về tính chất cofinite của môđun đối đồng điều địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————
HOÀNG MINH GIANG
VỀ TÍNH CHẤT COFINITE CỦA MÔĐUN
ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60.46.05
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HOÀNG
THÁI NGUYÊN - NĂM 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Công trình được hoàn thành tại
Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HOÀNG
Phản biện 1: GS. TSKH. PHÙNG HỒ HẢI
Phản biện 2: PGS. TS. LÊ THANH NHÀN
Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn họp tại
Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên
Ngày 16 tháng 10 năm 2011
Có thể tìm hiểu tại
Thư viện Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mục lục
Lời cảm ơn 2
Mở đầu 3
1 Kiến thức chuẩn bị 6
1.1 Hàm tử mở rộng và hàm tử xoắn . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Biểu diễn thứ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Môđun Artin và đối ngẫu Matlis . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Tính cofinite cho trường hợp iđêan có chiều một 14
2.1 Môđun minimax và môđun cofinite . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Chứng minh Định lý 0.0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Một số hệ quả của Định lý 0.0.1 . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Tính cofinite cho trường hợp iđêan chính và chiều cao nhất 25
3.1 Trường hợp I là iđêan chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Chứng minh Định lý 0.0.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Kết luận 31
Tài liệu tham khảo 32
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành trong khóa 17 đào tạo Thạc sĩ của
trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn của
TS. Nguyễn Văn Hoàng, Trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người đã tạo
cho tôi một phương pháp nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm
việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn
thành luận văn.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trường
Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, những người đã tận tình giảng dạy
và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Sau đại học, Trường Đại
học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên; Trường THPT Cao Lộc, sở GD&ĐT
- Tỉnh Lạng Sơn đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt
thời gian tôi học tập.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã động viên, ủng hộ
tôi cả về vật chất và tinh thần để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học của
mình.
2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mở đầu
Cho R là vành giao hoán Noether, I là iđêan của R, và K là R−môđun.
K được gọi là môđun I−cofinite nếu Supp(K) ⊆ V (I) và Ext
i
R
(R/I, K)
là hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 (xem [7]). Tính cofinite cho các môđun được
giới thiệu bởi Hartshorne trên một bài báo đăng trên tạp chí nổi tiếng
Inventiones Mathematica năm 1970, ở đó ông chứng minh rằng H
j
I
(M) là
I−cofinite với mọi j nếu R là vành chính quy địa phương đầy đủ và I là
iđêan chính hoặc I là iđêan nguyên tố chiều bằng 1. Cụ thể là kết quả sau:
Định lý. (Hartshorne [7]) Nếu R là vành chính quy địa phương đầy đủ,
M là R−môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của R thỏa mãn một trong hai
điều kiện sau
(a) I là iđêan nguyên tố p sao cho dim R/p = 1;
(b) I là iđêan chính khác không.
thì H
j
I
(M) là môđun I−cofinite với mọi j.
Một khoảng thời gian sau đó, kết quả (a) của Hartshorne đã được mở
rộng tới một số trường hợp vành R giao hoán địa phương Noether tổng
quát hơn: I không nhất thiết là iđêan nguyên tố, nhưng vẫn có điều kiện
dim R/I = 1. C. Huneke-J. Koh [8] chứng minh kết quả này khi R là miền
nguyên Gorenstein địa phương đầy đủ. Tiếp đến, Delfino [4] đã mở rộng
kết quả tới miền nguyên địa phương đầy đủ chứa một trường. Đến năm

1997, Delfino-T. Marley [5], và K. Yoshida [19] đã chứng minh được các
kết quả đó vẫn đúng cho iđêan I có dim R/I = 1 trong vành địa phương
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Noether tùy ý. Gần đây nhất, năm 2009, K. Bahmanpour-N. Naghipour
[2] đã mở rộng kết quả tới trường hợp R là vành giao hoán Noether (không
nhất thiết địa phương). Cụ thể là định lý sau đây:
Định lý 0.0.1. ([2, Định lý 2.6]) Giả sử R là vành giao hoán Noether,
I là iđêan của R, và M là R−môđun hữu hạn sinh. Cho t là số nguyên
không âm sao cho dim Supp(H
i
I
(M)) ≤ 1 với mọi i < t. Khi đó các phát
biểu sau là đúng:
(i) R−môđun H
i
I
(M) là I−cofinite với mọi i < t;
(ii) R−môđun Hom
R
(R/I, H
t
I
(M)) là hữu hạn sinh.
Bên cạnh những bài toán mở rộng kết quả (a) của Hartshorne như
đã nêu trên, người ta cũng quan tâm đến việc mở rộng kết quả (b) của
Hartshorne. Năm 1998, K. Kawasaki [9] đã chứng minh được kết quả sau:
Định lý 0.0.2. [9, Định lý 1] Cho R là vành giao hoán Noether, I = Rx là
iđêan chính, và M là R−môđun hữu hạn sinh. Khi đó Ext
i

R
(R/I, H
j
I
(M))
là R−môđun hữu hạn sinh với mọi i, j.
Lưu ý rằng trong trường hợp (R, m) là vành giao hoán địa phương
Noether, người ta thấy rằng một môđun là m−cofinite nếu và chỉ nếu nó
là môđun Artin. Mặt khác, L. Melkersson [12] đã chứng minh được H
n
I
(M)
là môđun Artin với mọi iđêan I và M là R−môđun hữu hạn sinh chiều n.
Từ đó, như hệ quả hiển nhiên, ta suy ra rằng H
n
I
(M) là môđun m−cofinite.
Sau đó, Delfino-Marley [5] chứng minh được kết quả mạnh hơn như sau:
Định lý 0.0.3. ([5, Định lý 3]) Cho (R, m) là vành giao hoán địa phương
Noether, I là iđêan của R và M là R−môđun hữu hạn sinh chiều n. Khi
đó H
n
I
(M) là I−cofinite.
Mục đích của luận văn này là trình bày chi tiết lại các chứng minh của
các Định lý 0.0.1, 0.0.2, 0.0.3 như đã nêu trên, các chứng minh này dựa
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
trên bốn bài báo chính là [1], [2], [5], [9]. Luận văn được chia làm 3 chương.
Chương 1 trình bày những kiến thức cơ sở cần thiết được dùng để chứng

minh các kết quả ở các chương sau. Một số kiến thức được trình bày ở đây
là: môđun Ext, biểu diễn thứ cấp của môđun Artin, môđun đối đồng điều
địa phương, Định lý triệt tiêu Grothendieck, đối ngẫu Matlis. Chương 2
dành để trình bày chứng minh chi tiết cho Định lý 0.0.1. Bên cạnh đó một
số hệ quả quan trọng của Định lý 0.0.1 cũng được trình bày. Chương 3 sẽ
chứng minh chi tiết các Định lý 0.0.2 và 0.0.3.
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ bản cần thiết để sử dụng trong
các chương về sau. Một số kiến thức được trình bày ở đây là: môđun Ext,
biểu diễn thứ cấp của môđun Artin, môđun đối đồng điều địa phương, đối
ngẫu Matlis, Định lý triệt tiêu Grothendieck.
1.1 Hàm tử mở rộng và hàm tử xoắn
Các kiến thức của mục này được trích theo cuốn sách [15].
Định nghĩa 1.1.1. Cho M, N là các R−môđun và n ≥ 0 là một số tự
nhiên. Môđun dẫn xuất phải thứ n của hàm tử Hom(−, N) ứng với M được
gọi là môđun mở rộng thứ n của M và N và được kí hiệu là Ext
n
R
(M, N).
Cụ thể, để xây dựng Ext
n
R
(M, N) ta lấy một giải xạ ảnh của M
. . . −→ P
2
u
2

−→ P
1
u
1
−→ P
0

−→ M −→ 0.
Tác động hàm tử Hom(−, N) vào dãy khớp trên ta có đối phức
0 −→ Hom(P
0
, N)
u
∗
1
−→ Hom(P
1
, N)
u
∗
2
−→ Hom(P
2
, N) −→ . . . .
Khi đó Ext
n
R
(M, N) = Ker u
∗
n+1

/ Im u
∗
n
là môđun đối đồng điều thứ n của
đối phức trên (môđun này không phụ thuộc vào việc chọn giải xạ ảnh của
M).
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lưu ý rằng người ta cũng có thể xây dựng Ext
n
R
(M, N) như sau: lấy
giải nội xạ của N
0 →N
α
−→ E
0
v
0
−→ E
1
v
1
−→
v
n−1
−−→ E
n
v
n

−→
Tác động hàm tử Hom(M, −) vào dãy trên ta được phức
0 →Hom(M, E
0
)
v
0
∗
−→ Hom(M, E
1
)
v
1
∗
−→ Hom(M, E
2
) →

v
n−1
∗
−−→ Hom(M, E
n
)
v
n
∗
−→
Khi đó Ext
n

R
(M, N) = Ker v
n
∗
/ Im v
n−1
∗
.
Định nghĩa 1.1.2. Cho M, N là các R-môđun và n ≥ 0 là một số tự
nhiên. Môđun dẫn xuất trái thứ n của hàm tử −⊗N ứng với M được gọi
là môđun xoắn thứ n của M và N và được kí hiệu là Tor
R
n
(M, N). Cụ thể,
để xây dựng Tor
n
R
ta lấy một dải xạ ảnh của M
. . . −→ P
2
v
2
−→ P
1
v
1
−→ P
0

−→ M −→ 0.

Tác động hàm tử − ⊗N vào dãy khớp trên ta có phức
. . . −→ P
2
⊗ N
v
∗
2
−→ P
1
⊗ N
v
∗
1
−→ P
0
⊗ N −→ 0.
Khi đó Tor
R
n
(M, N) = Ker v
∗
n
/ Im v
∗
n+1
là môđun đồng điều thứ n của
phức trên (môđun này không phụ thuộc vào việc chọn giải xạ ảnh của M).
Sau đây là một số tính chất cơ sở của các môđun Ext và Tor được dùng
trong luận văn.
Mệnh đề 1.1.3.

(a) Ext
0
R
(M, N)
∼
=
Hom(M, N) và Tor
R
0
(M, N)
∼
=
M ⊗ N.
(b) Nếu M hoặc N là xạ ảnh thì Tor
R
n
(M, N) = 0 với mọi n ≥ 1.
(c) Nếu M là xạ ảnh hoặc N là nội xạ thì Ext
n
R
(M, N) = 0 với mọi n ≥ 1.
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(d) Nếu 0 −→ N

−→ N −→ N

−→ 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các
đồng cấu nối Ext
n

R
(M, N

) −→ Ext
n+1
R
(M, N

) với mỗi n ≥ 0 sao cho ta
có dãy khớp dài
0 −→ Hom(M, N

) −→ Hom(M, N) −→ Hom(M, N

) −→ Ext
1
R
(M, N

)
−→ Ext
1
R
(M, N) −→ Ext
1
R
(M, N

) −→ Ext
2

R
(M, N

) −→ . . .
(e) Nếu 0 −→ M

−→ M −→ M

−→ 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các
đồng cấu nối Ext
n
R
(M

, N) −→ Ext
n+1
R
(M

, N) với mỗi n ≥ 0 sao cho ta
có dãy khớp dài
0 −→ Hom(M

, N) −→ Hom(M, N) −→ Hom(M

, N) −→ Ext
1
R
(M


, N)
−→ Ext
1
R
(M, N) −→ Ext
1
R
(M

, N) −→ Ext
2
R
(M

, N) −→ . . .
Hệ quả 1.1.4. Nếu M, N hữu hạn sinh thì Ext
n
R
(M, N) và Tor
R
n
(M, N)
là hữu hạn sinh với mọi n.
Kết quả dưới đây cho ta tính chất giao hoán giữa môđun Ext, Tor với
hàm tử địa phương hóa và sự tương đương giữa hai hàm tử Ext và Tor
trên vành địa phương đầy đủ.
Mệnh đề 1.1.5. Nếu S là tập đóng nhân của R thì ta có các đẳng cấu
S
−1
(Ext

n
R
(M, N))
∼
=
Ext
n
S
−1
R
(S
−1
M, S
−1
N),
S
−1
(Tor
R
n
(M, N))
∼
=
Tor
S
−1
R
n
(S
−1

M, S
−1
N),
trong đó S
−1
là hàm tử địa phương hóa. Đặc biệt,
(Ext
n
R
(M, N))
p
∼
=
Ext
n
R
p
(M
p
, N
p
),
(Tor
R
n
(M, N))
p
∼
=
Tor

R
p
n
(M
p
, N
p
)
với mọi iđêan nguyên tố p của R.
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1.2 Biểu diễn thứ cấp
Lý thuyết biểu diễn thứ cấp được đưa ra bởi I. G. Macdonald [10] được
xem như là đối ngẫu với lý thuyết phân tích nguyên sơ quen biết cho các
môđun Noether.
Các kiến thức sau đây được trích dẫn từ sách [11] và [3].
Định nghĩa 1.2.1. (i) Một R−môđun M được gọi là thứ cấp nếu M = 0
và nếu với mọi x ∈ R, phép nhân bởi x trên M là toàn cấu hoặc luỹ linh.
Trong trường hợp này Rad(Ann
R
(M)) là iđêan nguyên tố, chẳng hạn là
p, và ta gọi M là p−thứ cấp.
(ii) Cho M là R-môđun. Một biểu diễn thứ cấp của M là một biểu diễn
M = N
1
+ . . . + N
n
thành tổng hữu hạn các môđun con p
i
−thứ cấp N

i
.
Nếu M = 0 hoặc M có một biểu diễn thứ cấp thì ta nói M là biểu diễn
được. Biểu diễn thứ cấp này được gọi là tối thiểu nếu các iđêan nguyên
tố p
i
là đôi một khác nhau và không có hạng tử N
i
nào là thừa, với mọi
i = 1, . . . , n.
Dễ thấy rằng mọi biểu diễn thứ cấp của M đều có thể đưa được về
dạng tối thiểu. Khi đó tập hợp {p
1
, . . . , p
n
} là độc lập với việc chọn biểu
diễn thứ cấp tối thiểu của M và được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn
kết của M, kí hiệu bởi Att
R
(M). Các hạng tử N
i
, i = 1, . . . , n, được gọi
là các thành phần thứ cấp của M.
Mệnh đề 1.2.2. Nếu R−môđun A là biểu diễn được thì tập Att
R
(A) chỉ
phụ thuộc vào A mà không phụ thuộc vào việc chọn biểu diễn thứ cấp tối
thiểu của A. Cho p là iđêan nguyên tố của R, khi đó các khẳng định sau
là tương đương:
(a) p ∈ Att

R
(A).
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(b) A có môđun thương là p−thứ cấp.
(c) A có môđun thương Q sao cho Rad(Q) = p.
(d) A có môđun thương Q sao cho p là phần tử tối thiểu trong tập các
iđêan nguyên tố chứa Ann
R
(Q).
(e) A có môđun thương Q sao cho Ann
R
(Q) = p.
Mệnh đề 1.2.3.
(a) Cho R là vành giao hoán Noether, M là một R−môđun biểu diễn được.
Khi đó M = 0 khi và chỉ khi Att
R
(M) = ∅. Trong trường hợp này tập các
iđêan nguyên tố tối thiểu của R chứa Ann(M) chính là tập các phần tử
tối thiểu của Att
R
(M).
(b) Cho 0 −→ M

−→ M −→ M

−→ 0 là dãy khớp các R−môđun biểu
diễn được. Khi đó ta có
Att
R

(M

) ⊆ Att
R
(M) ⊆ Att
R
(M

) ∪Att
R
(M

).
Mệnh đề 1.2.4. ([10, Định lý 5.3]) Cho A là một R−môđun Artin. Khi
đó A là môđun biểu diễn được và Att
R
(A) là tập hữu hạn.
Mệnh đề 1.2.5. ([3, Mệnh đề 7.2.11 ]) Cho A là R−môđun Artin và
x ∈ R. Khi đó
(i) xA = A nếu và chỉ nếu x ∈ R \

p∈Att(A)
p; và
(ii)

