phân loại bài tập phép tính vi phân hàm một biến

TRƯỜNG ĐẠI HỌC …………
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BỘ MÔN TOÁN
…….
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
PHÂN LOẠI BÀI TẬP PHÉP TÍNH VI
PHÂN HÀM MỘT BIẾN
Giáo viên hướng dẫn Sinh viên thực hiện
tháng 5 /2013
LỜI CẢM ƠN
 
Vậy là bốn năm học cũng đã trôi qua, giờ đây em sắp xa giảng đường đại học. Nơi
đây, em nhận được sự quan tâm, dạy dỗ nhiệt tình của quý Thầy Cô, sự giúp đỡ
nhiệt tình của bạn bè. Bên cạnh đó, em cũng nổ lực hết mình để đạt kết quả học tập
như mong muốn.
Trước hết, em xin gởi lời cảm ơn đến Cha Mẹ và những người thân trong gia
đình của em,nguồn động lực cả về vật chất và tinh thần giúp em thành công trong
học tập và cuộc sống.
Em chân thành cảm ơn thầy Lê Hoài Nhân đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ để
em hoàn thành tốt luận văn này.
Em cảm ơn Cô Nguyễn Thị Hồng Dân - cố vấn học tập của lớp chúng em, Cô
đã quan tâm, dìu dắt chúng em trong suốt khóa học.
Đồng thời, em chân thành cảm ơn quý thầy cô Khoa Khoa học Tự nhiên, đặc
biệt quý Thầy Cô bộ môn Toán đã truyền đạt cho em những kiến thức nền tảng quan
trọng làm hành trang bước vào cuộc sống.
Sau cùng, em xin cảm ơn các anh chị, các bạn trong và ngoài lớp Toán Ứng
Dụng K35, đã ở bên em, giúp đỡ, trao dồi kiến thức để hoàn thành tốt chương trình
và chia sẻ những vui buồn trong cuộc sống suốt bốn năm qua.
Tuy em cố gắng hết sức để hoàn thành luận văn này nhưng em không thể tránh
khỏi những sai sót, rất mong nhận được sự đóng góp của quý Thầy Cô và các bạn.
ần Thơ, Tháng 5 Năm 2013

LỜI NÓI ĐẦU
Trong cuộc sống, có rất nhiều dạng bài tập đòi hỏi có một phương pháp giải
cụ thể. Cũng như chúng ta đã biết, trong học toán, giữa việc hiểu sâu lý thuyết và
làm thành thạo các bài tập có một mối quan hệ mật thiết. Chính trong quá trình học
lý thuyết rồi làm bài tập, từ những bài tập vận dụng đơn giản lý thuyết đến những
bài tập ngày càng khó hơn, chúng ta dần dần hiểu được lý thuyết thấu đáo hơn, rèn
luyện tư duy khoa học, nắm được phương pháp cơ bản, khả năng vận dụng toán học
vào giả quyết vấn đề, kích thích niềm say mê học tập, say mê tìm tòi của người học.
Vấn đề đặt ra: Dựa vào một bài toán, chúng ta sẽ phân loại như thế nào? Từ
đó, chúng ta có những lựa chọn phương pháp giải phù hợp? Bằng phương pháp phân
tích, nghiên cứu, tổng hợp các tài liệu có liên quan đến bài toán.
Đề tài “Phân loại bài tập của phép tính vi phân của hàm một biến ” giúp em
giải quyết những vấn đề trên với nội dung tóm tắt như sau:
Chương 1 : Lý thuyết về phép tính vi phân của hàm một biến. Trình bày
những kiến thức cơ bản về phép tính vi phân của hàm một biến.
Chương 2: Ứng dụng của đạo hàm. Trình bày một vài ứng dụng của đạo
hàm.
Chương 3 : Phân loại bài tập. Trình bày phương pháp giải, bài tập minh họa
và bài tập có đáp số.
Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Đạo hàm
1.1. Đạo hàm tại một điểm
Định nghĩa 1 Giả sử hàm
( )
y f x=
xác định tại
0
x
và lân cận của
0

x
. Nếu giới hạn
( )
( )
0 0
0
( )
lim lim
0 0
+ ∆ −
∆
′
= =
∆ → ∆ →
∆ ∆
f x x f x
f
f x
x x
x x
tồn tại hữu hạn thì giới hạn đó gọi
là đạo hàm của hàm số
( )
f x
tại điểm
0
x
. Ký hiệu
( )
0

f x
′
hay
( )
0
y x
′
.
Ý nghĩa của đạo hàm
− Ý nghĩa hình học
( )
0
tanf x
α
′
=
là hệ số góc
của tiếp tuyến của đường cong
( )
y f x=
tại điểm có hoành độ
0
x

và tiếp tuyến có phương trình
( ) ( ) ( )
0 0 0
y f x f x x x
′
− = −

.
− Ý nghĩa cơ học
Giả sử một chất điểm chuyển động trên đường thẳng có hoành độ theo thời
gian
t
là
( )
s t
. Khi đó
( ) ( )
0 0
v t s t
′
=
là vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm
0
t
.
− Ý nghĩa chung
( )
0
f x
′
biểu thị tốc độ biến thiên của hàm
f
tại
0
x
.
1.2. Đạo hàm một phía

Định nghĩa 2 Giả sử hàm số
( )
y f x=
xác định tại
0
x
và
( )
00
xxhayxx <∀>∀
.
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn:
( )
( )
0 0
0
( )
lim
0
+
+
+ ∆ −
′
=
∆ →
∆
f x x f x
f x
x
x

hay
( )
( )
0 0
0
( )
lim
0
−
−
+ ∆ −
′
=
∆ →
∆
f x x f x
f x
x
x
thì giới hạn đó gọi là đạo hàm phải (hay đạo hàm trái) của hàm số
( )
f x
tại điểm
0
x
và được ký hiệu tương ứng là
( )
0
xf
+

′
và
( )
0
xf
−
′
.
Định lý 1 Điều kiện cần và đủ để hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm tại
0
x
là hàm số
( )
xf
có đạo hàm trái và phải tại điểm đó và:
( ) ( )
0
0f x f
− +
′ ′
=
.
1.3. Đạo hàm trong khoảng, đoạn
O
α
0
x

M
0
x
y
Định nghĩa Hàm
( )
xf
có đạo hàm trong khoảng
( )
ba,
nếu
( )
xf
có đạo hàm tại
mọi điểm
( )
bax ,∈
.
Hàm
( )
xf
có đạo hàm trên đoạn
[ ]
ba,
nếu
( )
xf
có đạo hàm trong
( )
,a b

, có
đạo hàm phải tại
a
và có đạo hàm trái tại
b
.
1.4. Đạo hàm vô hạn
Định nghĩa 3 Nếu
∞=
∆
∆
→∆
x
f
x 0
lim
thì ta nói hàm
( )
xf
có đạo hàm vô hạn tại
0
x
.
1.5. Quan hệ giữa tính đạo hàm và liên tục
Định lý 2 Nếu hàm số
( )
y f x=
xác định tại
0
x

và lân cận của
0
x
và
( )
f x
có đạo
hàm tại
0
x
thì nó liên tục tại điểm đó.
Chú ý Hàm số
( )
f x
liên tục tại
0
x
thì chưa chắn có đạo hàm tại
0
x
.
2. Các quy tắc tính đạo hàm
2.1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
Định lý 3 Nếu các hàm số
( )
xf
và
( )
xg
có đạo hàm tại

x
thì tổng, hiệu, tích,
thương của chúng cũng có đạo hàm tại điểm
x
và:

( ) ( ) ( ) ( )
f x g x f x g x
′
′ ′
 
± = ±
 
.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x g x f x g x f x g x
′
′ ′
 
= +
 
.

( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
f x f x g x f x g x

g x g x
′
 
′ ′
−
=
 
 
 
.
Hệ quả 1 Ta có thể mở rộng Định lý 3 với
n
hàm số.
Giả sử các hàm số
1 2
, , ,
n
f f f
có đạo hàm tại điểm
x
. Khi đó:
•
( )
1 2 1 2

n n
f f f f f f
′
′ ′ ′
+ + + = + + +

•
( )
cf cf
′
′
=
(
c
: hằng số)
•
2
c cf
f f
′
′
 
−
=
 ÷
 
(với
x
sao cho
( )
0≠xf
,
c
là hằng số).
2.2. Đạo hàm của hàm hợp
Định lý 4 Nếu hàm số

( )
y f x=
có đạo hàm tại
0
x x=
, hàm
( )
h g y=
xác định
trong khoảng chứa điểm
( )
0 0
y f x=
, có đạo hàm tại
0
y y=
thì hàm hợp
( ) ( )
h x g f x
 
=
 
có đạo hàm tại
0
x
và
( ) ( ) ( )
0 0 0
h x h y y x
′ ′ ′

=
hay
( ) ( ) ( )
000
. xfygfg
′′
=
′
Chứng minh
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 0
0 0
.
h y x x h y x h y x x h y x
y x x y x
x y x x y x x
       
+ ∆ − + ∆ −
+ ∆ −
       
=
∆ + ∆ − ∆
Cho qua giới hạn ta được:
( ) ( ) ( )
0 0
h x h y y x

′ ′ ′
=
.
2.3. Đạo hàm của hàm ngược
Định lý 5 Cho hàm số
( )
xfy =
liên tục và tăng nghiêm ngặt trên khoảng
( )
ba,
.
Nếu
( )
xf
có đạo hàm tại
( )
0
,x a b∈
và
( )
0≠
′
xf
thì hàm ngược
( )
y g y=
có đạo
hàm tại
( )
0 0

y f x=
và có
( )
( )
0
0
1
g y
f x
′
=
′
.
2.4. Đạo hàm của hàm
( )
( )
( )
( )
, 0
v x
y u x u x
 
= >
 
Đối với hàm dạng này ta không thể áp dụng công thức đạo hàm của hàm lũy
thừa hoặc hàm số mũ để tính.
Phương pháp:
( )
( )
( )

( )
, 0
v x
y u x u x
 
= >
 
(2.2)
Lấy lôgarith cơ số e của hai vế (2.2) ta được:
( ) ( )
ln lny v x u x
 
=
 
(2.3)
Lấy đạo hàm hai vế thao biến
x
của (2.3)
Ta có
( ) ( )
( ) ( )
( )
ln
v x u x
y
v x u x
y u x
′
′
′

= +
Hay
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
ln
v x
y u x u x v x u x v x u x
−
′ ′ ′
   
= +
   
.
2.5. Đạo hàm của hàm ẩn
2.5.1. Hàm ẩn và hàm hiện
Định nghĩa 4 Một hàm với đối số
x
được gọi là hàm hiện nếu ta cho nó trực tiếp
bằng một biểu thức giải tích chứa
x
. Nói cách khác hàm hiện được cho rằng một
phương trình giữa hàm
y
và đối số
x
, phương trình này được giải ra đối với
y
.

Hàm ẩn
y
với đối số
x
là hàm xác định bởi phương trình liên hệ giữa
x
và
y
và không giải ra đối với
y
2.5.2. Đạo hàm của hàm ẩn
Giả sử
( )
xfy =
là hàm ẩn xác định bởi phương trình
( )
, 0F x y =
. Khi đó ta có
( )
xyxF ∀= ,0,
. (2.4)
Xem vế trái của (2.4) như là hàm hợp, ta lây đạo hàm hai vế theo
x
. Khi đó sẽ xuất
hiện đạo hàm
( )
xy
′
trong phương trình mới. Giải ra đối với
y

′
ta tìm được biểu
thức của đạo hàm.
2.6. Đạo hàm cấp cao
2.6.1. Định nghĩa 5 Giả sử hàm
( )
xf
có đạo hàm trong khoảng
( )
ba,
. Khi đó
( )
xf
′
cũng là hàm của
x
và được gọi là đạo hàm cấp một của hàm
( )
xf
. Nếu
( )
xf
′
có
đạo hàm thì
( )( )
′
′
xf
gọi là đạo hàm cấp hai của

( )
xf
và ký hiệu là
( )
xf
′′
.
Ta cũng dùng một số ký hiệu đạo hàm cấp 2 như sau:
n
n
dx
fd
dx
yd
fy ==
′′
=
′′
2
2
Tương tự ta có thể định nghĩa đạo hàm cấp 3, 4,…. Tổng quát: đạo hàm cấp
n
của
( )
xf
là đạo hàm cấp
( )
1−n
của nó. Ký hiệu:
( ) ( )

n n
n n
n n
d y d f
y f
dx dx
= = =
Ta quy ước:
( )
( ) ( )
0
f x f x=
.
2.6.2. Các phép toán
Định lý 6 Giả sử các hàm
( )
xf
và
( )
xg
có đạo hàm cấp
n
tại
x
. Khi đó:

( ) ( )
( )
( )
( )

( )
( )
n
n n
f x g x f x g x
 
± = ±
 
.

( )
( )
( )
( )
n
n
cf x cf x
 
=
 
.
 Công thức Leibnitz:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
n

n
k n k
k
n
k
f x g x C f x g x
−
=
 
=
 
∑
trong đó
( )
!
! !
n
k
n
C
k n k
=
−
.
3. Vi phân
3.1. Khái niệm vi phân
Định nghĩa 6 Cho hàm
( )
y f x=
xác định tại

0
x
và lân cận của nó. Cho
x
một số
gia
x∆
tùy ý. Nếu tại
0
x
số gia hàm số
( ) ( )
0 0
y f x x f x∆ = + ∆ −
viết được dưới
dạng:
( )
y A x x
α
∆ = ∆ + ∆
trong đó
xA∆
là đại lượng tỉ lệ với
x∆
và
( )
x
α
∆
là vô cùng bé bậc cao hơn

x∆
(nghĩa là
( )
0→∆x
α
khi
0→∆x
) thì ta nói hàm số
( )
xf
khả vi tại
0
x
và lượng
xA∆
gọi là vi phân của hàm số tại điểm
0
x
. Ký hiệu:
dy A x= ∆
( )
xf
gọi là khả vi trên
( )
ba,
nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
3.2. Quan hệ giữa vi phân và đạo hàm
Định lý 7 Điều kiện cần và đủ để hàm số
( )
y f x=

khả vi tại
0
x
là
( )
f x
có đạo
hàm hữu hạn tại điểm đó.
Chứng minh
•
( )
xf
khả vi tại
( )
xxAyx ∆+∆=∆⇒
α
0
Do đó
( )
x
x
A
x
y
∆
∆
+=
∆
∆
α

và
( )
( )






→∆→
∆
∆
′
==
∆
∆
→∆
00lim
0
0
xkhi
x
x
xfA
x
y
x
α
Nghĩa là hàm số có đạo hàm tại
0

x
.
• Giả sử hàm số có đạo hàm
( )
0
xf
′
, nghĩa là
( )
0
0
lim xf
x
y
x
′
=
∆
∆
→∆
( )
α
+
′
=
∆
∆
⇔
0
xf

x
y
trong đó
0
→
α
khi
0
→∆
x
Suy ra
( ) ( )
xxxfy ∆+∆
′
=∆
α
0
trong đó
( )
xxf ∆
′
0
tỷ lệ với
x∆
và
x
∆
α
là một vô
cùng bé bậc cao hơn

x∆
. Theo định nghĩa 6 thì
( )
xf
khả vi tại điểm
0
x
.
Chú ý Nhờ định lý này ta có thể đồng nhất khái niệm khả vi và tồn tại đạo hàm hữu
hạn đối với hàm một biến.
Tuy nhiên, đôi khi ta có thể xem
dx
là biến độc lập mới, gọi là vi phân của
x
,
và biến phụ thuộc mới
dy
, gọi là vi phân của
y
, như là hàm của
x
và
dx
, vì ta có:
( )
dy
dy dx f x
dx
′
= =

3.3. Ý nghĩa hình học của vi phân
Giả sử
( )
y f x=
khả vi tại
0
x
.
Xét đồ thị hàm số tại lân cận điểm
( )
0 0 0
,M x y
.
Gọi
α
là góc tạo bởi tiếp tuyến
0
M T

với đường cong tại
0
M
và
chiều dương trục
Ox
.
Ta có
( )
0 0
tan .dy f x x M M MT

α
′
= ∆ = =
Vậy vi phân của hàm số
( )
xfy =
ứng với
0
x
và
y∆
cho trước bằng số gia tung độ của tiếp tuyến với đường cong.
3.4. Ứng dụng vi phân để tính gần đúng
O
α
0
x
M
0
x
y
M
T
xx ∆+
0
x∆
Giả sử
( )
xf
khả vi tại

0
x
và
( )
0
0
≠
′
xf
thì:
( )
0
y f x x
′
∆ ≈ ∆
hay
( ) ( ) ( )
0 0 0
f x x f x f x x
′
+ ∆ ≈ + ∆
Đó là hai công thức tính gần đúng số gia hàm số và giá trị hàm số tại một điểm cho
trước. Kết quả càng chính xác nếu
x
∆
càng nhỏ.
3.5. Các quy tắc tính vi phân
Giả sử
( ) ( )
xgxf ,

khả vi tại
0
x
ta có:

[ ]
d f g df dg± = ±

( )
.d f g fdg gdf= +

( )
( )
2
0
f gdf fdg
d g x
g g
 
−
= ≠
 ÷
 
3.6. Vi phân cấp cao
Định nghĩa 7 Nếu hàm số
( )
xf
khả vi đến cấp
n
trên

( )
ba,
. Khi đó vi phân
( )
df f x dx
′
=
gọi là vi phân cấp một của hàm
( )
xf
; nó là hàm của
x
với
dx
không
đổi. Nếu
df
khả vi thì vi phân
( )
dfd
gọi là vi phân cấp hai của hàm
( )
xf
, ký hiệu
là
fd
2
. Ta có
( )
2

d f d df=
.
Một cách tổng quát, vi phân của vi phân cấp
1
−
n
của hàm
( )
xf
gọi là vi phân
cấp
n
của
( )
xf
. Ký hiệu
( )
1n n
d f d d f
−
=
.
4. Các định lý giá trị trung bình
4.1. Cực trị địa phương
Định nghĩa 8 Hàm số
( )
y f x=
xác định trong
( )
,a b

và
( )
,c a b∈
. Hàm số
( )
xf
đạt cực đại địa phương (hay cực tiểu địa phương) tại điểm
c
nếu tồn tại một lân cận
của điểm
c
sao cho với mọi
x
thuộc vào lân cận đó ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
f x f c hay f x f c x c< > ≠
Điểm
c
gọi là cực đại (cực tiểu) địa phương của hàm số.
Cực đại và cực tiểu địa phương gọi chung là cực trị địa phương.
Bổ đề Fermat Nếu hàm số
( )
f x
xác định trong khoảng
( )
ba,
và đạt cực đại (hay
cực tiểu) địa phương tại

c
thuộc
( )
,a b
và nếu tồn tại
( )
f c
′
thì
( )
0f c
′
=
.
Chứng minh
Giả sử hàm
f
đạt cực đại địa phương tại điểm
c
thuộc
( )
bac ,∈
cxax <<∀⇒ :
thì
( ) ( )
( ) ( )
0>
−
−
⇒<

cx
cfxf
cfxf
Suy ra khi
cx →
ta có
( )
0≥
′
cf
(1)

bxcx <<∀ :
thì
( ) ( )
( ) ( )
0<
−
−
⇒<
cx
cfxf
cfxf
Suy ra khi
cx →
ta có
( )
0≤
′
cf

(2)
Từ (1) và (2) suy ra
( )
0=
′
cf
.
Chú ý Bổ đề trên cho phép ta hạn chế việc xét cực trị địa phương của hàm số chỉ tại
những điểm hoặc là có đạo hàm cấp một triệt tiêu hoặc là không tồn tại đạo hàm.
Những điểm như vậy gọi là những điểm tới hạn của hàm số. Điểm mà tại đó đạo
hàm cấp một triệt tiêu còn gọi là điểm dừng.
4.2. Các định lý giá trị trung bình
4.2.1. Định lý Rolle
Định lý 9 Giả sử hàm số
f
liên tục trên đoạn
[ ]
,a b
và khả vi trong khoảng
( )
,a b
.
Nếu
( ) ( )
bfaf =
thì tồn tại ít nhất một điểm
( )
,c a b∈
sao cho
( )

0f c
′
=
.
Chứng minh
Vì
f
liên tục trên
[ ]
ba,
nên
f
nhận giá trị lớn nhất
M
và giá trị nhỏ nhất
tại
m
trên đoạn đó.
 Nếu
M m=
thì khi đó hàm
f
không đổi trên
[ ]
ba,
vì
[ ]
,x a b∀ ∈
ta có
( )

m f x M≤ ≤
, mà
( )
m M f x m M= ⇒ = =
. Dó đó
( )
0f x
′
=
tại
( )
,x a b∀ ∈
nên điểm
c
có thể lấy bất kỳ điểm thuộc
( )
,a b
.

mM >
. Vì
f
đạt giá trị
m
và
M
trên
[ ]
ba,
mà

( ) ( )
f a f b=
nên ít nhất một
trong hai giá trị đó của hàm số phải đạt được tại một điểm
c
nào đó thuộc
( )
,a b
.
Khi đó theo bổ đề Fermat thì
( )
0f c
′
=
Ý nghĩa hình học
Giả sử đường cong
( )
y f x=
thỏa mãn các điều kiện của định lý Rolle thì giữa
hai điểm có cùng tung độ của đường cong bao giờ cũng tồn tại điểm mà tiếp tuyến
với đường cong tại điểm đó song song với trục
Ox
.
4.2.3. Định lý Lagrange
Định lý 10 Giả sử hàm số
f
liên tục trên
[ ]
ba,
và khả vi trên

( )
ba,
. Khi đó tồn tại
ít nhất một điểm
( )
bac ,∈
sao cho:
( ) ( )
( )
cf
ab
afbf
′
=
−
−
Chứng minh
Đặt hàm số
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
f b f a
F x f x f a x a
b a
−
= − − −
−
trong đó
( )
xF

là đoạn thẳng
đứng giữa đồ thị hàm số
( )
y f x=
và dây cung
AB
Rõ ràng
( )
xF
liên tục trên đoạn
[ ]
ba,
và khả vi trong khoảng
( )
ba,
vì
( )
xf
có các
tính chất đó.
Ta có
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
f b f a
F a f a f a
b a
−
= − − =
−

( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
f b f a
F b f b f b
b a
−
= − − =
−
( ) ( )
F a F b⇒ =
Vậy
( )
xF
thỏa định lý Rolle, nên tồn tại điểm
( )
,c a b∈
sao cho
( )
0F c
′
=
.
Ta có
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0
f b f a f b f a

F x f x F c f c
b a b a
− −
′ ′ ′ ′
= − ⇒ = − =
− −
Hay
( )
( ) ( )
f b f a
f c
b a
−
′
=
−
Ý nghĩa hình học
Nếu các điều kiện của định lý 11 được thỏa mãn thì trên đường cong
( )
y f x=
luôn tìm được điểm
( )
( )
,M c f c
sao cho tiếp tuyến tại đó song song với dây cung
AB
, trong đó
( )
( )
( )

( )
, , ,A a f a B b f b
.
Hệ quả Nếu hàm số
( )
xf
liên tục trên khoảng
( )
ba,
và
( )
0f x
′
=
tại mọi
x
thuộc
( )
ba,
thì
( )
f c C=
,
C
là hằng số, trên
( )
ba,
Chú ý Định lý Rolle là trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange.
Nếu đặt
0 0

,x a x x b= + ∆ =
thì công thức trong định lý 11 được viết
( ) ( ) ( )
0 0
f x x f x f c x
′
+ ∆ − = ∆
Với
c
nằm giữa
0
x
và
0
x x+ ∆
. Ta có thể viết
0
c x x
θ
= + ∆
với
0 1
θ
< <
Vậy
( ) ( ) ( )
0 0 0
f x x f x f x x x
θ
′

+ ∆ − = + ∆ ∆
hay
( ) ( ) ( )
0 0 0
f x x f x f x x x
θ
′
+ ∆ = + + ∆ ∆
Công thức trên được gọi là công thức số gia giới nội. Công thức này được dùng để
tính gần đúng số gia hàm số hay giá trị của hàm số tại điểm đó.
4.2.2. Định lý Cauchy
Định lý 11 Giả sử các hàm số
f
và
g
liên tục trên
[ ]
,a b
và khả vi trong khoảng
( )
ba,
giả sử
( )
0≠
′
xg
tại mọi
( )
bax ,∈
thì tồn tại ít nhất một điểm

( )
,c a b∈
sao
cho:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
f b f b f c
g b g a g c
′
−
=
′
−
Chứng minh
Theo định lý Rolle ta có
( ) ( )
g b g a≠
.
Thật vậy nếu
( ) ( )
g b g a=
thì tồn tại điểm
( )
bac ,∈
sao cho
( )
0=
′

cg
mâu thuẫn với
giả thuyết là
( ) ( )
baxcg ,,0 ∈∀≠
′
.
Đặt
( ) ( ) ( )
xAgxfx −=
ϕ
với
A
là hằng số.
Vì
( ) ( )
xgxf ,
liên tục trên
[ ]
ba,
, khả vi trong
( )
ba,
nên hàm số
( )
x
ϕ
có các tính chất
đó.
Chọn

A
sao cho
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
aAfafbAgbfba −=−⇔=
ϕϕ
( ) ( )
( ) ( )
agbg
afbf
A
−
−
=⇔
Khi đó theo định lý Rolle, tồn tại ít nhất một điểm
( )
bac ,∈
sao cho:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
cg
cf
agbg
afbf
cg

agbg
afbf
cfc
′
′
=
−
−
⇔=
′
−
−
−
′
=
′
0
ϕ
Chú ý Định lý Lagrange là trường hợp đặc biệt của định lý Cauchy khi
( )
g x x=
.
5. Công thức Taylor
5.1. Công thức Taylor với phần dư Lagrange
Định lý 12 (Định lý Taylor) Nếu
f
khả vi đến cấp
1+n
trong khoảng
∆

chứa
a
thì:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2

2! !
n
n
n
f a f a
f x f a f a x a x a x a R x
n
′′
′
= + − + − + + − +
(*)
,x x x a∀ ∈∆ ≠
. Trong đó sai số
( )
xR
n
gọi là phần dư Lagrange xác định bởi:
( )
( )

( )
( )
( )
1
1
1 !
n
n
n
f c
R x x a
n
+
+
= −
+
, với
c
nằm trong khoảng giữa
x
và
a
.
Chú ý
• Công thức Lagrange là trường hợp đặc biệt của công thức Taylor khi
1
=
n
.
Khi

0
=
a
thì công thức (*) có dạng
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
2
0 0 0
0
1! 2! ! 1 !
n n
n
f f f f c
f x f x x x
n n
+
′ ′′
= + + + + +
+
,
với
c
nằm giữa 0 và
x

.
• Công thức trên còn gọi là công thức Maclaurin, là công thức khai triển Taylor
trong lân cận của điểm
0=x
.
5.2. Công thức Taylor với phần dư Peano
Nếu
( )
xf
liên tục trên đoạn
[ ]
ba,
, khả vi đến cấp
( )
1n −
trong
( )
,a b
và tồn tại
( )
( ) ( )
( )
0 0
,
n
f x x a b∈
. Khi ấy với
( )
,x a b∈
ta có:

( )
( )
( )
( ) ( )
( )
0
0 0
0
!
k
n
n
k
f x
f x x x O x x
k
=
= − + −
∑
Biểu thức
( ) ( )
( )
0
n
n
R x O x x= −
được gọi là phần dư dạng Peano.
5.3. Khai triển Maclaurin của các hàm sơ cấp đơn giản
•
( )

2 3 1
1
2! 3! ! 1 !
n n
x c
x x x x
e x e
n n
+
= + + + + + +
+
với
c
nằm giữ 0 và
x
, và
( )
( )
!1
3
+
<
n
xR
n
.
•
( )
( )
( )

( )
3 5 7 2
1
2
sin
sin 1
3! 5! 7! 2 1 ! 2 !
k
k
k
c k
x x x x
x x x
k k
π
−
+
= − + − + + − +
−
với
c
nằm giữa 0 và
x
, và
( )
( )
!2
2
n
x

xR
n
n
≤
.
•
( )
( )
( )
( )
2 4 6 2
2 1
cos 2 1
2
cos 1 1
2! 4! 6! 2 ! 2 1 !
k
k
k
x c k
x x x x
x x
k k
π
+
 
+ +
 
 
= − + − + + − +

+
với
c
nằm giữa 0 và
x
, và
( )
( )
!12
12
+
≤
+
n
x
xR
n
n
.
•
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 3 4 1
1
1
ln 1 1 1
2 3 4
1 1
n n
n n

n
x x x x x
x x
n
n c
+
−
+
+ = − + − + + − + −
+ +
với
c
nằm giữa 0 và
x
, và
( )
1
1
+
<
n
xR
n
.
•
( )
2 3 1
2 3 1
ln ln ln ln ln
1

1! 2! 3! ! 1 !
n c n
x n n
a a a a a a
a x x x x x
n n
+
+
= + + + + + +
+
với
c
nằm giữa 0 và
x
, và
•
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2 1
1 1 1
1 1
1! 2! 1 !
1 1
1
!
n
n

n
n
x x x x
n
n
c x
n
α
α
α α α α α
α
α α α
−
−
− − − +
+ = + + + + +
−
− − +
+ +
với
c
nằm giữa 0 và
x
.
Chương 2: MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
1.Cực trị của hàm số:
1.1 Cực trị địa phương:
Định lý 13 ( Điều kiện đủ thứ nhất của cực trị)
Giả sử hàm số
( )

xfy =
liên tục trong lân cận của điểm
0
x
, có đạo hàm trong lân
cận đó ( có thể trừ
0
x
). Giả sử
0
x
là điểm tới hạn của hàm số.
Nếu
( )
xf
′
đổi dấu khi
x
qua
0
x
thì hàm số đạt cực trị địa phương tại
0
x
và
0
x
được gọi là cực trị của hàm số.
Nếu
( )

xf
đổi dấu từ (+) sang (-) thì
0
x
là điểm cực đại.
Nếu
( )
xf
đổi dấu từ (-) sang (+) thì
0
x
là điểm cực tiểu.
Định lý 14 ( Điều kiện đủ thứ hai của cực trị)
Giả sử hàm số
( )
xf
có đạo hàm lien tục đến cấp hai trong lân cận điểm
0
x
và
( )
0
0f x
′
=
và
( )
0
0f x
′′

≠
. Khi đó nếu:
+
( )
0
0f x
′′
<
thì
( )
xf
đạt cực đại tại
0
x
.
+
( )
0
0f x
′′
>
thì
( )
xf
đạt cực tiểu tại
0
x
.
Ta có thể mở rộng định lý 14 trong trường hợp sau:
Định lý 15 Giả sử rằng hàm số

( )
y f x=
khả vi đến cấp
( )
1n +
trong lân cận của
điểm
0
x
và
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1
0 0 0 0
0, 0
n n
f x f x f x f x
−
′ ′′
= = = = ≠
. Khi đó:
+ Nếu
n
lẻ thì hàm số không có cực trị tại
0
x
.

+ Nếu
n
chẵn thì hàm số có cực trị tại
0
x
.
Hơn nữa nếu
( )
( )
0
0
n
f x >
thì hàm số có cực tiểu và nếu
( )
( )
0
0
n
f x <
thì hàm số có
cực đại tại
0
x
.
1.2. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Định nghĩa 10 Hàm số
( )
xf
có cực đại tuyệt đối (hay giá trị lớn nhất) tại điểm

0
x
thuộc miền xác định của nó nếu
( ) ( )
0
f x f x≤
với
x∀
thuộc miền xác định của
f
.
Tương tự, hàm số
( )
xf
có cực tiểu tuyệt đối (hay giá trị nhỏ nhất) tại điểm
0
x
thuộc
miền xác định của nó nếu
( ) ( )
0
f x f x≥
với
x
∀
thuộc miền xác định của
f
.
Cực đại và cực tiểu tuyệt đối gọi chung là cực trị tuyệt đối. Ký hiệu giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của

f
trên miền xác định của nó là
max
f
và
min
f
.
Chú ý
 Sự tồn tại giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn đã
được chứng minh qua định lý về tính chất của hàm số liên tục trên đoạn.
 Một hàm số có thể có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại nhiều điểm trên iền
xác định của nó.
 Một hàm có thể không có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất trên miền xác định.
 Một hàm số bị chặn cũng có thể không có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất.
1.3. Sự tồn tại giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên khoảng mở
Định lý 16: Giả sử
f
là hàm liên tục trên khoảng
( )
ba,
và:
( )
lim
x a
f x L
+
→
=
và

