Chỉnh hóa nghiệm 1 bài toán ngược trong phương trình nhiệt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HCM





NGUYỄN MAI VĨNH NGHI





CHỈNH HOÁ NGHIỆM MỘT BÀI TOÁN
NGƯỢC TRONG PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh
2007

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HCM





NGUYỄN MAI VĨNH NGHI







CHỈNH HOÁ NGHIỆM MỘT BÀI TOÁN
NGƯỢC TRONG PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT


LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60 46 01
Người hướng dẫn:
TS. NGUYỄN CÔNG TÂM

Khoa toán-tin học
Đai Học Khoa Học Tự Nhiên
Đại Học Quốc Gia TP. HCM








Thành phố Hồ Chí Minh
2007
Lời cảm ơn






Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và chân thành cảm ơn thầy hướng dẫn tôi,

Tiến sĩ Nguyễn Công Tâm, người đã bỏ nhiều công sức để hướng dẫn và
giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Tiến sĩ Nguyễn Thành Long, thầy đã
thường xuyên đôn đốc và chỉ dẫn tôi trong quá trình làm luận văn. Đăc biệt,
trong các buổi seminar.
Tôi xin chân thành cảm ơn bạn Dương Quang Hoà, lớp Cao Học Hình
Học Khoá 15-Trường ĐHSP TP HCM đã giúp tôi kiểm tra một số chi tiết
trong quá trình làm luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn anh Lê Hữu Thức, lớp Cao Học Giái Tích
Khoá 15-Trường ĐHSP TP HCM đã giúp đỡ tôi trong quá trình soạn thảo
luận văn.


Nguyễn Mai Vĩnh Nghi

Mục lục







Lời cảm ơn


Trang
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
Chương 1. BIẾN ĐỔI LAPLACE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

Chương 3. THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN . . . . . . . . . . . . .24
Chương 4. CHỈNH HÓA NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
KẾT LUẬN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO





1

Mở đầu




Trong khoa học ứng dụng, nhu cầu khảo sát các bài toán ngược được
được đặt ra từ lâu. Cho đến những năm 60 của thế kỉ trước, đồng thời với
việc phát triển các công cụ toán học, các bài toán ngược (hầu hết là không
chỉnh) đã được các nhà toán học trên thế giới khảo sát một cách sâu rộng mà
tiêu biểu là các công trình của Tikhonov, Lavrentiev, Lions,.Từ thời gian đó
cho đến nay, các bài toán ngược (không chỉnh) ngày càng được nhiều nhà
toán học quan tâm do những nhu cầu xuất phát từ thực tiễn cũng như từ sự
đòi hỏi của các ngành khoa học ứng dụng khác, đặc biệt trong Kỹ nghệ, Y
học, Vật lý Địa cầu.
Bài toán cơ bản là vẽ lại các thông tin hữu ích từ các dữ liệu đo đạc vật
lý bị nhiễu, ở đó ta nhận được bài toán không chỉnh (chủ yếu là lời giải của
bài toán không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện) mà các phương pháp nội tại
(từ mô hình toán học trực tiếp đo đạc được) dùng để ước lượng dẫn đến sự
khếch đại không thế kiểm soát được của nhiễu. Thông thường, ta tìm một

hàm (xác định trên một miền thích hợp) hội tụ đến hàm chính xác, và như đã
nói ở trên, sự khuếch đại của nhiễu (theo ngôn ngữ toán học, thường nguyên
nhân này là do cố gắng nghịch đảo một toán tử mà ngược của nó không bị
chận)-xuất hiện khách quan trong quá trình đo đạc làm cho các kết quả tính
toán vì vậy mà không có giá trị, những “kết quả” này che dấu lời giải chính
xác dưới các dao động với tần số cao, biên độ lớn.
Nhiều phương pháp khác nhau đã được sử dụng để chỉnh hoá. Bằng cách
khai thác các thông tin phụ về hàm chưa biết, chẳng hạn như các giả thiết về
“tính trơn”. Một phương pháp như vây được phát triển bởi Tikhonov và
Phillips ( cực tiểu hoá phiếm hàm quadratic bao gồm đạo hàm bậc cao trong
việc cố gắng tái tạo dữ liệu đo đạc).
Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát một bài toán ngược trong phương
trình nhiệt và sử dụng phương pháp Tikhonov để chỉnh hoá nghiệm. Cụ thể,
chúng tôi chuyển bài toán khảo sát về việc giải một phương trình tích phân
Fredholm loại một :
AwF
=

trong đó
A
là một toán tử giữa hai không gian Hilbert,
1
:
AHH
→

với


2

(
)
(
)
()
2
2
1
,0,,
0,1.
HL
HL
++
==∞
=
¡¡


Các đóng góp của luận văn là:
g
Đã chuyển được bài toán khảo sát về phương trình tích phân Fredholm
loại một.
g
Chứng minh được rằng
1
:
AHH
→
là toán tử tuyến tính liên tục.

g
Chứng minh được rằng vế phải
F
của phương trình
AwF
=
thuộc
(
)
2
0,1
L . Ở đây,
F
được xác định từ dữ kiện cuối và các dữ kiện biên của
phương trình nhiệt.
g
Chúng tôi cũng đưa ra được đánh giá cho chuẩn của toán tử
A
, đối với
chuẩn
1
HH
A
→
.

Bài toán nhiệt sau đây được chúng tôi khảo sát:
Tìm hàm
(
)

wx
thoả
(
)
,
txx
uufxt
−=
,
0,
x
>

0t1
≤≤
, (0.1)
(
)
(
)
,0
uxwx
=
,
0
x
>
, (0.2)
(
)

(
)
0,
utgt
=
,
01
t
≤≤
, (0.3)
(
)
(
)
0,
x
utht
=
,
01
t
≤≤
, (0.4)
trong đó
f
,
g
,
h
là các hàm cho trước.

Xét bài toán
()
(
)
()()
()()
,,0,0,
,0,0,
0,,0.
txx
x
uufxtxt
Iuxwxx
uthtt
−=>>

=>


=>



Bằng phương pháp chồng chất nghiệm, nghiệm của bài toán
(
)
I
được
tìm dưới dạng

(
)
(
)
(
)
(
)
123
,,,,
uxtuxtuxtuxt
=++
. (0.5)

Khi đó, sau nhiều phép tính phức tạp,
(
)
,
uxt
được cho bởi
() ()
() ()
22
44
1
,w
2
xx
tt
uxteed

t
ξξ
ξξ
π
+
−+
−−


=+


∫
¡



3

()
()
()
()
()
()
22
44
0
,
2

xx
t
tt
f
eedd
t
τξ
ττ
ξτ
ξτ
πτ
+
−+
−−
−−


++

−

∫∫
¡

(
)
2
4
0
1

t
x
ht
ed
τ
τ
τ
πτ
−
−
−
∫
.

Từ đây ta nhận được phương trình tích phân Fredholm loại một để tìm
ẩn hàm
(
)
wx
:
() ()
(
)
2
4
00
1
w
t
t

ht
edgtd
t
ξ
τ
ξξπτ
τ
∞
−
−
=+
∫∫

()
()
2
4
00
,
t
t
f
edd
t
ξ
τ
ξτ
ξτ
τ
∞

−
−
−
−
∫∫

hay viết dưới dạng phương trình toán tử như sau
(
)
(
)
(
)
AwtFt
=
. (0.6)
Như chúng ta đã biết, bài toán tìm nghiệm của phương trình tích phân
Fredholm loại một là một bài toán không chỉnh theo nghĩa Hadamard. Bài
toán gọi là chỉnh theo nghĩa Hadamard nếu thỏa ba điều kiện,
(
)
i
Bài toán có nghiệm,
(
)
ii
Nghiệm nếu có là duy nhất,
(
)
iii

Nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện, ở đây dữ kiện là
(
)
Ft
ở vế
phải của (0.6).
Tính chất duy nhất nghiệm là quan trọng vì ý nghĩa của nó là thông tin
về dữ kiện đo đạc “vừa đủ” để xác định nghiệm bài toán. Còn ý nghĩa của
sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện là độ sai lệch của nghiệm
(nếu tồn tại) ứng với dữ kiện bị nhiễu với mức độ nhỏ sẽ là nhỏ. Yếu tố thứ
ba này là quan trọng nhất vì sai số của dữ kiện khi đo đạc là điều hiển nhiên
và đó cũng là lý do mà chúng ta cần phải xử lý các bài toán này.
Như vậy bài toán là không chỉnh nếu như một trong ba điều kiện trên bị
vi phạm, nghĩa là các bài toán này có thể không có nghiệm (tức là ứng với
dữ kiện đo đạc bị nhiễu
F
, phương trình
AwF
=
vô nghiệm). Mặt khác,
nếu nghiệm tồn tại thì nó không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện (nghĩa là nếu
F
w
là nghiệm ứng với dữ kiện
F
thì một thay đổi nhỏ của
F
kéo theo một
thay đổi lớn của
F

w
).
Do nhu cầu tính toán, các bài toán không chỉnh cần được chỉnh hoá.
Nghĩa là cần xây dựng nghiệm ổn định (phụ thuộc liên tục vào dữ liệu cho


4

trước) đủ gần nghiệm cần tìm để rồi từ đó ta có thể tính xấp xỉ nghiệm chỉnh
hoá để sử dụng.
Sử dụng phương pháp Tikhonov (xem
[
]
7,15
), chúng tôi xây dựng một
phương trình mới để chỉnh hoá (phương trình chỉnh hoá)
AwF
εε
=
,
trong đó bài toán tìm nghiệm của phương trình này là bài toán chỉnh, tức là
(
)
i
Tồn tại duy nhất nghiệm
w
ε
với
F
ε

cho trước (
1
,
wHFH
εε
∈∈
)
(
)
ii
w
ε
phụ thuộc liên tục vào
F
ε
.
Lưu ý rằng, dữ liệu đo đạc
F
ε
bị nhiễu một cách khách quan so với dữ
liệu chính xác
F
.
Trong luận văn chúng tôi cũng đã thiết lập được sai số giữa nghiệm
chỉnh hoá
w
ε
nêu trên so với nghiệm chính xác
w
(với giả thiết trơn thích

hợp) của phương trình
AwF
=
.
Cụ thể, nếu sai số giữa dữ liệu đo đạc
F
ε
và dữ liệu chính xác
F
là
ε
,
nghĩa là
FF
ε
ε
−≤

thì chúng tôi chỉ ra được sai số giữa nghiệm chỉnh hoá
w
ε
và nghiệm chính
xác
w
có bậc
3
ε
hoặc
ε
, nghĩa là

3
wwM
ε
ε
−≤
hay
wwM
ε
ε
−≤ ,
trong đó
M
là một hằng số chỉ phụ thuộc vào nghiệm chính xác
w
. Hơn
nữa, chúng tôi cũng cho một thuật toán để tính xấp xỉ. Chúng tôi chứng
minh được rằng
w
ε
chính là điểm bất động duy nhất của một ánh xạ co. Do
đó có thể xây dựng một thuật toán lặp để tính xấp xỉ
w
ε
. Gọi
(
)
m
w
ε
là bước

lặp thứ m. Sai số giữa
(
)
m
w
ε
và nghiệm chính xác
w
được cho bởi
()
()
1
m
wwM
ε
ε
−≤+
với
m
ε
được chọn đủ lớn.
Về hình thức trình bày, luận văn được chia thành bốn chương:
Chương 1. Biến đổi Laplace,
Chương 2. Phương trình nhiệt,
Chuơng 3. Thiết lập phương trình tích phân,
Chương 4. Chỉnh hoá nghiệm.


5

Các công thức, bổ đề, mệnh đề, định lý và hệ quả được đánh số liên tục. Để
kết thúc một định lý, bổ đề, mệnh đề hay hệ quả ta dùng ký hiệu
W
.

Sau đây là các không gian Hilbert và Banach được sử dụng trong luận
văn.
1)
()()()
22
:Lwxwxdx
+
+


=<∞



∫
¡
¡ ,
(
)
0,
+
=∞
¡
, với tích vô hướng được
định nghĩa như sau

(
)
(
)
(
)
,
wwxxdx
ωω
+
=
∫
¡
,
(
)
2
w,Lω
+
∈
¡
,

2)
()()()
1
22
0
0,1:Lwxwx


=<∞


∫
, với tích vô hướng được định nghĩa như
sau
()()
1
0
,
wwxxdx
ωω=
∫
,
(
)
2
,0,1
wLω∈ ,

3)
()
()
()()
1
22
00
0,1,:,Lfxtfxtdxdt
∞
+


×=<∞


∫∫
¡ , với tích vô hướng được
định nghĩa như sau
()()()
1
00
,,,
fgfxtgxtdxdt
∞
=
∫∫
,
(
)
(
)
2
,0,1
fgL
+
∈×
¡
,
4).
[
]

(
)
0,1
C : Không gian Banach các hàm số liên tục trên
[
]
0,1
, đối với
chuẩn
[]
(
)
0,1
sup
t
ggt
∈
= ,
[
]
(
)
0,1
gC∈ .


6

Chương 1
Biến đổi Laplace

Định nghĩa 1. Hàm biến thực
(
)
ft
xác định trên khoảng
(
)
,
−∞∞
được gọi
là hàm gốc nếu thoả mãn các điều kiện sau
(
)
i
Với mọi
(
)
0,0
tft
<=
,
(
)
ii
Với
0

t
≥
, hàm
(
)
ft
có nhiều nhất là hữu hạn các điểm gián đoạn loại
một trên mỗi khoảng hữu hạn của trục
t
,
(
)
iii
Khi
t
→∞
, hàm
(
)
ft
tăng không nhanh hơn một hàm mũ, nghĩa là
tồn tại các hằng số dương
M
và
a
sao cho
(
)
at
ftMe

≤ ,
0
t
∀>
.
Chận dưới lớn nhất của các trị số của
a
trong
(
)
iii
được gọi là chỉ số tăng
của hàm
(
)
ft
.

Định nghĩa 2. Cho
(
)
ft
là một hàm gốc. Biến đổi Laplace của
(
)
ft
là một
hàm biến phức
(
)

Fp
được xác định bởi tích phân
(
)
Fp
()
0
pt
eftdt
∞
−
=
∫
. (1)
Ta viết

(
)
Fp
(
)
Lft
=

.
(Xem
[
]
2,10,11
).

Định lý 1 (tính giải tích bên phải). Giả sử
(
)
ft
là một hàm gốc với chỉ số
tăng
a
. Khi đó
(
)
i
Biến đổi Laplace
(
)
Fp
của
(
)
ft
hội tụ trong miền
{
}
Re
pa
>
,
(
)
ii

Hơn nữa,
(
)
Fp
là hàm giải tích trong nửa mặt phẳng
{
}
Re
pa
>
.
W


(Xem
[
]
2,10,11
).



7

Sau đây ta nêu ra các tính chất quan trọng của biến đổi Laplace cần dùng
cho luận văn.

Mệnh đề 1 (tính tuyến tính). Nếu
(
)

(
)
(
)
,Re1, ,
iii
LftFppain
=>=

,
thì
()()
{}
11
,Remax,1, ,
nn
iiiii
ii
LftFppain
αα
==

=>=


∑∑
,
trong đó
i
α

là các hằng số thực hoặc phức và
i
a
là các chỉ số tăng tương
ứng của các hàm
(
)
i
ft
.
W


Mệnh đề 2 (biến đổi của đạo hàm). Cho
(
)
ft
là một hàm gốc và
(
)
(
)
,Re
LftFppa
=>

.
Khi đó
(
)

i
Nếu
(
)
'
ft
cũng là một hàm gốc thì
(
)
(
)
(
)
'0,Re
LftpFpfpa
=−>

,

(
)
ii
Tổng quát, nếu các đạo hàm
(
)
(
)
(
)
n

ftn∈
¥
đều là những hàm gốc thì
()
()()
() ()
()
()
1
2
0'00
,Re
n
n
n
n
fff
LftpFppa
ppp
−


=−−−−>




.
W

(Xem
[
]
2,10,11
).

Định nghĩa 3. Tích chập của hai hàm
(
)
1
ft
và
(
)
2
ft
là hàm
(
)
t
ϕ
được xác
định bởi
()()()()()
1212
00
tt
tfftdftfd
ϕξξξξξξ
=−=−

∫∫
. (2)
Ta viết
(
)
(
)
(
)
12
f
tft
ϕ
=∗
.

Ta có kết qủa sau về biến đổi Laplace của tích chập của hai hàm.

Mệnh đề 3. Giả sử
(
)
(
)
11
LftFp
=

,
(
)

(
)
22
LftFp
=

,
11
Re
pa
>
,
22
Re
pa
>
. Khi đó
(
)
(
)
(
)
(
)
1212
LfftFpFp
∗=

,

Re
p
>

{
}
12
max,
aa
.
W
(3)


8


(Xem
[
]
2,10,11
).

Nếu
(
)
Fp
là ảnh của một hàm gốc
(
)

ft
nào đó thì ta có
()() ()
1
1
2
ai
pt
ai
ftLFpeFpdp
iπ
+∞
−
−∞
==

∫
.

Thật ra ta có kết qủa sau (Xem
[
]
2,10,11
).

Định Lý 2 (Công thức biến đổi Laplace ngược). Cho hàm
(
)
Fp
của biến

phức
pxiy
=+
thỏa các điều kiện sau
(
)
i

(
)
Fp
là hàm giải tích trong nửa mặt phẳng
Re
pa
>
,
(
)
ii
Tồn tại các hằng số dương
0
,,
MR
δ
sao cho
()
M
Fp
p
δ

≤ ,
0
pR
>

(
)
Re
ppa
∈>
.
Khi đó tồn tại hàm
(
)
ft
mà biến đổi Laplace của nó là
(
)
Fp
và
(
)
ft

được xác định bởi
()() ()
1
1
2
ai

pt
ai
ftLFpeFpdp
iπ
+∞
−
−∞
==

∫
. (4)
(Công thức tích phân Bromwich).
W


Bổ đề 1(Jordan). Cho
(
)
Fp
là hàm giải tích trong nửa mặt phẳng
Re
pa
>
. Giả sử tồn tại các hằng số dương
0
,,
MR
δ
sao cho
{

}
Re
ppa
∀∈≤
và
0
pR
>
thì
()
M
Fp
p
δ
≤ .
Khi đó ta có
(
)
lim0,0
R
pt
R
Fpedpt
γ
→∞
=∀>
∫
, (5)
trong đó
R

γ
là một phần đường tròn
pR
=
nằm trong miền
{
}
Re
pa
≤
,
0
RR
>
.



9

Chứng minh. Ta chia
R
γ
thành bốn phần,
R
γ
1234
CCCC
=∪∪∪
như hình

vẽ



Gọi
1234
,,,
IIII
lần lượt là các tích phân trên
1234
,,,
CCCC
. Ta lần lượt
đánh giá các tích phân này như sau
1
2
i
CpRe
θ
π
ψθ

==≤≤



()
2
cossin
1

itRitRi
IFReeReid
π
θθθθ
ψ
θ
+
=
∫

Suy ra
()
2
cos
1
itR
IFReeRd
π
θθ
ψ
θ
≤
∫

(vì
cossincos
tRiRtR
ee
θθθ
+

= và
i
ReiR
θ
=
)
Theo giả thiết,
()
i
M
FRe
R
θ
δ
≤ ,
do đó
2
cos
1
tR
M
IeRd
R
π
θ
δ
ψ
θ
≤
∫

2
cos
1
Rt
M
ed
R
π
θ
δ
ψ
θ
−
=
∫

Hơn nữa,
,
2
π
θψ

∀∈


, ta có
a+ib

a-ib

x

y

C
2
C
3

R
γ
C
1
C
4

o

a

ψ


10

coscos
RtRtat
eee
θψ
≤=

(vì
cos
aR
ψ
=
)
Như vậy
2
1
1
at
M
Ied
R
π
δ
ψ
θ
−
≤
∫
1
2
at
Me
R
δ
π
ψ
−


=−



hay
1
11
arccosarcsin
2
atat
MeaMea
I
RRRR
δδ
π
−−

≤−=


.
Tiếp theo ta sử dụng bất đẳng thức
arcsin
2
π
θθ
≤ nếu
01
θ

≤≤

(hay
2
sin
φφ
π
≥ nếu 0
2
π
φ
≤≤
)
ta nhận được
1
1
22
at
at
MeaaM
Ie
RRR
δδ
ππ
−
≤=.
Vậy

1
lim0

R
I
→∞
=
.

Tích phân trên cung
2
C
được đánh giá tương tự. Thật vậy, ta có
()
cossin
2
2
itRitRi
IFReeiRed
π
θθθθ
π
θ
+
=
∫
.
Do đó
()
cos
2
2
Rti

IeFReRd
π
θθ
π
θ
≤
∫
.
Vì
()
i
M
FRe
R
θ
δ
≤ ,
nên
cos
2
1
2
Rt
M
Ied
R
π
θ
δ
π

θ
−
≤
∫
.
Sử dụng bất đẳng thức


11

2
cos1
θθ
π
≤− với
2
π
θπ
≤≤
,
ta thu được
2
1
2
1
2
Rt
M
Ied
R

π
θ
π
δ
π
θ

−


−
≤
∫

()
1
1
2
Rt
M
e
RRt
δ
π
−
−
=−
()
1
2

Rt
M
e
tR
δ
π
−
=−.
Vậy
2
lim0
R
I
→∞
=
.

Làm tương tự ta cũng thu được
34
limlim0
RR
II
→∞→∞
==
.

Vậy
(
)
lim0

R
pt
R
Fpedp
γ
→∞
=
∫
.
W


Bổ đề 2. Dùng công thức tích phân Bromwich và Bổ đề 1 ta có

2
1
4
1
p
t
e
Le
pt
α
α
π
−
−
−


=



,
0
α
>
. (6)

Chứng minh. Đặt
()
1
2
ai
p
pt
ai
e
ktedp
i
p
α
π
+∞
−
−∞
=
∫
,

0
a
>
, (7)

và chọn chu tuyến đóng
123456
CCCCCCC
ρ
γ
Γ=∪∪∪∪∪∪∪
nằm
trong miền đơn liên
(
]
\,0
DΓ⊂=−∞
£
như hình vẽ


12



Hàm
()
1
2
p

pt
e
Gpe
i
p
α
π
−
= là hàm giải tích đơn trị trong
D
và không có
điểm kỳ dị nào trong
D
. Do đó theo định lý Cauchy ta có
(
)
0
Gpdp
Γ
=
∫
.
Đặt
1256
R
CCCC
γ
=∪∪∪
thì
(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
34
0
R
CCC
GpdpGpGpdpGpdpGpdp
ρ
γγ
++++=
∫∫∫∫∫
.
Hàm
()
p
e
Fp
p
α−
=
thoả điều kiện của Bổ đề 1. Thật vậy, đặt
()
2

cossin
22
22
i
Ri
Re
ii
ee
Fp
ReRe
θ
θθ
α
α
θθ

−+

−

== .
Suy ra
()
cos
2
1
R
e
Fp
RR

θ
α−
=<,
1
1,
2
M δ

==


.
Vậy theo Bổ đề 1 ta thu được
()
1
limlim0
2
RR
p
pt
RR
e
Gpdpedp
i
p
α
γγ
π
−
→∞→∞

==
∫∫
. (9)
y

x

C
1

C
2
C
3
C
4
C
5

C
6


γ

C
ρ
a

a+ib

a-ib



13

Mặt khác trên :
i
Cpe
θ
ρ
ρ
= ta có
()
1
2
p
pt
CC
e
Gpdpedp
i
p
ρρ
α
π
−
=
∫∫

2
2
1
2
i
i
e
tei
i
e
eiedp
i
e
θ
θ
π
αρ
ρθ
θ
π
ρ
π
ρ
−
−
=
∫
.
Vậy

()
cos
2
cos
1
2
t
C
e
Gpdped
ρ
θ
αρ
π
ρθ
π
ρθ
π
ρ
−
−
≤
∫∫

coscos
2
1
2
t
ed

π
θ
ρθαρ
π
ρθ
π
−
−
=
∫
.
Từ đó suy ra
(
)
0
lim0
C
Gpdp
ρ
ρ→
=
∫
. (10)
Cho
R
→∞
,
0
ρ
+

→ , từ (8), (9) và (10) ta nhận được
()
1
lim
2
aib
p
pt
R
aib
e
ktedp
i
p
α
π
+
−
→∞
−
=
∫

34
11
limlim
22
pp
ptpt
RR

CC
ee
edpedp
ii
pp
αα
ππ
−−
−−
→∞→∞
=+
∫∫
.

Chú ý rằng ở bờ trên của nhát cắt (trên
3
C
) ta có
arg
p
π
=
,
i
prer
π
==−
,
2
i

preir
π
==.
Còn ở bờ dưới của nhát cắt (trên
4
C
),
arg
p
π
=−

i
prer
π−
==−
,
2
i
preir
π
−
==− ,
(
)
0
r
>
.
Suy ra

14

()
00
11
22
irir
rtrt
ee
ktedredr
ii
irir
αα
ππ
∞∞
−
−−
−
=+
−
∫∫

0
1
2
irir
rt
ee

edr
r
αα
π
∞
−
−
+
=
∫

0
1cos
rt
r
edr
r
α
π
∞
−
=
∫
.
Đổi biến
xr
=, ta có
2
rx
=

,
2
drxdx
=
. Ta thu được
()
2
0
1cos
2
tx
x
ktexdx
x
α
π
∞
−
=
∫

2
0
2
cos
tx
exdx
α
π
∞

−
=
∫
.
Do hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn nên
()
2
1
cos
tx
ktexdx
α
π
∞
−
−∞
=
∫

()
2
1
Recossin
tx
exixdx
αα
π
∞
−
−∞

=+
∫

2
1
Re
txix
eedx
α
π
∞
−
−∞
=
∫

2
2
4
2
1
Re
txi
t
t
edx
αα
π

∞

−−−


−∞
=
∫

2
2
2
4
1
Re
txi
t
t
eedx
α
α
π

∞
−−
−


−∞
=
∫

()
2
2
4
1
tx
t
eedx
α
π
∞
−
−
−∞
=
∫
.
Vì vậy
()
2
4
1
t
kte
t
α
π
−
=,
do

2
x
edxx
∞
−
−∞
=
∫
.
Bổ đề 2 được chứng minh.
W



15

Chương 2
Phương trình nhiệt




Bài toán. Tìm hàm
(
)
wx
thoả

(
)

,
txx
uufxt
−=
,
0
x
>
,
01
t
≤≤
, (11)
(
)
(
)
,0
uxwx
=
,
0
x
>
, (12)
(
)
(
)
0,

utgt
=
,
01
t
≤≤
, (13)
(
)
(
)
0,
x
utht
=
,
01
t
≤≤
, (14)
trong đó
f
,
g
,
h
là các hàm cho trước.

Trước tiên ta xét bài toán sau

(
)
,
txx
uufxt
−=
,
0
x
>
,
0
t
>
, (11)
(
)
(
)
,0
uxwx
=
,
0
x
>
, (12)
(
)
(

)
0,
x
utht
=
,
0
t
>
. (14)

Nghiệm của bài toán (11), (12), (14) được tìm dưới dạng

(
)
(
)
(
)
(
)
123
,,,,
uxtuxtuxtuxt
=++
, (15)

với
123
,,

uuu
là nghiệm của các bài toán tương ứng sau đây:
Bài toán
(
)
A
.
0
txx
uu
−=
,
0
x
>
,
0
t
≥
, (16)
(
)
(
)
,0
uxwx
=
,
0
x

>
, (12)
(
)
0,0
x
ut
=
,
0
t
≥
, (17)
Bài toán
(
)
B
.
(
)
,
txx
uufxt
−=
,
0
x
>
,
0

t
≥
, (11)
(
)
,00
ux
=
,
0
x
>
, (18)
(
)
0,0
x
ut
=
,
0
t
≥
, (17)


16

Bài toán
(

)
C
.
0
txx
uu
−=
,
0
x
>
,
0
t
>
, (16)
(
)
,00
ux
=
,
0
x
>
(18)
(
)
(
)

0,
x
utht
=
,
0
t
>
. (14)

Nhận xét. Ta tìm nghiệm của ba bài toán
(
)
(
)
(
)
,,
ABC
với
[
)
0,
t
∈∞
. Rồi
sau đó thu hẹp xuống
[
]
0,1

để thu được nghiệm của bài toán (11), (12), (14).

Trước khi chỉ ra nghiệm của bài toán
(
)
A
ta cần các bổ đề sau.

Bổ đề 3. Nghiệm của bài toán Cauchy
0
txx
uu
−=
,
x
∈
¡
,
0
t
>
, (16)
(
)
(
)
,0
uxwx
=
, (12)

được xác định bởi
()
()
()
2
4
1
,
2
x
t
uxtewd
t
ξ
ξξ
π
−
−
=
∫
¡
. (19)
(Xem
[
]
5,6,9,12
).
W

Bổ đề 4. Giả sử hàm

()
()
()
2
4
1
,
2
x
t
uxted
t
ξ
ψξξ
π
−
−
=
∫
¡

với
ψ
là hàm bị chận. Khi đó với mọi
0
t
>
ta có

(
)
i
Nếu
ψ
là hàm lẻ thì
(
)
0,0
ut
=
,
(
)
ii
Nếu
ψ
là hàm chẵn thì
()
0,0
u
t
x
∂
=
∂
.

Chứng minh.
(

)
i
Ta có

() ()
2
4
1
0,0
2
t
uted
t
ξ
ψξξ
π
−
==
∫
¡
,
vì hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ.

(
)
ii
Ta có


17

() () ()
2
4
1
0,0
4
t
u
ted
x
tt
ξ
ξψξξ
π
−
∂
=−−=
∂
∫
¡

do hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ.
W


Bổ đề 5. Nghiệm của bài toán
(
)
A

là
() ()
() ()
22
44
1
1
,w
2
xx
tt
uxteed
t
ξξ
ξξ
π
+
−+
−−


=+


∫
¡
.

Chứng minh. Goị
(

)
x
ψ
là thác triển chẵn của
(
)
x
w lên
¡
, tức là
()
(
)
()
,0,
,0.
wxx
x
wxx
ψ

≥

=

−<



Đặt

()
()
()
2
4
1
,
2
x
t
Uxted
t
ξ
ψξξ
π
−
−
=
∫
¡
,
thì
(
)
(
)
,,,0
Uxtuxtx
=∀≥
,

(
)
(
)
(
)
,0,0,0
Uxuxwxx
==∀>
,
với
(
)
,
uxt
được xác định bởi (19) trong Bổ đề 3,
()
0,0
U
t
x
∂
=
∂
(do Bổ đề 4).
Như vậy
(
)
,
Uxt

thoả (16),(12),(17). Tiếp theo ta biến đổi
(
)
,
Uxt
như
sau
()
()
()
()
()
22
0
44
0
1
,
2
xx
tt
Uxteded
t
ξξ
ψξξψξξ
π
−−
+∞
−−
−∞



=+


∫∫
.
Đổi biến
1
ξξ
=−
trong tích phân thứ nhất,

()
()
()
()
()
22
1
44
11
00
1
,
2
xx
tt
Uxteded
t

ξξ
ψξξψξξ
π
+−
+∞+∞
−−


=−+


∫∫

()
()
()
()
22
44
00
1
2
xx
tt
ewdewd
t
ξξ
ξξξξ
π
+−

+∞+∞
−−


=+


∫∫
.


18

() ()
() ()
2
44
1
,
2
xx
tt
Uxtweed
t
ξξ
ξξ
π
+
−+
−−



=+


∫
¡
.
Vậy (20) là nghiệm của bài toán
(
)
A
.
W


Để chỉ ra nghiệm của bài toán
(
)
B
ta cần bổ đề sau.

Bổ đề 6. Nghiệm của bài toán Cauchy không thuần nhất
(
)
,
txx
uufxt
−=
,

x
−∞<<∞
,
0
t
>
, (11)
(
)
,00
ux
=
, (18)
được xác định bởi
()
()
()
()
()
2
4
0
,
,
2
x
t
t
f
uxtedd

t
ξ
τ
ξτ
ξτ
πτ
+
−
−
−
=
−
∫∫
¡

()()
0
,,
t
Gxtfdd
ξτξτξτ
+
=−−
∫∫
¡
. (21)

Nhận xét. Theo nguyên lí Duhamel, nghiệm của bài toán (11), (18) được
xây dựng từ nghiệm của bài toán (16), (12).

Chứng minh. Bởi vì hàm
G
có kì dị tại
(
)
0,0
, ta không thể tính trực tiếp
đạo hàm dưới dấu tích phân. Ta phải làm như sau, trước tiên ta dùng phép
đổi biến để viết
()()()
0
,,,
t
uxtGfxtdd
ξτξτξτ
=−−
∫∫
¡
.
Giả sử
[
)
(
)
2
1
0,fC
∈×∞
¡ có giá compact. Vì
(

)
,
GG
ξτ
=
là hàm trơn ở
gần
0
t
τ
=>
, ta tính
()()()
0
,,,
t
tt
uxtGfxtdd
ξτξτξτ
=−−
∫∫
¡

(
)
(
)
,,0
Gtfxd
ξξξ

+−
∫
¡

và
()() ()
22
22
0
,,,
t
u
xtGfxtdd
xx
ξτξτξτ
∂∂
=−−
∂∂
∫∫
¡
.


19

Như vậy,
,
txx
uu
và tương tự

u
đều thuộc
(
)
(
)
0,
C
×∞
¡
.

Bây giờ để kiểm tra (21) thoả (11) ta tính toán như sau
()()() ()
0
,,,,
t
txxx
uxtuxtGfxtdd
x
ξτξτξτ

∂

−=−∆−−


∂



∫∫
¡

(
)
(
)
,,0
Gtfxd
ξξξ
+−
∫
¡

() ()
,,
t
Gfxtdd
ξ
ε
ξτξτξτ
τ

∂

=−−∆−−


∂



∫∫
¡

() ()
0
,,
Gfxtdd
ε
ξ
ξτξτξτ
τ

∂

+−−∆−−


∂


∫∫
¡

(
)
(
)
,,0
Gtfxd

ξξξ
+−
∫
¡

IJK
εε
=++
.

Bây giờ ta lần lượt đánh giá như sau
()
()
2
0
,
f
L
L
JfDGddC
ε
ε
ξτξτε
∞
∞
≤+≤
∫∫
¡
, (23)
do

(
)
,1
Gddξτξτ
=
∫
¡
. (xem
[
]
5,6,9,12
).

Để tính
I
ε
ta viết thành hai tích phân rồi tính tích phân từng phần. Khi
đó ta thu được
() ()
,,
t
IGfxtdd
ε
ε
ξτξτξτ
τ
∂
=−−−
∂
∫∫

¡

()()
,,
t
Gfxtdd
ξ
ε
ξτξτξτ
+−∆−−
∫∫
¡


()()
,,
t
Gfxtdd
ξ
ε
ξτξτξτ
τ

∂

=−∆−−


∂



∫∫
¡
(24)
(
)
(
)
,,
Gfxtd
ξεξτξ
+−−
∫
¡

(
)
(
)
,,0
Gfxd
ξτξξ
−−
∫
¡



20

(
)
(
)
,,
GfxtdK
ξεξτξ
=−−−
∫
¡
,
vì
(
)
,
G
ξτ
là nghiệm cuả phương trình nhiệt (11). Kết hợp (22), (23) và
(24) ta nhận được
(
)
(
)
(
)
(
)
0
,,lim,,
txx

uxtuxtGfxtd
ε
ξεξεξ
→
−=−−
∫
¡

(
)
,
fxt
=

(
)
,0
xt
∈>
¡
,
ở đây giới hạn khi
0
ε
→
được tính giống như trong chứng minh Bổ đề 3.
Cuối cùng chú ý rằng
(
)
,0

L
L
uttf
∞
∞
≤→
g
.

Vậy (21) là nghiệm của bài toán (11), (18).
W


Bổ đề 7. Nghiệm của bài toán
(
)
B
là
()
()
()
()
()
()
22
44
2
0
,
1

,
2
xx
t
tt
f
uxteedd
t
ξξ
ττ
ξτ
ξτ
πτ
+
−+
−−
−−


=+

−

∫∫
¡
. (25)

Chứng minh. Ta làm tương tự như phép chứng minh Bổ đề 5. Thật vậy, gọi
(
)

,
xt
ϕ
là thác triển chẵn theo
x
của
(
)
,
fxt
lên
¡
, nghĩa là
()
(
)
()
,,0,0
,
,,0,0.
fxtxt
xt
fxtxt
ϕ

≥≥

=

−<≥




Đặt
()
()
()
()
()
2
4
0
,
,
2
x
t
t
Vxtedd
t
ξ
τ
ϕξτ
ξτ
πτ
−
−
−
=
−

∫∫
¡
.
Khi đó

(
)
,
Vxt
thoả (11),(18) với mọi
0
x
≥
,
(
)
,00
Vx
=
, với
0
x
>
(do Bổ đề 6),
()
0,0
V
t
x
∂

=
∂
(do Bổ đề 4).

Như vậy
(
)
,
Vxt
thoả (11), (18), (17). Bây giờ ta biến đổi
(
)
,
Vxt
như
sau


21

()
()
()
()
()
2
0
4
0
1

,,
2
x
t
t
Vxtedd
t
ξ
τ
ϕξτξτ
πτ
−
−
−
−∞
=
−
∫∫

()
()
()
()
2
4
00
1
,
2
x

t
t
edd
t
ξ
τ
ϕξτξτ
πτ
−
∞
−
−
+
−
∫∫
.

Đổi biến
1
ξξ
=−
trong tích phân thứ nhất,
()
()
()
()
()
2
1
4

11
00
1
,,
2
x
t
t
Vxtedd
t
ξ
τ
ϕξτξτ
πτ
+
∞
−
−
=−
−
∫∫

()
()
()
()
2
4
00
1

,
2
x
t
t
edd
t
ξ
τ
ϕξτξτ
πτ
−
∞
−
−
+
−
∫∫

()
()
()
()
2
4
00
1
,
2
x

t
t
fedd
t
ξ
τ
ξτξτ
πτ
+
∞
−
−
=
−
∫∫

()
()
()
()
2
4
00
1
,
2
x
t
t
fedd

t
ξ
τ
ξτξτ
πτ
−
∞
−
−
+
−
∫∫

()
()
()
()
()
()
()
22
44
0
,
,
2
xx
t
tt
f

Vxteedd
t
ξξ
ττ
ξτ
ξτ
πτ
+
−+
−−
−−


=+

−

∫∫
¡
.

Vậy nghiệm của bài toán
(
)
B
là

()
()
()

()
()
()
22
44
2
0
,
1
,.
2
xx
t
tt
f
uxteedd
t
ξξ
ττ
ξτ
ξτ
πτ
+
−+
−−
−−


=+


−

∫∫
¡

W



Bổ đề 8. Bài toán
(
)
C
có nghiệm là
()
(
)
2
4
0
1
,
t
x
ht
uxted
τ
τ
τ
πτ

−
−
=−
∫
. (26)