Bg truyennhiet c ii dannhiet ondinh motchieu

Chương II

Tuesday, April 11, 2023

DẪN NHIỆT
ỔN ĐỊNH MỘT
CHIỀU

A. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẪN
NHIỆT
Ta lần lượt khảo sát trong ba hệ tọa độ
tương ứng với các trường hợp trong vách
phẳng, trong vật hình trụ và vật hình cầu.
I. TRONG HỆ TỌA ĐỘ VUÔNG
GÓC
Xét trường hợp dẫn nhiệt qua vách
phẳng rộng so với chiều dày, mật độ
dòng nhiệt đồng đều
 Nhiệt độ chỉ thay đổi theo phương
vuông góc vách
 Mặt đẳng nhiệt song song bề mặt
vách
Xét phần tử vách như sau
 Chọn trục tọa độ vuông góc mặt
đẳng nhiệt
 Phương trình bảo toàn năng lượng cho
phần tử khảo sát như sau


(2-1)
Với

Thế vào phương trình 2-1, ta có:
Chia phương trình trên cho

, ta được


(2-2)
Lấy giới hạn
(2-3)
Trong đó
Với diện tích
viết lại

, phương trình 2-3 được
(2-4)


II. TRONG HỆ TỌA ĐỘ TRỤ
Xét trường hợp dẫn nhiệt qua vách trụ
có chiều dài lớn so với bán kính, mật độ
dòng nhiệt đồng đều
 Nhiệt độ chỉ thay đổi theo phương
bán kính
 Mặt đẳng nhiệt là những mặt trụ
đồng tâm
Xét phần tử vách như sau

 Chọn trục tọa độ trùng với trục ống

 Phương trình bảo toàn năng lượng cho
phần tử khảo sát như sau

(2-5)
Với
Thế vào phương trình 2-5, ta có:
Chia phương trình trên cho
, lấy giới
hạn và sử dụng định luật Fourier
(2-6)
(2-7)
Với diện tích
viết lại

, phương trình 2-7 được
(2-8)


III. TRONG HỆ TỌA ĐỘ CẦU
Xét trường hợp dẫn nhiệt qua vách
cầu, mật độ dòng nhiệt đồng đều trên
bề mặt
 Nhiệt độ chỉ thay đổi theo phương
bán kính
 Mặt đẳng nhiệt là những mặt cầu
đồng tâm
Xét phần tử vách như sau

Thực hiện tương tự như phần vách trụ,
với lưu ý diện tích

thế vào 2-7, phương
trình dẫn nhiệt


(2-9)
IV. TRƯỜNG HP TỔNG QUÁT
CHO TRƯỜNG MỘT CHIỀU
Từ các phương trình 2-4, 2-8 và 2-9, ta có
dạng tổng quát cho trường một chiều như
sau:
(2-10)
i. Tọa độ vuông góc

ii. Tọa độ trụ

iii. Tọa độ cầu



Trường hợp hệ số dẫn nhiệt
(2-11)
i. Trường hợp dẫn nhiệt ổn định


(2-12)

ii. Trường hợp không có nguồn
nhiệt bên trong
(2-13)
iii. Trường hợp dẫn nhiệt ổn định

không có nguồn nhiệt bên
trong
(2-14)


B. ĐIỀU KIỆN BIÊN - ĐIỀU
KIỆN BAN ĐẦU
Giải phương trình vi phân ta được nghiệm
tổng quát, đối với từng trường hợp cụ
thể sẽ có tương ứng điều kiện biên, kết
hợp lại sẽ xác định được phương trình riêng
tương ứng.
I. ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU
Là hàm phân bố nhiệt độ tại thời
điểm bắt đầu khảo sát, tổng quát
(2-15)
II. ĐIỀU KIỆN BIÊN THEO NHIỆT
ĐỘ
Nhiệt độ bề mặt rất dễ xác định, do
vậy điều kiện biên nhiệt có thể cho theo
nhiệt độ bề mặt
Ví dụ cho trường hợp vách phẳng có
chiều dày 
(2-16)


III. ĐIỀU KIỆN BIÊN MẬT ĐỘ
DÒNG NHIỆT
Khi biết đầy đủ thông tin về tương tác
năng lượng ở bề mặt  xác định được

mật độ dòng nhiệt  được sử dụng làm
điều kiện biên
(2-17)
Lưu ý:
Chiều hướng dòng nhiệt dẫn
trong vách và dòng nhiệt trên
bề mặt

Điều kiện
biên:
và


Trường hợp bề mặt được cách
nhiệt tốt
hoặc

và
Trường hợp đối xứng nhieät

(2-19)

(2-18)


IV. ĐIỀU KIỆN BIÊN ĐỐI LƯU
(220.a)
và
(220.b)
Ví dụ

V. ĐIỀU KIỆN BIÊN BỨC XẠ
(221.a)
và
(221.b)
Ví dụ


VI. ĐIỀU KIỆN TIẾP XÚC
Trường hợp tiếp xúc lý tưởng giữa hai
vách
(222.a)
và
(222.b)


VII. ĐIỀU KIỆN BIÊN SUY RỘNG

C. MỘT SỐ VÍ DỤ


D. DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH MỘT
CHIỀU
KHÔNG CÓ NGUỒN NHIỆT
BÊN TRONG
I. PHƯƠNG TRÌNH DẪN NHIỆT
Từ phương trình 2-10
Với điều kiện
Ta được

(2-23)
Trường hợp hệ số dẫn nhiệt
(2-24)
i. Tọa độ vuông góc

ii. Tọa độ trụ

iii. Tọa độ cầu

II. DẪN NHIỆT QUA VÁCH PHẲNG
1. Vách Phẳng Một Lớp
Xét vách phẳng đồng chất, đẳng
hướng, mật độ dòng nhiệt đồng đều
trên bề mặt


Chiều dày , m
Hệ số dẫn nhiệt ,
W/(m.K)
Nhiệt độ bề mặt hai
bên vách được duy trì
không đổi t1, t2
Vách có chiều rộng
rất lớn so với chiều
dày, như vậy nhiệt độ
chỉ biến thiên theo
phương vuông gốc với
mặt phẳng
 dẫn nhiệt ổn định
một chiều

t

t1

0

t1

Q

t(x)
dt

t2

d
x

x

Q

t2


R 
 F

Phương trình 2-24 được viết lại như sau:

(2-25)
Điều kiện biên
Tích phân phương trình 2-25 ta được
nghiệm:

(2-26)


Thế điều kiện biên 2-26, hằng số C1, C2
tìm từ hệ sau

Thế vào phương trình trường nhiệt độ
(2-27)
Theo định luật Fourier:
Vậy mật độ dòng nhiệt truyền qua
vách phẳng:
(2-28)
Nhiệt lượng dẫn qua vách có diện tích F
W

(2-29)

Phương trình trên được thể hiện lại đồng
dạng định luật Ohm:
W

(2-30)

Nhiệt trở dẫn nhiệt qua1 lớp
vách phẳng,

Hình dưới cho ta thấy sự tương đương của
các đại lượng trong hai công thức:

Phương trình 2-27 cũng có thể viết lại:
(2-31)
Nhận xét: Khi hệ số dẫn nhiệt là
hằng số, phân bố nhiệt độ
trong vách là hàm tuyến tính
Do diện tích các mặt đều giống
nhau, nhiệt trở R có thể tính
tương ứng cho
và công thức
2-30 chính là mật độ dòng
nhiệt qF


2. Dẫn Nhiệt Qua Vách
Phẳng Nhiều Lớp
Giả sử ta có vách phẳng gồm 3 lớp như
hình bên dưới
Ta tính cho một đơn vị diện tích, các vách
tiếp xúc lý tưởng

Lớp VL VL 2
1
2
1 q

q

VL 3
3

q



1
t1

3

2
t2

t3

t4 q

1
2

R1  R 2  R 3  3
1
2
3
Mật độ dòng nhiệt dẫn qua các lớp:

Ở chế độ dẫn nhiệt ổn định, dòng
nhiệt qua các bề mặt đẳng nhiệt bất kỳ
của các vách phẳng phải baèng nhau:
(2-32)