Bien doi fourier

CHUỖI FOURIER VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ mơn Tốn ứng dụng

TP. HCM — 2016.
TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)

CHUỖI FOURIER VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

TP. HCM — 2016.

1 / 47


NỘI DUNG

1

PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHUỖI FOURIER VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

TP. HCM — 2016.

2 / 47

NỘI DUNG

1

PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

2

TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHUỖI FOURIER VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

TP. HCM — 2016.

2 / 47


NỘI DUNG

1

PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

2

TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

3

ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHUỖI FOURIER VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

TP. HCM — 2016.

2 / 47


NỘI DUNG

1

PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

2

TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

3

ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

4

PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER HỮU HẠN VÀ ỨNG DỤNG

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHUỖI FOURIER VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

TP. HCM — 2016.

2 / 47


NỘI DUNG

1

PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

2

TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

3

ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

4

PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER HỮU HẠN VÀ ỨNG DỤNG

5

BÀI TẬP

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHUỖI FOURIER VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

TP. HCM — 2016.

2 / 47


Phép biến đổi Fourier

Định nghĩa

ĐỊNH NGHĨA 1.1
Nếu u(x, t) là hàm liên tục, trơn từng khúc và
khả tích tuyệt đối thì phép biến đổi Fourier
của hàm u(x, t) theo biến x là hàm U(k, t) xác
định bởi
1
F{u(x, t)} = U(k, t) = p
2π

Z

∞

u(x, t)e−ikx dx,

−∞

ở đây k được gọi là biến của phép biến đổi
Fourier và exp(−ikx) được gọi là nhân của
phép biến đổi.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHUỖI FOURIER VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

TP. HCM — 2016.

3 / 47


Phép biến đổi Fourier

Định nghĩa

ĐỊNH NGHĨA 1.2
Với mọi x ∈ R, phép biến đổi Fourier ngược
của U(k, t) được xác định bởi
1
F −1 {U(k, t)} = u(x, t) = p
2π

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

Z

∞

U(k, t)eikx dk.

−∞

CHUỖI FOURIER VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

TP. HCM — 2016.

4 / 47


Phép biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier của các hàm thông dng

2ả

k
1
,a > 0
F{exp(ax2 )} = p exp
4a
2a
à

1 R ikxax2
F{exp(ax )} = p
e
dx
2

" à
#
ả2
Z
2
ik
1
k
exp a x +
dx
=p

2a
4a
2
" µ
µ 2 ¶Z ∞
¶2 #
k
1
ik
exp −a x +
dx
= p exp
4a
2a

2
à 2ả
1

k
= p exp
4a
2a
2

TS. Lờ Xuõn i (BK TPHCM)

CHUI FOURIER VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

TP. HCM — 2016.

5 / 47


Phép biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier của các hàm thông dụng

Chú ý.
Z

∞
−∞

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

2

e−ax dx =

r

π
a

CHUỖI FOURIER VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

(1)

TP. HCM — 2016.

6 / 47


Phép biến đổi Fourier

r
F{exp(−a|x|)} =

Biến đổi Fourier của các hàm thông dụng

2 a
π a2 + k 2

Z ∞
1
F{exp(−a|x|)} = p
exp(−a|x| − ikx)dx =
2π −∞

·Z 0
1
exp(ax − ikx)dx+
=p
2π −∞
¸
Z ∞
+
exp(−ax − ikx)dx =
0
à
ả r
1
1
1
2 a
=p
+
=
a2 + k 2
2 a ik a + ik
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHUỖI FOURIER VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

TP. HCM — 2016.

7 / 47

Phép biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier của các hàm thông dng

r à
ả
2 sin ak
F{[a,a] (x)} =

k

(
[a,a] (x) = H(a |x|) =

1, |x| < a
0, |x| > a

Z ∞
1
e−ikx χ[−a,a] (x)dx =
F{[a,a] (x)} = p
2
r à
ả
Z a
1
2
sin
ak
=p

eikx dx =

k
2 −a
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHUỖI FOURIER VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

TP. HCM — 2016.

8 / 47


Phép biến đổi Fourier

Phép biến đổi Fourier cosine

ĐỊNH NGHĨA 1.3
Cho f (x) xác định với 0 É x < ∞ và là hàm
chẵn trên (−∞, ∞). Khi đó phép biến đổi
Fourier cosine của f (x) và phép biến đổi
ngược được xác định bởi
r Z ∞
2
cos kxf (x)dx,
Fc {f (x)} = Fc (k) =
π 0
r Z ∞
2
Fc−1 {Fc (k)} = f (x) =

cos kxFc (k)dk.
π 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHUỖI FOURIER VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

TP. HCM — 2016.

9 / 47


Phép biến đổi Fourier

Phép biến đổi Fourier sine

ĐỊNH NGHĨA 1.4
Cho f (x) xác định với 0 É x < ∞ và là hàm lẻ
trên (−∞, ∞). Khi đó phép biến đổi Fourier
sine của f (x) và phép biến đổi ngược được
xác định bởi
r Z ∞
2
Fs {f (x)} = Fs (k) =
sin kxf (x)dx,
π 0
r Z ∞
2
Fs−1 {Fs (k)} = f (x) =
sin kxFs (k)dk.
π 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHUỖI FOURIER VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

TP. HCM — 2016.

10 / 47


Phép biến đổi Fourier

r
Fc {e−a|x| } =

Ví dụ

2 a
,a > 0
π a2 + k 2

r Z ∞
2
e−a|x| cos kxdk =
Fc {ea|x| } =
0
r Z
Ê (aik)x (a+ik)x Ô
1 2
e
+e

dx =
=
2 0
r à
ả r
1 2
1
1
2 a
+
=
=
2 a ik a + ik
π a2 + k 2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHUỖI FOURIER VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

TP. HCM — 2016.

11 / 47


Phép biến đổi Fourier

r
Fs {e−ax } =

Ví dụ

2 k
,a > 0
π a2 + k 2

r Z ∞
2
e−ax sin kxdk =
Fs {eax } =
0
r Z
Ê (aik)x (a+ik)x Ô
1 2
e
e
dx =
=
2i 0
r à
ả r
1 2
1
1
2 k

=
=
2i a ik a + ik
π a2 + k 2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHUỖI FOURIER VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

TP. HCM — 2016.

12 / 47


Tính chất của phép biến đổi Fourier

Tuyến tính

ĐỊNH LÝ 2.1
Nếu F{f (x)} và F{g(x)} lần lượt là biến đổi
Fourier của f (x) và g(x), cịn c1, c2 là hằng số
thì
F{c1 f (x) + c2 g(x)} = c1 F{f (x)} + c2 F{g(x)}

(2)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHUỖI FOURIER VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

TP. HCM — 2016.

13 / 47


Tính chất của phép biến đổi Fourier

Tuyến tính

ĐỊNH LÝ 2.1
Nếu F{f (x)} và F{g(x)} lần lượt là biến đổi
Fourier của f (x) và g(x), cịn c1, c2 là hằng số
thì
F{c1 f (x) + c2 g(x)} = c1 F{f (x)} + c2 F{g(x)}

(2)
Z ∞
1
F{c1 f (x) + c2 g(x)} = p
[c1 f (x) + c2 g(x)]e−ikx dx =
2π −∞
Z ∞
Z ∞
c1
c2
−ikx
=p
f (x)e
dx + p
g(x)e−ikx dx =
2π −∞
2π −∞
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHUỖI FOURIER VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

TP. HCM — 2016.

13 / 47


Tính chất của phép biến đổi Fourier

Phép dịch theo x

ĐỊNH LÝ 2.2
Nếu F{f (x)} là phép biến đổi Fourier của f (x)
thì F{f (x − c)} = e−ikc F{f (x)}, với c là hằng số.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHUỖI FOURIER VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

TP. HCM — 2016.

14 / 47


Tính chất của phép biến đổi Fourier

Phép dịch theo x

ĐỊNH LÝ 2.2
Nếu F{f (x)} là phép biến đổi Fourier của f (x)
thì F{f (x − c)} = e−ikc F{f (x)}, với c là hằng số.
Chứng minh.
Z ∞

1
F{f (x − c)} = p
f (x − c)e−ikx dx =
2π −∞
Z ∞
1
=p
f (ξ)e−ik(ξ+c) dξ (đặt ξ = x − c)
2π −∞ Z
∞
−ikc 1
=e
f (x)e−ikx dx = e−ikc F{f (x)}
p
2π −∞
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHUỖI FOURIER VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

TP. HCM — 2016.

14 / 47