Cac khai niem co ban

Chương I
Sunday, October 05, 2008

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ
TRUYỀN NHIỆT và
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẪN NHIỆT

A. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Nhiệt lượng
⇒ Là năng lượng trao đổi khi có chênh lệch nhiệt độ

Nguyễn toàn phong

Page 1 of 24

Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt


Nguyễn toàn phong

Page 2 of 24

Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt


Nhiệt lượng trao đổi theo ba hình thức cơ bản: dẫn nhiệt,
trao đổi nhiệt đối lưu và trao đổi nhiệt bức xạ
I. DẪN NHIỆT

⇒ Nhiệt lượng truyền giữa hai vật tiếp xúc trực tiếp
với nhau có chênh lệch nhiệt độ

⇒ hoặc giữa các vùng có nhiệt độ khác nhau trong
cùng một vật.

Nguyễn toàn phong

Page 3 of 24

Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt


II. TRAO ĐỔI NHIỆT ĐỐI LƯU

⇒ Nhiệt lượng trao đổi giữa lưu chất và bề mặt rắn
khi có chênh lệch nhiệt độ.

Nguyễn toàn phong

Page 4 of 24

Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt


Nguyễn toàn phong

Page 5 of 24

Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt


III. TRAO ĐỔI NHIỆT BỨC XẠ

⇒ Nhiệt lượng trao đổi giữa hai vật có nhiệt độ
chênh lệch không tiếp xúc nhau trong môi trường
chất khí hoặc chân không.

IV.
Nguyễn toàn phong

Page 6 of 24

Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt


V. TRAO ĐỔI NHIỆT PHỨC TẠP

⇒ Nhiệt lượng truyền giữa hai đối tượng có chênh
lệch nhiệt độ từ hai cách trên trở lên

Quá trình truyền nhiệt năng có liên quan chặt chẽ với sự
phân bố nhiệt độ (hay gradient nhiệt độ)

Nguyễn toàn phong

Page 7 of 24

Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt


VI. TRƯỜNG NHIỆT ĐỘ

Nhiệt độ Là thông số trạng thái biểu thị mức độ nóng
lạnh của vật.
Là yếu tố quyết định phương hướng chuyển
động của dòng nhiệt.
Trường nhiệt độ Mô tả giá trị nhiệt độ trong vật theo
thời gian.
Trong trường hợp tổng quát nhiệt độ là hàm số của tọa độ
và thời gian.

t = f (x, y, z, τ )
t = f (r, φ, z, τ )

(1-1)

t = f (r, φ, θ, τ )

Nguyễn toàn phong

Page 8 of 24

Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt


• Trường nhiệt độ ổn định
t = f (x , y , z )
∂t
=0
∂τ
• Trường nhiệt độ biến thiên 2 chiều
t = f (x , y , τ )

∂t
=0
∂z

(1-2)

(1-3)

• Trường nhiệt độ ổn định biến thiên theo 2 chiều
t = f (x, y )
(1-4)
∂t
∂t
=0
= 0 và
∂z
∂τ
• Trường nhiệt độ ổn định biến thiên 1 chiều
t = f (x )

∂t ∂t
∂t
=
= 0 và
=0
∂y ∂z
∂τ

Nguyễn toàn phong

Page 9 of 24

(1-5)

Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt


VII. GRADIENT NHIỆT ĐỘ

Mặt đẳng nhiệt: Tập hợp các điểm có nhiệt độ giống
nhau tại một thời điểm nào đó.
¾ Mặt đẳng nhiệt không cắt nhau.
¾ Nhiệt độ sẽ thay đổi khi đi qua các mặt đẳng nhiệt.
Gradient nhiệt độ: Độ biến thiên nhiệt độ theo phương
pháp tuyến.
Là vectơ trùng với phương pháp
tuyến của bề mặt đẳng nhiệt theo
chiều tăng của nhiệt độ

t + Δt

n
∂t
∂n

s

ϕ

∂t

∂s

t
∂t r ∂t r ∂t r
grad t = ⋅ i + ⋅ j + ⋅ k = ∇t
∂x
∂y
∂z

Nguyễn toàn phong

Page 10 of 24

(1-6)

Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt


Hay

grad t = n o grad t

(1-7)

no Vectơ pháp tuyến đơn vị theo chiều tăng nhiệt độ
với bề mặt đẳng nhieät.
r
r
r
n o = cos(n, x) ⋅ i + cos(n, y) ⋅ j + cos(n, z) ⋅ k

(1-8)
Độ lớn

grad t = t '2x + t'2y + t '2z

(1-9)

VIII. NGUỒN NHIỆT

Nguồn nhiệt là năng lượng chuyển hóa từ dòng điện,
phản ứng nguyên tử hoặc từ các phản ứng
hóa học thành năng lượng nhiệt,
tính cho một đơn vị thể tích qv, W m 3

Nhiệt lượng sinh ra từ thể tích V do nguồn nhiệt bên trong

Q V = ∫ q v ⋅ dV

(1-10)

V

Nguyễn toàn phong

Page 11 of 24

Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt


B. ĐỊNH LUẬT FOURIER

Đây là định luật cơ bản của dẫn nhiệt trong vật chất.
“Nhiệt lượng dQτ truyền qua phần tử bề mặt đẳng nhiệt dF
trong khoảng thời gian dτ tỷ lệ thuận với gradient nhiệt độ”
∂t
∂Q τ = − λ ⋅ ⋅ dF ⋅ dτ J
(1-11)
∂n
Daáu “ −” Do nhiệt lượng luôn đi từ nơi có nhiệt độ cao
đến nơi có nhiệt độ thấp.

λ

Hệ số dẫn nhiệt, là thông số vật lý đặc trưng
cho khả năng dẫn nhiệt của vật liệu. W/(m.K)

Mật độ dòng nhiệt nhiệt lượng truyền qua một đơn vị
bề mặt đẳng nhiệt trong một đơn vị
thời gian:
dQ τ
∂t
= − λ⋅
qF =
W/m2
(1-12)
dF ⋅ dτ
∂n
r
r
r
qF = qx ⋅ i + qy ⋅ j + qz ⋅ k

(1.13)

Với

∂t
⎧
q
=
−
λ
⋅
⎪ x
∂x
⎪
∂t
⎪
q
=
−
λ
⋅
⎨ y
∂y
⎪
⎪
∂t
q
=
−
λ

⋅
⎪⎩ z
∂z

(1-14)

q F = − λ ⋅ grad t hay q F = − λ ⋅ ∇t

(1-15)

Trường hợp tổng quát:
Nguyễn toàn phong

Page 12 of 24

Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt


Dòng nhiệt truyền qua mặt đẳng nhiệt F trong một đơn vị
thời gian:

Q = − ∫ λ ⋅ grad t ⋅ dF W

(1-16)

F

Nhiệt lượng truyền qua mặt đẳng nhiệt F sau khoảng
thời gian τ:
τ

Q = − ∫ ∫ λ ⋅ grad t ⋅ dF ⋅ dτ J

(1-17)

0 F

Nguyễn toàn phong

Page 13 of 24

Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt


C. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẪN NHIỆT
Hiện tượng dẫn nhiệt luôn liên quan với sự chuyển động
vi mô của vật chất
9 Trong chất khí

⇒ là do khuếch tán của các phân tử và nguyên tử
9 Trong chất lỏng và chất cách điện

⇒ do tác dụng của sóng đàn hồi
9 Trong kim loại

⇒ do sự khuếch tán của các điện tử tự do (dao động
đàn hồi của mạng tinh thể đóng vai trò thứ yếu)
Các giả thuyết khi thiết lập phương trình vi phân dẫn nhiệt:
+ Vật đồng chất và đẳng hướng.
+ Thông số vật lý là hằng số.

+ Vật xem là hoàn toàn cứng (sự thay đổi thể tích do
nhiệt độ gây nên rất bé)
+ Các phần vó mô của vật không có sự chuyển động
tương đối vơí nhau.
+ Nguồn nhiệt bên trong phân bố đều: q v = const , W/m3

Nguyễn toàn phong

Page 14 of 24

Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt


Phương trình vi phân dẫn nhiệt được xây dựng dựa trên
cơ sở định luật bảo toàn năng lượng và định luật Fourier.
Định luật bảo toàn năng lượng: “Nhiệt lượng δQ1 đưa
vào phần tử thể tích dV sau khoảng thời gian dτ do dẫn nhiệt
và do nguồn nhiệt bên trong phát ra bằng sự biến thiên nội
năng trong phần tử thể tích vật”

∂ Q 1 + ∂Q 2 = ∂ Q

(1-18)

δQ1 Nhiệt lượng đưa vào phần tử thể tích bằng dẫn
nhiệt sau khoảng thời gian dτ
δQ2

Nhiệt lượng phát sinh trong phần tử thể tích sau
khoảng thời gian dτ do nguồn nhiệt bên trong.

δQ

Độ biến thiên nội năng trong phần tử thể tích dv
sau khoảng thời gian dτ.

Nguyễn toàn phong

Page 15 of 24

Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt


Theo phương x, nhiệt lượng đưa vào tại vị trí x và đưa ra
tại vị trí x + dx là:
∂Q x = q x ⋅ dy ⋅ dz ⋅ dτ

∂Q x + dx = q x + dx ⋅ dy ⋅ dz ⋅ dτ
Nhiệt lượng tích tụ lại trong phần tử thể tích theo
phương x sau khoảng thời gian dτ :
∂Q1x = ∂Q x − ∂Q x + dx

= (q x − q x + dx ) ⋅ dy ⋅ dz ⋅ dτ

(1-19.a)

Hàm q x + dx liên tục trong khoảng dx, do đó có thể khai
triển theo chuổi Taylor nhö sau:
q x + dx

∂ n q x dx n
∂q x
∂ 2 q x dx 2
⋅
+ ... +
⋅
= qx +
⋅ dx +
2
n
∂x
2!
n!
∂x
∂x

Nếu chỉ lấy 2 số hạng đầu, thế vào (a) ta coù:
∂q
∂Q1x = − x ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz ⋅ dτ
∂x

(1-19.b)

Tương tự, nhiệt lượng tích tụ theo phương y và z là:
∂q y
∂Q 1y = −
⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz ⋅ dτ
∂y
∂Q1z = −

∂q z
⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz ⋅ dτ
∂z

Như vậy, nhiệt lượng tích tụ lại trong phần tử thể tích dv
sau khoảng thời gian dτ do dẫn nhiệt là:

Nguyễn toàn phong

Page 16 of 24

Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt


∂Q1 = ∂Q1x + ∂Q1y + ∂Q1z
(1-19.c)
⎛ ∂q x ∂q y ∂ q z ⎞
⎟⎟ ⋅ dV ⋅ dτ = −∇q ⋅ dV ⋅ dτ
= −⎜⎜
+
+
∂
∂
∂
x
y
z
⎝
⎠
Nhiệt lượng tỏa ra do nguồn nhiệt bên trong q v [W/m3]

(phân bố đều):
∂Q 2 = q v ⋅ dV ⋅ dτ

Biến thiên nội năng trong phần tử thể tích dv:
Cv ≡ Cp ≡ C
∂t
∂t
∂Q = C ⋅ dm ⋅ ⋅ dτ = C ⋅ ρ ⋅ ⋅ dV ⋅ dτ
∂τ
∂τ

(1-19.d)

(1-19.e)

Thay 1-19.c, 1-19.d, 1-19.e vaøo 1-18
Ta được:

q
∂t
1
=−
⋅ ∇q + v
∂τ
C.ρ
C.ρ

(1-20)

Thế phương trình 1-15 vào 1-20

q
λ
∂t
Ta được
=
⋅ ∇2 t + v
∂τ C.ρ
C.ρ
q
∂t
= a ⋅ ∇2 t + v
∂τ
C.ρ

Hay
a=

(1-21)

λ
hệ số khuếch tán nhiệt, là thông số vật lý tồn tại
C.ρ
trong quá trình dẫn nhiệt không ổn định và đặc
trưng cho tốc độ biến thiên nhiệt độ của vật.

Nguyễn toàn phong

Page 17 of 24

Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt

Trong hệ tọa độ trụ

Ta thế quan hệ sau

⎧x = r ⋅ cos φ
⎪
⎨y = r ⋅ sin φ
⎪z = z
⎩

(1-22)

vào phương trình 1-21, phương trình vi phân dẫn nhiệt
trong hệ tọa độ trụ có dạng:
⎛ ∂ 2 t 1 ∂t 1 ∂ 2 t ∂ 2 t ⎞ q v
∂t
= a⋅⎜ 2 + ⋅ + 2 ⋅ 2 + 2 ⎟ +
∂τ
r ∂r r ∂φ ∂z ⎠ C.ρ
⎝ ∂r

Nguyeãn toàn phong

Page 18 of 24

(1-23)

Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt

Trong hệ tọa độ cầu:

Ta thế quan hệ sau
⎧x = r ⋅ cos φ ⋅ sin θ
⎪
⎨y = r ⋅ sin φ ⋅ sin θ
⎪z = r ⋅ cos θ
⎩

(1-24)

vaøo phương trình 1-21, phương trình vi phân dẫn nhiệt
trong hệ tọa độ cầu có dạng:
⎡1 ∂ 2
∂ ⎛
∂t ⎞
∂ 2t ⎤ qv
∂t
1
1
⋅ ⎜ sin θ ⋅ ⎟ + 2
⋅ 2⎥+
= a ⋅ ⎢ ⋅ 2 (r ⋅ t ) + 2
2
∂τ
∂θ ⎠ r . sin θ ∂φ ⎦ c.ρ
r . sin θ ∂θ ⎝
⎣ r ∂r

(1-25)

Nguyễn toàn phong

Page 19 of 24

Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt


D. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH MỘT CHIỀU
KHÔNG CÓ NGUỒN NHIỆT BÊN TRONG
I. TRONG HỆ TỌA ĐỘ VUÔNG GÓC

P/trình 1-21

q
∂t
= a ⋅ ∇2 t + v
∂τ
C.ρ

Trường hợp này mặt đẳng nhiệt là những mặt phẳng
song song → nhiệt độ chỉ thay đổi theo phương x, ta có
∂t
∂t
⎫
= 0⎪
=0
d2t

∂z
∂y
⎪
=0
(1-26)
⎬⇒
2
dx
∂t
= 0 q v = 0 ⎪⎪
⎭
∂τ
II. TRONG HỆ TỌA ĐỘ TRUÏ

⎛ ∂ 2 t 1 ∂t 1 ∂ 2 t ∂ 2 t ⎞ q v
∂t
= a⋅⎜ 2 + ⋅ + 2 ⋅ 2 + 2 ⎟ +
P/t 1-23:
∂τ
r ∂r r ∂φ ∂z ⎠ C.ρ
⎝ ∂r
Trường hợp này mặt đẳng nhiệt là những mặt trụ đồng
tâm → nhiệt độ chỉ thay đổi theo phương bán kính
∂t
∂t
⎫
=0
= 0⎪
d 2 t 1 dt
∂φ

∂z
⎪
+ ⋅ =0
⎬ ⇒
2
r dr
dr
∂t
= 0 q v = 0 ⎪⎪
⎭
∂τ
⇒

Nguyễn toàn phong

d ⎛ dt ⎞
⎜r⋅ ⎟ = 0
dr ⎝ dr ⎠

Page 20 of 24

(1-27)

Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt


III. TRONG HỆ TỌA ĐỘ CẦU

Phương trình tổng quát 1-25
⎡1 ∂ 2

∂t
1
∂ ⎛
∂t ⎞
1
∂ 2t ⎤ qv
= a ⋅ ⎢ ⋅ 2 (r ⋅ t ) + 2
⋅ ⎜ sin θ ⋅ ⎟ + 2
⋅ 2⎥+
2
∂τ
r
∂
θ
∂
θ
∂
r
r
.
sin
θ
r
.
sin
θ
∂φ ⎦ c.ρ
⎝
⎠
⎣

Trường hợp này mặt đẳng nhiệt là những mặt cầu đồng
tâm → nhiệt độ chỉ thay đổi theo phương bán kính
∂t
∂t
⎫
=0
= 0⎪
1 d2
d 2 t 2 dt
∂φ
∂θ
⎪
⎬ ⇒ ⋅ 2 (r ⋅ t ) = 0 ⇔ 2 + ⋅ = 0
r dr
r dr
dr
∂t
⎪
= 0 qv = 0 ⎪
⎭
∂τ
⇒

d ⎛ 2 dt ⎞
⎜r ⋅ ⎟ = 0
dr ⎝
dr ⎠

(1-28)

IV. TRƯỜNG HP TỔNG QUÁT

d ⎛ n dt ⎞
⎜r ⋅ ⎟ = 0
dr ⎝
dr ⎠

(1-29)

i. Tọa độ vuông góc
⎧n = 0
⇒ ⎨
⎩x ≡ r
ii. Tọa độ trụ

⇒ n =1
iii. Tọa độ cầu

⇒ n=2

Nguyễn toàn phong

Page 21 of 24

Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt


E. ĐIỀU KIỆN ĐƠN TRỊ
I. ĐIỀU KIỆN HÌNH HỌC

Đặc trưng hình dáng, kích thước của vật tham gia quá trình.
II. ĐIỀU KIỆN VẬT LÝ

Cho biết các thông số vật lý của vật: λ, C, ρ … và có thể
cho biết qui luật phân bố nguồn nhiệt bên trong vật.
III. ĐIỀU KIỆN THỜI GIAN HAY ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU

Điều kiện này cần thiết khi khảo sát quá trình không ổn
định, nó cho biết qui luật phân bố nhiệt độ trong vật ở một
thời điểm nào đó.
Trong trường hợp chung, điều kiện này có thể biểu diễn
dưới dạng:
Khi

τ=0

t = (x, y, z )

Nếu ở thời điểm ban đầu sự phân bố nhiệt độ đồng nhất
thì:
Khi

τ=0

t = t o = const

IV. ĐIỀU KIỆN BIÊN

Cho biết đặc điểm tiến hành quá trình trên bề mặt của

vật. Có thể biểu thị dưới dạng số học, dạng hàm số hoặc
dạng phương trình vi phân.

Nguyễn toàn phong

Page 22 of 24

Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt


1. Điều kiện biên loại 1

Cho biết nhiệt độ bề mặt của vật tw, cần xác định nhiệt
lượng truyền qua δQ
2. Điều kiện biên loại 2

Cho biết nhiệt lượng truyền qua δQ, cần tìm quy luật
phân bố nhiệt độ bề mặt của vật tw.
3. Điều kiện biên loại 3

Cho biết nhiệt độ môi trường xung quanh tf và quy luật
trao đổi nhiệt giữa bề mặt với môi trường (trong quá trình
làm nguội hay gia nhiệt)
Định luật Newton-Rieman cho trường hợp trao đổi nhiệt
đối lưu
q = α ⋅ (t f − t w )

(1-30)

Nhiệt lượng này cũng bằng nhiệt lượng do dẫn nhiệt

(tại bề mặt):
⎛ ∂t ⎞
(1-31)
q = − λ ⋅⎜ ⎟
⎝ ∂n ⎠ w
từ 1.30 và 1.31 có thể biểu diễn điều kiện biên loại 3
như sau:
α
⎛ ∂t ⎞
=
⋅ (t w − t f )
⎜ ⎟
⎝ ∂n ⎠ w λ

Nguyeãn toàn phong

Page 23 of 24

(1-32)

Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt


4. Điều kiện biên loại 4

Điều kiện này đặc trưng cho qui luật truyền nhiệt năng
giữa hai vật tiếp xúc nhau.
Giả thuyết giữa các vật có sự tiếp xúc lý tưởng (nhiệt độ
chổ tiếp xúc đồng nhất) thì:

⎛ ∂t ⎞
⎛ ∂t ⎞
λ1 ⋅ ⎜ ⎟ = λ 2 ⋅ ⎜ ⎟
⎝ ∂n ⎠ w
⎝ ∂n ⎠ w

Nguyễn toàn phong

Page 24 of 24

(1-33)

Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhieät