Chương II - Bài 3: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

NHIỆT LIỆT CHÀO MỪNG CÁC THẦY CÔ
Dự giờ với thày và trị 10Tốn

Ơn tập tổng hợp: Định lý Cosin và Bài toán giải tam giác


Trả lời câu hỏi A
Hai câu hỏi mở đầu:

A.Một tam giác được coi là xác
định trong dài hai cạnh và cơ
I. Biết độ các trường hợp
bản nào? xen giữa.
một góc
B.Tam giácdài ba cạnh. khi đó
II. Biết độ đã xác định
hãy tìm các yếu tố cơ bản cịn
III. Biết hai góc và một
lại ? (bài toán giải tam giác)
cạnh.

Ba trường hợp kể trên tương ứng với
ba trường hợp bằng nhau của tam
giác.
Ta khẳng định ba trường hợp đó là
tương đương:


Bài giảng:

Định lý Cosin trong tam giác

Và các ứng dụng
α

b

c =a
2

a

2

? − 2abcosα
+b
2


Ví dụ bài tốn thực tế
Bài tốn 1
Người ta muốn đo khoảng cách
hai điểm A,B mà không thể
đến trực tiếp được vì ở hai
bên đầm lầy ( hình vẽ).
A

Câu hỏi:
Người ta phải làm gì để thực hiện
được ý đồ?

*C

0

α
b

a

?

Đây là bài toán thực tế. Để giải người ta chọn một điểm C sao cho
tam giác ABC xác định. Cụ thể là:
+) Xác định: AC=b; BC=a và số đo góc ACB?
+) Áp dụng Định lý Cosin cho tam giác ABC ta có AB=?

B


1. Định lý cơsin
Bài tốn 2: Hai tàu thuỷ cùng xuất phát từ một vị trí với vận tốc
v1=30km/h,v2=50km/h theo hai hướng hợp với nhau một góc 450
(như hình vẽ). Hỏi sau một giờ hai tàu cách nhau bao xa?

B

Km
30

?
/o
45h

0Km
53 Km
0
/h
A
50K
m

C


B

Km
30

?

o
h
Km/
530 m
0K
/h
A

45

50K
m

C


Trả Lời:
Áp dụng Định lý Cosin cho tam giác ABC ta có:

BC = AB + AC − 2 AB. AC.cosA
2
2
2
2
⇔ BC = 30 + 50 − 2.30.50. ≈ 1278,67( Km)
2
⇒ BC ≈ 35,76km
2

2

2


Định Lý Cosin
Trong tam giác ABC bất kỳ với BC=a, AB=c, CA=b
Ta có:

a 2 = b 2 + c 2 − 2bcCosA
2
2
2

b = a + c − 2acCosB
2
2
2
c = a + b − 2abCosC
•Từ trên ta thấy trong một tam giác khi biết hai cạnh và góc xen
giữa ta sẽ tính được cạnh cịn lại đó chính là nội dung của định lý
cosin.
•Như vậy (I) và (II) là tương đương.


Trở lại bài toán thực tế ban đầu
……………………………………………………………………………….

Hãy sử dụng định lý vừa tìm được để tìm lời giải bài tốn đo
khoảng cách giữa các điểm mà khơng đến trực tiếp được
(hình vẽ).
B

A

20m
o

75

23m

Hướng dẫn:
C

Ta chọn điểm C sao cho từ đó có thể nhìn thấy điểm
A,B và đo độ dài AC, BC và góc ACB
Giả sử các số liệu đo được như hình vẽ .
AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2 AC .BC.Cos75o ≈ 690,9(m) ⇒ AB ≈ 26,3m


Ứng dụng khác………………………………….

Tính được các góc của tam giác khi biết độ dài ba cạnh :
a 2 = b 2 + c 2 − 2bcCosA
b2 + c2 − a 2
cosA=
2bc

Từ đẳng thức
Ta có:

A

Tương tự:
c

a +c −b
2ac
2

cosB=

2

a 2 + b2 − c2
cosC=
2ab

?

2

B
a

b

C


Hơn nữa ta có thể định dạng tam giác nhọn, vuông, tù
A Nhọn

⇔ cosA>0 ⇔ a > b + c

2

A Vuông

⇔ cosA=0 ⇔ a = b + c

2

A Tù

⇔ cosA<0 ⇔ a > b + c

2

2

2

2

2

2

2

Người ta còn coi Định lý cosin cho tam giác như là
một mở rộng của Định lý Pitago


Và có thể xây dựng các hệ thức khác.
Ví dụ:
Cho tam giác ABC chứng minh rằng

cosA cosB cosC a 2 + b 2 + c 2
+
+
=
a

b
c
2abc

Trả lời: Từ hệ quả ta có

cosA b + c − a
=
a
2abc

2

cosC a + b − c
=
c
2abc

cosB a + c − b
=
b
2abc
2

2

2

2

2

2

Suy ra:

2

2

cosA cosB cosC a 2 + b 2 + c 2
+
+
=
a
b
c
2abc

Liên hệ với một kết quả đã biết…?


• Với mọi tam giác ABC; với mọi số thực
x,y,z ta đều có:

x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2 xycosA+2yzcosB+2zxcosC

•Đặc biệt: nếu xyz>0:

x 2 + y 2 + z 2 cosA cosB cosC

≥
+
+
2 xyz
x
y
z
Dấu bằng có khi x:y:z = a:b:c


Mở rộng định lý cosin
• Trong mọi tam giác ta
đều có:

b2 + c 2 − a2
cot A =
4S
a2 + c 2 − b2
cot B =
4S

a +b −c
cot C =
4S
2

2

2

a2 + b2 + c2
•Vậy mọi tam giác ABC: cot A + cot B + cot C =
≥ 3
4S
Dấu bằng chỉ có khi chỉ khi tam giác đều


Chúng ta còn câu hỏi: (I) tương đương với (III)?

Định lý Sin trong tam giác:
• Trong mọi tam giác ta
đều có:

a
b
c
=
=
= 2R
sinA sin B sin C

Do đó nếu tam giác ABC ta biết độ dài một cạnh và hai
góc, chẳng hạn biết: BC=a
Và các góc: BAC= α ;Góc ABC= β
•Khi đó ta hồn tồn có thể tính được các cạnh
và các yếu tố cịn lại của tam giác!
•Mặt khác ta có hệ quả: a=2RsinA; b=2RsinB; c=2RsinC
•Hệ quả này giúp ta lượng giác hoá các yếu tố độ dài.

CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC
………………………………………………………………………………

Bài tốn: Cho tam giác có các cạnh BC=a, CA=b, AB= c
Gọi M là trung điểm của BC. Hãy tính MA2
A

c

Trả lời:

a
2

B

ma

b

M

Áp dụng định lý Côsin cho tam giác AMB ta có

MA =
2

Mà

c

2

2

 a  2c. a cosB c 2 + a − acCosB
=
+ ÷ − 2
4
2
2

a 2 + c2 − b2
cosB=
2ac

MA =
2

C

Thay vào đẳng thức trên ta có

a
a +c −b
c + − ac
4
2ac
2

2

2

2

2

=

2 ( b2 + c2 ) − a 2
4

= ma

2


Cơng thức tính độ dài đường trung tuyến
Cho tam giác ABC có các cạnh BC=a, AC=b,AB=c. Gọi ma , mb , mc
là độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A,B,C của
tam giác. Ta có: 2
2 ( b + c2 ) − a2
2

ma =

mb

2

2

=

mc =

4

2 ( a 2 + c2 ) − b2
4

(

)

2 a 2 +b 2 −c 2
4


Bằng cách tương tự ta có thể thực hiện việc xây dựng
công thức đường phân giác trong của tam giác:
2b2 c 2
4 bcp( p − a)
2
la =
1 + cosA ) =
2 (
(b + c)
( b + c )2

2a2 c2
4 acp( p − b)
2
lb =
1 + cosB ) =
2 (
(a + c)
( a + c )2

2b2 a2
4bap( p − c)
2
lc =
1 + cosC ) =
2(
( b + a)
( b + a )2

Và bạn Long đã chứng minh kết quả:

la + lb + lc ≤ 3 p < 2 p.
Dấu bằng chỉ có khi chỉ khi tam giác đều!


Bài tốn giải tam giác
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có a=3, b=5, c=7. Hãy tính độ dài đường
trung tuyến
m

m = (
2
a

)

2 5 +7 −3
2

2

2

4

a

≈ 34, 75 ⇒ ma ≈ 5,89

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC chứng minh rằng

3 2
ma + mb + mc = ( a + b 2 + c 2 )
4
2

2

2

Trả lời: Áp dụng công thức tính đường trung tuyến ta có

ma

2

2

2

+ mb + mc =

(

)

2 b2 + c 2 − a 2
4

+

3 2
= a + b2 + c2
4

(

)

(

)

2 a 2 + c2 − b2
4

+

(

)

2 a 2 + b2 − c2
4


Câu hỏi trắc nghiệm

Câu 1: Cho tam giác ABC có A = 60o , AC=1cm, AB=2cm, Độ dài
cạnh BC bằng
(A)

3cm

(B)

3 3
cm
2

(C) 3cm

(D)

3
cm
2

Câu 2: Cho tam giác ABC có AB=7 cm, BC=5cm, AC= 6cm Giá trị
CosC bằng:

1
(A):
2

1
(B): −
5

1
(C):
5

2
(D):
5


Câu hỏi trắc nghiệm
Câu 3: Cho tam giác ABC có AB=2cm,BC=6cm,AC=5cm.Khi đó độ

dài đường phân giác trong góc A của tam giác có độ dài là:
22
(A):
cm
4

7
(B): cm
4

49
(C):
cm
4

130
(D):
cm
7

Câu 4: Cho tam giác ABC có AB=7cm, BC=6cm, AC=3cm khẳng
định nào sau đây đúng:
(A): Tam giác ABC nhọn
(B): Tam giác ABC tù
(C): Tam giác ABC vuông


Bài tập về nhà:
Cho tam giác ABC như
hình vẽ sau.

Em hãy cho biết:
1) Độ dài AB=?
2) Độ dài đường trung
tuyến kẻ từ đỉnh A?
3) Độ dài đường phân
giác trong kẻ từ đỉnh B?
4) Diện tích tam giác
ABC?
5) Độ dài các loại bán
kính: r;R; ra ; rb ; rc

A

3

?

B

600

4

C


Chứng minh các hệ thức
(b+c)cosA+(c+a)cosB+(a+b)cosC=2p
R(acosA+bcosB+ccosC)=2S

a cot A + b cot B + c cot C = 4 S
2

2

2

asinA+bsinB+csinC
= cot A + cot B + cot C.
acosA+bcosB+ccosC
acosA+bcosB+ccosC 2 p
=
asinB+bsinC+csinA
9R


Tæng kÕt

a,b,C

Hãy làm rõ sơ đồ trên!


Sau khi có tích
vơ hướng

Ta có những kết quả gì?

1. Định lý Cosin trong tam giác
2. Định lý sin trong tam giác

3. Công thức độ dài đường trung tuyến
4. Công thức độ dài đường phân giác
5. Các cơng thức tính diện tích
6. Sơ đồ bài tốn giải tam giác

Cần Về vấn đề giải
nhìn lại các
kết quả sau:
tam giác?!