Su dong bien nghich bien cua ham so

§ 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN
CỦA HÀM SỐ

1. Nhắc lại định nghóa hàm số đồng
biến, nghịch biến
Cho hàm số y=f(x) xác định
trên khoảng (a;b)
- Nếu x1, x2  (a; b) và x1< x2 mà
f(x1)là đồng biến (tăng) trên khoảng (a;
- Nếu x1, x2  (a;
b).b) và x1< x2 mà
f(x1)>f(x2) thì hàm số y = f(x) được gọi
là nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;
Hàm số y = f(x)
b).đồng biến hay
nghịch biến trên khoảng (a; b) được
gọi chung là đơn điệu trên khoảng
đó.


§ 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN
CỦA HÀM SỐ
1. Nhắc lại định nghóa hàm số đồng
Nếu ta đặt:biến,
x= x2 –nghịch
x1 và y=biến
f(x2) – f(x1) nếu x1<
x2 và f(x1) < f(x2) nên  x > 0 và y > 0 vì vậy:

y

0
x

f(x) đồng biến trên khoảng (a; b)

Nếu x1 < x2 và f(x1) > f(x2) nên  x > 0
và
yy < 0 vì vậy:

x

0

f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b)

Hay:
f(x)
đồng
nghịch
nếu:

biến trên khoảng (a; b)

y

f’(x) = lim
x  0 x

0 trên khoảng (a; b).

§ 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN
CỦA HÀM SỐ

2. Điều kiện đủ của tính
Định
lý Lagrange sau được thừa nhận:
đơn
điệu:

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]
và có đạo hàm trên (a; b) thì tồn tại một
điểm c  (a; b) sao cho:
f(b) – f(a) = f’(c)(b – a)
hay:

f (b)  f (a )
f '(c) 
b a

Goïi cung AB là một đoạn đồ thị
của hàm số y = f(x) với A(a; f(a))
và B(b; f(b)) fhệ
(b)số
 f góc
( a ) của cát
tuyến AB là:

b a

§ 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN
CỦA HÀM SỐ

2. Điều kiện đủ của tính
đơn điệu:
f(b)

C

f(c)

f(a)

O
b

B

A

a

c

f
(
b
)


f
(
a
)
Đẳng thức: f’(c) =
là hệ số goùc b  a


§ 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN
CỦA HÀM SỐ

2. Điều kiện đủ của tính
đơn điệu:

Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo
hàm trên khoảng (a; b).
a. Nếu f’(x) > 0 với mọi x  (a; b) thì hàm
số y = f(x) đồng biến trên khoảng
đó.
b. Nếu f’(x) < 0 với mọi x  (a; b) thì hàm
số y = f(x) nghịch biến trên khoảng
đó.


§ 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN
CỦA HÀM SỐ

2. Điều kiện đủ của tính
đơn điệu:
Định lý 2: Cho hàm số y = f(x) có

đạo hàm trên khoảng (a; b). Nếu
f’(x)  0 (hoặc f’(x)  0) và đẳng
thức chỉ xảy ra tại một số hữu
hạn điểm trên khoảng (a; b) thì
hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc
nghịch biến) trên khoảng đó.


§ 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN
CỦA HÀM SỐ

2. Điều kiện đủ của tính
Ví
dụđiệu:
1: Tìm các khoảng đồng biến hay
đơn
2

nghịch biến của hàm số: y = x2 – 2x + 3
-Tập xác định: D = R.
-Ta thấy: y’ = 2x – 2  y’ < 0 khi x < 1 và
y’ > 0 khi x > 1 nên ta có bảng biến
thiên như sau:

x -∞
y’
-∞
y

-

1
0

+∞

+
+∞

2
Hàm số Đ/Biến trên (1; +∞) và
N/Biến (-∞; 1)


§ 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN
CỦA HÀM SỐ

2. Điều kiện đủ của tính
đơn
điệu:
Ví dụ
2: Tìm các khoảng đơn điệu của
h/s:

3
y 3 x   5
x

- TXĐ: D = R\{x = 0}
- Đạo hàm: y ' 3 

2

3
x 1

3
2
2
x
x

Dấu của y’ là dấu của x2 – 1 mà x2 – 1 = 0  x
=  1  với x = 1 thì y = 11, với x = -1 thì y = -1
Nên ta có bảng biến thiên như sau:


§ 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN
CỦA HÀM SỐ

2. Điều kiện đủ của tính
đơn điệu:
x
y’
y

-∞

-1

+

0

0

–

1

–

+∞

0

+

-1
11

Vậy hàm số đồng biến trên
các khoảng (-∞; -1)  (1; +∞) và

nghịch biến trên (-1; 0)  (0; 1).


§ 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN
CỦA HÀM SỐ

3. Điểm tới hạn:

Định nghóa: cho hàm số y = f(x) xác định
trên (a; b) và x0  (a; b). Điểm x0 được gọi
là một điểm tới hạn của hàm số nếu
tại đó f’(x) không xác định hoặc bằng 0.

3
y 3x   5
Ví dụ 1: Xét hàm số:
x = 0}
Có tập xác định là: D = R\{x
2

3
x 1
y ' 3  2 3 2
x
x

Có đạo hàm là:

y’ triệt tiêu khi x = 1 và kxđ tại x = 0 nhưng do
0  D nên h/s chỉ có 2 điểm tới hạn laø: x = 1


§ 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN
CỦA HÀM SỐ

3. Điểm tới hạn:

3
Xét hàm số:

2

f ( x)  x ( x  5)

Tập XĐ: D = R.
Đạo hàm:

2( x  5) 5( x  2)
f '( x)  x  3
 3
3 x
3 x
3

2

f’(x) không xác định tại x = 0 và
triệt tiêu tại x = 2  hàm số có
hai điểm tới hạn là:
x = 0 và x = 2.


§ 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN
CỦA HÀM SỐ

3. Điểm tới hạn:
Đối với các hàm số f(x) thường

gặp, f’(x) liên tục trên khoảng xác
định của nó. Vì thế, giữa hai điểm
tới hạn kề nhau x1và x2, f’(x) giữ
nguyên một dấu.

Thật vậy, nếu trong khoảng
(x1, x2) mà f’(x) đổi dấu thì f’(x)
phải triệt tiêu tại tại một
điểm nào đó trong (x1, x2)
nhưng điều này là không thể
vì x1, x2 là hai điểm tới hạn kề


§ 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN
CỦA HÀM SỐ

3. Điểm tới hạn:
Quy tắc tìm các khoảng biến thiên
của hàm số:
1. Tìm các điểm tới hạn:
a. Tìm đạo hàm của f(x).
b. Cho f’(x) = 0 giải phương trình.
c. Tìm các điểm tới hạn.
2. Xác định dấu của đạo hàm trong
các khoảng xác định bỡi điểm
tới hạn.
3. Suy ra chiều biến thiên của hàm
số trong mỗi khoảng

§ 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN
CỦA HÀM SỐ

3. Điểm tới hạn:
Bảng biến thiên của hàm số:
3

2

f ( x)  x ( x  5)
5( x  2)
f '( x)  3
3 x

Có đạo hàm là:

Có 2 điểm tới hạn là:
x = 0 và x = 2

 Bảng biến thiên :
0
2
x -∞
+
–
y’
0
y

 33 4

+∞

+


§ 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN
CỦA HÀM SỐ
- Cần nắm vững quy tắc để tìm sự

đồng biến và nghịch biến của một
hàm số.
- Cách vẽ bảng biến thiên của một
hàm số.
- Làm các bài tập: 1, 2, 3, 4 tràng 52,
53 sách giáo khoa.

CHÚC CÁC EM SỨC
KHỎE VÀ HỌC TẬP
TỐT.