( )
lim
x b
f x M
−
→
=
Khi đó:
i) Nếu
( )
f u L>
và
( )
f u M>
với
u
nào đó thuộc
( )
,a b
thì hàm số
f
có một
giá trị lớn nhất trên
( )
,a b
ii) Nếu
( )
f v L<
và
( )

f v M<
với
v
nào đó thuộc
( )
,a b
thì hàm số
f
có một
giá trị nhỏ nhất trên
( )
ba,
.
Chú ý Trong định lý này
a
có thể là
∞−
,
b
có thể là
∞+
. Khi đó
( )
lim
x a
f x
+
→
thay
thế bằng

( )
lim
x
f x
→−∞
và
( )
lim
x b
f x
+
→
có thể thay bằng
( )
lim
x
f x
→+∞
.
2. Xấp xỉ tuyến tính
Định nghĩa 11 Ta gọi xấp xỉ tuyến tính của hàm
f
tại
0
xx =
là hàm
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0
L x f x f x x x
′

= + −
Ước lượng sai số
Định lý 17 (Ước lượng sai số cho xấp xỉ tuyến tính)
Nếu
( )
f x
′′
tồn tại với mọi
t
trong khoảng chứa
x
và
0
x
thì tồn tại điểm
c
giữa
x
và
0
x
sao cho:
( )
( )
( )
2
0
2
n
f c

R x x x
′′
= −
Trường hợp đặc biệt nếu
( )
f t
′′
có dấu không đổi trên khoảng ta xét thì
( )
xR
n
có cùng dấu với nó, nếu
( )
f t k
′′
≤
với
k
là hằng số thì:
( ) ( )
2
0
2
n
k
R x x x≤ −
3. Tốc độ biến thiên
Đạo hàm
( )
0

f x
′
cho ta biết về tốc độ biến thiên của
( )
xf
tại
0
x
. Khi
( )
0
0f x
′
>
thì
( )
xf
đang tăng với tốc độ
( )
0
xf
′
, còn khi
( )
0
0f x
′
<
thì
( )

f x
đang
giảm với tốc độ
( )
0
f x
′
.
4. Vận tốc, gia tốc
4.1. Vận tốc
Giả sử một vật chuyển động dọc theo trục
Ox
, khi đó vị trí của vật là hàm của
thời gian
t
, ký hiệu
( )
txx =
(
( )
tx
cũng chính là phương trình chuyển động của vật).
* Vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian
[ ]
ttt ∆+,
là:
( ) ( )
tb
x t t x t
x

v
t t
+ ∆ −
∆
= =
∆ ∆
* Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm
t
là:
( ) ( )
0
lim
x
x
v t x t
t
∆ →
∆
′
= =
∆
Vận tốc của vật tại thời điểm
t
cho ta biết độ nhanh chậm của chuyển động, đông
thời cho ta biết hướng chuyển động của vật.
+ Nếu
( )
0v t >
thì
( )

x t
tăng: vật đang chuyển động về bên phải.
+ Nếu
( )
0v t <
thì
( )
x t
giảm: vật đang chuyển động về bên trái.
+ Nếu
( )
0v t =
tại
0
t t=
thì tại thời điểm này vật ở trạng thái dừng.
Chú ý Vận tốc bao gồm cả độ nhanh chậm và hướng chuyển động, còn tốc độ là giá
trị tuyệt đối của vận tốc.
4.2. Gia tốc
Tốc độ biến thiên của vận tốc đối với thời gian của vật chuyển động thẳng gọi
là gia tốc của vật. Ký hiệu
( )
a t
.
Ta có
( ) ( ) ( )
a t v t x t
′ ′′
= =
Nếu

( )
0a t >
thì vận tốc tăng. Trong trường hợp này, không nhất thiết tốc độ tăng.
Bảng sau cho ta biết chi tiết về chuyển động:
Vận tốc Gia tốc Hướng chuyển động Tốc độ
+ + Về bên phải tăng
+ - Về bên phải giảm
- + Về bên trái giảm
- - Về bên trái tăng
Nếu
( )
0
0a t =
thì vận tốc và tốc là dừng tại
0
t
.
Nếu
( )
0a t =
trong khoảng thời gian
[ ]
1 2
,t t
thì vận tốc không đổi, nghĩa là bằng
hằng số trong khoảng đó.
Chương 3: PHÂN LOẠI BÀI TẬP
Dạng 1: TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA
1. Phương pháp giải
− Xác định miền xác định.

− Áp dụng định nghĩa của đạo hàm:
− Đạo hàm tại một điểm:
( )
( )
0 0
0
( )
lim lim
0 0
+ ∆ −
∆
′
= =
∆ → ∆ →
∆ ∆
f x x f x
f
f x
x x
x x
hay
( )
( )
0
0
0
0
( )
lim
−

′
=
−
→
f x f x
f x
x x
x x
− Đạo hàm một phía:
( )
( )
0 0
0
( )
lim
0
+
+
+ ∆ −
′
=
∆ →
∆
f x x f x
f x
x
x
( )
( )
0 0

0
( )
lim
0
−
−
+ ∆ −
′
=
∆ →
∆
f x x f x
f x
x
x
2. Bài tập minh họa
1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
1.1.
( ) ( )
0y x x x= >
Giải:
( )
=y x x
xác định trên
[
)
0,∞
.Với mỗi
0x
>

cho một số gia
∆
x
.
Ta có:
( )
( )
( )
0 0
( )
lim lim lim
0 0 0
1
lim lim
0 0
1
2
f x x f x
x x x x x x
x x x
x x
x x x x
x
x x
x x x
x x x x
x
+ ∆ −
+ ∆ − + ∆ −
= =

∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆
∆ + ∆ +
∆
= =
∆ → ∆ →
+ ∆ +
∆ + ∆ +
=
Vậy
( )
1
, 0
2
f x x
x
′
= >
1.2.
( )
=
x
f x a
Giải:
( )
=
x
f x a
xác định trên
¡

. Với mỗi
x ∈¡
cho một số gia
∆x
.
Ta có:
( )
0 0
( )
1
lim lim lim ln
0 0 0
+∆ ∆
+ ∆ −
− −
= = =
∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆ ∆
x x x x
x x
f x x f x
a a a
a a a
x x x
x x x
Vậy
( )
ln
′
=

x
f x a a
1.3.
( )
cotf x x= − −
Giải:
( )
cotf x x x= − −
xác định trên
{ }
\
κπ
¡
. Với mỗi
{ }
\x
κπ
∈¡
cho một số gia
∆x
.
Ta có:
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
0 0
2

( )
cot cot
lim lim
0 0
cot co
lim
0
sin
lim 1
0
sin sin
sin 1
lim 1
0
sin sin
1
1 cot
2
sin
+ ∆ −
− + ∆ − + ∆ − − −
=
∆ → ∆ →
∆ ∆
− + ∆
∆
= −
∆ →
∆ ∆
+ ∆ −

= −
∆ →
∆ + ∆
∆
= −
∆ →
∆ + ∆
= − =
f x x f x
x x x x x x
x x
x x
x x x
x
x
x x
x x x
x
x x x x
x
x
x x x x
x
x
Vậy
( )
2
cotf x x
′
=

1.4.
( )
1
1
x
f x
e
=
+
Giải:
( )
1
1
=
+
x
f x
e
xác định trên
¡
. Với mỗi
x
∈
¡
cho một số gia
∆
x
.
Ta có:
( ) ( )

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
1 1
1 1
1 1
lim lim lim
0 0 0
1 1
1
lim
0
1 1
1 1
lim
0
1 1
1
lim
0
1 1
1
+∆
+∆
+∆
∆
+∆

∆
+∆
+∆
−
+ ∆ −
+ − −
+ +
= =
∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆
∆ + +
−
=
∆ →
∆ + +
−
= −
∆ →
∆
+ +
= − = −
∆ →
+ +
+
x x x
x x x
x x x
x
x
x x x

x
x
x x x
x
x
x x x
x
f x x f x
e e
e e
x x x
x x
x e e
e
e
x
x e e
e
e
x
x
e e
e
e
x
e e
e
Vậy
( )
( )

2
1
′
= −
+
x
x
e
f x
e
1.5.
( )
2
1
1
=
+
f x
x
Giải:
( )
2
1
1
=
+
f x
x
xác định trên
¡

. Với mỗi
x ∈¡
cho một số gia
∆x
.
Ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
0 0
2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
3
2
1 1

1
1
( )
lim lim
0 0
1 1
lim
0
1 1
2
lim
0
1 1 1 1
2
lim
0
1 1 1 1
1
x
x x
f x x f x
x x
x x
x x x
x
x x x x
x x x
x
x x x x x x x
x x

x
x x x x x x
x
x
−
+
+ + ∆
+ ∆ −
=
∆ → ∆ →
∆ ∆
+ − + + ∆
=
∆ →
∆ + + ∆ +
∆ − − ∆
=
∆ →
∆ + + ∆ + + + ∆ + +
− − ∆
=
∆ →
+ + ∆ + + + ∆ + +
= −
+
Vậy
( )
( )
3
2

1
′
= −
+
x
f x
x
1.6.
( )
3 sin=
x
f x x
Giải:
( )
3 sin=
x
f x x
xác định trên
¡
. Với mỗi
x ∈¡
cho một số gia
∆x
.
( )
( )
( )
( )
0 0
( )

3 sin 3 sin
lim lim
0 0
3 sin sin
lim 3
0
3 sin cos sin cos sin
3 lim
0
3 sin cos sin
3 lim
0
3 sin cos
3 lim
0
3 cos 1
3 sin lim 3 co
0
x x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
f x x f x
x x x

x x
x x
x x x
x
x
x x x x x
x
x
x x x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
+∆
∆
∆
∆
∆
∆
+ ∆ −
+ ∆ −
=
∆ → ∆ →
∆ ∆

+ ∆ −
=
∆ →
∆
∆ + ∆ −
=
∆ →
∆
∆ −
=
∆ →
∆
∆
+
∆ →
∆
∆ −
= +
∆ →
∆
2
2
3 sin
s lim
0
3 1 cos 1
3 sin lim cos
0
3 cos lim 3
0

2sin
3 1
2
3 sin lim cos 3 cos
0
sin
3 1
3 sin lim cos 3 cos
0
2
3 sin lim ln3cos sin
0
x
x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x x
x

x
x
x x x
x
x x
x
x
x x x
x
x
x
x
x x
x
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆ →
∆
− ∆ −
= ∆ +
∆ →
∆ ∆
+
∆ →
∆
 

 ÷
−
 
= ∆ − +
∆ →
∆ ∆
∆
 
 ÷
−
 
= ∆ − +
∆
∆ →
∆
∆
= ∆ −
∆ →
( )
3 cos
2
3 ln3sin cos
x
x
x
x x
 
+
 ÷
 

= +
Vậy
( ) ( )
3 ln3sin cos
′
= +
x
f x x x
2. Cho hàm số
( )
1
3
=f x x
và
( )
2
3
=g x x
. Tính
( )
0
′
f
và
( )
0
′
g
.
Giải:

Theo định nghĩa đạo hàm ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
1/3
1/3
1/3
2/3
0 0 0 0
lim lim lim
0 0 0
1
lim lim
0 0
+ ∆ − + ∆ − + ∆ −
= =
∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆ ∆
∆
= = = +∞
∆ → ∆ →
∆
∆
f x x f x f x f x
x x x
x x x
x
x x
x
x

Vậy
( )
f x
có đạo hàm vô hạn tại
0x
=
.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2/3
2/3
2/3
1/3
0 0 0 0
lim lim lim
0 0 0
, 0
1
lim lim
0 0
, 0
g x x g x g x f x
x x x
x x x
x
x
x x
x
x

x
+ ∆ − + ∆ − + ∆ −
= =
∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆ ∆
−

−∞ ∆ →
∆

= = =

+
∆ → ∆ →
∆
∆
+∞ ∆ →


Vậy
( )
g x
không có đạo hàm tại
0x =
.
3. Tìm đạo hàm của hàm số
( )
=y x x x
.
Giải:

Ta có:
( )

− ≤

=

>


2
2
0
0
x nÕu x
y x
x nÕu x
* Với
( )
0,x ∈ +∞
, theo định nghĩa đạo hàm ta có:
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
2
2
lim lim lim
0 0 0

2
2
lim lim
0 0
lim 2 2
0
+ ∆ − + ∆ −
∆
= =
∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆ ∆
∆ + ∆
∆ + ∆
= =
∆ → ∆ →
∆ ∆
= + ∆ =
∆ →
y x x y x x x x
y
x x x
x x x
x x x
x x x
x x
x x
x x x
x
Vì vậy
( )

2
′
=y x x
. (1)
* Với
( )
,0∈ −∞x
tương tự ta được
( )
2
′
= −y x x
. (2)
* Tại
0
=
x
thì:
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
0 0 0
0 lim lim lim 0
0 0 0
−
− − −
+ ∆ − −∆ −
′
= = = −∆ =

∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆
y x y x
y x
x x x
x x
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
0 0 0
0 lim lim lim 0
0 0 0
+
+ + +
+ ∆ − ∆ −
′
= = = ∆ =
∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆
y x y x
y x
x x x
x x
Do đó
( ) ( ) ( )
0 0 0 0
− +
′ ′ ′
= = =y y y

. (3)
Từ (1), (2) và (3) ta được
( )
2
′
=y x x
.
Vậy
( )
=y x 2 x
.
4. Tính
( ) ( ) ( )
1 , 2 , 3
′ ′ ′
f f f
của hàm số
( ) ( ) ( ) ( )
2 3
1 2 3= − − −f x x x x
.
Giải:
Theo định nghĩa của đạo hàm ta có :
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 3
2 3
2 3

1 1 1 2 1 3
1 lim lim
0 0
1 2
lim lim 1 2 8
0 0
+ ∆ − + ∆ − + ∆ −
∆
′
= =
∆ → ∆ →
∆ ∆
∆ ∆ − ∆ −
= = ∆ − ∆ − = −
∆ → ∆ →
∆
x x x
f
f
x x
x x
x x x
x x
x x
x
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 3

2 2 3
2 3
2 1 2 2 2 3
2 lim lim
0 0
1 1
lim
0
lim 1 1 0
0
x x x
f
f
x x
x x
x x x
x
x
x x x
x
+ ∆ − + ∆ − + ∆ −
∆
′
= =
∆ → ∆ →
∆ ∆
∆ ∆ + ∆ −
=
∆ →
∆

= ∆ ∆ + ∆ − =
∆ →
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 3
3 3
2 2
3 1 3 2 3 3
3 lim lim
0 0
2 1
lim
0
lim 2 1 0
0
x x x
f
f
x x
x x
x x x
x
x
x x x
x
+ ∆ − + ∆ − + ∆ −
∆
′

= =
∆ → ∆ →
∆ ∆
∆ ∆ + ∆ +
=
∆ →
∆
= ∆ ∆ + ∆ + =
∆ →
Vậy
( ) ( ) ( )
1 8, 2 0, 3 0
′ ′ ′
= − = =f f f
.
5. Cho hàm số
( ) ( ) ( )
= −f x x a x
ϕ
, trong đó
( )
x
ϕ
liên tục tại a. Tính
( )
′
f a
.
Giải:
Theo định nghĩa của đạo hàm ta có :

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
lim lim
0 0
lim lim
0 0
f a x f a a x a a x
x x
x x
x
a x a x
x x
x
ϕ
ϕ ϕ
+ ∆ − + ∆ − + ∆
=
∆ → ∆ →
∆ ∆
∆
= + ∆ = + ∆
∆ → ∆ →
∆
Vì
( )
x
ϕ
liên tục nên
( ) ( )
f a a

ϕ
=
.
6. Tính đạo hàm của hàm số :
( )
( )
( ) ( )
[ ]
( ) ( )

− ∈ −∞


= − − ∈


− − ∈ +∞


1 ,1
1 2 1,2
2 2,
x nÕu x
y x x x nÕu x
x nÕu x
Giải :
* Với
( )
,1∈ −∞x
, ta có :

( ) ( ) ( )
1 1
lim lim lim 1
0 0 0
+ ∆ − −∆
− − ∆ − +
= = = −
∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆ ∆
f x x f x x
x x x
x x x
x x x
Vì vậy
( )
1
′
= −y x
.
* Tương tự với
( )
1,2∈x
ta được
( )
2 3
′
= −y x x
.
* Tương tự với
( )

2,∈ +∞x
ta được
( )
1
′
=y x
.
Tính đạo hàm tại
1x
=
và
2x
=
. Ta có:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
1 1 1 1 2 1
1 lim lim
0 0
1
lim
0
lim 1 1
0
+
+ +
+
+

+ ∆ − − − ∆ − − − ∆
′
= =
∆ → ∆ →
∆ ∆
−∆ − ∆
=
∆ →
∆
= − − ∆ = −
∆ →
f x f x x
y
x x
x x
x x
x
x
x
x
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
1 lim lim lim 1
0 0 0
−
− − −
+ ∆ − − − ∆ −∆
′
= = = = −

∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆ ∆
f x f x x
y
x x x
x x x
Do đó
( ) ( ) ( )
1 1 1 1
− +
′ ′ ′
= = = −y y y
Tương tự ta có
( ) ( ) ( )
2 2 2 1
− +
′ ′ ′
= = =y y y
Vậy
( )
(
]
( )
[
)

− ∈ −∞


′

= − ∈


∈ +∞


1 ,1
2 3 1,2
1 2,
nÕu x
y x x nÕu x
nÕu x
7. Cho hàm số
( )

≤

=

+ >


2
0
0
x nÕu x x
f x
ax b nÕu x x
. Hãy xác định
a

và
b
để hàm số
( )
f x
liên tục và có đạo hàm hữu hạn tại
0
x x=
.
Giải:
Điều kiện cần
( )
xf
liên tục tại
0
x
nếu
( ) ( )
0 0
lim lim
+ −
=
→ →
f x f x
x x x x
tức là:
( )
0
2
0

lim limax b x
x x
x x
−
+
+ =
→
→
( )
2
0 0
. 1ax b x⇔ + =
Điều kiện đủ:
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
0 0
0 0
0 0
2 2
0 0
0 0
0 0
0 0 0
0 0
0 0

0
0 0
0
lim lim
ax ax
lim lim
lim lim
lim lim
2 . 2
− +
− +
− +
− +
− −
=
→ →
− −
− + − −
⇔ =
→ →
− −
− + −
⇔ =
→ →
− −
⇔ + =
→ →
⇔ =
f x f x f x f x
x x x x

x x x x
x x b b
x x x x
x x x x
x x x x a x x
x x x x
x x x x
x x a
x x x x
x a
Từ (2), (1) suy ra
2 2 2 2
0 0 0 0 0
ax 2= − = − = −b x x x x
Vậy để
( )
xf
liên tục và có đạo hàm hữu hạn tại
0
x
thì
0
2xa =
và
2
0
xb −=
.
8. Tìm các đạo hàm
( )

f x
+
′
và
( )
f x
−
′
tại các điểm gián đoạn
0
x
của hàm
( )
xf
nếu
8.1.
( )
2 3
+
=
x x
f x
x

8.2.
( )
1/
1
1
=

+
x
f x
e

Giải:
8.1.
( )
2 3
+
=
x x
f x
x
0
=
x
là điểm gián đoạn loại 1 của hàm số vì: