chỉnh hóa nghiệm một bài toán ngược xác định nguồn nhiệt

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
LÊ THỊ LOA N
CHỈNH HÓA NGHIỆM M ỘT BÀI
TOÁN NG Ư C XÁC Đ Ị N H NGUỒN NHIỆT
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Tp. Hồ Chí Minh - 2010
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
LÊ THỊ LOAN
CHỈNH HÓA NGHIỆM M ỘT BÀI
TOÁN NG Ư C XÁC Đ Ị N H NGUỒN NHIỆT
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60 46 01
NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS. Nguyễn Công Tâm
Đại học Khoa học Tự nhiên
Tp. Hồ Chí Minh - 2010
Lời cảm ơn
Lời đầu tiên , tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và chân thàn h cảm ơn thầy hướng
dẫn tôi , Tiến só Nguyễn Công Tâm, thầy đã bỏ nhie àu công sức tận tình hướng dẫn,
chỉ bảo và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Tiến só Nguyễn Thàn h Long trong các buổi seminar
thầy đã thường xuyên đôn đốc và cho ý kiến quý báu cũng như những lời phê bình
bổ ích giúp tôi hoàn thành tốt luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Tiến só Trần M i n h Thuyết, thầy đã dành thời gian để
nghe tôi thuyết trình và giúp tôi làm sáng tỏ các vấn đề tro n g luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn các Thầy đã truyền đạt những kiến thức và kinh ngh i e äm
quý báu trong suốt các môn học.
Xin chân thành cảm ơn anh Phạm Thanh Sơn, lớp cao học Giải tích K18 t r ư ơ øn g
Đại học Sư phạm TPHCM, các anh tron g lớp học seminar và các bạn cùng lớp đã

cùng tôi thảo luận các vấn đề trong luận văn.
Lời thân thương nhất tôi xin chân thành cảm ơn Gia đình đã luôn luôn ủng hộ
tôi về tinh t h ần và vật chất trong những hoàn cảnh khó khăn.
Lê Thò Loan
Mục lục
Trang
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương mở đầu. Một số công cụ chuẩn bò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chương 1. Biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Chương 2. Thie át lập phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Chương 3. Chỉn h hóa nghi e äm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Lời nói đầu
Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát bài toán sau: Tìm hàm l(x, t) thỏa:
u
t
− u
xx
= l(x, t), x > 0, 0 ≤ t ≤ 1, (1)
u(x, 0) = w(x), x > 0, (2)
u(0, t) = g(t), 0 ≤ t ≤ 1, (3)
u
x
(0, t) = h(t), 0 ≤ t ≤ 1, (4)
trong đó:
• u(x, t) là nhiệt độ của một thanh đồng chất và đẳng hướng như 1 hàm t h e o
biến không gian x và thời gian t.
• u
t

(x, t) là mức độ thay đổi của nhiệt độ tại một điểm nào đó theo thời gian.
• u
xx
(x, t) là đạo hàm bậc hai (lưu chuyển nhiệt) của nhiệt độ theo hướng x.
• l(x, t) là nguồn n h i e ät và l(x, t) = k(t)f(x) với k(t) cho trước trên [0, 1], tìm
hàm f(x) trên (0, +∞).
• Các hàm w(x), g(t), h(t) là các hàm ch o trư ơ ùc.
Đây là bài toán thường gặp trong các ngành khoa học kó thuật, đặc bi e ät là trong
Vật lý mà ta đã biết đó là các bài toán không chỉnh. Liên q u an đến bài toán này là
các công trình của Tikhonov, Lavrenties, Lions . . .
Bài toán cơ bản là vẽ lại các thông tin hữu ích từ các dữ liệu đo đạc Vật lý bò
nhiễu, ở đó ta nhận được bài toán khôn g chỉn h (chủ yếu l à nghiệm của bài toán
không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện) mà các phương pháp nội tại (từ các mô hình
toán học tr ư ïc tiếp đo đạc được) dùng để ước lượng dẫn đến sự khuyếch đại không
thể kiểm soát được của nh i e ãu . Thông thường ta tìm một hàm (xác đònh trên một
miền thích hợp) hội tụ đến hàm chính xác, và như đã nói trên sự khuyếch đại của
nhiễu xuất hiện khách quan trong quá trình đo đạc làm cho các kết quả t í n h toán vì
thế m à khôn g có giá trò, những ``kết quả'' này che giấu nghiệm chính xác dưới các
dao động với tầng số cao, biên độ lớn.
2
Đối với bài toán không chỉnh này, người ta không thể giải trực tiếp bài toán mà
phải thông qua bài toán trung gian, tức là người ta đưa ra họ bài toán mà mỗi bài
toán trong họ là bài toán chỉnh và phải đảm bảo yêu cầu là họ nghi e äm bài toán chỉnh
phải hội tụ về nghiệm bài toán không chỉnh, khi mà một tham số chỉnh tương ứng
cho họ bài toán đó tiến về một giới hạn nào đó.
Việc chỉ n h hóa bài toán cũng kho ân g có một phương ph áp chung, ng h ó a là phải
có một bài toán cụ thể, phương trình tích phân cụ thể và từ đó n g ư ơ øi ta chỉnh trên
đó.
Trong trường hợp này bài toán (1) cùng vơ ùi các điều kiện (2), ( 4) ta khảo sát các
bài toán cụ thể sau:

BÀI TOÁN A





u
t
− u
xx
= l(x, t), x > 0, t > 0,
u(x, 0) = 0, x > 0,
u
x
(0, t) = 0, t > 0,
BÀI TOÁN B





u
t
− u
xx
= 0, x > 0, t > 0,
u(x, 0) = w(x), x > 0,
u
x
(0, t) = 0, t > 0,

BÀI TOÁN C





u
t
− u
xx
= 0, x > 0, t > 0,
u(x, 0) = 0, x > 0,
u
x
(0, t) = h(t), t > 0.
Sau khi tìm nghiệm u
1
(x, t), u
2
(x, t), u
3
(x, t) của các bài toán A, B, C, sau đó
kết hợp với điều kiện (3) và sau nhiều phép tính phức tạp ta tìm được:
u(x, t) =
t

0
∞

0

l(ξ, τ )
2

π(t − τ )

e
−
(x−ξ)
2
4(t−τ )
+ e
−
(x+ξ)
2
4(t−τ )

dξdτ
+
1
2
√
πt
∞

0
w(ξ)

e
−
(x−ξ)

2
4t
+ e
−
(x+ξ)
2
4t

dξ
−
1
√
π
t

0
h(τ)
√
t − τ
e
−
x
2
4(t−τ )
dτ.
3
Từ đây ta thiết lập được phương trình tích phân Fredh o l m loại 1 để tìm l(x, t):
t

0

∞

0
l(ξ, τ )

(t − τ)
e
−
ξ
2
4(t−τ )
dξdτ =
√
πg(t) +
t

0
h(τ)
√
t − τ
dτ
−
1
√
t
∞

0
w(ξ)e
−

ξ
2
4t
dξ.
Do l(x, t) = k(t)f (x) n e ân phương trình tích phân Fredholm loại 1 trên trở thành:
∞

0
f (ξ)dξ
t

0
k(τ)e
−
ξ
2
4(t−τ )
dτ =
√
πg(t) +
t

0
h(τ)
√
t − τ
dτ
−
1
√

t
∞

0
w(ξ)e
−
ξ
2
4t
dξ,
hay viết dươ ùi dạng toán tử là:
(Af )(t) = ϕ(t),
trong đó A là toán tử giữa 2 không gian Hilbert, A : H → H
1
với H = L
2
(R
+
),
H
1
= L
2
(0, 1).
Như chúng ta đã biết, bài t o án tìm nghiệm của phươ n g trình tích phân Fre dh o l m
loại 1 là bài toán không chỉnh theo nghóa Hadamard. Bài toán được gọi là chỉnh theo
nghóa Hadamard nếu thỏa 3 điều kiện sau:
(i) Bài toán có nghiệm,
(ii) Nghiệm nếu có là duy nhất,
(iii) Nghiệm phụ thuộc li e ân tục vào dữ kiện (ở đây dữ kiện là ϕ(t)).

Tính chất duy nhất nghiệm là quan trọng vì ý nghóa của nó là thông t i n về dữ
kiện đo đạc vừa đủ để xác đònh ngh i e äm bài toán. Còn ý nghóa của sự phụ thuộc liên
tục của nghiệm vào dữ kiện là độ sai lệch của nghiệm (nếu tồn tại) ứng với dữ kiện
bò nhiễu với mức độ nh o û sẽ là nhỏ. Yếu tố thứ 3 này là quan trọng nhất vì sai số
của dữ kiện khi đo đạc là điều hiển nhiên, và đó cũng là lý do mà ta cần phải xử lý
các bài toán này.
4
Bài toán được gọi là không chỉnh nếu vi phạm 1 trong 3 điều trên, nghóa là các
bài to án này có thể không có nghiệm (tức là ứng với dữ kiện đo đạc bò nhiễu ϕ,
phương trình Af = ϕ vô n g h i e äm ) . Mặt khác, nếu nghiệm tồn tại thì nó không phụ
thuộc liên tục vào dữ kiện (nghóa là nếu f là nghiệm ứn g với dữ kiện ϕ thì một thay
đổi nhỏ của ϕ kéo theo sự thay đổi lớn của f ).
Do nhu cầu tí n h toán, các bài toán kho ân g chỉn h này cần được chỉnh hóa, với
phương t r ì nh tích phân loại 1 trên, chúng tôi tiến hành chỉnh hóa bằng cách sử dụng
phương pháp Tikhonov, với phương pháp này chúng tôi xây dựng một phương trình
mới để chỉnh hóa (phương trình chỉnh hóa):
ε(f
ε
, v) + Af
ε
, Av = ϕ
ε
, Av, ∀v ∈ L
2
(R
+
),
trong đó bài toán tìm nghiệm của phương trình này là bài toán chỉnh, tức là:
(i) Tồn tại duy nhất nghiệm f
ε

∈ L
2
(R
+
) với ϕ
ε
∈ L
2
(0, 1) cho trước,
(ii) f
ε
phụ thuộc liên tục vào ϕ
ε
.
Lưu ý rằng, dữ kiện đo đạc ϕ
ε
bò nhiễu so với dữ kiện chí n h xác ϕ.
Trong luận văn chúng tôi cũng đã thiết lập được sai số giữa nghiệm chỉnh hóa
f
ε
nêu trên so với nghiệm chính xác f (với giả thiết một số tính trơn thích hợp) của
phương trình:
Af = ϕ.
Cụ thể, nếu sai số giữa dữ li e äu đo đạc ϕ
ε
và dữ liệu chính xác ϕ là ε, nghóa là:
ϕ
ε
− ϕ ≤ ε,
thì chúng tôi chỉ ra được sai so á giữa nghiệm chỉnh hóa f

ε
và nghiệm chính xác f là
√
ε, nghóa là:
f
ε
− f ≤ C
√
ε,
trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào ε.
Hơn nữa, chu ùn g tôi chứng minh được rằng f
ε
chính là điểm b ất động của một
ánh xạ co. Do đó có th e å xây dựng một thuật toán lặp để tính nghiệm xấp xỉ f
ε
.
5
Gọi f
(m)
ε
là ngh i e äm xấp xỉ ở bước lặp thứ m. Khi đó ta có đánh giá sai số f
(m)
ε
và
nghiệm chính xác f được cho bởi



f
(m)

ε
− f



L
2
(R
+
)
≤ (1 + M )
√
ε,
với m
ε
được chọn đủ lớn.
Luận văn này được trình bày theo các chương mục sau:
Lời no ùi đầu: Tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, đồng thời nêu bố
cục của luận văn.
Chương mở đầu: Ch u ùn g tôi trình bày một số kết quả chuẩn bò bao gồm nh ắc lại
một số không gian hàm, các đònh lý, các kết quả được sử dụng trong luận văn.
Chương 1: Phép biến đổi Laplace và một số vấn đề có liên quan được chúng tôi
trình bày trong chương này.
Chương 2: Tìm nghiệm của một số bài toán trung gian: bài toán A, bài toán B,
bài toán C, nhằm thiết lập phươ n g trình t í ch phân.
Chương 3: Chỉnh hóa nghiệm.
Kế đến là phần kết luận, sau cùng là danh mục tài liệu tham khảo.
Chương mở đầu
MỘT SỐ CÔNG CỤ CHUẨN BỊ
Đònh nghóa 0.1 (Không gi a n Hilbert thực). Cho X là m o ät không gian vectơ trên R,

một phiếm hàm, ký hiệu là: ·, · : X × X → R, gọi là một tích vô hướn g trên X
nếu
(i) x, x ≥ 0, với mọi x ∈ X, và x, x = 0 ⇔ x = 0,
(ii) x, y = y, x, với mọi x, y ∈ X và
(iii) αx + βy, z = α x, z + β y, z với mọi α, β ∈ R, x, y, z ∈ X.
Cho trước một tích vô hướn g ·, · trên X, một chuẩn trên X có thể được xác đònh
bởi x
X
=

x, x.
Nếu X là một không gian Banach đối với chuẩn này thì X được gọi là không gian
Hilbert.
Hai bất đẳng thức sau đây thư ơ øn g được sử dụng:
Bất đẳng thức Cauchy Schwartz: Với mọi x, y ∈ X, |x, y| ≤ xy,
Bất đẳng thức tam giác: Vơ ùi mọi x, y ∈ X, x + y ≤ x + y.
Đònh nghóa 0.2 (Toán tử liên hợp).
Cho A là toán tử tuyến tính bò chặn ánh xạ không gian Hilb e r t X vào không gian
Hilbert Y. Toán tử B ánh xạ không gian Y vào không gian X gọi là toán tử liên hợp
với toán tử A, nếu
(Ax, y) = (x, By), ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y.
Toán tử liên hợp B thường được ký hiệu là: A
∗
.
Cho A là toán tử tuyến tính bò chặn ánh xạ không gian Hilb e r t X vào không gian
Hilbert Y. Khi đó tồn tại toán tử A
∗
liên hợp với toán tử A ánh xạ không gian Y vào
không gian X, toán tử liên hợp A
∗

cũng l à toán tử tuyến t í n h bò chặn và A
∗
 = A.
7
Đònh nghóa 0.3. Cho H là không gian Hilbert, phiếm hàm song tuyến tính
a : H × H → R được gọi là
i) bò chận nếu tồn tại C > 0 sao cho
|a(u, v)| ≤ C uv với mọi u, v ∈ H,
ii) bức nếu tồn tại α > 0 sao cho
a(u, u) ≥ αu
2
với mọi u ∈ H.
Đònh lý 0.4 (Đònh lý Lax Milgram).
Nếu ánh xạ a : H × H → R thỏa mãn 3 tính chất : a la ø song tuyến tính, a bò
chặn, a bức thì với mỗi F ∈ H
∗
, tồn tại duy nhất u ∈ H : a(u, v) = F (v), với mọi
v ∈ H.
Sau đây là các kho ân g gian Hil b e r t được sử dụng trong luận văn:
• L
2
(0, 1) =



f : (0, 1) → R,
1

0
|f(x)|

2
dx < ∞



với tích vô hướng xác đònh như sau: f, g =
1

0
f (x)g(x)dx, ∀f, g ∈ L
2
(0, 1).
• L
2
(0, ∞) =



f : (0, ∞) → R,
∞

0
|f(x)|
2
dx < ∞



= L
2

(R
+
)
với tí ch vô hướng xác đònh như sau: (f, g) =
∞

0
f (x)g(x)dx, ∀f, g ∈ L
2
(0, ∞).
• C([0, 1]): kh o ân g gian Banach các hàm số liên tục trên [0, 1] đối với chuẩn:
g = sup
t∈[0,1]
|g(t)|, g ∈ C([0, 1]).
• L
2

R
+
× (0, 1)

=



f (x, t) :
1

0
+∞


0
f
2
(x, t)dxdt < ∞



8
vôùi tích voâ höôùng ñöôïc ñònh nghóa nhö sau
1

0
+∞

0
f (x, t)g(x, t)dxdt, f, g ∈ L
2

R
+
× (0, 1)

.
Chương 1.
BIẾN ĐỔI LAPLACE
Đònh nghóa 1.1. (gốc và ảnh)
• Hàm biến thực f (t) xác đònh trên kho ản g (−∞, +∞) được gọi là hàm g o ác
nếu thỏa các điều kiện sau:
i) f(t) = 0 nếu t < 0,

ii) Nếu t ≥ 0 thì hàm f(t) có nhiều nhất là hữu hạn các điểm gián đoạn
loại một trên mỗi khoảng hữu hạn của trục t,
iii) Khi t → ∞, hàm f (t) tăng không nhanh h ơ n một hàm m u õ, nghóa l à
∃M > 0, a > 0, sao cho|f(t)| < M e
at
, ∀t > 0.
Số α
0
= inf a, với tất cả các a thỏa (iii) được gọi là chỉ số tăng của hàm
f , lưu ý rằng có thể (iii) không thỏa với α
0
.
• Cho f l à hàm gốc với chỉ số tăng α
0
. Hàm biến phức F đònh bởi:
F (p) =
∞

0
f (t)e
−pt
dt, xác đònh trên miền Re p > α
0
, được gọi là biến đổi
Laplace của f, và ký hiệu L[f(t)] = F (p).
Đònh lý 1.2 (về tính giải tích bên phải).
Nếu f(t) là hàm gốc với chỉ số tăng a thì:
i) tf(t) là hàm gốc với chỉ số tăng a,
ii) Tích phân F (p) hội tụ với mọi p có Rep > a,
iii) F (p) là hàm giải tích trong nửa mặt phẳng Rep > a.

Tính chất 1.3 (tính chất tuyến tính).
Nếu L[f (t)] = F (p) và L[g(t)] = G(p) th ì :
10
i) L[f(t) + g(t)] = F (p) + G(p),
ii) L[kf(t)] = kF (p), k là hằng số.
Chứng minh.
i) L [f(t) + g(t)] =
∞

0
[f(t) + g(t)] e
−pt
dt =
∞

0
f (t)e
−pt
dt +
∞

0
g(t)e
−pt
dt
= F (p) + G(p).
Vậy L [f (t) + g(t)] = F (p) + G(p).
ii) L[kf(t)] =
∞


0
kf(t)e
−pt
dt = kF (p).
Do đó, L[kf(t)] = kF (p).
Tính chất 1.4 (tính chất đạo hàm gốc).
Nếu L[f (t)] = F (p), và giả sử f

(t) là hàm gốc thì L[f

(t)] = pF (p) − f (+0).
Chứng minh.
Ta có:
L[f

(t)] =
∞

0
f

(t)e
−pt
dt = f(t)e
−pt
|
∞
0
+ p
∞


0
f (t)e
−pt
dt = pF (p) − f (+0).
Hệ quả:
1. L[f

(t)] = p
2
F (p) −pf (+0) − f

(+0),
2. L

f
(n)
(t)

= p
n
F (p) −p
n−1
f (+0) −p
n−2
f

(+0) − − f
(n−1)
(+0).

Tính chất 1.5 (Đònh lý nhân).
Nếu L[f (t)] = F (p) thì L[−tf (t)] = F

(p).
Hệ quả:
1. L

t
2
f (t)

= F

(p),
2. L[t
n
f (t)] = (−1)
n
F
(n)
(p).
11
Đònh nghóa 1.6 (tích chập).
Cho hai hàm gốc f(t) và g(t). Tích chập của hai hàm số f(t) và g(t) được xác
đònh bởi:
(f ∗ g)(t) =
t

0
f (u)g(t − u)du =

t

0
f (t − u)g(u)du.
Đònh lý 1.7 (Đònh lý Borel).
Nếu L[f(t)] = F (p) và L[g(t)] = G(p) thì: L[(f ∗g)(t)] = F (p)G(p).
Chứng minh.
L [(f ∗ g)(t)] =
∞

0
[(f ∗ g)(t)] e
−pt
dt =
∞

0


t

0
f (u)g(t − u)du


e
−pt
dt
=
∞


0
e
−pt
dt
t

0
f (u)g(t − u)du
=
∞

0
du
∞

u
e
−pt
f (u)g(t − u)dt
=
∞

0
f (u)du
∞

u
e
−pt

g(t − u)dt.
Với tích phân
∞

u
e
−pt
g(t − u)dt, ta đặt t
1
= t − u, dt
1
= dt.
Khi đó
∞

u
e
−pt
g(t − u)dt =
∞

0
e
−p(t
1
+u)
g(t
1
)dt
1

= e
−pu
∞

0
e
−pt
g(t)dt
= e
−pu
G(p).
12
Vậy
L [(f ∗g)(t)] =
∞

0
f (u)e
−pu
du.G(p)
=
∞

0
f (t)e
−pt
dt.G(p) = F (p)G(p).
Tính chất:
i) f ∗ g = g ∗f ,
ii) f ∗ (g + h) = f ∗g + f ∗ h,

iii) (f ∗ g) ∗ h = f ∗(g ∗ h).
Chứng minh.
i) Ta có
(f ∗ g)(t) =
t

0
f (u)g(t − u)du.
Đặt t
1
= t − u, dt
1
= −du. Ta được
(f ∗ g)(t) =
0

t
−f(t − t
1
)g(t
1
)dt
1
=
t

0
g(u)f(t − u)du = (g ∗ f )(t).
ii) Ta có
(f ∗ (g + h)) (t) =

t

0
f (u)(g + h)(t − u)du
=
t

0
f (u)g(t − u)du +
t

0
f (u)h(t − u)du
= (f ∗ g)(t) + (f ∗ h)(t).
13
iii) Ta có
((f ∗ g) ∗ h) (t) =
t

0
(f ∗ g)(u)h(t − u)du
=
t

0


u

0

f (τ )g(u − τ )dτ


h(t − u)du
=
t

0
dτ


t

τ
f (τ )g(u − τ )h(t − u)du


=
t

0
f (τ )dτ


t

τ
g(u − τ)h(t − u)du



.
Xét
t

τ
g(u − τ)h(t − u)du, đặt: z = u − τ, dz = du và u = z + τ.
Ta được
t

τ
g(u − τ )h(t −u)du =
t−τ

0
g(z)h(t − z −τ )dz
=
t−τ

0
g(z)h [(t −τ ) −z] dz
= (g ∗h)(t − τ ).
Khi đó
((f ∗ g) ∗ h) (t) =
t

0
f (τ )(g ∗ h)(t − τ )dτ = (f ∗ (g ∗ h))(t).
Ví dụ. Biến đổi Laplace của hàm gốc f (t) = t
−
1

2
là hàm ảnh:
F (p) = L

t
−
1
2

=

π
p
.
Chứng minh.
Ta có
14
F (p) = L

t

1
2

=


0
t

1
2
e
pt
dt = 2t
1
2
e
pt


t
t=0
+ 2p


0
t
1
2
e
pt
dt
= 2p


0

te
pt

dt.
ẹaởt u =

t, du =
1
2

t
dt, dt = 2

tdu = 2udu.
Ta ủửụùc
F (p) =


0
4pu
2
e
pu
2
du = I.
Ta coự
I =


0
4pu
2
e

pu
2
du = 2


0
u(2pue
pu
2
)du
= 2


ue
pu
2
|

0
+


0
e
pu
2
du


= 2

0
e
pu
2
du = 2J,
vụựi J =


0
e
pu
2
du =


0
e
pv
2
dv.
Do ủoự
J
2
=


0
e

pu
2
du.


0
e
pv
2
dv
=


0


0
e
pu
2
e
pv
2
dudv
=


0

0
e
p(u
2
+v
2
)
dudv.
ẹaởt: u = r cos , v = r sin , r > 0, 0 < <

2
.
15
Khi đó
J
2
=
π
2

0
∞

0
re
−pr
2
drdϕ =
π
2


0
dϕ
∞

0
re
−pr
2
dr
=
π
2

−
1
2p
e
−pr
2




r→∞
r=0
=
π
2
(

1
2p
) =
π
4p
.
Do đó
F (p) = I = 2J =

π
p
.
Đònh lý 1.8 (Phép biến đổi Laplace ngược) .
Cho hàm gốc f trơn từng khúc trên mọi khoảng hữu hạn của nửa trục t ≥ 0;
chỉ số tăng là α
0
. Khi đó
f (t) =
1
2πi
a+i∞

a−i∞
e
pt
F (p)dp, a > α
0
.
(Công thức trên gọi là công thức tích phân Bromwich).
Ký hiệu: f (t) = L

−1
[F (p)].
Tính chất tuyến tính: L
−1
[αF (p) + βG(p)] = αf(t) + βg(t).
Từ đònh lý Borel, t a có ứng dụng: L
−1
[F (p)G(p)] = (f ∗ g)(t).
Bổ đề 1 (Bổ đề Jordan).
Giả sử F (p) giải tích trong nửa mặt phẳng Rep > a.
Giả sử tồn tại M, R
0
, α > 0 sao cho:
|F (p)| ≤
M
|p|
α
, |p| > R
0
, Rep ≤ a.
Khi đó
lim
R→+∞

γ
R
F (p)e
pt
dp = 0, ∀t > 0.
Với γ

R
là 1 phần của đường tr o øn |p| = R nằm trong miền {Rep ≤ a}, R > R
0
.
16
Chứng minh.
C
2

C
4

C
3

C
1

Y




ψ

O

a+ib

X
a


a-ib

Từ hình vẽ, ta chia γ
R
= C
1
∪ C
2
∪ C
3
∪ C
4
.
Gọi I
1
, I
2
, I
3
, I
4
lần lượt là tích phân trên C
1
, C
2
, C

3
, C
4
. Ta lần lượt đánh giá
các tích phân này n h ư sau:
• Trên C
1
Ta có p = Re
iθ
, ψ ≤ θ ≤
π
2
, dp = Rie
iθ
dθ.
I
1
=

C
1
F (p)e
pt
dp =
π
2

ψ
F (Re
iθ

)e
Rte
iθ
Rie
iθ
dθ
=
π
2

ψ
F (Re
iθ
)e
Rt(cos θ+i sin θ)
Rie
iθ
dθ.
Do đó
|I
1
| =







π

2

ψ
F (Re
iθ
)e
Rt(cos θ+i sin θ)
Rie
iθ
dθ







≤
π
2

ψ


F (Re
iθ
)





e
Rt cos θ




e
iRt sin θ


|i|R


e
iθ


dθ =
π
2

ψ


F (Re
iθ
)



e
Rt cos θ
Rdθ.
17
Do


F (Re
iθ
)


≤
M
R
α
, nên
|I
1
| ≤
π
2

ψ
M
R
α
e
Rt cos θ
Rdθ =

M
R
α−1
π
2

ψ
e
Rt cos θ
dθ.
Mặt khác: cos θ ≤ cos ψ, ∀ψ ≤ θ ≤
π
2
, ta có:
e
Rt cos θ
≤ e
Rt cos ψ
= e
at
(với a = R cos ψ).
Do đó
|I
1
| ≤
M
R
α−1
π
2


ψ
e
at
dθ =
Me
at
R
α−1
π
2

ψ
dθ =
Me
at
R
α−1

π
2
− ψ

=
Me
at
R
α−1

π

2
− arccos
a
R

=
Me
at
R
α−1
arcsin
a
R
.
Sử dụng bất đẳng thức: arcsin θ ≤
π
2
θ, 0 ≤ θ ≤ 1, ta được
|I
1
| ≤
Me
at
R
α−1
.
π
2
.
a

R
=
M.a.π
2R
α
e
at
.
Cho R → ∞, ta có
M.a.π
2R
α
→ 0. Do đó lim
R→∞
I
1
= 0.
• Trên C
2
Ta có p = Re
iθ
,
π
2
≤ θ ≤ π, dp = Rie
iθ
dθ.
Tích phân
I
2

=

C
2
F (p)e
pt
dp
=
π

π
2
F (Re
iθ
)e
Rte
iθ
Rie
iθ
dθ
=
π

π
2
F (Re
iθ
)e
Rt(cos θ+i sin θ)
Rie

iθ
dθ.
18
Suy ra |I
2
| ≤
π

π
2


F (Re
iθ
)


e
Rt cos θ
Rdθ.
Do


F (Re
iθ
)


≤
M

R
α
, nên
|I
2
| ≤
π

π
2
M
R
α
e
Rt cos θ
Rdθ =
M
R
α−1
π

π
2
e
Rt cos θ
dθ.
Mặt khác, với
π
2
≤ θ ≤ π ta có:

cos θ ≤ 1 −
2
π
θ, e
Rt cos θ
≤ e
Rt(1−
2
π
θ)
.
Khi đó
|I
2
| ≤
M
R
α−1
π

π
2
e
Rt(1−
2
π
θ)
dθ =
Me
Rt

R
α−1
π

π
2
e
−
2
π
Rtθ
dθ
=
Me
Rt
R
α−1

−
π
2Rt

e
−
2
π
Rtθ




π
π
2
=
Me
Rt
R
α−1

−
π
2Rt


e
−2Rt
− e
−Rt

=
Mπ
2tR
α

1 −e
−Rt

.
Cho R → ∞, ta có
Mπ


1 − e
−Rt

2tR
α
→ 0.
Vậy lim
R→∞
I
2
= 0.
Làm tương tự cho trên C
3
, C
4
ta được lim
R→∞
I
3
= lim
R→∞
I
4
= 0.
Vậy
lim
R→∞

γ

R
F (p)e
pt
dp = 0, ∀t > 0.
Bổ đề 2.
Ta có: L
−1

e
−α
√
p
√
p

=
1
√
πt
e
−
α
2
4t
, α > 0.
Chứng minh. (áp dụng bổ đề Jordan)
19
Cho D = C\(−∞, 0] là miền đơn liên.
Đặt l(t) =
1

2πi
a+i∞

a−i∞
e
pt
e
−α
√
p
√
p
dp, (a > 0).
Xét chu tuyến Γ = γ ∪ C
1
∪C
2
∪C
3
∪C
ε
∪ C
4
∪ C
5
∪C
6
nằm trong miền đơn
liên D như hình vẽ.
Y

C
2

C
6

Y

C
1
C
5








a+ib

X
a-ib


C
4

C
ε

a


ε

γ

C
3



γ = [a − ib, a + ib] ,
C
1
: là biên của đường tròn từ a + ib
đến iR,
C
2
: là biên của đường tròn từ iR đến
−R (trên lát cắt),
C
3
: phía trên lát cắt từ −R đến −ε,
C
ε
: biên đường tròn bán kính ε,

C
4
: phía dưới lát cắt từ −ε đến −R,
C
5
: là biên của đường tròn từ −R
(phía dưới lát cắt) đến −iR,
C
6
: là biên của đường tròn từ −iR
đến a − ib,
γ
R
= C
1
∪ C
2
∪ C
5
∪ C
6
,
Γ = γ ∪ γ
R
∪ C
3
∪ C
4
∪ C
ε

.
Gọi G(p) =
1
2πi
e
pt
e
−α
√
p
√
p
là hàm giải tích, đơn trò trong D và không có điểm kì
dò nào trong D.
Theo đònh lý Cauchy (xem [7], [14]). Ta có

Γ
G(p)dp = 0
hay

Γ
G(p)dp =

γ
G(p)dp +

γ
R
G(p)dp +


C
ε
G(p)dp +

C
3
G(p)dp +

C
4
G(p)dp = 0.
20

Γ
G(p)dp =
a+ib

a−ib
dọc theo Rep=a
G(p)dp +

γ
R
G(p)dp +

|p|= ε
G(p)dp
+
−ε


−R
trên nhát cắt
G(p)dp +
−R

−ε
dưới nhát cắt
G(p)dp = 0. (*)
• Trên γ
R
Với
F (p) =
e
−α
√
p
√
p
=
e
−α
√
Re
i
θ
2
√
Re
i
θ

2
=
e
−α
√
R(cos
θ
2
+i sin
θ
2
)
√
Re
i
θ
2
(đặt p = Re
iθ
).
Do đó
|F (p)| =
e
−α
√
R cos
θ
2
√
R

≤
1
√
R
.
Áp dụng bổ đề Jordan với M = 1, α =
1
2
.
Ta được lim
R→∞

γ
R
G(p)dp = 0.
• Trên C
ε
Ta có

C
ε
G(p)dp =
1
2πi

|p|=ε
e
pt
e
−α

√
p
√
p
dp.
Đặt p = εe
iθ
,
√
p =
√
εe
i
θ
2
, dp = εie
iθ
dθ, ta được

C
ε
G(p)dp =
1
2πi
−π

π
e
εte
iθ

e
−α
√
εe
i
θ
2
√
εe
i
θ
2
εie
iθ
dθ =
√
ε
2π
−π

π
e
εte
iθ
e
−α
√
εe
i
θ

2
e
i
θ
2
dθ.
Khi ε → 0 thì
√
ε
2π
→ 0.
Vậy lim
ε→0

|p|=ε
G(p)dp = 0.
• Trên C
3
và C
4
: dọc theo miền của nhát cắt.
Khi p là 1 số thực âm và nằm phía trên nhát cắt, ta có: arg p = π.
Đặt p = σe
iπ
= −σ, do đó căn bậc hai của số p là
√
p =
√
σe
i

π
2
= i
√
σ.
21
Tương tự khi p là 1 số thực âm nằm phía dưới nhát cắt, ta có: arg p = −π.
Đặt p = σe
−iπ
= −σ, do đó căn bậc hai của số p là
√
p =
√
σe
−i
π
2
= −i
√
σ.
Từ (∗) cho R → ∞, ε → 0 ta có
1
2πi
a+i∞

a−i∞
e
pt
e
−α

√
p
√
p
dp+
1
2πi
+∞

0
e
−σt
e
−iα
√
σ
i
√
σ
dσ +
1
2πi
+∞

0
e
−σt
e
iα
√

σ
−i
√
σ
dσ = 0.
Do đó
l(t) =
1
2πi
a+i∞

a−i∞
e
pt
e
−α
√
p
√
p
dp =
1
2π
+∞

0
e
−σt
e
−iα

√
σ
√
σ
dσ −
1
2π
+∞

0
e
−σt
e
iα
√
σ
√
σ
dσ
=
1
2π
+∞

0
e
−σt

e
−iα

√
σ
+ e
iα
√
σ

√
σ
dσ
=
1
π
+∞

0
e
−σt
cos (α
√
σ)
√
σ
dσ.
Đặt x =
√
σ ⇒ x
2
= σ, 2xdx = dσ, ta được:
l(t) =

1
π
+∞

0
e
−x
2
t
x
cos αx(2xdx)
=
2
π
+∞

0
e
−x
2
t
cos αxdx
=
1
π
+∞

−∞
e
−x

2
t
cos αxdx
=
1
π
Re
+∞

−∞
e
−x
2
t
e
iαx
dx
=
1
π
Re
+∞

−∞
e
−(
√
tx−i
α
2

√
t
)
2
−
α
2
4t
dx