§ 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC

Bài giảng : § 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM
GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC
Tổ : TOÁN TIN
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NGUYỄN DU
Soạn thảo : Tháng 11 năm 2006
Tiết : 23

§ 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC
1/ Nhắc lại kiến thức cũ: Cho tam giác
ABC vuông tại A có đường cao AH = h
và BC = a, CA = c. Gọi BH = c’ và CH =
b’.
Hãy nêu các hệ thức liên hệ giữa
các yếu tố của tam giác vuông
này ?
a
2
= b
2
+c
2
; b
2
= a.b’ ; c
2
= a.c’
h
2
=b’.c’ ; a.h = b.c ; 1/h
2

=1/b
2
+ 1/c
2
sinB = cosC = b/a; sinC = cosB = c/a
tanB = cotC =b/c; cotB = tanC = c/b
A B
C
H
c
b
b’
c’
a
2/ Kiểm tra: Cho tam giác ABC có
AB=2; AC = 3; góc A = 60
0
.
a) Tính :
.AB AC
uuur uuur
. . .cosAB AC AB AC A=
uuur uuur
= 2.3.cos60
0
= 2.2.1/2 =3
b) Tính cạnh BC ?
Ba cạnh a,b,c có quan hệ gì ?
Tương tự b2 ; a ; b’ ?
h

§ 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC
a/ Cho tam giác ABC có
AB = c; AC = b ,
góc A . Tính
cạnh BC
2
theo b , c , A
Hãy sử dụng quy tắc 3
điểm đối với phép trừ
vectô của A,B,C ?
3/Định lý Côsin:
BC AC AB= −
uuur uuur uuur
AC BC BA= −
uuur uuur uuur
2
2
( )BC AC AB= −
uuur uuur uuur
2
?BC =
uuur
BC
2
=b
2
+c
2
-2b.c.cosA

Vậy Nếu cho tam giác ABC có
AB=c; BC=a; AC=b, góc
A,B,C.Quan hệ giữa a,b,c,A,B,C
như thế nào ?
b/ Định lí Cô sin:Trong tam giác
ABC bất kì với BC=a; AB=c;AC=b
ta có:
a
2
=b
2
+c
2
-2bc.cosA
b
2
=c
2
+a
2
-2ca.cosB
c
2
=a
2
+b
2
-2ab.cosC
2 2
2 .AC AB AC AB= + −

uuur uuur uuur uuur
A
B
C
AB CB CA= −
uuur uuur uuur
c
?
b
Hãy phát biểu định lí Cô sin thành lời ?
Trong một tam giác ,bình phương một
cạnhbằng tổng bình phương của hai cạnh
kia, trừ hai lần tích của chúng và cô sincủa
góc xen giữa 2 cạnh đó
Lưu ý: Khi tam giác ABC vuông thì định lí
Cô sin trở thành định lí nào ?
Khi tam giác ABC vuông thì định lí trở thành
định lí Pytago
Ta có:

§ 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC
Từ định lí Cô sin làm thế
nào để tính góc A,B,C
của tam giác ABC ?
Hệ quả:
2 2 2
cos
2
b c a
A

bc
+ −
=
2 2 2
cos
2
c a b
B
ca
+ −
=
2 2 2
cos
2
a b c
C
ab
+ −
=
c/ Cho tam giác ABC có AB=c; BC=a;
AC=b;Tính độ dài trung tuyến m
a
;m
b
;m
c
của
các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các
đỉnh A,B,C ,theo a,b,c.
A

B
C
c
b
a
m
a
M
Áp dụng định lí Cô sin với tam
giác ABM với M trung điểm
của BC ,ta có m
a

2
=?
2
2 2
2 . .cos
2 2
a
a a
m c c B
 
= + −
 ÷
 
Làm thế nào để tính m
a
theo
a,b,c

2
2 2 2
2 2
2 . .
2 2 2
a
a a a c b
m c c
ac
+ −
 
= + −
 ÷
 
2 2 2
2
2( )
4
a
b c a
m
+ −
=
Tương tự m
b
2
;m
c
2
bằng ?

2 2 2
2
2( )
4
b
c a b
m
+ −
=
2 2 2
2
2( )
4
c
a b c
m
+ −
=

§ 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC
Áp dụng : Cho tam giác ABC có a = 7cm,
b = 8cm, c = 6cm. Hãy tính độ dài trung
tuyến m
a
của tam giác ABC
Hãy nêu công thức tính m
a
?
Ta có
2 2 2

2
2( )
4
a
b c a
m
+ −
=
2 2 2
2(8 6 ) 7
4
+ −
=
151
4
=
151
6,14
2
a
m = ≈
Vậy:
d/ Ví dụ
Ví dụ 1:(SGK) Cho tam giác ABC
cócáccạnhAC=10cm,BC=16cm,
và góc C=110
0
.Tính cạnh AB,và
góc A,B của tam giác đó.
A

B
C
7
6
8
M
A
C
B
10
C=?
16
110
0
?
?
Ta có a,b có giá trị ?
Ta có a = 16cm,b = 10cm,c=AB
Theo định lí cô sin ta có c
2
= ?
Áp dụng Cô sin ta có:c
2
= a
2
+ c
2
- 2ac.cosC
c
2

=16
2
+10
2
-2.16.10.cos110
0
c
2
≈
465,44
; 465, 44 21,6c cm≈ ≈
Làm thế nào để tính góc A ?
2 2 2
cos
2
b c a
A
bc
+ −
=
2 2 2
10 (21,6) 16
2.10.(21, 6)
+ −
≈
0,72≈
0
44 02'A⇒ ≈
0 0
, 180 ( ) 25 58'B A C= − + ≈

Góc B tính như thế nào ?