Bài tập nâng cao C I & C II

Bài tập Nâng cao Đai số 7
---------------------------------------------------------------
Bài 1. Tìm các phân số: ( 1, 12, 13/4, 5 KTCB Và NC TOáN 7)
a) Có mẫu số là 30, lớn hơn
2
5

và nhỏ hơn
1
6

. b) Có tử số là -15, lớn hơn
5
6

và nhỏ hơn
3
4

.
c) Có mẫu số là 20, lớn hơn
11
23

và nhỏ hơn
7
23

. d) Có tử số là 4, lớn hơn
5
11

và nhỏ hơn
5
12

.
Bài 2. (14/6). a) Cho 2 số hữu tỉ
&
a c
b d
( b > 0, d > 0 ). Chứng minh rằng nếu
a c
b d
>
thì
a a c c
b b d d
+
> >
+

b) Viết 3 số hữu tỉ xen giữa 2 số
1 1
&
2 3

c) Viết 5 số hữu tỉ xen giữa 2 số
1 1
&
5 5

Bài 3. (16/6). Rút gọn
( 1) 1 2 2 1 1
) ( , ; 1; 1) ) ( , ; ; 1).
( 1) 1 3 (2 1) 6 3 2
a b b a ab b
a a b a b b a b a b
b a a b a a
+ +

+ +
Ô Ô
Bài 4. (10/15). Cho 3 số a, b, c thoả mãn: abc = 1. Chứng minh:
1 1
1
1 1
b
ab a bc b abc bc b
+ + =
+ + + + + +
Bài 5. ( 5/25). Thực hiện phép tính:
4 5 8 9 5 5
4 5 8 8 5
1 2 1 1 7
4 .5 4 1:1 4 :13
11 .6 11 9 .3 9 10 10 .3
2 3 4 15 8
) ) ) : ) : :
3 1 1 1 2 7
11 11 9 .5 9 .7 10 .11

6 11 .5 3 :6 5 :1
4 3 4 8 3 8
a b c d


+
Bài 6. ( 14, 15/26). a) Tìm số nguyên a để:


5
:
4 1
a
a +
là 1 số nguyên.


19 1
.
5 1a


là 1 số nguyên.
b) Tìm phân số dơng
a
b
nhỏ nhất sao cho khi chia
a
b
cho

7
9
, khi chia
a
b
cho
5
12
đợc mỗi thơng
là số tự nhiên.
Bài 7. ( 2/ 5 NC và các CĐ) Cho số hữu tỉ
a
b
với b > 0. Chứng tỏ rằng:
a) Nếu
a
b
> 1 thì a > b và ngợc lại nếu a > b thì
a
b
> 1 b) Nếu
a
b
< 1 thì a < b và ngợc lại nếu a < b thì
a
b
< 1.
Bài 8. ( 6/ 6). a) Cho a, b, n
Â
và b > 0, n > 0. Hãy so sánh 2 số hữu tỉ

&
a a n
b b n
+
+
.
b) áp dụng kết quả trên hãy so sánh:
2 4 17 14 31 21
& ; & ; &
7 9 25 28 19 29

Bài 9. ( VD2 / 7, 14/ 9) Thực hiện phép tính 1 cách hợp lí:

3 3 1 1 1 1
0,375 0,3 0,25 0,2
1,5 1 0,75 6
11 12 3 7 13 3
;
5 5 5 2 2 2 1
7
0,625 0,5 2,5 1,25 1 0,875 0,7
11 12 3 3 7 13 6
A B
+ + +
+
= + = ì +
+ + +
Bài 10. ( 12 / 9 ) Tổng của 2 phân số tối giản là 1 số nguyên. Chứng tỏ rằng mẫu của 2 phân số đó là 2 số bằng nhau
hoặc đối nhau.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Trờng THCS Minh Tân - Năm học 2008 2009
Bài tập Nâng cao Đai số 7
---------------------------------------------------------------
Bài 11. ( VD 3 / 10 ) Tính giá trị của biểu thức: a) A = 2x + 2xy y với
x
= 2,5 và y =
3
4

;
b) B = 3a 3ab b và C =
5 3
3
a
b

với
1
; 0,25
3
a b= =
Bài 12. ( VD 4/ 11) Cho x, y
Ô
. Chứng tỏ rằng: a)
)x y x y b x y x y+ +

Bài 13. ( 22/ 12). Tìm x, y biết:

) 2 2 3 0,5a x = ) 7,5 3 5 2 4,5b x = ) 3 4 3 5 0c x y + + =
Bài 14. Tính ( 31,30,33,vd6/15,16) 14/ 47 KTCB & NC

a) A =
1 1 1 1 1 0 3
(2 3 ):(2 3 ) (2 .2 ):2

+ +
g) G =
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 3 2
3 2 5
1 0 2
1 6 1
) :2
3 7 2
b B



= +
ữ ữ ữ

( )
( )
2
1
0
3
2
2 5
1 1

) 0,1 2 :2
7 49
c C





= + ì ì

ữ






d)
6 5 9
2 2
4 12 11 2
4 .9 6 .120 1 1
3 . .81 .
8 .3 6 243 3
D
+
= +

e)
( )

5 3
1 1
1 1 1
4.2 : 2 .
1 1
16
1 1
1 2 1 2
E


= + +
ữ

+
+
h)
( )
0 2
2
3
1 1 1
2 3. . .4 2 : :8
2 2 2


+ +
ữ ữ

5 9 101
2 3 4 5 6 7 8 97 98 99 100
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
) .3 .3 ... .3
3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
i

+ + + + + + + + + + + +
ữ ữ ữ

Bài 15 ( 15,16/47 KTCB & NC) Tìm các cặp số (x,y) thoả mãn:
a) x(x + y ) =
1
48
& y( x + y) =
1
24
b)
2006 2008
3 5 3 0,4
0
9 3
x y +

+ =
ữ ữ

c)
( )

4
2
1
2 1 0
3
k
k
x y

+ =
ữ

Bài 16. ( 38/16 TNC & CCĐ) Tìm x
Ô
biết
a) ( 2x 3 )
2
= 16 b) ( 3x 2 )
5
= - 243
c)
( )
1
2
7 2 3x


+ =
Bài 17 ( 10,11 / 46 KTCB & NC) Tìm x
Ô

biết
8
4
3 2
)
4 3
x
a

=
ữ

( )
2 2 2
1 1 1
) 2 1 : 0 ( , 0)
2 2 2
m
m
d x x x x m x
+

=


Ơ
16
)
81
n

h x =
b) ( x + 2 )
2
= 36
e)
( ) ( )
2 3
5 1
x x +
=
i) ( 2x 3 )
6
= ( 2x
3 )
8
c)
( )
2 2
1,78 1,78 :1,78 0
x x x
=
g) (x 2 )
8
= (x 2 )
6
Phần nguyên, phần lẻ của 1 số hữu tỉ:
Cho x
Ô
, phần nguyên của 1 số x kí hiệu là
[ ]

x
là số nguyên lớn nhất không vợt quá x:
[ ]
x

x <
[ ]
1x +
Ví dụ:
[ ] [ ]
3 4
0,5 0; 1; 2; 3 3;...
2 3


= = = =


Phần lẻ của số hữu tỉ x kí hiệu là
{ }
x
:
{ }
x
= x -
[ ]
x
Bài 17. a) Tìm
7 85 195
ết ; ;

13 271 1996
x bi x x x

= = =

b) Tìm
[ ]
x
trong các số x nói trên?
c) Tìm
[ ]
x
biết: 1, x 1 < 5 < x 2, x < 17 < x + 1 3, x < -10 < x + 0,2
d) Tìm
{ }
X
biết: x =
3
2
; x = -3,75; x = 0,45
Bài 18. Chứng minh rằng:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
) 1 , ếu x không là số nguyên. )a x x n b x y x y = + +
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trờng THCS Minh Tân - Năm học 2008 2009
Bài tập Nâng cao Đai số 7
---------------------------------------------------------------
Hớng dẫn: a) Ta có :
[ ]
x

x <
[ ]
1x +
vì x không nguyên nên:
[ ]
x
<
x <
[ ]
1x +
[ ]
( )
[ ] [ ] [ ] [ ]
1 1 1 1 ( 1) 1x x x hay x x x x + < < < + = +
.
Theo định nghĩa phần nguyên ta có:
[ ] [ ]
( )
1 1x x = +
b)
[ ]
x


x ,
[ ]
y

y nên
[ ]
x
+
[ ]
y


x + y do đó
[ ]
x
+
[ ]
y



[ ]
x y+
Bài 19. ( 40/21- 23 chuyên đề Q1) Cho x, y, z
Ô
thoả mãn:
x
2
+ 2y + 1 = 0
y
2
+ 2z +1 = 0
z
2

+ 2x + 1 = 0
Tính giá trị của biểu thức: x
2007
+ y
2007
+ z
2007

Bài 20. ( 41/ 21) Cho các số dơng x, y, z thoả mãn
xy + x + y = 3
yz + y + z = 8
zx + z + x = 15
Tính giá trị của biểu thức: x + y + z
Bài 21 ( 45/ 23 ) Cho x, y, z là các số không âm thoả mãn :
x + xy + y = 1
y + yz + z = 3
z + zx + x = 7
Tính giá trị của biểu thức : M = x + y
2
+ z
3
Bài 22. ( NCPT tập 1: bài 1- 20)
B i 23. ( 6/ 8 - BTNC & 1 Số CĐToán 7- Bùi Văn Tuyên). Cho các số hữu tỉ x, y, z.
a+c
; ; đó m = ; . ết x y, hãy so sánh x với z;y với z?
2 2
a c m b d
x y z trong n Chobi
b d n
+

= = = =
m
ài 24. (7 / 8) Cho các số hữu tỉ ; à z = . ết ad- bc 1; 1; , , 0
n
) ãy so sánh các số x,y, z?
a +m
b) So sánh y với t biết t = ới b + n 0
b+ n
a c
B x y v Bi cn dm b d n
b d
a H
v
= = = = >

a + c+ m 1
ài 25. ( 8/8) Cho 6 số nguyên dương a < b < c < d < m < n. Chứng minh rằng
a + b 2
B
c d m n
<
+ + + +
B i 26. ( 28/ 14). Cho 100 hữu tỉ trong đó tích của bất kì 3 số nào cũng là 1 số âm. Chứng minh rằng:
a) tích của 100 số đó là 1 số dơng?
b) tất cả 100 số đó đều là số âm.
Bài 27. ( 57 / 23) Cho x + y = 2. Chứng minh rằng: xy

1.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Trờng THCS Minh Tân - Năm học 2008 2009
Bài tập Nâng cao Đai số 7
---------------------------------------------------------------
Ngày tháng 9 năm 2007
Tuần
Kí duyệt
Tỉ lệ thức dãy tỉ số bằng nhau
I. Kiến thức cơ bản:
1 Tỉ lệ thức:
* ĐN:
* TC: +
a c
ad bc
b d
= =
+ ad = bc và a, b, c, d
0 ; ; ;
a c a b d c d b
b d c d b a c a
= = = =
Tóm lại: Vơí a, b, c, d

0 thì ad = bc
a c a b d c d b
b d c d b a c a
= = = =
2. Tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
Từ
2 3 4
...

2 3 4
a c e a c e a c e a c e a c e a c e a c e
b d f b d f b d f b d f b d f b d f b d f
+ + + + + + + +
= = = = = = = = = =
+ + + + + + + +
( Với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
II. Bài tập.
Dạng 1. Chứng minh tỉ lệ thức. B i 1/56; 4,5,6/57;13/58 ; 8/70( KTCB & NC TON 7)
Bài 1. Cho tỉ lệ thức:
a c
b d
=
. Chứng minh rằng:
1) 2) 3) 4) ( ) 5) 6)
n n n n
n n n n
a b c d a b c d a b a b a b a b a b c d a c
n
b d b d c d c d c d c d a c a b c d
+ + + + + +
= = = = = =
+ + + +
Ơ
Bài 2. Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức:
2 2 2 2
2 2 2 2
a
( ới k )ta có thể suy ra được:
b

k k k k
k k k k
a b a b c
v
c d c d d
+
= =
+
Ơ
.
B i 3. Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức:
a a
( ), ó thểsuy ra được: ếu n lẻ và ếu n chẵn.
b b
n
n n
n n
a a b c c
n ta c n n
c c d d d
+

= = =
ữ
+

Ơ
B i 4. Chứng minh rằng nếu ta có dãy tỉ số bằng nhau:
2003
1 2 3 2003 1 1 2 3 2003

2 3 4 2004 2004 2 3 4 2004
...
... ì ta có thể suy ra được đẳng thức:
...
a a a a a a a a a
th
a a a a a a a a a

+ + + +
= = = = =
ữ
+ + + +

B i 5. Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức
a b b c a b
ta suy ra
a b b c b c

= =
+ +
.
B i 6. (54/21 TON NC & CC C TON 7).
Chứng minh rằng nếu
2 2
2 2 2 2
5a +3b 5 3 7 3 7 3
ì a) )
5a 3b 5 3 11 8 11 8
a c c d a ab c cd
th b

b d c d a b c d
+ + +
= = =

B i 7. ( 53/21) Cho 4 số khác không thoả mãn điều kiện:
2
1
a
= a
1
a
3
&
2
3
a
= a
2
a
4
. Chứng minh:
3 3 3
1 2 3 1
3 3 3
2 3 4 4
a a a a
a a a a
+ +
=
+ +

Bài 8. ( 52/21). Biết
'
1& 1
' ' '
a b b c
a b b c
+ = + =
. Chứng minh rằng: abc + abc = 0.
Bài 9. ( 55/21) Cho 4 số nguyên dơng a, b, c, d trong đó b là trung bình cộng của a & c và
1 1 1 1
2c b d

= +
ữ

. Chứng
minh rằng 4 số đó lập nên 1 tỉ lệ thức.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trờng THCS Minh Tân - Năm học 2008 2009
Bài tập Nâng cao Đai số 7
---------------------------------------------------------------
Bài 10. ( 87/28) Chứng minh rằng nếu:
a b
b c
=
thì
2 2
2 2
a b a
b c c

+
=
+
với b, c

0
Bài 11.( 88/29). Biết
( ới a, b, c 0). Chứng minh rằng
bz cy cx az ay bx x y z
v
a b c a b c

= = = =
.
B i 12 . (55, 56,57/18; 58/19; 64,65/21- NCPT T
1
)
D ạng 2. Tìm x, y , trong tỉ lệ thức
Bài 1. ( 2,4/54 KTCB) Tìm số hạng cha biết trong tỉ lệ thức:
a) x: 15 = 8: 24 b) 36 : x = 54 : 3 d) 1,56 : 2,88 = 2,6 : x 2,5 : 4x = 0,5 : 0,2
c)
1
3
2
: 0,4 = x :
1
1
7
1 2
:3 :0,25

5 3
x =
3 2 3 1
5 7 5 1
x x
x x
+
=
+ +
1 0,5 2
2 1 3
x x
x x
+ +
=
+ +
Bài 2. ( 2/50; 7,8,9/57) Tìm x, y biết:
a)
7 3
x y
=
và 1) x + y = 110
2) x y = 50
b)
4 4
& . 16
2 4
x y
x y= =
c)

2 2 2 2
10 10
& . 1024
3 5
y x x y
x y
+
= =
d)
2 1 3 2 2 3 1
5 7 6
x y x y
x
+ +
= =
e)
& 21
3 4
x y
x y= + =
f)
& 32
3 5
x y
x y= + =
g) 3x = 7y & x- y = -16
h) 5x = 7y & y x =18 i) 4x = 3y & xy = 192
k) 4x = 5y & x
2
y

2
= 1 i) x : y = 5 : 7 & x
2
+ y
2
= 4376
Bài 3. ( 10,11/ 57- KTCB; 50/26- ÔT; 43/19, 44/20, 50/20) Tìm 3 số x, y, z biết:
a)
3 3 3
2 2 2
& 14
8 64 216
x y z
x y z= = + + =
b)
4 2 3
& 12
1 2 2
xyz
x y z
= = =
+ +
c)
& 90
2 3 5
x y z
x y z= = + + =
d) 2x = 3y = 5z & x y + z = -33
e) x:y:z = 3:5: (- 2) & 5x- y+3z =
124

f) 2x = 3y; 5y =7z & 3x 7y+5z =
-30
g) 2x = y; 3y = 2z & 4x-3y+ 2z = 36 h) x:y:z = 3:4:5 &2x
2
+2y
2
3z
2
=
-100
Bài 4. (45/20TNC & CĐ).
Tìm các số a
1
, a
2
, a
3
, , a
9
biết:
9
1 2 3
9
1 2 3
...
9 8 7 1
a
a a a

= = = =
& a
1
+ a
2
+ a
3
+ + a
9
= 90
Bài 5. 53/18; 61/20; 62/21 NCPTT
1
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trờng THCS Minh Tân - Năm học 2008 2009