Chuong ii bai 3 cac he thuc luong trong tam giac va giai tam giac

§ 4 : CÁC HỆ THỨC LƯNG
TRONG
TAM. Ta
GIÁC
Trong ABC
luôn có :
1 – ĐỊNH LÝ CÔSIN
a2 = b2 + c2 - 2 b.c. cos A
b2 = a2 + c2 - 2 a.c. cos B
c2 = a2 + b2 - 2 a.b. cos C

A
b

c

B

a

C

Chứng minh
a2 =: b2 + c2 - 2 b.c. co

BC  AC  AB
2

2

  AC  AB 

 BC

2

2

2

2

 AC  AB  2. AC. AB  AC  AB  2. AC . AB . cos A
A
a2 = b2 + c2 - 2 b.c. cos (đpcm)
2
lý Pitago)
Đặc biệt :A = 900  a2 = b2 + c(định

Dùng công thức để tính góc tam giác .


Ví du :Cho ABC

BC: = 8 ; AB = 3 ; AC = 7
có

Lấy D  BC sao cho BD = 5 . Tính độ dài AD

Giải :

A

. Tính AD = ?Xét  ABD

Theo đl Côsin :

D

2

3

= AB2 + BD2 - 2 AB.BD.cosB
B

BA2  BC 2
. Mà  ABC cócos
: B =
2.BA.BC
AD
. 

?
5

7
|

8

D

32  8 2

2.3.8

= AB2 + BD2 - 2 AB.BD.cosB
1
AD 2 = 32 + 52 – 2. 3.5. 19  AD  19
2

1

2

C

2

(ñvñd)


2 – ĐỊNH LÝ
Trong
SIN ABC nội tiếp đường tròn
bán kính R. Ta luôn có :
A
b

c

.

R
B

a

O

A’

a
b
c


2R
sinA sinB sinC

Chứng minh :

a
2R
sinA

C BO kéo dài cắt đtròn tại A’
Nối





sđA sđA'  sđBC
2
BC
. Mà BCA’ vuông tại C
BA' 
 sin A = sin A’nên :
sin A'
a
a
2
R



Vậy có đpcm .
sin A'
sin A

Các công thức khác chứng minh tương tự


Ví du :Cho ABC

cób: + c = 2a

Chứng minh 2.sin
:

A = sin B + sin C

Giải :
Có

B +2R. sin C = 2.2R. sin A
b + c = 2 2R.sin
a
sin B +sin C = 2 sin A


a)

• 3 – CÁC CÔNG THỨC VỀ DIỆN TÍCH

Định
Cho lý
ABC
: cạnh a ; b ; c ; R bán kính
đtròn ngoại tiếp ; r bán kính đtròn
nội tiếp ; p là nửa chu vi tam giác
1
1
1
S  a.ha  b.hb  c.hc
2
2
2
1
1

1
S  a.b.sinC
 b.c.sinA
 c.b.sinB
2
2
2
a b c
abc
p
S
Sp.r
2
4R

1 xAB y
AB
S  pp ap bp c S=
2 xAC  yAC
2
1   2  2
S  . AB .AC - AB.AC
2






b)

Ví du Cho
:
ABC

a =: 13 ; b = 14 ; c = 15
có

Tính :S ; R ; r ?

Giải :

1
2

ma
c2 = a2 + b2 - 2.ab. cos C
ø
a2  b2  c2
132  14 2  152  35
 cos C 

91
2a.b
2.13.14
2
84
35
 
2

2
2
. Coù
sin C + cos C = 
1 sin C  1  cos C  1    
91
 91 
. Tính S  .a.b. sin C

1
2

VậyS  .a.b. sin C

1
84
 .13.14.
2
91

84 đvdt

abc
abc 13.14.15 65
đvđd


. TínhR Có S 
 R
4R

4S
4.84
8
a b c
2.84
2S
.r  r 

. Tính r Coù S  p.r 
= 4ù
2
a  b  c 13  14  15


• 4 – CÔNG THỨC ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN

a)

Định lý :
A

Trong ABC

có :

2
2
2
b


c
a
ma2 =

2 2 42
2
mb2 = a  c  b
2
4
2
2
2
2
b

a
c
mc =

2
4



c

b
ma

.

M

B

b

2

+ c

2

a
2

2



C

Chứng minh :

 
 (qt3đ)
 2. AM .MB  MC  (véctơ đố
2

= AC  AB  AM  MC  AM  MB

2

2

2. AM  MC  MB



2



2

BC
2. AM  MC  MB  2.MB.MC 2. AM  2.
4
2
2
2
2
2
22
2



b2 + c2 = 2.ma2

b + c

+

= 2.maa
2

2

a2
+
2

2

 ma

2

b c a
=

2
4

2


Cho 2 điểm A và B cố định . Tìm
b) Ví du 1: quỹ tích những
điểm M thoã điều kiện MA2 + MB2 = k2
( k là số

cho trước)
. Gọi O là trung
: đk MA2 +
. Giải
M thoã

.

điểm AB

MB = k
nên MO là trung
tuyến
MA2 MAB
+ MB2 =
 2.MO2 +
2

2

2

2

AB 2
2

k
AB
1


2k 2  AB 2 


4
2
4

.

 .MO2 =

.



1



A
2

2



.

.

O

M

.

B

2k  AB
2k  AB  0  .MO =
 Quỹ tích của M2là đường tròn tâm O bán
kính MO
.MO =
 M   Quỹ tích của M là
2
2

2k  AB 0
0
O
điểm O
 Quỹ tích của M là không xác
2k 2  AB 2  0
định .

.
.

2

2





Cho 2 điểm A và B cố định . Tìm
c) Ví du 2: quỹ tích những
điểm M thoã điều kiện MA2 - MB2 = k
( k là số
cho trước)
. Gọi O là trung
Giải :
AB; H
. M điểm điểm
tuỳ ý
M
là hình chiếu của M
trên AB
2
2
. Tính
MA
MB
=
   

MA   MB MA  MB 
BA 2.MO 


p dụng định lý
=

.

.

.

A
O
.
 2. AB.OM  2. AB. OH
hình
chiếu
k
. Vậy
MA2 
OH 
 2. AB. OH k
MB2
2. AB
. Vậy điểm H được

xác định

.

B H

Quỹ tích điểm M là
đường thẳng

vuông góc với AB tại H với
OH 

k
2. AB