Ann(A) =

p∈Att(A)
p.
1.3 Đối đồng điều địa phương

Định nghĩa 1.3.1.
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(a) Cho R là một vành giao hoán Noether, I là iđêan của R, M là
R−môđun. Hàm tử I−xoắn Γ
I
được xác định như sau
Γ
I
(M) =

n≥0
(0 : I
n
)
M
.
Lúc đó Γ
I
là hàm tử cộng tính hiệp biến khớp trái. Nếu Γ
I
(M) = M thì ta
nói M là môđun I−xoắn. Nếu Γ
I
(M) = 0 thì ta nói M là môđun không
I−xoắn.
(b) Cho R là một vành giao hoán Noether, I là iđêan của R, M là
R−môđun. Khi đó hàm tử dẫn xuất phải thứ i của I−xoắn Γ
I
là R

i
Γ
I
được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i đối với iđêan I, kí hiệu
là H
i
I
(−). Môđun R
i
Γ
I
(M) gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i
đối với iđêan I, kí hiệu là H
i
I
(M).
Bổ đề 1.3.2. Cho R là vành giao hoán Noether, I là iđêan của R, M là
R−môđun. Khi đó
(a) H
0
I
(M) = Γ
I
(M).
(b) Nếu M là I−xoắn thì H
i
I
(M) = 0 với mọi i > 0;
(c) H
i

I
(M) = H
i
I
(M) với mọi i > 0, trong đó M = M/Γ
I
(M).
Mệnh đề 1.3.3. Giả sử R là vành giao hoán Noether, I là iđêan của R,
và 0 →M

→M →M

→0 là dãy khớp các R −môđun. Khi đó ta có dãy
khớp dài các môđun đối đồng điều địa phương
0 →Γ
I
(M

) →Γ
I
(M) →Γ
I
(M

) →H
1
I
(M

) →

→H
1
I
(M) →H
1
I
(M

) →H
2
I
(M

) →
→H
2
I
(M) →H
2
I
(M

) →H
3
I
(M

) →
. . .
→H

i
I
(M) →H
i
I
(M

) →H
i+1
I
(M

) →. . . .
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Tiếp theo ta xét thêm một số tính chất quan trọng của môđun đối đồng
điều địa phương.
Mệnh đề 1.3.4. ([3, Định lý 7.1.3]) Cho (R, m) là vành giao hoán địa
phương Noether, M là R−môđun hữu hạn sinh. Khi đó H
i
m
(M) là môđun
Artin với mọi i.
Định lý 1.3.5. (Định lý triệt tiêu Grothendieck) Cho R là vành giao hoán
Noether, I là iđêan của R và M là R−môđun. Khi đó H
i
I
(M) = 0 với mọi
i > dim(M).
Định lý 1.3.6. ([3, Định lý 3.3.1]) Cho I là iđêan của vành giao hoán

Noether R, M là R−môđun. Nếu I được sinh bởi t phần tử thì H
t
I
(M) = 0
với mọi i > t.
Mệnh đề 1.3.7. ([3, Định lý 7.1.6] ) Cho (R, m) là vành giao hoán địa
phương Noether, I là iđêan của R, M là R−môđun hữu hạn sinh khác 0
có chiều bằng n. Khi đó H
n
I
(M) là môđun Artin.
Cho I là iđêan của vành giao hoán Noether R và M là R−môđun. Ta
đặt D
I
(M) = lim
←−
n
Hom
R
(I
n
, M), và gọi là I−biến đổi của M. Khi đó ta
có tính chất sau.
Mệnh đề 1.3.8. ([3, Định lý 2.2.4]) Cho I là iđêan của vành giao hoán
Noether R, và M là R−môđun. Khi đó ta có dãy khớp
0 →Γ
I
(M) →K →D
I
(M) →H

1
I
(M) →0.
1.4 Môđun Artin và đối ngẫu Matlis
Định lý sau đây của Melkersson cho ta một tiêu chuẩn để kiểm tra một
môđun xoắn là môđun Artin.
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Định lý 1.4.1. ([3, Định lý 7.1.2]) Cho (R, m) là vành giao hoán địa
phương Noether, K là R−môđun. Khi đó K là môđun Artin khi và chỉ
khi tồn tại iđêan I của R sao cho K là I−xoắn và (0 : I)
K
là R−môđun
Artin.
Cho (R, m) là vành địa phương, đầy đủ. Đặt E = E(R/m) là bao nội
xạ của trường thặng dư R/m. Kí hiệu D(−) = Hom
R
(−, E) là hàm tử từ
phạm trù các R−môđun và R−đồng cấu vào chính nó. Với mỗi R−môđun
K, ta gọi D(K) là đối ngẫu Matlis của K. Ta kí hiệu

R và

K là đầy đủ
m−adic của R và K đối với tôpô m−adic. Một vành R gọi là đầy đủ nếu

R = R. Khi đó ta có kết quả sau.
Mệnh đề 1.4.2. ([3, Định lý 10.2.12]) Giả sử (R, m) là vành giao hoán
địa phương Noether đầy đủ. Khi đó
(a) Nếu N là R−môđun Noether thì D(N) là R−môđun Artin.

(b) Nếu A là R−môđun Artin thì D(A) là R−môđun Noether.
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 2
Tính cofinite cho trường hợp iđêan
có chiều một
Trong cả chương này ta luôn giả thiết R là vành giao hoán Noether
(không nhất thiết địa phương).
2.1 Môđun minimax và môđun cofinite
Trước hết ta nhắc lại khái niệm môđun I−cofinite do Hartshorne [7]
định nghĩa.
Định nghĩa 2.1.1. Một R−môđun K được gọi là môđun I−cofinite nếu
thỏa mãn các điều kiện Supp(K) ⊆ V (I) và Ext
i
R
(R/I, K) là R−môđun
hữu hạn sinh với mọi i.
Mặt khác, trong [20], H. Z

oschinger đã định nghĩa một lớp môđun
minimax như sau.
Định nghĩa 2.1.2. Một R−môđun K gọi là môđun minimax nếu tồn tại
một môđun con hữu hạn sinh L của K sao cho K/L là môđun Artin.
Ta thấy rằng lớp các môđun minimax chứa đựng tất cả các môđun hữu
hạn sinh và tất cả các môđun Artin. Tiếp theo ta sẽ nghiên cứu một số
tính chất của môđun minimax và môđun cofinite (trong [13] và [1]).
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Bổ đề 2.1.3. ([1, Bổ đề 2.1]) Giả sử
0 →N


→N →N

→0
là dãy khớp của các R−môđun. Khi đó N là minimax nếu và chỉ nếu N

và N

cùng là minimax.
Chứng minh. Ta có thể giả sử N

là môđun con của N và N

= N/N

. Nếu
N là minimax thì từ định nghĩa ta có thể suy ra ngay rằng N

và N/N

là
minimax. Ta giả sử N

và N/N

là minimax. Khi đó tồn tại môđun con T
của N

sao cho N


/T là Artin. Đặt M

= N

/T và M = N/T . Ta có dãy
khớp
0 →M

→M →M/M

→0,
trong đó M

là Artin và M/M

là minimax (lưu ý rằng M/M

∼
=
N/N

).
Bây giờ, vì M/M

là minimax nên từ định nghĩa suy ra tồn tại môđun con
hữu hạn sinh L/M

sao cho M/L là Artin. Vì L/M

hữu hạn sinh nên tồn

tại môđun con hữu hạn sinh K của L sao cho L = M

+ K (thật vậy, nếu
không có K như vậy, thì trong L có dãy tăng vô hạn các môđun con có
dạng M

⊂ M

+ Rx
1
⊂ M

+ Rx
1
+ Rx
2
⊂ ; suy ra trong L/M

có
dãy tăng vô hạn các môđun con, điều này mâu thuẫn với tính Noether của
L/M

). Khi đó vì L/K
∼
=
M

/K ∩ M

ta suy ra rằng L/K là Artin. Do

đó từ dãy khớp
0 →L/K →M/K →M/L →0
kéo theo rằng M/K là Artin. Đặc biệt từ đó suy ra M là minimax. Vì
M = N/T và K là môđun con của M, nên tồn tại môđun con S của N
sao cho K = S/T . Vì T và K là hữu hạn sinh, nên S hữu hạn sinh. Như
vậy
N/S
∼
=
(N/T )/(S/T ) = M/K
là Artin. Từ đó suy ra N là minimax.
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Bổ đề 2.1.4. ([13, Mệnh đề 4.3, Hệ quả 4.4])
(i) Cho K là R−môđun minimax có Supp(K) ⊆ V (I). Khi đó K là
I−cofinite nếu và chỉ nếu (0 : I)
K
là hữu hạn sinh.
(ii) Lớp các môđun I−cofinite minimax là đóng dưới phép lấy môđun con,
môđun thương, và môđun mở rộng.
Bổ đề 2.1.5. ([1, Bổ đề 2.2]) Cho R là vành giao hoán Noether, M là
R−môđun hữu hạn sinh khác không và I là iđêan của R. Giả sử t là số
nguyên không âm sao cho H
i
I
(M) là I−cofinite minimax với mọi i < t.
Khi đó R−môđun Hom
R
(R/I, H
t

I
(M)) là hữu hạn sinh.
Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo t. Khi t = 0, kết quả là rõ ràng.
Giả sử t > 0 và kết quả đã được chứng minh cho các giá trị nhỏ hơn t.
Khi đó vì H
i
I
(M)
∼
=
H
i
I
(M/Γ
I
(M)) với mọi i > 0, nên ta có thể giả thiết
M là môđun không I−xoắn, tức là có Γ
I
(M) = 0. Khi đó ta có thể chọn
x ∈ I là phần tử M−chính quy. Lúc đó dãy khớp ngắn
0 →M
x
−→ M →M/xM →0
cảm sinh dãy khớp dài
. . . →H
i
I
(M)
x
−→ H

i
I
(M) →H
i
I
(M/xM) →H
i+1
I
(M)
x
−→ . . . .
Do đó ta suy ra dãy sau
0 →H
i−1
I
(M)/xH
i−1
I
(M) →H
i−1
I
(M/xM) →(0 : x)
H
i
I
(M)
→0
là khớp. Từ đó theo giả thiết ta suy ra H
i−1
I

(M/xM) là I−cofinite mini-
max với mọi i < t. Do đó theo giả thiết quy nạp ta thu được
Hom
R
(R/I, H
t−1
I
(M/xM))
là hữu hạn sinh. Mặt khác, dãy khớp
0 →H
t−1
I
(M)/xH
t−1
I
(M) →H
t−1
I
(M/xM) →(0 : x)
H
t
I
(M)
→0
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
cảm sinh dãy khớp sau
Hom
R
(R/I, H

t−1
I
(M/xM)) →Hom
R
(R/I, (0 : x)
H
t
I
(M)
)
→Ext
1
R
(R/I, H
t−1
I
(M)/xH
t−1
I
(M)).
Lưu ý rằng H
t−1
I
(M)/xH
t−1
I
(M) là I−cofinite minimax (theo Bổ đề 2.1.4).
Do đó từ dãy khớp trên và Bổ đề 2.1.4, ta suy ra Hom
R
(R/I, (0 : x)

H
t
I
(M)
)
hữu hạn sinh. Bây giờ, kết hợp với x ∈ I nên ta suy ra
Hom
R
(R/I, (0 : x)
H
t
I
(M)
)
∼
=
Hom
R
(R/I, H
t
I
(M)),
do đó Hom
R
(R/I, H
t
I
(M)) hữu hạn sinh. Ta có điều cần chứng minh.
Bổ đề 2.1.6. Cho R là vành giao hoán Noether, M là R−môđun hữu hạn
sinh khác không và I là iđêan của R. Giả sử t là số nguyên không âm sao

cho H
i
I
(M) là minimax với mọi i < t. Khi đó H
0
I
(M), H
1
I
(M), , H
t−1
I
(M)
là các R−môđun I-cofinite và Hom
R
(R/I, H
t
I
(M)) là R −môđun hữu hạn
sinh.
Chứng minh. Trước hết ta chứng tỏ rằng H
i
I
(M) là I−cofinite với mọi
i < t. Ta chứng minh bằng quy nạp theo i. Trường hợp i = 0 là hiển
nhiên. Giả sử i > 0, và kết quả đã đúng cho các giá trị nhỏ hơn i. Theo giả
thiết quy nạp H
j
I
(M) là I−cofinite với mọi j < i. Do đó theo Bổ đề 2.1.5

và giả thiết ta suy ra Hom
R
(R/I, H
i
I
(M)) là hữu hạn sinh. Lưu ý rằng
H
i
I
(M) là môđun minimax. Do đó áp dụng Bổ đề 2.1.4 ta suy ra H
i
I
(M)
là I−cofinite. Như vậy ta đã chứng tỏ được H
i
I
(M) là I−cofinite minimax
với mọi i < t. Cuối cùng theo Bổ đề 2.1.5, ta suy ra Hom
R
(R/I, H
t
I
(M))
là R−môđun hữu hạn sinh.
Mệnh đề 2.1.7. Cho R là vành giao hoán Noether, M là R−môđun hữu
hạn sinh khác không và I là iđêan của R. Giả sử t là số nguyên dương
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
sao cho Supp(H
i

I
(M)) ⊆ Max(R) với mọi i < t. Khi đó H
i
I
(M) là các
R-môđun Artin với mọi i < t.
Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo t. Nếu t = 1 thì H
0
I
(M)
là môđun hữu hạn sinh có Supp(H
0
I
(M)) ⊆ Max(R) nên H
0
I
(M) là
R−môđun Artin. Giả sử t ≥ 2 và mệnh đề đã được chứng minh cho
t −1. Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với t. Vì Supp(H
i
I
(M)) ⊆ Max(R)
với mọi i < t − 1, nên từ giả thiết quy nạp ta suy ra rằng H
i
I
(M) là các
R-môđun Artin với mọi i < t − 1. Vì lớp các môđun minimax chứa các
môđun Artin, nên theo Bổ đề 2.1.6 ta suy ra Hom
R
(R/I, H

t−1
I
(M)) là
R-môđun hữu hạn sinh. Mặt khác, lại vì
Supp(Hom
R
(R/I, H
t−1
I
(M)))) ⊆ Max(R)
nên Hom
R
(R/I, H
t−1
I
(M))) là môđun Artin. Lưu ý rằng H
t−1
I
(M) là
môđun I−xoắn. Do đó, từ kết [3, Định lý 7.1.2], ta suy ra H
t−1
I
(M) là
môđun Artin.
Hệ quả 2.1.8. Với giả thiết như Mệnh đề 2.1.7. Khi đó Hom
R
(R/I, H
t
I
(M))

là hữu hạn sinh, và H
0
I
(M), H
1
I
(M), , H
t−1
I
(M) là các R-môđun I-cofinite.
Chứng minh. Vì lớp các môđun minimax chứa các môđun Artin nên theo
Mệnh đề 2.1.7 và Bổ đề 2.1.6 ta có điều phải chứng minh.
Bổ đề 2.1.9. Cho (R, m) là vành địa phương Noether và A là R-môđun
Artin. Giả sử x là phần tử thuộc m thoả mãn V (Rx) ∩ Att
R
(A) ⊆ {m}.
Khi đó A/xA là R-môđun có độ dài hữu hạn.
Chứng minh. Giả sử Att
R
(A)\{m} = {p
1
, p
2
, . . . , p
n
}. Nếu m /∈ Att
R
(A)
thì x /∈ p
i

với mọi i = 1, . . . , n. Do đó xA = A suy ra A/xA = 0. Giả sử
m ∈ Att
R
(A), và A = T + S
1
+ S
2
+ + S
n
là một biểu diễn thứ cấp tối
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
thiểu của A, với T là m−thứ cấp và S
i
là p
i
−thứ cấp với mọi i = 1, 2, , n.
Vì x /∈ p
i
với mọi i = 1, 2, , n, nên ta suy ra rằng
xA = xT + S
1
+ S
2
+ + S
n
.
Do đó A/xA là một ảnh đồng cấu của T . Vì T có độ dài hữu hạn, nên
A/xA có độ dài hữu hạn. Ta có điều phải chứng minh.
Bổ đề 2.1.10. Cho (R, m) là vành địa phương, A là R−môđun Artin và

I là iđêan của R thoả mãn Hom
R
(R/I, A) là R-môđun hữu hạn sinh. Khi
đó V (I) ∩Att
R
(A) ⊆ V (m).
Chứng minh. Lấy p ∈ V (I) ∩Att
R
(A). Giả sử
A = T + S
1
+ S
2
+ + S
n
là một biểu diễn thứ cấp cực tiểu của A, với T là p−thứ cấp và S
i
là
p
i
−thứ cấp với mọi i = 1, 2, n. Vì T là p−thứ cấp, nên tồn tại số nguyên
k thoả mãn p
k
T = 0. Do vậy I
k
T = 0 (lưu ý rằng I ⊆ p). Mặt khác,
vì Hom
R
(R/I, A) là hữu hạn sinh nên Hom
R

(R/I
k
, A) cũng là R-môđun
hữu hạn sinh. Do đó, vì T ⊆ Hom
R
(R/I
k
, A) suy ra T có độ dài hữu hạn.
Vì thế p = m. Do đó V (I) ∩ Att
R
(A) ⊆ V (m).
2.2 Chứng minh Định lý 0.0.1
Mục này dành để chứng minh kết quả chính thứ nhất trong luận văn.
Để tiện lợi cho việc theo dõi, ta phát biểu lại định lý đó như sau.
Định lý 2.2.1. Giả sử R là vành giao hoán Noether, I là iđêan của R,
và M là R−môđun hữu hạn sinh. Cho t là số nguyên không âm sao cho
dim Supp(H
i
I
(M)) ≤ 1 với mọi i < t. Khi đó các phát biểu sau là đúng:
(i) R−môđun H
i
I
(M) là I−cofinite với mọi i < t;
19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(ii) R−môđun Hom
R
(R/I, H
t

I
(M)) là hữu hạn sinh.
Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo t. Nếu t = 1, thì theo hiển nhiên
H
0
I
(M) là hữu hạn sinh. Hơn nữa theo Bổ đề 2.1.6, Hom
R
(R/I, H
1
I
(M))
hữu hạn sinh. Nên ta có điều phải chứng minh.
Giả sử t > 1 và kết quả đã được chứng minh cho t −1. Bằng cách thay
thế M bởi M/Γ
I
(M), không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng
M là môđun hữu hạn sinh khác không, và là môđun không I-xoắn (tức là
Γ
I
(M) = 0). Khi đó ta thu được I ⊆ ∪
p∈Ass
R
(M)
p. Đặt
S =
t−1

t=0
Supp(H

i
I
(M)); T = {p ∈ S| dim(R/p) = 1}.
Ta thấy rằng T là hữu hạn. Để chứng minh điều này, ta giả sử trái lại rằng T
là vô hạn, ta sẽ chỉ ra mâu thuẫn. Thật vậy, khi đó tồn tại j sao cho 0 ≤ j ≤
t −1 và thoả mãn T ∩Supp(H
j
I
(M)) là vô hạn. Vì dim Supp(H
i
I
(M)) ≤ 1
với mọi i < t nên các phần tử của T ∩ Supp(H
j
I
(M)) là cực tiểu trong
Supp(H
j
I
(M)) do đó
T ∩Supp(H
j
I
(M)) ⊆ Ass
R
(H
j
I
(M)).
Mặt khác, theo giả thiết quy nạp, các R−môđun

H
0
I
(M), H
1
I
(M), , H
t−2
I
(M)
là I-cofinite và R−môđun Hom
R
(R/I, H
t−1
I
(M)) là hữu hạn sinh, suy
ra rằng Ass
R
(H
i
I
(M)) là hữu hạn với mọi i < t. Đặc biệt, suy ra tập
Ass
R
(H
j
I
(M)) cũng là hữu hạn, và do đó T ∩ Supp(H
j
I

(M)) là hữu hạn,
điều này là mâu thuẫn. Do đó T là hữu hạn. Giả sử T = {p
1
, p
n
}. Khi
đó, ta thấy rằng
Supp(H
i
IR
p
k
(M
p
k
) ⊆ V (p
k
R
p
k
)
20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
với mọi i < t và mọi k = 1 . . . , n. Từ đó, theo Mệnh đề 2.1.7, ta thấy
H
i
IR
p
k
(M

p
k
) là các R
p
k
−môđun Artin. Suy ra
V (IR
p
k
) ∩Att
R
p
k
(H
i
IR
p
k
(M
p
k
) ⊆ V (p
k
R
p
k
)
với mọi i < t và mọi k = 1, 2, , n (theo Hệ quả 2.1.8 và Bổ đề 2.1.10).
Tiếp theo, ta đặt
U =

t−1

i=0
n

k=1
{q ∈ Spec(R)| qR
p
k
∈ Att
R
p
k
(H
i
IR
p
k
(M
p
k
))}.
Khi đó U ∩ V (I) ⊆ T. Mặt khác, theo Định lý tránh nguyên tố, tồn tại
phần tử x ∈ I thoả mãn
x /∈


q∈U\V (I)
q


∪


p∈Ass
R
(M)
p

.
Bây giờ, dãy khớp
0 −→ M
x
−→M −→ M/xM −→ 0
cảm sinh dãy khớp dài
→H
j
I
(M)
x
−→H
j
I
(M) −→ H
j
I
(M/xM)
−→ H
j+1
I
(M)

x
−→H
j+1
I
(M) −→ .
Do đó, với mọi j ≥ 0, ta có dãy khớp ngắn sau đây
0 −→ H
j
I
(M)/xH
j
I
(M) −→ H
j
I
(M/xM) −→ (0 :
H
j+1
I
(M)
x) −→ 0.
Vì dim Supp(H
i
I
(M)) ≤ 1 với mọi i < t, nên từ dãy khớp ngắn ở trên ta
suy ra dim Supp(H
j
I
(M/xM)) ≤ 1 với mọi j < t −1. Do đó theo giả thiết
quy nạp, ta có các R−môđun

H
0
I
(M/xM), H
1
I
(M/xM), , H
t−2
I
(M/xM)
21
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
là I-cofinite và R−môđun Hom
R
(R/I, H
t−1
I
(M/xM) là hữu hạn sinh. Đặt
L
j
= H
j
I
(M)/xH
j
I
(M) với mỗi j = 1, 2, , t − 1. Từ Bổ đề 2.1.9, ta suy
ra rằng (L
j
)

p
k
có độ dài hữu hạn với mọi k = 1, 2, , n. Do đó tồn tại một
môđun con hữu hạn sinh L
jk
của L
j
thoả mãn (L
j
)
p
k
= (L
jk
)
p
k
. Đặt
L
∗
j
= L
j1
+ L
j2
+ + L
jn
.
Khi đó L
∗

j
là môđun con hữu hạn sinh của L
j
thoả mãn
Supp
R
(L
j
/L
∗
j
) ⊆ S\{p
1
, , p
n
} ⊆ Max(R).
Đặt N
j
:= H
j
I
(M/xM). Lúc đó tồn tại một môđun con hữu hạn sinh N
∗
j
của N
j
sao cho dãy
0 −→ L
j
/L

∗
j
−→ N
j
/N
∗
j
−→ (0 :
H
j+1
I
(M)
x) −→ 0
là khớp. Ta sẽ chứng tỏ rằng L
j
là R−môđun minimax. Thật vậy, vì
N
j
/N
∗
j
là I-cofinite với mọi j < t − 1, nên ta suy ra Hom
R
(R/I, L
j
/L
∗
j
)
là R−môđun hữu hạn sinh. Nhưng vì Supp(L

j
/L
∗
j
) ⊆ Max(R) và L
j
/L
∗
j
là I−xoắn, do đó theo [3, Định lý 7.1.2] ta có L
j
/L
∗
j
là R−môđun Artin.
Tức là L
j
là một R−môđun minimax. Sử dụng dãy khớp
0 −→ L
j
−→ N
j
−→ (0 :
H
j+1
I
(M)
x) −→ 0,
ta thấy rằng Hom
R

(R/I, L
j
) là R−môđun hữu hạn sinh với mọi j < t.
Do đó, theo Bổ đề 2.1.4, ta có L
j
là I−cofinite. Từ đó nó có hệ quả rằng
các R-môđun (0 :
H
j+1
I
(M)
x) cũng là I−cofinite với mọi j < t. Đặc biệt,
nó suy ra rằng R−môđun H
t−1
I
(M)/xH
t−1
I
(M) là minimax và I−cofinite.
Do đó, R−môđun
Hom
R
(R/I, (0 :
H
t
I
(M)
x))
∼
=

Hom
R
(R/I, H
t
I
(M))
là hữu hạn sinh. Bây giờ, vì các R−môđun (0 :
H
j
I
(M)
x) và H
j
I
(M)/xH
j
I
(M)
là I−cofinite với mọi j < t, nên theo [13, Hệ quả 3.4], ta thu được H
j
I
(M)
là I−cofinite với mọi j < t. Điều này kết thúc chứng minh.
22
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2.3 Một số hệ quả của Định lý 0.0.1
Hệ quả 2.3.1. Giả sử R là vành giao hoán Noether, I là iđêan của R,
và M là R−môđun hữu hạn sinh sao cho dim(M/IM) ≤ 1. Khi đó các
R−môđun H
j

I
(M) là I−cofinite với mọi i.
Chứng minh. Vì Supp(H
i
I
(M)) ⊆ Supp(M/IM) và dim(M/IM) ≤ 1,
nên suy ra rằng dim(Supp(H
i
I
(M))) ≤ 1. Do đó kết quả được suy ra từ
Định lý 0.0.1.
Hệ quả 2.3.2. Cho I là iđêan của vành giao hoán Noether R, M là
R−môđun hữu hạn sinh sao cho dim(M/IM) ≤ 1. Khi đó, với mỗi i ≥
0, ta có H
i
I
(M)/K là I−cofinite với bất kì môđun con minimax K của
H
i
I
(M). Đặc biệt, suy ra Ass(H
i
I
(M)/K) là tập hữu hạn với mọi i ≥ 0.
Chứng minh. Theo Hệ quả 2.3.1, H
i
I
(M) là I−cofinite với mọi i. Do đó
Hom(R/I, K) là hữu hạn sinh, từ đó theo Bổ đề 2.1.4, suy ra K là
I−cofinite. Bây giờ, từ dãy khớp

0 →K →H
i
I
(M) →H
i
I
(M)/K →0,
suy ra rằng R−môđun H
i
I
(M)/K là I−cofinite.
Hệ quả 2.3.3. Cho R là vành giao hoán Noether, I là iđêan của R. Giả
sử M là R−môđun hữu hạn sinh khác không, t là số nguyên không âm
thoả mãn Supp H
i
I
(M) là hữu hạn với mọi i < t. Khi đó các R−môđun
H
0
I
(M), H
1
I
(M), , H
t−1
I
(M)
là I−cofinite và R−môđun Hom
R
(R/I, H

t
I
(M)) là hữu hạn sinh, đặc biệt
suy ra Ass
R
(H
i
I
(M)) là hữu hạn với mọi i ≤ t.
Chứng minh. Vì Supp H
i
I
(M) là hữu hạn với mọi i < t, nên ta suy ra
dim Supp(H
i
I
(M)) ≤ 1 với mọi i < t. Do đó kết quả được suy ra từ Định
lý 0.0.1.
23
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên