hàm s
ố
3 2
( ) 3 ( 2) 3
y f x mx x m x
= = − + − +
ngh
ị
ch bi
ế
n trên R
Dạng 1
.Xét chi
ề
u bi
ế
n thiên c
ủ
a hàm s
ố
( )
y f x
=
Dạng 2
. Tìm
đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ủ
a tham s
ố
để
hàm s
ố
đơ
n
đ
i
ệ
u trên m
ộ
t kho
ả
ng cho tr
ướ
c .
td
Tài li
ệ
u ôn t
ậ
p thi TN THPT n
ă
m h
ọ
c 2012 – 2013
/>
Trang 2
5. Tìm m
để
hàm s
ố
3 2 2
( ) ( 1) ( 2)
y f x x m x m x m
= = − + + − + +
ngh
ị
ch bi
ế
n trên R
6. Tìm m
để
hàm s
ố
( ) ( )
3 2
1
( ) 2 2 2 2 5
3
m
y f x x m x m x
−
= = − − + − +
ngh
ị
ch bi
ế
n trên R
7. Tìm m
để
hàm s
ố
( ) ( )
3 2
1
( ) 1 3 2
3
y f x m x mx m x
= = − + + − t
ă
ng trên R
8.Tìm m
để
hàm s
ố
y= 3x
3
-2x
2
+mx-4 t
ă
ng trên (-1;
+∞
)
9.Tìm m
để
hàm s
ố
y= 4mx
3
-6x
2
+(2m-1)x+1 t
ă
ng trên (0;2)
10.Tìm m
để
hàm s
ố
y=
2
6 2
2
mx x
x
+ −
+
gi
ả
m trên [1;
+∞
)
11.Tìm m
để
hàm s
ố
y=mx
4
-4x
2
+2m-1 gi
ả
m trên (0;3)
12.Tìm m
để
hàm s
ố
y= x
3
+3x
2
+(m+1)x+4m gi
ả
m trên (-1;1)
13.Tìm m
để
hàm s
ố
y=
2
2 3
2 1
x x m
x
− − +
+
gi
ả
m trên (
1
;
2
− +∞
)
14.Cho hàm s
ố
y=
2
2 1
2
x mx m
x
− + −
+
a.Tìm m
để
hàm s
ố
t
ă
ng trên t
ừ
ng kho
ả
ng xác
đị
nh
b.Tìm m
để
hàm s
ố
gi
ả
m trên kho
ả
ng (a;b) v
ớ
i b-a =2
15.Tìm giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m
để
hàm s
ố
sau ngh
ị
ch bi
ế
n trên m
ộ
t
đ
o
ạ
n có
độ
dài b
ằ
ng 1
3 2
( ) 3
y f x x x mx m
= = + + +
16. Tìm m
để
hàm s
ố
( ) ( )
3 2
1
( ) 1 3 4
3
y f x x m x m x
= = − + − + + −
t
ă
ng trên
(
)
0,3
17. Tìm m
để
hàm s
ố
(
)
3 2
( ) 3 1 4
y f x x x m x m
= = + + + +
gi
ả
m trên
(
)
1,1
−
18. Tìm m
để
hàm s
ố
4
( )
mx
y f x
x m
+
= =
+
gi
ả
m trên kho
ả
ng
(
)
,1
−∞
19. Tìm m
để
hàm s
ố
( ) ( )
3 2
1 1
( ) 1 3 2
3 3
y f x mx m x m x
= = − − + − +
t
ă
ng trên
(
)
2,
+∞
20. Tìm m
để
hàm s
ố
(
)
( )
2 2
1 4 4 2
( )
1
x m x m m
y f x
x m
+ + + − −
= =
− −
đồ
ng bi
ế
n trên
(
)
0,
+∞
Ví d
ụ
:
1.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
3 2
3 4 7
x x x x
+ = − − +
(
Đ
K x
3
+3x
≥
0
0
x
⇔ ≥
)
2.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình x
5
+x
3
-
1 3
x
−
+4=0
3.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2
1 2
2 2 ( 1)
x x x
x
− −
− = −
4. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình sinx =x
5.Tìm m
để
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m 1
x x m
+ + =
6.Tìm
để
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m m
2
1
x
+
- x = 0
7.Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2
0:1 cos
2
x
x x
∀ > − < (HD xét hàm s
ố
2
( ) 1 cos
2
x
y f x x
= = − − )
8.Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2
0: 1
2
x
x
x e x
∀ > > + +
(HD xét hàm s
ố
2
( ) 1
2
x
x
y f x e x
= = − − −
)
9.Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
3
(0; ): tan
2 3
x
x x x
π
∀ ∈ > +
10.Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng : N
ế
u
1
x y
+ =
thì
4 4
1
8
x y
+ ≥
( HD xét hàm s
ố
4 4
( ) (1 )
y f x x x
= = + − )
Dạng 3
. S
ử
d
ụ
ng tính
đơ
n
đ
i
ệ
u
để
gi
ả
i PT,BPT,B
Đ
T
td
Tài li
ệ
u ôn t
ậ
p thi TN THPT n
ă
m h
ọ
c 2012 – 2013
/>
Trang 3
11.Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
3 2
3 2
3 2
2 1
2 1
2 1
x y y y
y z z z
z x x x
+ = + +
+ = + +
+ = + +
HD. Xét hàm
đặ
c tr
ư
ng
3 2
( ) ,y f x t t t t
= = + + ∈
. Ch
ứ
ng minh hàm s
ố
t
ă
ng trên R .
Đ
S
1
1
x y z
x y z
= = =
= = = −
12.Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
3
3
3
sin
6
sin
6
sin
6
y
x y
z
y z
x
z x
= +
= +
= +
Chủ đề 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I.Định nghĩa: Cho hàm số
( )
y f x
=
xác đị
nh trên
D
⊂
và
0
x D
∈
1.
0
x
đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i c
ủ
a hàm s
ố
( )
y f x
=
n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t (a,b) ch
ứ
a
đ
i
ể
m
0
x
sao cho
( , )
a b D
⊂
và
{
}
0 0
( ) ( ), ( , )\
f x f x x a b x
< ∀ ∈
. Khi
đ
ó
0
( )
f x
đượ
c g
ọ
i là già tr
ị
c
ự
c
đạ
i c
ủ
a hàm s
ố
và
0 0
( ; ( ))
M x f x
đượ
c g
ọ
i là
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i c
ủ
a hàm s
ố
.
2.
0
x
đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a hàm s
ố
( )
y f x
=
n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t (a,b) ch
ứ
a
đ
i
ể
m
0
x
sao cho
( , )
a b D
⊂
và
{
}
0 0
( ) ( ), ( , ) \
f x f x x a b x
> ∀ ∈
. Khi
đ
ó
0
( )
f x
đượ
c g
ọ
i là già tr
ị
c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a hàm s
ố
và
0 0
( ; ( ))
M x f x
đượ
c g
ọ
i là
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a hàm s
ố
.
3.Giá tr
ị
c
ự
c
đạ
i và giá tr
ị
c
ự
c ti
ể
u
đượ
c g
ọ
i chung là c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
II.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n
để
hàm s
ố
có c
ự
c tr
ị
: Gi
ả
s
ử
hàm s
ố
( )
y f x
=
có c
ự
c tr
ị
t
ạ
i
0
x
.Khi
đ
ó, n
ế
u
( )
y f x
=
có
đạ
o hàm t
ạ
i
đ
i
ể
m
0
x
thì
0
'( ) 0
f x
=
.
III.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
đủ
để
hàm s
ố
có c
ự
c tr
ị
:
1.
Định lý 1. (Dấu hiệu 1 để tìm cực trị của hàm số )
Giả sử hàm số
( )
y f x
=
liên tụ
c trên kho
ả
ng (a,b) ch
ứ
a
đ
i
ể
m
0
x
và có
đạ
o hàm trên các kho
ả
ng
0 0
( , ) và ( , )
a x x b
. Khi
đ
ó :
+ N
ế
u f’(x)
đổ
i d
ấ
u t
ừ
âm sang d
ươ
ng khi x qua
đ
i
ể
m
0
x
thì hàm s
ố
đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
0
x
+ N
ế
u f’(x)
đổ
i d
ấ
u t
ừ
d
ươ
ng sang âm khi x qua
đ
i
ể
m
0
x
thì hàm s
ố
đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i
0
x
2.
Đị
nh lý 2. (D
ấ
u hi
ệ
u 2
để
tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
)
Gi
ả
s
ử
hàm s
ố
( )
y f x
=
có
đạ
o hàm trên kho
ả
ng (a,b) ch
ứ
a
đ
i
ể
m
0
x
,
0
'( ) 0
f x
=
và f(x) có
đạ
o hàm c
ấ
p
hai khác 0 t
ạ
i
đ
i
ể
m
0
x
. Khi
đ
ó:
+ N
ế
u
0
''( ) 0
f x
<
thì hàm s
ố
đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i
đ
i
ể
m
0
x
+ N
ế
u
0
''( ) 0
f x
>
thì hàm s
ố
đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
đ
i
ể
m
0
x
PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN
*
Phương pháp1.
(Quy tắc 1)Tìm cực trị của hàm số
( )
y f x
=
1.Tìm t
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a hàm s
ố
2.Tính
'( )
f x
và gi
ả
i ph
ươ
ng trình
'( ) 0
f x
=
tìm nghi
ệ
m thu
ộ
c t
ậ
p xác
đị
nh
3.L
ậ
p b
ả
ng bi
ế
n thiên
4.K
ế
t lu
ậ
n
Ví d
ụ
1: Dùng quy t
ắ
c 1 tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
Dạng 1.
Tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
td
Tài li
ệ
u ôn t
ậ
p thi TN THPT n
ă
m h
ọ
c 2012 – 2013
/>
Trang 4
1. y =
1
3
x
3
+x
2
-3x+2 2.y = x
4
+2x
2
-3
2. y =
3 1
2 4
x
x
−
+
4.y =
2
3 3
1
x x
x
− +
−
3. y=
2
2 4 5
x x
− +
6. y=(2x+1)
2
9
x
−
7. y = 3 1
x x
+ + −
8. y=
2
2 3
1
x
x x
+
+ +
9. y =
2
2 2
2 1
x x
x
− + +
+
10.
4 2
6 8 25
y x x x
= − + +
11.
2 2
( 2) ( 2)
y x x= + − 12.
5 3
15 15 2
y x x
= − +
*
Phương pháp 2.
(Quy tắc 2)Tìm cực trị của hàm số
( )
y f x
=
1.Tìm t
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a hàm s
ố
2.Tính
'( )
f x
và gi
ả
i ph
ươ
ng trình
'( ) 0
f x
=
tìm nghi
ệ
m
( 1,2,3 )
i
x i = thu
ộ
c t
ậ
p xác
đị
nh
3.Tính
''( ) và ''( )
i
f x f x
4.K
ế
t lu
ậ
n
+N
ế
u
''( ) 0
i
f x
<
thì hàm s
ố
đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i
đ
i
ể
m
i
x
+N
ế
u
''( ) 0
i
f x
>
thì hàm s
ố
đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
đ
i
ể
m
i
x
Ví d
ụ
2: Dùng quy t
ắ
c II tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
1.y= 3x
5
-20x
3
+1 2. y =
2
5 6 4
x x
− +
3.y = cos
2
3x 4. y =
sin cos
2 2
x x
−
5.y = -2sin3x+3sin2x-12sinx 6. y= sin
3
x + cos
3
x (
0 2
x
π
≤ ≤
)
7.
2
9
y x x
= −
8.
3
2
9
x
y
x
=
−
9.
3
3
y x x
= − 10.
[
]
sinx cos , ,
y x x
π π
= + ∈ −
VD1: Tìm
đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ủ
a m sao cho :
1.
y= x
3
-mx
2
+2(m+1)x-1
đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i x= -1
2.
y=
2
1
x mx
x m
+ +
+
đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x=2
3.
y=
4 2 2
2 2
x mx m
− − −
đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i x=
2
VD2:Cho hàm s
ố
y=
1
3
x
3
-(7m+1)x
2
+16x-m .Tìm m
để
a.
Hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i và c
ự
c ti
ể
u
b.
Hàm s
ố
có các
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i và c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x
1
,x
2
(1; )
∈ +∞
VD3:Cho hàm s
ố
y= x
3
-mx
2
+(m+36)x-5 .Tìm m
để
a.
Hàm s
ố
không có c
ự
c tr
ị
b.
Hàm s
ố
đạ
t c
ự
c
đạ
i ,c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i các
đ
i
ể
m x
1
,x
2
và
1 2
4 2
x x− =
VD3:Cho hàm s
ố
y=
2
2 2 1
1
x mx m
x
+ + −
+
.Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i và c
ự
c ti
ể
u
VD4:Cho hàm s
ố
y= 2x
3
-3(2m+1)x
2
+6m(m+1)x+1
Tìm m
để
các
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i ,c
ự
c ti
ể
u
đố
i x
ứ
ng nhau qua
đườ
ng th
ẳ
ng y=x+2
Dạng 2
.Tìm
đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ủ
a tham s
ố
để
hàm s
ố
có c
ự
c tr
ị
thõa mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n cho tr
ướ
c
td
Tài li
ệ
u ôn t
ậ
p thi TN THPT n
ă
m h
ọ
c 2012 – 2013
/>
Trang 5
VD5: Cho hàm s
ố
y= x
3
-3x
2
-mx+2 .Tìm m
để
a.
Hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i ,c
ự
c ti
ể
u trong kho
ả
ng (0;2)
b.
Hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i ,c
ự
ti
ể
u và các
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i ,c
ự
c ti
ể
u cách
đề
u
đườ
ng th
ẳ
ng y=x-1
VD6:Cho hàm s
ố
2
(3 1) 4
2 1
x m x m
y
x
− + +
=
−
.Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u
đố
i x
ứ
ng nhau qua
đườ
ng
th
ẳ
ng
: 1 0
x y
∆ + + =
.
VD1: Cho hàm s
ố
y= x
3
+mx
2
-x
a.
CMR hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i c
ự
c ti
ể
u v
ớ
i m
ọ
i m
b.
Xác
đị
nh m
để
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua hai
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
(d) y=-2x
VD2:Cho hàm s
ố
y=
2
(3 2) 4
1
x m x m
x
− + + +
−
a.
Tìm m
để
hàm s
ố
có C
Đ
,CT và C
Đ
,CT và
đ
i
ể
m M(-2;1) th
ẳ
ng hàng
b.
Tìm m
để
hàm s
ố
có C
Đ
,CT và trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
đ
o
ạ
n n
ố
i 2
đ
i
ể
m C
Đ
,CT cách g
ố
c O m
ộ
t kho
ả
ng
b
ằ
ng 3
VD3.Cho hàm s
ố
3 2
3 2
y x x
= − +
có
đồ
th
ị
(C). Tìm giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m
để
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i và
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a
(C)
ở
v
ề
hai phía khác nhau c
ủ
a
đườ
ng tròn :
2 2 2
2 4 5 1 0
x y mx my m
+ − − + − =
.
VD4.Cho hàm s
ố
4 2 4
2 2
y x mx m m
= − + +
.Tìm giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i và c
ự
c ti
ể
u,
đồ
ng
th
ờ
i các
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u l
ậ
p thành m
ộ
t tam giác
đề
u .
VD5.Cho hàm s
ố
2
2
1
x mx
y
x
+ +
=
−
.Tìm
để
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
n
ằ
m trên Parabol (P)
2
4
y x x
= + −
VD6.Cho hàm s
ố
2
( 2) 3 2
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
a.
Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i và c
ự
c ti
ể
u
b.
Gi
ả
s
ử
hàm s
ố
có giá tr
ị
c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u là y
CĐ
, y
CT
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng :
2 2
CD
1
2
CT
y y
+ >
.
VD7.Cho hàm s
ố
3 2 2
(2 1) ( 3 2) 4
y x m x m m x
= − + + − + +
a.
Tìm m
để
hàm s
ố
có hai
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i và c
ự
c ti
ể
u n
ằ
m v
ề
hai phía khác nhau c
ủ
a tr
ụ
c tung
b.
Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i c
ự
c ti
ể
u
đồ
ng th
ờ
i hai giá tr
ị
c
ự
c tr
ị
cùng d
ấ
u
VD8.Cho hàm s
ố
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1
y x m x m m x
= − + + + +
a.Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i m
ọ
i giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m hàm s
ố
luôn
đạ
t c
ự
c
đạ
i và c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
1 2
,
x x
và
2 1
x x
−
không ph
ụ
thu
ộ
c vào tham s
ố
m.
b.Tìm m
để
1
CD
y
>
VD9.Cho hàm s
ố
3 2
1
( ) 1
3
y f x x mx x m
= = − − + +
.Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i m
ọ
i m hàm s
ố
đ
ã cho luôn có c
ự
c
đạ
i
c
ự
c ti
ể
u .Hãy xác
đị
nh m
để
kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
là nh
ỏ
nh
ấ
t .
VD10.Cho hàm s
ố
2 2
2( 1) 4
( )
2
x m x m m
y f x
x
+ + + +
= =
+
.Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i c
ự
c ti
ể
u,
đồ
ng th
ờ
i các
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
cùng v
ớ
i g
ố
c t
ọ
a
độ
O t
ạ
o thành tam giác vuông t
ạ
i O.
( A – 2007)
VD11.Cho hàm s
ố
1
( )y f x mx
x
= = +
.Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i c
ự
c ti
ể
u và kho
ả
ng cách t
ừ
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u
c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
đề
n ti
ệ
m c
ậ
n xiên b
ằ
ng
1
2
.(A – 2005)
VD12.Cho hàm s
ố
3 2 2 2
( ) 3 3( 1) 3 1
y f x x x m x m
= = − + + − − −
.Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i c
ự
c ti
ể
u và các
đ
i
ể
m
c
ự
c tr
ị
cách
đề
u g
ố
c t
ọ
a
độ
O.
( B – 2007)
td
Tài li
ệ
u ôn t
ậ
p thi TN THPT n
ă
m h
ọ
c 2012 – 2013
/>
Trang 6
VD13.Cho hàm s
ố
2
( 1) 1
( )
1
x m x m
y f x
x
+ + + +
= =
+
(Cm) . CMR v
ớ
i m
ọ
i m (Cm) luôn có c
ự
c
đạ
i c
ự
c ti
ể
u và
kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
b
ằ
ng
20
.
( B – 2005)
VD14.Cho hàm s
ố
3 2
( ) (2 1) (2 ) 2
y f x x m x m x
= = − − + − +
.Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i c
ự
c ti
ể
u và các
đ
i
ể
m
c
ự
c tr
ị
có hoành
độ
d
ươ
ng .
( CĐ – D – 2009)
VD15
.
Cho hàm s
ố
4 2
2( 1)
y x m x m
= − + +
(1) m là tham s
ố
a.
Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ
đồ
th
ị
hàm s
ố
khi m = 1
b. Tìm m
để
đồ
th
ị
hàm s
ố
(1) có ba
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
A,B,C sao cho OA=BC; trong
đ
ó O là g
ố
c t
ọ
a
độ
, A
là
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
thu
ộ
c tr
ụ
c tung, B,C là hai
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
còn l
ạ
i .
( B – 2011)
Chủ đề 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I.Định nghĩa: Cho hàm số
( )
y f x
=
xác đị
nh trên
D
⊂
1.N
ế
u t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m
0
x D
∈
sao cho
0
( ) ( ),
f x f x x D
≤ ∀ ∈
thì s
ố
0
( )
M f x
= đượ
c g
ọ
i là giá tr
ị
l
ớ
n
nh
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố
f(x) trên D, ký hi
ệ
u
ax ( )
x D
M M f x
∈
=
Nh
ư
v
ậ
y
x D
0 0
, ( )
ax ( )
, ( )
x D f x M
M M f x
x D f x M
∈
∀ ∈ ≤
= ⇔
∃ ∈ =
2. N
ế
u t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m
0
x D
∈
sao cho
0
( ) ( ),
f x f x x D
≥ ∀ ∈
thì s
ố
0
( )
m f x
=
đượ
c g
ọ
i là giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố
f(x) trên D, ký hi
ệ
u
( )
x D
m Min f x
∈
=
Nh
ư
v
ậ
y
x D
0 0
, ( )
( )
, ( )
x D f x m
m Min f x
x D f x m
∈
∀ ∈ ≥
= ⇔
∃ ∈ =
II.Ph
ươ
ng pháp tìm GTLN,GTNN c
ủ
a hàm s
ố
: Cho hàm s
ố
( )
y f x
=
xác
đị
nh trên
D
⊂
Bài toán 1.N
ế
u
( , )
D a b
=
thì ta tìm GTLN,GTNN c
ủ
a hàm s
ố
nh
ư
sau:
1.Tìm t
ập xác định của hàm số
2.Tính
'( )
f x
và giả
i ph
ươ
ng trình
'( ) 0
f x
=
tìm nghi
ệ
m thu
ộ
c t
ậ
p xác
đị
nh
3.L
ậ
p b
ả
ng bi
ế
n thiên
4.K
ế
t lu
ậ
n
Bài toán 2
. Nếu
[
]
,
D a b
=
thì ta tìm GTLN,GTNN của hàm số như sau:
1.Tìm t
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a hàm s
ố
2.Tính
'( )
f x
và gi
ả
i ph
ươ
ng trình
'( ) 0
f x
=
tìm nghi
ệ
m
1 2
,
x x
thu
ộ
c t
ậ
p xác
đị
nh
3.Tính
1 2
( ), ( ), ( ) ( )
f a f x f x f b
4.K
ế
t lu
ậ
n: S
ố
l
ớ
n nh
ấ
t là
[ ]
,
ax ( )
x a b
M M f x
∈
=
và s
ố
nh
ỏ
nh
ấ
t là
[ ]
,
( )
x a b
m Min f x
∈
=
Bài toán 3
.
S
ử
d
ụ
ng các b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c thông d
ụ
ng nh
ư
: Cauchy, Bunhiac
ố
pxki, …
Bài toán 4.S
ử
d
ụ
ng
đ
i
ề
u ki
ệ
n có nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình, t
ậ
p giá tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN
Ví dụ: Tìm GTLN,GTNN ( nếu có ) của các hàm số sau:
1.
4 2
( ) 2
y f x x x
= = − 2.
3 1
( )
3
x
y f x
x
−
= =
−
trên
[
]
0;2
3.
2
( ) 4
y f x x x
= = + −
(B-2003) 4.
2
ln
( )
x
y f x
x
= = trên
3
1,
e
(B-2004)
5.
2
1
( )
1
x
y f x
x
+
= =
+
trên
[
]
1,2
−
(D-2003) 6.
2
2
3 10 20
( )
2 3
x x
y f x
x x
+ +
= =
+ +
(SPTPHCM2000)
Dạng 1.
Tìm GTLN, GTNN c
ủ
a hàm s
ố
td
Tài li
ệ
u ôn t
ậ
p thi TN THPT n
ă
m h
ọ
c 2012 – 2013
/>
Trang 7
7.
( ) 5cos os5x
y f x x c
= = −
trên
,
4 4
π π
−
8.
3sin
( ) 1
2 cos
x
y f x
x
= = +
+
9.
( ) 1 sinx 1 osx
y f x c= = + + + 10.
( ) 2cos2 osx-3
y f x x c
= = − +
11.
2
2 1 2
y x x x x
= − + + − − + +
12.
2sin .cos sin cos
y x x x x
= + −
13.
2
2 1
1
x x
y
x
+ +
=
+
trên
( 1, )
− +∞
14.
2
4 3 3 1
y x x x
= − + + −
trên
đ
o
ạ
n
13
0,
4
15.
3 2
1
3
4
y x x
= −
trên
[
]
2,4
−
16.
3 3
sin os 3sin 2
y x c x x
= + +
VD1 .Cho hàm s
ố
2
2 4
y x x a
= + + −
.Tìm a
để
giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố
trên
[
]
2,1
−
đạ
t GTLN.
VD2. Cho hàm s
ố
4 4
( ) sin os sin .cos
y f x x c x m x x
= = + +
.Tìm m sao cho giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố
b
ằ
ng 2.
VD3. Cho hàm s
ố
cos 1
cos 2
k x
y
x
+
=
+
.Tìm k
để
giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố
nh
ỏ
h
ơ
n -1.
VD4. Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
a,b sao cho hàm s
ố
2
a +b
( )
1
x
y f x
x
= =
+
có giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t b
ằ
ng 4 và giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t b
ằ
ng -1.
VD5.Cho hàm s
ố
2
( ) 2 4 2 1
y f x x x a
= = + − +
v
ớ
i
3 4
x
− ≤ ≤
.Xác
đị
nh a
để
giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố
đạ
t giá
tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t .
VD1. M
ộ
t t
ấ
m tôn hình vuông c
ạ
nh b
ằ
ng a. Ng
ườ
i ta ph
ả
i c
ắ
t b
ỏ
b
ố
n hình vuông b
ằ
ng nhau
ở
b
ố
n góc
để
gò
thành m
ộ
t b
ể
ch
ứ
a hình h
ộ
p ch
ữ
nh
ậ
t không n
ắ
p, c
ạ
nh hình vuông c
ắ
t
đ
i b
ằ
ng bao nhiêu thì b
ể
có th
ể
tích l
ớ
n
nh
ấ
t .
Đ
S. C
ạ
nh hình vuông c
ắ
t
đ
i b
ằ
ng
6
a
VD2. Tìm các kích th
ướ
c c
ủ
a hình ch
ữ
nh
ậ
t có di
ệ
n tích l
ớ
n nh
ấ
t n
ộ
i ti
ế
p
đườ
ng tròn bán kính R cho tr
ướ
c.
Đ
S.Các kích th
ướ
c c
ủ
a hình ch
ữ
nh
ậ
t là
2
R
(hình vuông)
VD3. Trong các kh
ố
i tr
ụ
n
ộ
i ti
ế
p hình c
ầ
u bán kính R, hãy xác
đị
nh kh
ố
i tr
ụ
có th
ể
tích l
ớ
n nh
ấ
t .
Đ
S.Hình tr
ụ
có chi
ề
u cao
2
3
R
h = bán kính
đ
áy
2
2
4
h
r R= −
VD4. Cho
đườ
ng (C) có ph
ươ
ng trình
2 2 2
x y R
+ =
.Hãy tìm các
đ
i
ể
m H trên (C) sao cho ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
đ
ó c
ắ
t
hai tr
ụ
c t
ọ
a
độ
t
ạ
i A và B có
độ
dài
đ
o
ạ
n AB nh
ỏ
nh
ấ
t .
VD5. Tìm hình thang cân có di
ệ
n tích nh
ỏ
nh
ấ
t ngo
ạ
i ti
ế
p
đườ
ng tròn bán kính R cho tr
ướ
c .
VD6. Cho
2 2
1
x y
+ =
. Tìm Max, Min c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
2
2
2( )
2 2 1
xy y
P
xy x
+
=
+ +
.
Đ
S.
2 6 2 6
,
2 2
MaxP MinP
+ −
= =
VD7.Cho
, 0
x y
>
và
1
x y
+ =
.Tìm Min c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
1 1
x y
P
x y
= +
− −
VD8.Cho hai s
ố
th
ự
c thay
đổ
i x, y thõa mãn
2 2
2
x y
+ =
.Tìm GTLN, GTNN c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
3 3
2( ) 3
P x y xy
= + −
( C
Đ
Kh
ố
i A – 2008)
VD9. Cho hai s
ố
th
ự
c thay
đổ
i x,y thõa mãn
2 2
1
x y
+ =
.Tìm GTLN, GTNN c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
2
2
2( 6 )
1 2 2
x xy
P
xy y
+
=
+ +
(
Đ
H Kh
ố
i B – 2008)
Dạng 2
.Tìm GTLN,GTNN c
ủ
a hàm s
ố
có ch
ứ
a tham s
ố
Dạng 3
.
Ứ
ng d
ụ
ng c
ủ
a bài toán tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t, giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố
td
Tài li
ệ
u ôn t
ậ
p thi TN THPT n
ă
m h
ọ
c 2012 – 2013
/>
Trang 8
VD10.Cho hai s
ố
th
ự
c không âm x, y thay
đổ
i và thõa
đ
i
ề
u ki
ệ
n x + y = 1 .Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t và giá tr
ị
l
ớ
n
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
2 2
(4 3 )(4 3 ) 25
P x y y x xy
= + + +
(
Đ
H Kh
ố
i D – 2009)
Chủ đề 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Đường tiệm cận đứng .
Đường thẳng (d):
0
x x
=
được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị (C) của hàm số
( )
y f x
=
nế
u
0
lim ( )
x x
f x
−
→
= +∞
ho
ặ
c
0
lim ( )
x x
f x
+
→
= +∞
Ho
ặ
c
0
lim ( )
x x
f x
−
→
= −∞
ho
ặ
c
0
lim ( )
x x
f x
+
→
= −∞
2.
Đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n ngang .
Đườ
ng th
ẳ
ng (d):
0
y y
=
đượ
c g
ọ
i là
đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n ngang c
ủ
a
đồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố
( )
y f x
=
n
ế
u
0
lim ( )
x
f x y
→+∞
=
ho
ặ
c
0
lim ( )
x
f x y
→−∞
=
3.
Đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n xiên .
Đườ
ng th
ẳ
ng (d)
( 0)
y ax b a
= + ≠
đượ
c g
ọ
i là ti
ệ
m c
ậ
n xiên c
ủ
a
đồ
th
ị
(C) c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
( )
y f x
=
n
ế
u
[
]
lim ( ) ( ) 0
x
f x ax b
→+∞
− + =
ho
ặ
c
[
]
lim ( ) ( ) 0
x
f x ax b
→−∞
− + =
Chú ý
: Cách tìm ti
ệ
m c
ậ
n xiên c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
( )
y f x
=
Đườ
ng th
ẳ
ng (d)
( 0)
y ax b a
= + ≠
là ti
ệ
m c
ậ
n xiên c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
( )
y f x
=
khi và ch
ỉ
khi
[ ]
( )
lim ; lim ( )
x x
f x
a b f x ax
x
→+∞ →+∞
= = − ho
ặ
c
[ ]
( )
lim ; lim ( )
x x
f x
a b f x ax
x
→−∞ →−∞
= = −
PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN
Ví d
ụ
1. Tìm các ti
ệ
m c
ậ
n ngang và ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
sau:
1.
2 3
( )
1
x
y f x
x
+
= =
+
2.
2
2
2 3
( )
4
x x
y f x
x
+ +
= =
−
3.
3
3
( )
27
x
y f x
x
= =
+
4.
2
( )
5
y f x
x
= =
−
Ví d
ụ
2. Tìm các ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
sau:
1.
2
( ) 2 1
1
y f x x
x
= = + +
+
2.
2
3 5 2
( )
3 1
x x
y f x
x
− + −
= =
+
3.
3 2
2
2 5 1
( )
1
x x
y f x
x x
+ −
= =
− +
4.
2
2 5 1
( )
2 3
x x
y f x
x
− + −
= =
−
Ví d
ụ
3.Tìm các ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a các
đồ
th
ị
hàm s
ố
sau:
1.
2
2 1
( )
2 1
x
y f x
x
+
= =
−
2.
2
2 1
( )
2
x
y f x
x x
− −
= =
+ +
3.
2
( ) 2 4 2
y f x x x x
= = − − +
4.
2
( ) 3 2 4
y f x x x
= = − +
Ví d
ụ
1.Tìm giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m sao cho:
1.
Đồ
th
ị
hàm s
ố
2 2 1
( )
x m
y f x
x m
+ −
= =
+
có ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng qua
đ
i
ể
m M(-3,1)
2.
Đồ
th
ị
hàm s
ố
2
2 3 2
( )
1
x mx m
y f x
x
+ − +
= =
−
có ti
ệ
m c
ậ
n xiên t
ạ
o v
ớ
i hai tr
ụ
c t
ọ
a
độ
m
ộ
t tam giác có
di
ệ
n tích b
ằ
ng 4.
Dạng 1.
Tìm các ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
Dạng 2.
Tìm các ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
có ch
ứ
a tham s
ố
td
Tài li
ệu ôn tập thi TN THPT năm học 2012 – 2013
Trang 9
Ví dụ 2. Cho đường cong (Cm):
1 2
( ) 3
2 1
y f x x
mx
= = − + +
−
và
đườ
ng th
ẳ
ng (dm)
2
y mx m
= − +
. Xác
đị
nh m
bi
ế
t r
ằ
ng (Cm) có c
ự
c
đạ
i c
ự
c ti
ể
u và ti
ệ
m c
ậ
n xiên c
ủ
a nó t
ạ
o v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng (dm)m
ộ
t góc
α
có
1
os
5
c
α
=
.
Ví d
ụ
3. Cho hàm s
ố
2
( )
1
x m
y f x
mx
+
= =
−
.Tìm m sao cho
đồ
th
ị
hàm s
ố
có ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng, ti
ệ
m c
ậ
n ngang và các
ti
ệ
m c
ậ
n cùng v
ớ
i hai tr
ụ
c t
ọ
a
độ
t
ạ
o thành m
ộ
t hình ch
ữ
nh
ậ
t có di
ệ
n tích b
ắ
ng 8.
Ví d
ụ
4. Cho hàm s
ố
3 5
( )
2
x
y f x
x
−
= =
−
có
đồ
th
ị
(C). Tìm
( )
M C
∈
để
t
ổ
ng kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n hai ti
ệ
m c
ậ
n
c
ủ
a (C) là nh
ỏ
nh
ấ
t ?
Ví d
ụ
5. Cho hàm s
ố
1
( )
1
x
y f x
x
−
= =
+
có
đồ
th
ị
(C). Tìm
( )
M C
∈
để
kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n giao
đ
i
ể
m hai ti
ệ
m
c
ậ
n là nh
ỏ
nh
ấ
t ?
Chủ đề 5. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Bài toán 1. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
y f x
=
có đồ
th
ị
(C) t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m .
Ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
t
ạ
i
0 0
( , ) ( )
M x y C
∈
có dang :
0 0 0
'( )( )
y y f x x x
− = −
.
Trong
đ
ó
0
'( )
f x
đượ
c g
ọ
i là h
ệ
s
ố
góc c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i ti
ế
p
đ
i
ể
m
0 0
( , )
M x y
.
2.Bài toán 2
. Ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
( )
y f x
=
có
đồ
th
ị
(C) có h
ệ
s
ố
góc k cho tr
ướ
c.
1.G
ọ
i
0 0
( , )
M x y
là ti
ế
p
đ
i
ể
m c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n, ta có
( )
M C
∈
0 0
( )
y f x
⇒ =
Ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n có d
ạ
ng
0 0 0
( ) '( )( )
y f x f x x x
− = −
2.Vì h
ệ
s
ố
góc c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n b
ằ
ng k nên
0
'( )
f x k
=
, gi
ả
i PT
0
'( )
f x k
=
tìm
đượ
c
0 0
x y
⇒
3.K
ế
t lu
ậ
n .
Chú ý
:
Nếu hai đường thẳng song song thì hai hệ số góc bằng nhau. Nếu hai đường thẳng vuông góc thì
tích hai hệ số góc bằng -1
3.Bài toán 3. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
y f x
=
có đồ
th
ị
(C)
đ
i qua m
ộ
t
đ
i
ể
m
( , )
A A
A x y
1.L
ậ
p ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua
đ
i
ể
m A v
ớ
i h
ệ
s
ố
góc k.
d: ( )
A A
y k x x y
= − +
(1)
2.d là ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
khi và ch
ỉ
khi h
ệ
ph
ươ
ng tình sao có nghi
ệ
m
( ) ( )
'( )
A A
f x k x x y
f x k
= − +
=
(I)
3.Gi
ả
i h
ệ
(I) tìm k. Thay k vào (1)
để
vi
ế
t ph
ươ
ng tình ti
ế
p tuy
ế
n .
PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN
Ví d
ụ
1. Cho hàm s
ố
3 2
( ) 4 6 4 1
y f x x x x
= = − + −
có
đồ
th
ị
(C).
a.Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i A có hoành
độ
là 2.
b.Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng (d)
4 1 0
x y
− − =
.
c.Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng trên (C) không t
ồ
n t
ạ
i hai ti
ế
p tuy
ế
n vuông góc v
ớ
i nhau.
Ví d
ụ
2.Cho hàm s
ố
2
( )
1
x
y f x
x
−
= =
−
có
đồ
th
ị
(C).
a.Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i M có tung
độ
b
ằ
ng 3.
b.Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n vuông góc v
ớ
i góc ph
ầ
n t
ư
th
ứ
hai.
c.Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n
đ
i qua
đ
i
ể
m A(0, -2)
Ví d
ụ
3.Cho hàm s
ố
4 2
( ) 6
y f x x x
= = − − +
.Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n
vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
1
1
6
y x
= −
( Khối D – 2010)
Dạng 1.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
td
Tài li
ệ
u ôn t
ậ
p thi TN THPT n
ă
m h
ọ
c 2012 – 2013
/>
Trang 10
Ví d
ụ
4. Cho hàm s
ố
3 2
( ) 4 6 1
y f x x x
= = − +
có
đồ
th
ị
(C). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
đ
i
qua
đ
i
ể
m M(-1, -9).
( Khối B – 2008)
Ví d
ụ
5.Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
3 2
( )
1
x
y f x
x
−
= =
−
bi
ế
t :
b.
Tung
độ
ti
ế
p
đ
i
ể
m b
ằ
ng
5
2
c.
Ti
ế
p tuy
ế
n song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
: 3 0
x y
∆ + − =
d.
Ti
ế
p tuy
ế
n vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
: 4 10 0
x y
∆ − + =
e.
Ti
ế
p tuy
ế
n
đ
i qua
đ
i
ể
m M(2,0)
Ví d
ụ
1 G
ọ
i
( )
m
C
là
đồ
th
ị
hàm s
ố
3 2
1 1
( )
3 2 3
m
y f x x x
= = − +
( m là tham s
ố
). G
ọ
i M là
đ
i
ể
m thu
ộ
c
( )
m
C
có
hoành
độ
b
ằ
ng -1.Tìm m
để
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
( )
m
C
t
ạ
i M song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
5 0
x y
− =
.
( Khối D – 2005)
Ví d
ụ
2.Cho hàm s
ố
3 2
( ) 3 1 ( )
m
y f x x x mx C
= = + + + .
a.Tìm m
để
(Cm) c
ắ
t
đườ
ng th
ẳ
ng y = 1 t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phan bi
ệ
t A(0,1), B, C
b.Tìm m
để
các ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i B và C vuông góc v
ớ
i nhau .
Ví d
ụ
3.Cho hàm s
ố
3 2
( ) 3 9 5
y f x x x x
= = + − +
(C). Hãy vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
bi
ế
t
ti
ế
p tuy
ế
n có h
ệ
s
ố
góc nh
ỏ
nh
ấ
t .
Ví d
ụ
4.Cho hàm s
ố
1
( )
1
x
y f x
x
+
= =
−
(C). Xác
đị
nh m
để
đườ
ng th
ẳ
ng d: y = 2x + m c
ắ
t (C) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân
bi
ệ
t A, B sao cho ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i A và B song song v
ớ
i nhau.
Ví d
ụ
5.Cho hàm s
ố
2
( )
1
x
y f x
x
= =
+
có
đồ
th
ị
(C). Tìm t
ọ
a
độ
đ
i
ể
m M thu
ộ
c (C) bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i M
c
ắ
t hai tr
ụ
c Ox, Oy t
ạ
i A,B và tam, giác OAB có di
ệ
n tích b
ằ
ng
1
4
.
( Khối D – 2007)
Ví d
ụ
6.Cho hàm s
ố
2
( )
2 3
x
y f x
x
+
= =
+
(C). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
(C) bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n c
ắ
t tr
ụ
c
hoành, tr
ụ
c tung l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i A và B và tam giác OAB cân t
ạ
i O.
( Khối A – 2009)
Ví d
ụ
7. Cho hàm s
ố
2
1
( )
2
x x
y f x
x
+ −
= =
+
có
đồ
th
ị
(C). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n
vuông góc v
ớ
i ti
ệ
m c
ậ
n xiên c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
.
( Khối B – 2006)
Ví d
ụ
8.Cho hàm s
ố
2
2
( )
1
x x
y f x
x
+ +
= =
−
có
đồ
th
ị
(C). Tìm trên (C) các
đ
i
ể
m A
để
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm
s
ố
t
ạ
i A vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua A và tâm
đố
i x
ứ
ng c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
.
( Đại học An Ninh – 2001)
Ví d
ụ
9.Cho hàm s
ố
1
( )
1
x
y f x
x
+
= =
−
có
đồ
th
ị
(C). Xác
đị
nh m
để
đườ
ng th
ẳ
ng : 2
d y x m
= +
c
ắ
t
đồ
th
ị
(C) t
ạ
i
hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A,B sao cho ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i A và B song song v
ớ
i nhau.
(CĐ-SPTPHCM – 2005)
Ví d
ụ
10.Cho hàm s
ố
3 2
( ) 3 4
y f x x x
= = − +
có
đồ
th
ị
(C). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình Parabol
đ
i qua các
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a
đồ
th
ị
(C) và ti
ế
p xúc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
2 2
y x
= − +
( Đại học An Ninh – 1999)
Dạng 2
.Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n thõa
đ
i
ề
u ki
ệ
n cho tr
ướ
c
td
Tài li
ệ
u ôn t
ậ
p thi TN THPT n
ă
m h
ọ
c 2012 – 2013
/>
Trang 11
Ví d
ụ
11. Cho hàm s
ố
3 2
1
( ) 3 1
3
y f x x x x
= = − + + −
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
bi
ế
t ti
ế
p
tuy
ế
n có h
ệ
s
ố
góc l
ớ
n nh
ấ
t.
Ví d
ụ
12. Cho hàm s
ố
4 3
( )
1
x
y f x
x
−
= =
−
có
đồ
th
ị
(C). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
(C) bi
ế
t ti
ế
p
tuy
ế
n t
ạ
o v
ớ
i tr
ụ
c Ox m
ộ
t góc
0
45
.
Ví d
ụ
13.Cho hàm s
ố
3 7
( )
2 5
x
y f x
x
−
= =
− +
có
đồ
th
ị
(C). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) bi
ế
t :
a.
Ti
ế
p tuy
ế
n song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
2 2 0
x y
− + =
b.
Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
o v
ớ
i
: 2
y x
∆ = −
m
ộ
t góc
0
45
c.
Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
o v
ớ
i :
y x
∆ = −
m
ộ
t góc
0
60
Ví d
ụ
14. Cho hàm s
ố
2 1
( )
1
x
y f x
x
−
= =
−
có
đồ
th
ị
(C) và
đ
i
ể
m M b
ấ
t k
ỳ
thu
ộ
c (C). G
ọ
i I là giao
đ
i
ể
m hai ti
ệ
m
c
ậ
n c
ủ
a
đồ
th
ị
(C). Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i M c
ắ
t hai ti
ệ
m c
ậ
n t
ạ
i A và B.
a.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
đ
o
ạ
n AB
b.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng di
ệ
n tích tam giác IAB không
đổ
i
c.
Tìm t
ọ
a
độ
đ
i
ể
m M
để
chu vi tam giác IAB nh
ỏ
nh
ấ
t.
Ví d
ụ
15. Cho hàm s
ố
1
2 1
x
y
x
− +
=
−
a.
Kh
ả
o sát và v
ẽ
đồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố
b. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i m
ọ
i m
đườ
ng th
ẳ
ng
y x m
= +
luôn c
ắ
t
đồ
th
ị
(C) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A và B .
G
ọ
i
1 2
,
k k
l
ầ
n l
ượ
t là h
ệ
s
ố
góc c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i ( C) t
ạ
i A và B .Tìm m
để
t
ổ
ng
1 2
k k
+
đạ
t giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t .
( Khối A – 2011)
Phương pháp
: Gi
ả
s
ử
ta c
ầ
n bi
ệ
n lu
ậ
n s
ố
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
y = f(x)
đ
i qua
( , )
A A
A x y
1.L
ậ
p ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua
đ
i
ể
m A v
ớ
i h
ệ
s
ố
góc k.
d:
( )
A A
y k x x y
= − +
(1)
2.d là ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
khi và ch
ỉ
khi h
ệ
ph
ươ
ng tình sao có nghi
ệ
m
( ) ( )
'( )
A A
f x k x x y
f x k
= − +
=
(I)
3.S
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình này chính là s
ố
ti
ế
p tuy
ế
n
đ
i qua
đ
i
ể
m A .
Ví d
ụ
1.Cho hàm s
ố
3
( ) 3 (C)
y f x x x= = −
.Tìm trên
đườ
ng th
ẳ
ng x = 2 nh
ữ
ng
đ
i
ể
m mà t
ừ
đ
ó có th
ể
k
ẻ
đ
úng ba
ti
ế
p tuy
ế
n
đế
n
đồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố
.
Ví d
ụ
2. Cho hàm s
ố
3
( ) 3 (C)
y f x x x= = −
.Tìm trên
đườ
ng th
ẳ
ng y= 2 nh
ữ
ng
đ
i
ể
m mà t
ừ
đ
ó có th
ể
k
ẻ
đ
úng ba
ti
ế
p tuy
ế
n
đế
n
đồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố
.
Ví d
ụ
3.Cho
đườ
ng th
ẳ
ng (d):x = 2 và hàm s
ố
3 2
( ) 6 9 1
y f x x x x
= = − + −
có
đồ
th
ị
(C). T
ừ
m
ộ
t
đ
i
ể
m b
ấ
t k
ỳ
trên (d) có th
ể
đượ
c bao nhiêu ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
(C).
Ví d
ụ
4.Cho hàm s
ố
3 2
( ) 3 2
y f x x x
= = − +
có
đồ
th
ị
(C). Tìm trên
đườ
ng th
ẳ
ng y = -2 các
đ
i
ể
m mà t
ừ
đ
ó k
ẻ
đượ
c
đế
n
đồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố
hai ti
ế
p tuy
ế
n vuông góc v
ớ
i nhau.
Ví d
ụ
5.Cho hàm s
ố
4 2
( ) 2
y f x x x
= = −
có
đồ
th
ị
(C)
f.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p c
ủ
a (C)
đ
i qua g
ố
c t
ọ
a
độ
O.
g.
Tìm
đ
i
ể
m M thu
ộ
c (C)
để
ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i (C) t
ạ
i M còn c
ắ
t (C) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m A và B sao cho A
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a MB.
h.
Tìm
đ
i
ể
m M trên tr
ụ
c tung sao cho qua M có th
ể
k
ẻ
đượ
c 4 ti
ế
p tuy
ế
n
đế
n
đồ
th
ị
(C)
Dạng 3
.Bi
ệ
n lu
ậ
n s
ố
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
đ
i qua m
ộ
t
đ
i
ể
m
td
Tài li
ệ
u ôn t
ậ
p thi TN THPT n
ă
m h
ọ
c 2012 – 2013
/>
Trang 12
Ví d
ụ
6.Cho hàm s
ố
3 2
( ) 3 4
y f x x x
= = − +
có
đồ
th
ị
(C). Tìm nh
ữ
ng
đ
i
ể
m trên tr
ụ
c Ox sao cho t
ừ
đ
ó có th
ể
k
ẻ
đượ
c ba ti
ế
p tuy
ế
n
đế
n
đồ
th
ị
(C).
Ví d
ụ
7.Cho hàm s
ố
3 2
( ) 3 2 1
y f x x x x
= = − + + −
có
đồ
th
ị
(C). Tìm trên
đườ
ng th
ẳ
ng
2 1
y x
= −
các
đ
i
ể
m k
ẻ
đượ
c hai ti
ế
p tuy
ế
n
đế
n
đồ
th
ị
(C).
Ví d
ụ
8.Cho hàm s
ố
3 2
( ) 3 2
y f x x x
= = − +
có
đồ
th
ị
(C). Tìm trên
đườ
ng th
ẳ
ng
3 2
y x
= − +
các
đ
i
ể
m k
ẻ
đượ
c
hai ti
ế
p tuy
ế
n vuông góc
đế
n
đồ
th
ị
(C).
Ví d
ụ
9. Cho hàm s
ố
1
( )
1
x
y f x
x
+
= =
−
có
đồ
th
ị
(C).Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) bi
ế
t kho
ả
ng cách t
ừ
đ
i
ể
m I(1,1)
đế
n ti
ế
p tuy
ế
n này là l
ớ
n nh
ấ
t.
Ví d
ụ
10.Cho hàm s
ố
3 2
( ) 3
y f x x x
= = +
có
đồ
th
ị
(C).Tìm các
đ
i
ể
m thu
ộ
c tr
ụ
c hoành mà t
ừ
đ
ó có th
ể
k
ẻ
đượ
c
ba ti
ế
p tuy
ế
n
đế
n
đồ
th
ị
(C), trong
đ
ó có hai ti
ế
p tuy
ế
n vuông góc v
ớ
i nhau.
Ví d
ụ
11. Cho hàm s
ố
( )
2
x m
y f x
x
+
= =
−
. Tìm m
để
t
ừ
đ
i
ể
m A(1,2) k
ẻ
đượ
c hai ti
ế
p tuy
ế
n AB,AC
đế
n
đồ
th
ị
hàm s
ố
sao cho
ABC
∆
đề
u ( V
ớ
i B, C là hai ti
ế
p
đ
i
ể
m ).
Ví d
ụ
12.Cho hàm s
ố
3
( ) 1 ( 1)
y f x x m x
= = + − +
có
đồ
th
ị
(C).
a.Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n
∆
t
ạ
i giao
đ
i
ể
m c
ủ
a (C) và tr
ụ
c Oy.
b.Tìm m
để
∆
ch
ắ
n trên hai tr
ụ
c Ox, Oy m
ộ
t tam giác có di
ệ
n tích b
ằ
ng 8.
Chủ đề 6. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Giao điểm của hai đồ thị. Cho hàm số
( )
y f x
=
có đồ
th
ị
1
( )
C
và hàm s
ố
( )
y g x
=
có
đồ
th
ị
2
( )
C
+ Hai
đồ
th
ị
1
( )
C
và
2
( )
C
c
ắ
t nhau t
ạ
i
đ
i
ể
m
0 0 0 0
( ; ) ( ; )
M x y x y
⇔
là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình
( )
( )
y f x
y g x
=
=
+Hoành
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai
đồ
th
ị
1
( )
C
và
2
( )
C
là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
( ) ( )
f x g x
=
(1)
+Ph
ươ
ng trình (1)
đượ
c g
ọ
i là ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
1
( )
C
và
2
( )
C
+S
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình (1) b
ằ
ng s
ố
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
1
( )
C
và
2
( )
C
2.S
ự
ti
ế
p xúc c
ủ
a hai
đườ
ng cong. Cho hai hàm s
ố
( )
y f x
=
và
( )
y g x
=
có
đồ
th
ị
l
ầ
n l
ượ
t là
1
( )
C
và
2
( )
C
và có
đạ
o hàm t
ạ
i
đ
i
ể
m
0
x
.
+Hai
đồ
th
ị
1
( )
C
và
2
( )
C
ti
ế
p xúc v
ớ
i nhau t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m chung
0 0
( , )
M x y
n
ế
u t
ạ
i
đ
i
ể
m
đ
ó chúng
có chung cùng m
ộ
t ti
ế
p tuy
ế
n . Khi
đ
ó
đ
i
ể
m M
đượ
c g
ọ
i là ti
ế
p
đ
i
ể
m.
+Hai
đồ
th
ị
1
( )
C
và
2
( )
C
ti
ế
p xúc v
ớ
i nhau khi và ch
ỉ
khi h
ệ
ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
=
=
Nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình trên là hoành
độ
c
ủ
a ti
ế
p
đ
i
ể
m.
PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN
Ví d
ụ
1.Cho hàm s
ố
2 1
( )
1
x
y f x
x
+
= =
+
có
đồ
th
ị
(C) và
đườ
ng th
ẳ
ng (d) :
y x m
= − +
i.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i m
ọ
i m, (d) và (C) c
ắ
t nhau t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t .
j.
Gi
ả
s
ử
(d) và (C) c
ắ
t nhau t
ạ
i hai
đ
i
ể
m A và B. Tìm m
để
độ
dài
đ
o
ạ
n AB nh
ỏ
nh
ấ
t.
Ví d
ụ
2.Cho hàm s
ố
3 2
( ) 6 9 6 (C)
y f x x x x= = − + −
.
Đị
nh m
để
đườ
ng th
ẳ
ng (d):
2 4
y mx m
= − −
c
ắ
t
đồ
th
ị
(C) t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t.
Ví d
ụ
3.Cho hàm s
ố
4 2
( ) 2( 2) 2 3
y f x x m x m
= = − + + − −
( )
m
C
.
Đị
nh m
để
đồ
th
ị
( )
m
C
c
ắ
t tr
ụ
c Ox t
ạ
i b
ố
n
đ
i
ể
m
phân bi
ệ
t có hoành
độ
l
ậ
p thành c
ấ
p s
ố
c
ộ
ng.
Ví d
ụ
4.
Đị
nh m
để
đồ
th
ị
hàm s
ố
3 2
( ) 1
y f x x mx m
= = − + − −
c
ắ
t tr
ụ
c Ox t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t .
td
Tài li
ệu ôn tập thi TN THPT năm học 2012 – 2013
Trang 13
Ví dụ 5.Cho hàm số
4 2
( ) (3 2) 3
y f x x m x m
= = − + + có đồ thị
( )
m
C
.Tìm m để đường thẳng y = - 1 cắt đồ thị
( )
m
C
tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2. ( Khối D – 2009)
Ví dụ 6.Cho hàm số
3 2
( ) 3 4
y f x x x
= = − +
(C). Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1,2) với hệ
số góc k (k>-3) đều cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của AB.
( Khối D – 2008)
Ví dụ 7. Cho hàm số
3
( ) 3 2
y f x x x
= = − +
(C). Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3,20) và có hệ số góc m.
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt. ( Khối D – 2006)
Ví dụ 8. Cho hàm số
2 1
( )
1
x
y f x
x
+
= =
+
có
đồ
th
ị
(C). Tìm m
để
đườ
ng th
ẳ
ng
2
y x m
= − +
c
ắ
t
đồ
th
ị
(C) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B sao cho tam giác OAB có di
ệ
n tích b
ằ
ng
3
( O là g
ố
c t
ọ
a
độ
)
( Khối B – 2010)
Ví d
ụ
9. Cho hàm s
ố
3 2
( ) 2 (1 )
y f x x x m x m
= = − + − +
. Tìm m
để
đồ
th
ị
hàm s
ố
c
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i ba
đ
i
ể
m
phân bi
ệ
t có hoành
độ
1 2 3
; ;
x x x
thõa mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n
2 2 2
1 2 3
4
x x x
+ + <
.
( Khối A – 2010)
Ví d
ụ
10.Cho hàm s
ố
3 2
1 2
( )
3 3
y f x x mx x m
= = − − + +
. Tìm m
để
đồ
th
ị
hàm s
ố
c
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i ba
đ
i
ể
m
phân bi
ệ
t có hoành
độ
1 2 3
; ;
x x x
thõa mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n
2 2 2
1 2 3
15
x x x
+ + >
Ví d
ụ
11.Cho hàm s
ố
1
( )
1
y f x x
x
= = −
+
có
đồ
th
ị
(C). Tìm giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m
để
đườ
ng th
ẳ
ng d: y = m c
ắ
t
đồ
th
ị
(C) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B sao cho OA vuông góc v
ớ
i OB. (V
ớ
i O là g
ố
c t
ọ
a
độ
)
Ví d
ụ
12.Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u
đồ
th
ị
hàm s
ố
3 2
( ) ax
y f x x bx c
= = + + +
(C) c
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i ba
đ
i
ể
m cách
đề
u nhau thì
đ
i
ể
m u
ố
n n
ằ
m trên tr
ụ
c hoành.
Ví d
ụ
13. Cho hàm s
ố
2 1
1
x
y
x
+
=
+
a.
Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ
đồ
th
ị
(C ) hàm s
ố
đ
ã cho
b.
Tìm k
để
đườ
ng th
ẳ
ng
2 1
y kx k
= + +
c
ắ
t
đồ
th
ị
(C) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A,B sao cho kho
ả
ng cách
t
ừ
A và B
đế
n tr
ụ
c hoành b
ằ
ng nhau.
( Khối D – 2011)
Chủ đề 7. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
PHẦN I. PHƯƠNG PHÁP
Các bước chính khi tiến hành khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
( )
y f x
=
1.
Tìm t
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a hàm s
ố
2.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n và tìm các ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
(N
ế
u có)
3.
Tính
đạ
o hàm y’ và gi
ả
i ph
ươ
ng trình y’ = 0
4.
L
ậ
p b
ả
ng bi
ế
n thiên
5.
Nêu k
ế
t lu
ậ
n v
ề
tính bi
ế
n thiên và c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
6.
Tìm
đ
i
ể
m u
ố
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
(
Đố
i v
ớ
i hàm b
ậ
c ba và hàm trùng ph
ươ
ng )
7.
Tìm các
đ
i
ể
m
đặ
c bi
ệ
t thu
ộ
c
đồ
th
ị
hàm s
ố
8.
V
ẽ
đồ
th
ị
hàm s
ố
và nh
ậ
n xét
PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN
Ví d
ụ
1. Kh
ả
o sát và v
ẽ
đồ
th
ị
c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
a.
3 2
( ) 3 1
y f x x x
= = − +
b.
3 2
( ) 2 3 12 13
y f x x x x
= = + − −
c.
3
( ) 3
y f x x x
= = − +
d.
3 2
( ) 3 3 2
y f x x x x
= = + + +
e.
3 2
( ) 3 5 2
y f x x x x
= = − + − +
f.
2
( ) ( 3)
y f x x x
= = −
g.
3 2
( ) 2 4 3
y f x x x x
= = + − −
h.
3 2
( ) 6 9 8
y f x x x x
= = + + +
Ví d
ụ
2. Kh
ả
o sát và v
ẽ
đồ
th
ị
c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
a.
4 2
( ) 3 6 2
y f x x x
= = − +
b.
2 4
( ) 2
y f x x x
= = −
Dạng 1
. Kh
ả
o sát và v
ẽ
đồ
th
ị
hàm s
ố
td
Tài liệu ôn tập thi TN THPT năm học 2012 – 2013
Trang 14
c.
4 2
( ) 2 3
y f x x x
= = + −
d.
4 2
( ) 2 3
y f x x x
= = − + +
e.
4 2
1 1
( )
2 2
y f x x x
= = − f.
4 2
( ) 5 4
y f x x x
= = − +
Ví d
ụ
3. Kh
ả
o sát và v
ẽ
đồ
th
ị
c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
a.
2 1
( )
2
x
y f x
x
+
= =
+
b.
1
( )
1
x
y f x
x
+
= =
−
c. ( )
1
x
y f x
x
= =
+
d.
1
( )
2
x
y f x
x
+
= =
−
Ví d
ụ
4. Kh
ả
o sát và v
ẽ
đồ
th
ị
c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
a.
2
1
( )
2
x x
y f x
x
+ −
= =
+
b.
2
2 5
( )
1
x x
y f x
x
− + −
= =
−
c.
2
2
( )
1
x x
y f x
x
− −
= =
−
d.
2
3 3
( )
2
x x
y f x
x
− +
= =
−
e.
2
1
( )
1
x x
y f x
x
− + +
= =
+
f.
2
2 6
( )
2 2
x x
y f x
x
− +
= =
+
Ví d
ụ
1.Cho hàm s
ố
3
( ) 3 1
y f x x x
= = − +
có
đồ
th
ị
(C)
a.
Kh
ả
o sát và v
ẽ
đồ
th
ị
hàm s
ố
b.
Dùng
đồ
th
ị
(C) bi
ệ
n lu
ậ
n theo k s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình:
3
3 1 0
x x k
− − + =
Ví d
ụ
2. Cho hàm s
ố
1
( )y f x mx
x
= = +
có
đồ
th
ị
(Cm)
a.
Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ
đồ
th
ị
hàm s
ố
khi
1
4
m
=
b.
Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c tr
ị
và kho
ả
ng cách t
ừ
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a (Cm)
đế
n ti
ệ
m c
ậ
n xiên c
ủ
a (Cm)
b
ằ
ng
1
2
(Khối A – Năm 2005)
Ví d
ụ
3.Cho hàm s
ố
3 2
( ) 2 9 12 4
y f x x x x
= = − + −
a.
Kh
ả
o sát và v
ẽ
đồ
th
ị
hàm s
ố
b.
Tìm m
để
ph
ươ
ng trình sau có 6 nghi
ệ
m ph
ậ
n bi
ệ
t :
3
2
2 9 12
x x x m
− + =
(Khối A – Năm 2006)
Ví d
ụ
4. Cho hàm s
ố
2
( )
1
x
y f x
x
−
= =
−
có
đồ
th
ị
(C).
a.
Kh
ả
o sát và v
ẽ
đồ
th
ị
hàm s
ố
b.
Tìm
đ
i
ể
m trên
đồ
th
ị
(C) thõa :
1.
Có t
ọ
a
độ
nguyên
2.
Cách
đề
u hai ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
3.
Cách
đề
u hai
đ
i
ể
m A(0;0) và B(2;2)
4.
T
ổ
ng kho
ả
ng cách
đế
n hai ti
ệ
m c
ậ
n là nh
ỏ
nh
ấ
t
Ví d
ụ
5.Cho hàm s
ố
3 2
( ) 3 6
y f x x x
= = − −
a.
Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ
đồ
th
ị
hàm s
ố
b.
Khi a thay
đổ
i bi
ệ
n lu
ậ
n s
ố
nghi
ệ
m ph
ươ
ng trình:
3 2
3 6
x x a
− − =
Ví d
ụ
6.Cho hàm s
ố
3 2 2 3 2
( ) 3 3(1 )
y f x x mx m x m m
= = − + + − + −
a.
Kh
ả
o sát và v
ẽ
đồ
th
ị
hàm s
ố
khi m = 1 (C1)
b.
Tìm k
để
ph
ươ
ng trình
3 2 3 2
3 3 0
x x k k
− + + − =
có ba nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
c.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua hai c
ự
c tr
ị
c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
(C1)
Dạng 2
. M
ộ
t s
ố
bài toán liên quan
đế
n kh
ả
o sát và v
ẽ
đồ
th
ị
hàm s
ố
td
Tài li
ệ
u ôn t
ậ
p thi TN THPT n
ă
m h
ọ
c 2012 – 2013
/>
Trang 15
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số
Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình đã cho về dạng :
( ) ( )
f x g x
a a
=
(1)
Nếu cơ số a là một số dương khác 1 thì (1)
( ) ( )
f x g x
⇔ =
N
ế
u c
ơ
s
ố
a thay
đổ
i (có ch
ứ
a bi
ế
n ho
ặ
c ch
ứ
a tham s
ố
) thì
[ ]
0
(1)
( 1) ( ) ( ) 0
a
a f x g x
>
⇔
− − =
(ít gặp)
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1.
2
8 1 3
2 4
x x x
− + −
=
ĐS :
{
}
2; 3
− −
2.
2
5 6
5 1
x x− −
=
3.
2
5 125
x
= ĐS:
3
2
4.
3 1
4 7 16
0
7 4 49
x x−
− =
5.
2
5
6
2
2 16 2
x x− −
=
Đ
S :
{
}
1;7
−
6.
3
(3 2 2) 3 2 2
x
− = +
Đ
S :
1
3
−
7.
1 1
5 6.5 3.5 52
x x x
+ −
+ − =
Đ
S :
{
}
1
8.
2 3 2 3 5 5
3 .5 3 .5
x x x x
+ +
=
9.
1
1 1
5 25
x x
x x
+
− −
=
10.
1 2 2 9
3 .2 12
x x x
− − −
=
11.
1 2 3 1 2
3 3 3 9.5 5 5
x x x x x x
+ + + + +
+ + = + +
Đ
S :
{
}
0
12.
1
3 .2 72
x x
+
=
Đ
S :
{
}
2
13.
1 2
2 .3 .5 12
x x x
− −
=
Đ
S :
{
}
2
14.
2 5
3 9
x x
− −
=
15.
4 4
1
3 81
x
x
−
−
=
Đ
S :
1
x
≥
16.
1
2 2
2 ( 4 2) 4 4 4 8
x
x x x x
+ − − = + − −
Đ
S :
1
2
17.
6 4.3 2 4 0
x x x
− − + =
Đ
S :
{
}
0;2
Bài 2 : Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
1.
2
2 2 2 3
( 1) ( 1)
x x
x x
+
− = −
Đ
S :
{
}
2; 3
± −
2.
3
( 1) 1
x
x
−
+ =
Đ
S :
{
}
3
3.
1 2 1 2
2 2 2 3 3 3
x x x x x x
− − − −
+ + = − +
Đ
S : 2
4.
3 1
1 3
( 10 3) ( 10 3)
x x
x x
− +
− +
+ = −
Đ
S :
5
±
5.
8.3 3.2 24 6
x x x
+ = +
(
Đ
H Qu
ố
c Gia HN-2000)
Đ
S :
{
}
1;3
6.
2 2
2
2 4.2 2 4 0
x x x x x
+ −
− − + =
(
Đ
H D-2006)
Đ
S :
{
}
0;1
Dạng 2
: Ph
ươ
ng pháp
đặ
t
ẩ
n ph
ụ
Đặ
t
( )
, 0
f x
t a t
= >
v
ớ
i a và
( )
f x
thích h
ợ
p
để
đư
a ph
ươ
ng trình bi
ế
n s
ố
x
đ
ã cho v
ề
ph
ươ
ng trình m
ớ
i v
ớ
i bi
ế
n
t, gi
ả
i ph
ươ
ng trình này tìm t (nh
ớ
so
đ
i
ề
u ki
ệ
n t > 0) r
ồ
i t
ừ
đ
ó tìm x.
Bài 1 : Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
td
Tài liệu ôn tập thi TN THPT năm học 2012 – 2013
Trang 16
1.
9 4.3 45 0
x x
− − =
Đ
S : 2
2.
2
2 2 6 0
x x
+ − =
3.
9 8.3 7 0
x x
− + =
4.
2 2
4 6.2 8 0
x x
− + =
5.
1
8 6.2 2 0
x x
−
− + =
Đ
S : 0
6.
1 1
5 5 26
x x
+ −
+ =
Đ
S : 1; -1
7.
1
7 7 6 0
x x−
− + =
Đ
S : 1
8.
2 2
sin cos
9 9 10
x x
+ =
Đ
S :
2
k
π
9.
2 2
4 16 10.2
x x
− −
+ =
Đ
S : 3; 11
10.
2 2
5 5 2
4 2 4
x x x x+ − + − +
− = −
(
đặ
t t=
2
5
2
x x
+ −
)
Đ
S : 2
11.
2 3 3
8 2 12 0
x
x x
+
− + =
Đ
S : 3;
6
log 8
12.
(7 4 3) (2 3) 2 0
x x
+ + + − =
Đ
S : 0
13.
(2 3) (2 3) 14
x x
+ + − =
Đ
S : 2
14.
2 2 2
15.25 34.15 15.9 0
x x x
− + =
15.
1 1 1
6.9 13.6 6.4 0
x x x
− + =
Đ
S : 1; -1
16.
2 4
3.4 2.3 5.36
x x x
+ =
Đ
S : 0; 1/2
17.
3
(3 5) 16.(3 5) 2
x x x
+
+ + − =
Đ
S :
3 5
( )
2
log 4
+
18.
2 2 2
2 6 9 3 5 2 6 9
3 4.15 3.5
x x x x x x
+ − + − + −
+ =
Đ
S : 1; -4
Bài 2 : Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
1.
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
(
Đ
H A-2006)
Đ
S : 1
2.
2 2
2
2 2 3
x x x x
− + −
− =
(
Đ
H D-2003)
Đ
S : -1; 2
3.
( 2 1) ( 2 1) 2 2 0
x x
− + + − =
(
Đ
H B-2007)
Đ
S : 1; -1
4.
2
4.3 9.2 5.6
x
x x
− = (
Đ
H Hàng H
ả
i-1999)
Đ
S : 4
5.
2 2
2 1 2 2
2 9.2 2 0
x x x x
+ + +
− + =
(
Đ
H Th
ủ
y L
ợ
i-2000)
Đ
S : -1; 2
6.
25 15 2.9
x x x
+ = (
Đ
HSP H
ả
i Phòng-2000)
Đ
S : 0
7.
3 1
125 50 2
x x x
+
+ = (
Đ
H Qu
ố
c Gia HN-1998)
Đ
S : 0
8.
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1
x x x x x x− + + + + +
+ = +
(HV Quan H
ệ
Qu
ố
c T
ế
-1999)
Đ
S :
1;2; 5
± −
9.
cos cos
( 7 4 3) ( 7 4 3) 4
x x
+ + − =
(
Đ
H Lu
ậ
t HN-1998)
Đ
S :
k
π
10.
3
3( 1)
1 12
2 6.2 1
2 2
x x
x x−
− − + =
(
Đ
H Y HN-2000)
Đ
S : 1
Dạng 3 :
Ph
ươ
ng pháp lôgarit hóa
Bi
ế
n
đổ
i ph
ươ
ng trình
đ
ã cho v
ề
m
ộ
t trong các d
ạ
ng sau :
•
( )
( ) log
f x
a
a b f x b
= ⇔ =
•
( ) ( )
( ) ( )log
f x g x
a
a b f x g x b
= ⇔ =
•
( ) ( )
. ( ) ( )log log
f x g x
a a
a b c f x g x b c
= ⇔ + =
Chú ý :
Ph
ươ
ng pháp này th
ườ
ng áp d
ụ
ng cho các ph
ươ
ng trình ch
ứ
a phép nhân, chia gi
ữ
a các hàm s
ố
m
ũ
.
VD. Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
1.
2
3 .2 1
x x
=
Đ
S :
3
0; log 2
−
2
4 2
2. 2 3
x x
− −
=
Đ
S :
3
2;log 2 2
−
td
Tài li
ệ
u ôn t
ậ
p thi TN THPT n
ă
m h
ọ
c 2012 – 2013
/>
Trang 17
3.
2
5 6 3
5 2
x x x
− + −
=
Đ
S :
5
3;2 log 2
+
1
4. 3 .4 18
x
x
x
−
=
Đ
S :
3
2; log 2
−
5.
2
2
8 36.3
x
x
x
−
+
=
Đ
S :
3
4; 2 log 2
− −
7 5
6. 5 7
x x
=
Đ
S :
7 5
5
log (log 7)
7.
5
3 log
5 25
x
x
−
=
Đ
S :
5
log 5
4 3
8. .5 5
x
x
=
Đ
S :
4
1
; 5
5
9.
9
log
2
9.
x
x x
=
Đ
S : 9
1
10. 5 .8 500
x
x
x
−
=
Đ
S :
5
3; log 2
−
Dạng 4
: Ph
ươ
ng pháp s
ử
d
ụ
ng tính
đơ
n
đ
i
ệ
u c
ủ
a hàm s
ố
.
Cách 1
: (D
ự
đ
oán nghi
ệ
m và ch
ứ
ng minh nghi
ệ
m
đ
ó là nghi
ệ
m duy nh
ấ
t)
Đư
a ph
ươ
ng trình
đ
ã cho v
ề
d
ạ
ng
( ) ( )
f x g x
=
(*)
•
B
ướ
c 1 : Ch
ỉ
ra
0
x
là m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình (*)
•
B
ướ
c 2 : Ch
ứ
ng minh
( )
f x
là hàm
đồ
ng bi
ế
n,
( )
g x
là hàm ngh
ị
ch bi
ế
n ho
ặ
c
( )
f x
là hàm
đồ
ng bi
ế
n,
( )
g x
là hàm h
ằ
ng ho
ặ
c
( )
f x
là hàm ngh
ị
ch bi
ế
n,
( )
g x
là hàm h
ằ
ng. T
ừ
đ
ó suy ra tính duy nh
ấ
t nghi
ệ
m
Cách 2 :
Đư
a ph
ươ
ng trình
đ
ã cho v
ề
d
ạ
ng
( ) ( )
f u f v
=
, r
ồ
i ch
ứ
ng minh
f
là hàm s
ố
luôn
đồ
ng bi
ế
n (ho
ặ
c luôn ngh
ị
ch
bi
ế
n trên D). T
ừ
đ
ó suy ra ( ) ( )
f u f v u v
= ⇔ =
.
Ví d
ụ
1: Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
3 4 0
x
x
+ − =
Cách 1
:
3 4 0 3 4 (*)
x x
x x
+ − = ⇔ + =
•
Ta th
ấ
y
1
x
=
là m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình (*)
•
Đặ
t :
( ) 3
( ) 4
x
f x x
g x
= +
=
Ta có :
'( ) 3 .ln3 1 >0 x
x
f x
= + ∀
Suy ra ( ) 3
x
f x x
= +
là hàm đồng biến trên R.
Mà
( ) 4
g x
=
là hàm h
ằ
ng
V
ậ
y ph
ươ
ng trình (*) có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t là
1
x
=
Cách 2
:
3 4 0 3 4 (*)
x x
x x+ − = ⇔ + =
Ta th
ấ
y
1
x
=
là m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình (*)
•
N
ế
u
1
x
>
, ta có
1
3 3 3
1
x
x
> =
>
3 3 1 4
x
x
⇒
+ > + =
(vô lý)
•
N
ế
u
1
x
<
, ta có
1
3 3 3
1
x
x
< =
<
3 3 1 4
x
x
⇒
+ < + =
(vô lý).
V
ậ
y ph
ươ
ng trình (*) có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t là
1
x
=
.
Ví d
ụ
2: Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2
2 3 1
x
x
= +
Ta có :
2
2 3 1
x
x
= +
2 ( 3) 1
x x
⇔ = +
3 1
1 ( ) ( )
2 2
x x
⇔ = + (*)
•
Ta th
ấ
y
2
x
=
là m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình (*)
•
Đặ
t :
3 1
( ) ( ) ( )
2 2
( ) 1
x x
f x
g x
= +
=
Ta có :
3 3 1 1
'( ) ( ) .ln( ) ( ) ln( ) 0 x
2 2 2 2
x x
f x R
= + < ∀ ∈
Suyra
3 1
( ) ( ) ( )
2 2
x x
f x = + là hàm ngh
ị
ch bi
ế
n trên R
Mà
( ) 1
g x
=
là hàm h
ằ
ng
V
ậ
y ph
ươ
ng trình (*) có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t là
2
x
=
Ví d
ụ
3: Gi
ả
i pt
1 1
3.9 (3 7).3 2 0
x x
x x
− −
+ − + − =
(1)
Đặ
t
1
3 , 0
x
t t
−
= >
.
Ph
ươ
ng trình (1)
2
3. (3 7). 2 0
t x t x
⇔ + − + − =
2 2 2
(3 7) 12(2 ) 9 30 25 (3 5)
x x x x x∆ = − − − = − + = −
3 7 3 5 1
6 3
3 7 3 5
2
6
x x
t
x x
t x
− + + −
= =
⇒
− + − +
= = − +
1
1 1
3 0
3 3
x
t x
−
• = ⇔ = ⇔ =
1
2 3 2
x
t x x
−
• = − + ⇔ = − +
(*)
Ta th
ấ
y
1
x
=
là m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình (*)
Đặ
t :
1
( ) 3
( ) 2
x
f x
g x x
−
=
= − +
Ta có :
1
'( ) 3 .ln3 0
x
f x x R
−
= > ∀ ∈
td
Tài li
ệ
u ôn t
ậ
p thi TN THPT n
ă
m h
ọ
c 2012 – 2013
/>
Trang 18
Suy ra
1
( ) 3
x
f x
−
= là hàm
đồ
ng bi
ế
n trên R
'( ) 1 0
g x x R
= − < ∀ ∈
Suy ra
( )
g x
là hàm ngh
ị
ch bi
ế
n trên R
V
ậ
y ph
ươ
ng trình (*) có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t là
1
x
=
.
V
ậ
y pt (1) có 2 nghi
ệ
m là
0; 1
x x
= =
.
Bài 1 : Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
1.
1
2 3 17
x x
−
+ =
Đ
S : 3
2.
3 4 5
x x x
+ =
Đ
S : 2
3.
2
( 3 2) ( 3 2) 10
x
x x
+ + − =
Đ
S : 2
4.
2 2
3.25 (3 10).5 3 0
x x
x x
− −
+ − + − =
Đ
S :
{
}
5
2;2 log 3
−
5.
2
(2 3) 2(1 2 ) 0
x x
x x
+ − + − =
Đ
S :
{
}
0;2
6.
3
8 .2 2 0
x x
x x
−
− + − =
Đ
S : 2
7.
(2.3 1) 3 2
x x
x
− = +
Đ
S : 1
8.
2 5 1
1 1
2 5 1
x x
e e
x x
− −
− = −
− −
Đ
S : 2; 4
9.
3 2 2 3
2 3 .2 (1 3 ).2 2 0
x x x
x x x x
+ + + + + − =
Đ
S : 0
10.
2 1 2 2 1 1 2
2 3 5 2 3 5
x x x x x x
− + + +
+ + = + +
Đ
S : 1
Bài 2 : Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
1.
(2 3) (2 3) 4
x x x
− + + =
(H
ọ
c Vi
ệ
n Công Ngh
ệ
BCVT-1998)
Đ
S : 1
2.
2
1 2
2 2 ( 1)
x x x
x
− −
− = −
(
Đ
H Th
ủ
y l
ợ
i-2001)
Đ
S : 1
3.
1
2 4 1
x x
x
+
− = −
(
Đ
H Bách khoa TPHCM-1995)
Đ
S : 1
4.
( 3 2) ( 3 2) ( 5)
x x x
+ + − = (H
ọ
c Vi
ệ
n Quan H
ệ
Qu
ố
c T
ế
-1997)
Đ
S :
∅
5.
3 5 6 2
x x
x
+ = +
(
Đ
H S
ư
Ph
ạ
m HN-2001)
Đ
S :
{
}
0;1
CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số
Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình đã cho về dạng
•
[
]
[
]
log ( ) log ( )
a a
f x g x
=
0 1
( ) ( ) 0
a
f x g x
< ≠
⇔
= >
•
[ ]
0 1
log ( )
( )
a
b
a
f x b
f x a
< ≠
= ⇔
=
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1.
2
log (5 1) 4
x
+ =
ĐS : 3
2.
3 9 27
log log log 11
x x x
+ + =
ĐS : 729
3.
3 3
log log ( 2) 1
x x
+ + =
ĐS : 1
4.
2
2 2
log ( 3) log (6 10) 1 0
x x
− − − + =
Đ
S : 2
5.
3 2
1
log( 1) log( 2 1) log
2
x x x x
+ − + + =
Đ
S : 1
6.
3
2 2
log (1 1) 3log 40 0
x x
+ + − − =
Đ
S : 48
7.
4 2
log ( 3) log ( 7) 2 0
x x
+ − + + =
Đ
S : 1
8.
2 1
8
log ( 2) 6log 3 5 2
x x
− − − =
Đ
S : 3
td
Tài li
ệu ôn tập thi TN THPT năm học 2012 – 2013
Trang 19
9.
3
1 8
2
2
log 1 log (3 ) log ( 1)
x x x
+ − − = −
ĐS :
1 17
2
+
10.
2
3
3
log ( 1) log (2 1) 2
x x
− + − =
Đ
S : 2
11.
4 2
2 1
1 1
log ( 1) log 2
log 4 2
x
x x
+
− + = + +
Đ
S :
5
2
Bài 2 : Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
1.
2 2
1
log (4 15.2 27) 2log 0
4.2 3
x x
x
+ + + =
−
(
Đ
H D-2007)
Đ
S :
2
log 3
2.
4
log ( 2).log 2 1
x
x
+ =
(
Đ
H Hu
ế
-1999)
Đ
S : 2
3.
2 2
2 2 2
log ( 3 2) log ( 7 12) 3 log 3
x x x x+ + + + + = + (
Đ
H Qu
ố
c Gia HN-1998)
Đ
S : 0;-5
4.
2
9 3 3
2log log .log ( 2 1 1)
x x x
= + −
(
Đ
H Th
ủ
y L
ợ
i-1998)
Đ
S : 1; 4
5.
2 3 2 3
log log log .log
x x x x
+ = (
Đ
H
Đ
ông
Đ
ô-1999)
Đ
S : 1; 6
6.
5 3 5 9
log log log 3.log 225
x x+ = (
Đ
H Y Hà N
ộ
i-1999)
Đ
S : 3
7.
2 3
4 8
2
log ( 1) 2 log 4 log ( 4)
x x x+ + = − + + (
Đ
H Bách Khoa HN-2000)
Đ
S :
2;2 2 6
−
8.
2 2 2
2 3 2 3
log ( 1 ) log ( 1 ) 6
x x x x
+ −
+ + + + − =
(
Đ
H Y Thái Bình-1998)
Đ
S :
4 3
9.
2 2
9 3
3
1 1
log ( 5 6) log log 3
2 2
x
x x x
−
− + = + −
(HV BCVT-2000)
Đ
S :
3
2
Dạng 2
: Ph
ươ
ng pháp
đặ
t
ẩ
n ph
ụ
Bi
ế
n
đổ
i ph
ươ
ng trình v
ề
d
ạ
ng ch
ỉ
ch
ứ
a m
ộ
t lo
ạ
i hàm s
ố
lôgarit,
đặ
t
ẩ
n ph
ụ
t
để
đư
a ph
ươ
ng trình bi
ế
n s
ố
x
đ
ã
cho v
ề
ph
ươ
ng trình m
ớ
i v
ớ
i bi
ế
n t, gi
ả
i ph
ươ
ng trình này tìm t r
ồ
i t
ừ
đ
ó tìm x.
Bài 1 : Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
1.
2
2 2
log 2log 2 0
x x
+ − =
Đ
S :
1
2;
4
2.
2 2
3 log log (8 ) 1 0
x x
− + =
Đ
S : 2; 16
3.
2 1
1 log ( 1) log 4
x
x
−
+ − =
Đ
S :
5
3;
4
4.
2
2
log 16 log 64 3
x
x
+ =
Đ
S :
1
3
4;2
−
5.
2 2
3
log (3 ).log 3 1
x
x
=
Đ
S :
1 2
3
±
6.
2
2
log (2 ) log 2
x
x
x x
+
+ + =
Đ
S : 2
7.
2
5 5
5
log log ( ) 1
x
x
x
+ =
Đ
S :
1
1;5;
25
8.
2
2
log 2 2log 4 log 8
x x
x
+ =
Đ
S : 2
9.
1
3 3
log (3 1).log (3 3) 6
x x
+
− − =
Đ
S :
3 3
28
log 10;log
27
10.
2 2
1 2 1 3
log (6 5 1) log (4 4 1) 2 0
x x
x x x x
− −
− + − − + − =
Đ
S :
1
4
11.
2
lg(10 ) lg lg(100 )
4 6 2.3
x x x
− =
Đ
S :
1
100
12.
2 2 2
log 9 log log 3
2
.3
x
x x x
= −
Đ
S : 2
13.
log
4
(log
2
x) + log
2
(log
4
x) = 2 (
đặ
t t=
4
log
x
)
Bài 2 : Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
td
Tài li
ệ
u ôn t
ậ
p thi TN THPT n
ă
m h
ọ
c 2012 – 2013
/>
Trang 20
1.
3
3
2 2
4
log log
3
x x
+ =
(
Đ
H Công
Đ
oàn-2000)
Đ
S : 2
2.
2
2 2
log ( 1) 6log 1 2 0
x x
+ − + + =
(Cao
Đẳ
ng -2008)
Đ
S : 1; 3
3.
9
4log log 3 3
x
x
+ =
(
Đ
H K
ỹ
Thu
ậ
t Công Ngh
ệ
TPHCM-1998)
Đ
S :
3; 3
4.
4 2 2 3
log ( 1) log ( 1) 25
x x
− + − =
(
Đ
H Y HN-2000)
5.
2 2
log 2 log 4 3
x
x
+ =
(HV CNBCVT-1999)
Đ
S : 1; 4
6.
1
5 25
log (5 1).log (5 5) 1
x x
+
− − =
(
Đ
H S
ư
Ph
ạ
m HN-1998)
Đ
S :
5 5
26
log 6;log
25
7.
2
2 2 2
log 2 log 6 log 4
4 2.3
x x
x− = (
Đ
H S
ư
Ph
ạ
m TPHCM-2001)
Đ
S :
1
4
8.
2 2
2 1 1
log (2 1) log (2 1) 4
x x
x x x
− +
+ − + − =
(
Đ
H Kh
ố
i A-2008)
Đ
S :
5
2;
4
9.
2 2
3 7 2 3
log (9 12 4 ) log (6 23 21) 4
x x
x x x x
+ +
+ + + + + =
(
Đ
H Kinh T
ế
Qu
ố
c Dân-2001)
Đ
S :
1
4
−
10.
2 2
log log
2
(2 2) (2 2) 1
x x
x x
+ + − = +
(
Đ
H Qu
ố
c Gia HN-2000)
Đ
S : 0;1
11.
2 2 2
4 5 20
log ( 1).log ( 1) log ( 1)
x x x x x x
− − + − = − −
(
Đ
HSP Vinh-2001)
Đ
S : 1;
20
20
log 4
log 4
1 1
(5 )
2 5
+
Dạng 3
: Ph
ươ
ng pháp m
ũ
hóa
Đư
a ph
ươ
ng trình
đ
ã cho v
ề
m
ộ
t trong các d
ạ
ng sau
•
( )
0 1
log ( ) ( )
( )
a
g x
a
f x g x
f x a
< ≠
= ⇔
=
•
log ( ) log ( )
a b
f x g x
= đặt
t
=
suy ra
( )
( )
t
t
f x a
g x b
=
=
. Khử x trong hpt để thu được phương trình theo ẩn t,
giải pt này tìm t, từ đó tìm x.
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1.
3
log (9 8) 2
x
x
+ = +
Đ
S :
3
0;log 8
2.
1
5
log (5 20) 2
x
x
+
+ − =
Đ
S : 1
3.
3
3 2
3log (1 ) 2log
x x x
+ + =
Đ
S : 4096
4.
3 2
2log tan log sin
x x
=
Đ
S :
2
6
k
π
π
+
5.
2
5 3
log ( 6 2) log
x x x
− − =
Đ
S : 9
6.
4
6 4
2log ( ) log
x x x
+ =
(
Đ
H Ki
ế
n Trúc TPHCM-1991)
Đ
S : 16
Bài 2 : Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
1.
2
log (9 2 ) 3
x
x
+ − =
(
Đ
H Hu
ế
-2000)
Đ
S : 0; 3
2.
5 7
log log ( 2)
x x
= +
(
Đ
H Qu
ố
c Gia HN-2000)
Đ
S : 5
3.
7 3
log log ( 2)
x x
= +
(
Đ
H Thái Nguyên-2000)
Đ
S : 49
4.
8
4
6 4
2log ( ) log
x x x
+ =
(
Đ
H Y HN-1998)
Đ
S : 256
5.
3 2
2log cot log cos
x x
= (
Đ
H Y D
ượ
c TPHCM-1986)
Đ
S :
2
3
k
π
π
+
Dạng 4
: Ph
ươ
ng pháp s
ử
d
ụ
ng tính
đơ
n
đ
i
ệ
u c
ủ
a hàm s
ố
.
Cách 1
: (D
ự
đ
oán nghi
ệ
m và ch
ứ
ng minh nghi
ệ
m
đ
ó là nghi
ệ
m duy nh
ấ
t)
Đư
a ph
ươ
ng trình
đ
ã cho v
ề
d
ạ
ng
( ) ( )
f x g x
=
(*)
td
Tài li
ệu ôn tập thi TN THPT năm học 2012 – 2013
Trang 21
• Bước 1 : Chỉ ra
0
x
là một nghiệm của phương trình (*)
• Bước 2 : Chứng minh
( )
f x
là hàm đồ
ng bi
ế
n,
( )
g x
là hàm ngh
ị
ch bi
ế
n ho
ặ
c
( )
f x
là hàm
đồ
ng bi
ế
n,
( )
g x
là hàm h
ằ
ng ho
ặ
c
( )
f x
là hàm ngh
ị
ch bi
ế
n,
( )
g x
là hàm h
ằ
ng. T
ừ
đ
ó suy ra tính duy nh
ấ
t nghi
ệ
m
Cách 2 :
Đư
a ph
ươ
ng trình
đ
ã cho v
ề
d
ạ
ng
( ) ( )
f u f v
=
, r
ồ
i ch
ứ
ng minh
f
là hàm s
ố
luôn
đồ
ng bi
ế
n (ho
ặ
c luôn ngh
ị
ch
bi
ế
n trên D). T
ừ
đ
ó suy ra ( ) ( )
f u f v u v
= ⇔ =
.
Bài 1 : Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
1.
5
log ( 3) 4
x x
− = −
Đ
S : 4
2.
2
lg( 12) lg( 3) 5
x x x x
− − + = + +
Đ
S : 5
3.
2
2 2
log ( 3).log 2 0
x x x x
+ − − + =
Đ
S : 2; 4
4.
2
3 3
(log 3) 4 log 0
x x x x
+ − − + =
Đ
S : 3
5.
2 2 2
ln( 1) ln(2 1)
x x x x x
+ + − + = −
Đ
S : 0; 1
Bài 2 : Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
1.
2
2 2
log ( 1)log 6 2
x x x x
+ − = −
(
Đ
H
Đ
ông
Đ
ô-1997)
Đ
S :
1
;2
4
2.
2
2
3
2
3
log 3 2
2 4 5
x x
x x
x x
+ +
= + +
+ +
(
Đ
H Ngo
ạ
i Th
ươ
ng-2001)
Đ
S :
1; 2
− −
CHUYÊN ĐỀ:HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT
Bài 1 : Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau :
1.
2 2
2 2
2 2
log ( ) 1 log ( )
3 81
x xy y
x y xy
− +
+ = +
=
(ĐH A-2009) ĐS : (2;2), (-2;-2)
2.
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y
+
= −
+
=
+
(ĐH D-2002) ĐS : (0;1), (2;4)
3.
1 4
4
2 2
1
log ( ) log 1
25
y x
y
x y
− − =
+ =
(ĐH A-2004) ĐS : (3;4)
4.
2 3
9 3
1 2 1
3log (9 ) log 3
x y
x y
− + − =
− =
(ĐH B-2005) ĐS : (1;1), (2;2)
5.
1
3 2
3 9 18
y
y
x
x
−
+ =
+ =
ĐS :
3
2
( ;log 4)
3
3
3
3 .2 972
6.
log ( ) 3
x y
x y
=
− =
Đ
S : (5;2)
2
log log 2
7.
12
y x
x y
x y
+ =
+ =
Đ
S : (3;3)
3 3
4 32
8.
log ( ) 1 log ( )
x y
y x
x y x y
+
=
+ = − −
Đ
S : (2;1)
4
1 log
9.
4096
y
y x
x
= +
=
Đ
S : (16;3), (1/64;-2)
4 2
4 3 0
10.
log log 0
x y
x y
− + =
− =
Đ
S : (1;1), (9;3)
Bài 2: Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau :
1.
5
3 .2 1152
log ( ) 2
x y
x y
−
=
+ =
Đ
S : (-2;7)
td
Tài liệu ôn tập thi TN THPT năm học 2012 – 2013
Trang 22
2.
2 2
1 1
1 1
log (1 2 ) log (1 2 ) 4
log (1 2 ) log (1 2 ) 2
x y
x y
y y x x
y x
+ −
+ −
− + + + + =
+ + + =
Đ
S :
2 2
( ; )
5 5
−
3.
3 3
log ( ) log 2
2 2
4 2 ( )
3 3 22
xy
xy
x y x y
= +
+ + + =
Đ
S : (1;3), (3;1)
4.
2 2
1
2 2
x y x
x y y x
x y
+ −
+ = +
− = −
Đ
S : (-1;-1), (1;0)
5.
2 2
ln(1 ) ln(1 )
12 20 0
x y x y
x xy y
+ − + = −
− + =
Đ
S : (0;0)
6.
2 1
2 1
2 2 3 1
2 2 3 1
y
x
x x x
y y y
−
−
+ − + = +
+ − + = +
Đ
S : (1;1)
CHUYÊN ĐỀ:BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
I. PHƯƠNG PHÁP
Áp dụng các phương pháp như khi giải phương trình mũ và kết hợp với tính chất :
• Nếu
1
a
>
thì
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
> ⇔ >
•
N
ế
u
0 1
a
< <
thì
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
> ⇔ <
Tổng quát :
[ ]
( ) ( )
0
( 1) ( ) ( ) 0
f x g x
a
a a
a f x g x
>
> ⇔
− − >
II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số
Bài 1 : Giải các bất phương trình sau :
1.
2
2
3 27
x x
+
<
ĐS :
3 1
x
− < <
2.
1
1
1
( 5 2) ( 5 2)
x
x
x
−
−
+
+ ≥ −
ĐS :
[
)
[
)
2; 1 1;
− − ∪ +∞
3.
2
2 16
1 1
( ) ( )
3 9
x x x
+ −
<
Đ
S :
8 4
x x
< − ∨ >
4.
1
2
1
1
2
16
x
x
+
+
>
Đ
S :
2
x
> −
5.
1 2 1 2
2 2 2 3 3 3
x x x x x x
− − − −
+ + < − +
Đ
S :
2
x
>
6.
2 2 2
3 2 3 3 3 4
2 .3 .5 12
x x x x x x− − − − − −
≥
Đ
S :
1 4
x x
≤ − ∨ ≥
7.
3 1
1 3
( 10 3) ( 10 3)
x x
x x
− +
− +
+ < −
Đ
S :
3 5 1 5
x x− < < − ∨ < <
8.
2
1 3 9
x x−
< <
Đ
S :
(
)
{
}
1;2 \ 0;1
−
9.
2
2
5 6
1 1
3
3
x
x x
+
+ −
<
Đ
S :
6 10
x x
≤ − ∨ ≥
10.
( )
2
2 7
2 1
x x
x
−
− >
Đ
S :
7
2 3
2
x x
< < ∨ >
Bài 2 : Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau :
1.
1 1
2 2 3 3
x x x x
+ −
+ ≤ + (
Đ
H Qu
ố
c Gia HN-1996)
Đ
S :
2
x
≥
2.
1
1
( 2 1) ( 2 1)
x
x
x
+
−
+ ≥ −
(H
ọ
c Vi
ệ
n Quân Y-1995)
Đ
S :
1 5 1 5
1
2 2
x x
− − − +
< < ∨ >
td
Tài li
ệu ôn tập thi TN THPT năm học 2012 – 2013
Trang 23
3.
2
1
2
1
3
3
x x
x x
− −
−
≥
(
Đ
H Bách Khoa HN-1997)
Đ
S :
2
x
≥
4.
(
)
2
1 1
x
x x
+ + <
(
Đ
H S
ư
Ph
ạ
m TPHCM-1976)
Đ
S :
1
x
< −
Dạng 2 : Phương pháp đặt ẩn phụ
Bài 1 : Giải các bất phương trình sau :
1.
9 2.3 3 0
x x
− − >
Đ
S :
1
x
>
2.
2 6 7
2 2 17 0
x x+ +
+ − >
Đ
S :
3
x
> −
3.
3
2 2 9
x x−
+ ≤
Đ
S :
0 9
x
≤ ≤
4.
2.49 7.4 9.14
x x x
+ <
Đ
S :
0 1
x
< <
5.
5.2 7. 10 2.5
x x x
< −
Đ
S :
0 2
x
< <
6.
1
4 3.2 4
x x x x
+ +
≤ +
Đ
S :
0 4
x
≤ ≤
7.
2 2 2
2 2 2
6.9 13.6 6.4 0
x x x x x x
− − −
− + <
Đ
S :
1
1
2
x
− < <
8.
2 1 2
4 .3 3 2 .3 2 6
x x x
x x x x
+
+ + < + +
Đ
S :
2
3
3
0 log 2
2
x x
≤ < ∨ >
9.
2
8.3 2
1
3 2 3
x
x
x x
−
> +
−
Đ
S :
2
3
1
0 log
3
x< <
Bài 2 : Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau :
1.
2
2
2
2
1
9 2. 3
3
x x
x x
−
−
− ≤
(D
ự
B
ị
D-2005)
Đ
S :
1 2 1 2
x− ≤ ≤ +
2.
2 1
1
1 1
3. 12
3 3
x x
+
+ >
(
Đ
H V
ă
n Hóa HN-1996)
Đ
S :
1
x
> −
3.
1 2 1
2
3 2 12 0
x
x x+ +
− − <
(HV CNBCVT-1998)
Đ
S :
0
x
>
4.
2
2.3 2
1
3 2
x x
x x
+
−
≤
−
(HV Hành Chính QG-2001)
Đ
S :
3
2
0 log 3
x< ≤
5.
(
)
(
)
2 2
2
1
5 1 2 3. 5 1
x x x x
x x
− + − +
− + +
+ + < − (
Đ
H Ph
ươ
ng
Đ
ông-2000)
Đ
S :
0 1
x x
< ∨ >
Dạng 3
: Ph
ươ
ng pháp s
ử
d
ụ
ng tính
đơ
n
đ
i
ệ
u c
ủ
a hàm s
ố
.
1.
1
3 2 3
x
x
−
+ >
Đ
S :
1
x
>
2.
2
2 3 1
x
x
< +
Đ
S :
2
x
<
3.
2.2 3.3 6 1
x x x
+ > −
Đ
S :
2
x
<
CHUYÊN ĐỀ : BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
I. PHƯƠNG PHÁP
•
N
ế
u
1
a
>
thì
log ( ) log ( ) ( ) ( ) 0
a a
f x g x f x g x
> ⇔ > >
•
N
ế
u
0 1
a
< <
thì
log ( ) log ( ) 0 ( ) ( )
a a
f x g x f x g x
> ⇔ < <
Tổng quát :
[ ]
0
log ( ) log ( ) ( ) 0; ( ) 0
( 1) ( ) ( ) 0
a a
a
f x g x f x g x
a f x g x
>
> ⇔ > >
− − >
II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
td
Tài li
ệu ôn tập thi TN THPT năm học 2012 – 2013
Trang 24
Giải các bất phương trình sau :
1.
3
log (2 1) 2
x
+ <
ĐS :
1
4
2
x
− < <
2.
2 0,5
31
log log (2 ) 2
16
x
− ≤
Đ
S :
2
x
>
3.
3 2
log ( ) 1
2
x
x
x
+
>
+
Đ
S :
1 2
x
< <
4.
3 1
3
2log (4 3 ) log (2 3) 2
x x
− + + ≤
(
Đ
H A-2007)
Đ
S :
3
3
4
x
< ≤
5.
2
0,7 6
log log 0
4
x x
x
+
<
+
(
Đ
H B-2008)
Đ
S :
4 3 8
x x
− < < − ∨ >
6.
4
2 1 1
log ( )
1 2
x
x
−
< −
+
(
Đ
H V
ă
n Hóa HN-1998)
Đ
S :
1
1
2
x
< <
7.
2
3 1 1
3 3
1
log 5 6 log 2 log ( 3)
2
x x x x
− + + − > +
(
Đ
H GTVT-2000)
Đ
S :
10
x
>
8.
3
log log (9 72) 1
x
x
− ≤
(
Đ
H B-2002)
Đ
S :
9
log 73 2
x
< ≤
9.
2
log (5 8 3) 2
x
x x
− + >
(
Đ
H V
ă
n Lang-1997)
Đ
S :
1 3 3
2 5 2
x x
< < ∨ >
10.
2
2
log 64 log 16 3
x
x
+ ≥
(
Đ
H Y Hà N
ộ
i-1997)
Đ
S :
3
1 1
1 4
2
2
x x
< ≤ ∨ < ≤
11.
2
lg( 3 2)
2
lg lg2
x x
x
− +
>
+
(
Đ
H Ki
ế
n Trúc HN-1997)
Đ
S :
3 33 1
6 2
x
− +
< <
12.
2 2 2
2 1 2
4 .2 3.2 .2 8 12
x x x
x x x x
+
+ + > + +
(
Đ
H D
ượ
c HN-1997)
Đ
S :
2 1 2 3
x x
− < < − ∨ < <
CHUYÊN ĐỀ :NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
I. NGUYÊN HÀM
I.1. Nguyên hàm các hàm số thường gặp:
1.
0
dx C
=
∫
2.
dx x C
= +
∫
3.
( )
1
1
1
1
x dx x C
α α
α
α
+
= + ≠ −
+
∫
4.
1
ln
dx x C
x
= +
∫
5.
x x
e dx e C
= +
∫
6.
ln
x
x
a
a dx C
a
= +
∫
7. cos sin
xdx x C
= +
∫
8. sin cos
xdx x C
= − +
∫
15.
1
ax b ax b
e dx e C
a
+ +
= +
∫
16.
1
ln
kx b
kx b
a
a dx C
k a
+
+
= +
∫
17.
( ) ( )
1
cos sin
ax b dx ax b C
a
+ = + +
∫
18.
( ) ( )
1
sin cos
ax b dx ax b C
a
+ = − + +
∫
19.
( )
( )
2
1 1
tan
cos
dx ax b C
ax b a
= + +
+
∫
20.
( )
( )
2
1 1
cot
sin
dx ax b C
ax b a
= − + +
+
∫
td
Tài liệu ôn tập thi TN THPT năm học 2012 – 2013
Trang 25
9.
2
1
tan
cos
dx x C
x
= +
∫
10.
2
1
cot
sin
dx x C
x
= − +
∫
11.
(
)
2
1 tan tan
x dx x C
+ = +
∫
12.
(
)
2
1 cot t
x dx co x C
+ = − +
∫
13.
( ) ( ) ( )
1
1
1
( 1)
ax b dx ax b C
a
α α
α
α
+
+ = + + ≠ −
+
∫
14.
1 1
ln
dx ax b C
ax b a
= + +
+
∫
21.
( )
( )
( )
2
1
1 tan tan
ax b dx ax b C
a
+ + = + +
∫
22.
( )
( )
( )
2
1
1 cot t
ax b dx co ax b C
a
+ + = − + +
∫
23.
2
1 1
dx C
x x
= − +
∫
24.
( )
2
1 1 1
.
dx C
a ax b
ax b
= − +
+
+
∫
25.
(
)
( )
( )
'
ln
u x
dx u x C
u x
= +
∫
Các công th
ức trên với:
(
)
0
a
≠
I.2. Các tính chất:
1.
(
)
(
)
'
f x dx f x C
= +
∫
; 2.
(
)
(
)
(
)
. 0
k f x dx k f x dx k
= ≠
∫ ∫
; 3.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
f x g x dx f x dx g x dx
± = ±
∫ ∫ ∫
I.3. Bài tập áp dụng:
Dạng 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
1.
2
3
3
x x x
dx
x
− +
∫
;2.
( )( )
2 1
1 1
x
dx
x x
+
− +
∫
;3. sin3 os2
xc xdx
∫
;4.
2 2
1
sin . os
dx
x c x
∫
; 5.
1
sinx
dx
∫
6.
1
cosx
dx
∫
; 7.
1
tanx
dx
∫
; 8.
1
cotx
dx
∫
; 9.
3 2
2
x x
x
e e
dx
e
−
−
∫
; 10.
2
2 1
2 1
x x
dx
x
− +
−
∫
Dạng 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số thõa điều kiện cho trước
1.
2
1
3 4
dx
x x
+ −
∫
, Bi
ế
t: F(2)=5 ; 2.
3
1
dx
x x
+
∫
, Bi
ế
t: F(1)=2; 3.
2 2
sin 3 os 2
xc xdx
∫
, Bi
ế
t: F(
2
π
)=2
4.
3
sin 3
xdx
∫
, Bi
ế
t: F(
2
π
)=2 ; 5.
4
sin 3
xdx
∫
, Bi
ế
t: F(
2
π
)=2 ; 6.
∫
+
−
4
5
3
2
x
x
xdx
, Bi
ế
t: F(0)=3
7.
∫
−
−
−−
dx
x
x
xx
3
2
2035
2
2
, Bi
ế
t: F(-2)=3
* Chú ý: Việc tìm nguyên hàm theo phương pháp đổi biến và phương pháp từng phần các dạng và cách đặt
giống như tính tích phân
II. TÍCH PHÂN
:
II.1
.
ĐN:
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫
II.2.Tính chất:
1.
( )
0
a
a
f x dx
=
∫
; 2.
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
=−
∫ ∫
;
3.
( ) ( ) ( )
0
b b
a a
kf x dx k f x dx k
= ≠
∫ ∫
td
