Toiuuhammotbien Tin học ứng dụng trong công nghệ hóa học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
___oOo___

TỐI ƯU HÀM MỘT BIẾN
TRÊN MICROSOFT EXCEL

BỘ MÔN: QUÁ TRÌNH VÀ THIẾT BỊ CN HÓA - TP


1. Đặt vấn đề:
•Hãy tìm giá trị của biến độc lập chưa biết x, trong khoảng [a,b]
sao cho hàm f(x) nhận giá trị cực tiểu.
Nếu cần tìm cực đại hàm g(x), thì dùng hàm ngược F(x) =  g(x) sẽ
đưa đến bài toán tìm cực tiểu của F(x).
Hàm cần cho trước dưới dạng công thức giải tích.
Nếu tồn tại đạo hàm f’(x) thì đưa đến giải phương trình tuyến tính
hay phi tuyến như đã trình bày trước đây.
Bài toán tìm tối ưu hàm một biến bằng phương pháp số được sử
dụng khi và chỉ khi hàm số không có đạo hàm, có nghóa hàm
không trơn thậm chí không liên tục, tức làø hàm bị gián đoạn loại I
theo Dirắc


1. Đặt vấn đề:
Điều kiện duy nhất đối với hàm f(x) là đơn điệu trên đoạn [a,b],
tức là trên khoảng [a,b] chỉ tồn tại một cực tiểu và không có cực
đại hay điểm uốn.
Hàm f(x) gọi là đơn điệu trên đoạn [a,b] nếu trên đoạn này tồn tại
điểm x* đối với biến số x sao cho khi: x1 < x2 < x* < x3 < x4 … thì:
f(x1) > f(x2) > f(x*) < f(x3) < f(x4)

Khi đó bài toán tối ưu hóa đã đặt ra trở thành bài toán tìm kiếm
khoảng [a,b] được thu hẹp dần từ khoảng ban đầu không xác định
về đoạn [a,b] với sai số  nào đó. Có nhiều phương pháp tiến hành:
•Thu hẹp bằng phương pháp phân đôi;
•Thu hẹp theo phương pháp lát cắt vàng;


1. Phương pháp phân đôi:
•Để tìm cực trị phương pháp phân đôi cần biết trước:
•Công thức giải tích của hàm số;
•Giá trị số của khoảng có cực trị [a, b];
•Giá trị sai số  cần đạt được;
Bản chất của phương pháp này là chọn được các giá trị x1 và x2 để
tính giá trị hàm tại lân cận trung điểm của khoảng [a, b]:
Để có thể tiến gần đến cực trị ta thường chọn x1 = c –  và x2 = c +
 với  = /3 hay /4 tùy thuộc vào cấp của máy tính. Sau k lần tính
lặp khoảng giá trị xác định ban đầu được thu hẹp thành:





2K  1
ba
  K  g K 1
2
2
•Tính toán kết thúc nếu:

≤

1. Phương pháp phân đôi:
Trình tự phương pháp này được thực hiện như sau:
Theo giá trị cho trước a, b và tiến hành tính trung điểm: c = (a+b)/2
•
x1 = c – /3 và x2 = c +  /3
Tính giá trị f(x1) và f(x2) rồi so sánh với nhau;
Nếu f(x1) > f(x2) thì thay a = x1; ngược lại b = x2;
Kiểm tra điều kiện:  = (b – a) ≤ 
Nếu thỏa mãn thì kết thúc, nghiệm bài toán là giá trị nhận được x
bất kỳ nằm trong [a,b] vừa xác định được;
Ngược lại thì thực hiện lặp lại với [a,b] mới;
Ví dụ:
Tìm cực trị hàm f(x) = 2x2 + exp(–x) với độ chính xác  = 104?
Trước hết ta tìm khoảng [a, b] của biến số mà trên đó tồn tại cực
trị của hàm. Để thực hiện điều này trên bảng Excel đặt chuỗi giá
trị biến x trong cột A từ (giả sử) – 1, đến 1, cột B ta tính hàm theo
công thức f(x) = 2x2 + exp(–x). Sau đó vẽ đồ thị f(x) – x ta thu được:


1. Phương pháp phân đôi:

Cho: f(x)
Khoảng [a, b]
Độ chính xác 
Tính: c  a  b
x1 = c – /3 x2 2= c + /3

Đúng

f(x1) < f(x2)

Thay b = c

Sai
Thay a = c

Tính: = b - a


Giá trị tối ưu
Kết thuùc


•Từ đó ta thấy hàm đã cho có 1 cực tiểu trong khoảng [0, 1]: a = 0;
b = 1.


1. Phương pháp phân đôi:
Để tìm cực tiểu trong khoảng [0, 1] của hàm đã cho ta làm như
sau: Trong bảng ta đặt: a, b, x1, x2, f(x1), f(x2),  theo haøng 3


1. Phương pháp phân đôi: Kết quả tính toán thể hiện trong
bảng trên như sau:


1. Phương pháp phân đôi:
Xây dựng đồ thị mô phỏng quá trình tính và tốc độ hội tụ như sau:

1. Phương pháp phân đôi:
Như vậy từ kết quả tính toán và đồ thị ta thấy hàm số đã cho đạt
cực tiểu bằng f(x)MIN = 0,898694 tại:

0,203859  0,203926
 0,203892
2
2. Phương pháp lát cát vàng:
Lát cắt vàng (tỷ số) là điểm chia đoạn thẳng thành hai đoạn lập
nên tỷ số của đoạn lớn với nó bằng tỷ số đoạn nhỏ với đoạn lớn.
Rõ ràng, đối với đoạn [a,b] có hai điểm đối xứng chia đoạn này
theo tỷ số vàng, đó laø:


3  5
x = a + L(b – a) vaø x = b – L(b – a), với L 
1

2

2

Như vậy, điểm x1 lại chia đoạn [a, x2] theo tỷ số vàng, còn x2 chia
đoạn [x1,b] cũng theo tỷ số vaøng …


2. Phương pháp lát cát vàng:
Thuật toán lát cắt vàng được mô tả như sau: các điểm x1 và x2

chia đoạn [a,b] theo tỷ số vàng, tại đây tính các giá trị f(x1) và
f(x2)
So sánh các giá trị tính toán với khoảng [a, x2] và [x1, b] xem nó
chia đoạn nào thành tỷ số vàng. Rồi tính toán với điểm thứ 2 này
và coi là kết thúc vòng lặp thứ nhất. Khi bước sang vòng lặp thứ
hai thì chỉ cần tính một giá trị hàm và khoảng giá trị xác định này
giảm đi một giá trị:
3 5
 
 0,382

2

Phép lặp được thưc hiện đến khi khoảng xác định [a, b] không nhỏ
hơn độ chính xác  cho trước.
Ví dụ: Tìm cực trị hàm f(x) = 2x2 + exp(–x) với độ chính xác  = 10
4 bằng phương pháp lát cắt vàng?
•Ta lập bảng tính như sau


1. Phương pháp phân đôi:

Cho: f(x)
Khoảng [a, b]
Độ chính xác 
Tính: L  3  5  x = x0 + L
2
x1 = c – /3 x2 = c + /3

Đúng

f(x1) < f(x2)

Thay b = c

Sai
Thay a = c

Tính: = b - a


Giá trị tối ưu
Kết thúc


2. Phương pháp lát cát vàng:
Ví dụ: Tìm cực trị hàm f(x) = 2x2 + exp(–x) với độ chính xác  = 10
4 bằng phương pháp lát cắt vàng?

Ta lập bảng tính như sau


2. Phương pháp lát cát vàng:
Ví dụ: Tìm cực trị hàm f(x) = 2x2 + exp(–x) với độ chính xác  = 10
4 bằng phương pháp lát cắt vàng?

Kết quả tính toán


2. Phương pháp lát cát vàng:

Ví dụ: Tìm cực trị hàm f(x) = 2x2 + exp(–x) với độ chính xác  = 10
4 bằng phương pháp lát cắt vàng?

Mô phỏng quá
trình hội tụ
Như vậy, ta cũng có
cực tiểu bằng
0,898694
tại 0,203826


2. Phương pháp lát cát vàng:
Ví dụ: Tìm cực trị hàm f(x) = 2x2 + exp(–x) với độ chính xác  = 10
4 bằng phương pháp lát cắt vàng?
Sử dụng công cụ (thủ tục) có sẵn trong Excel:
•Để sử dụng thủ tục Solver cần lưu ý những tùy chọn sau:
•Set Target Cell: Hàm mục tiêu;
•Equal to: Max, Min, Value of;
•By Changing Cells: Các biến;
•Subject to the constraints: Các ràng buộc (điều kiện);
•Để thay đổi các tuỳ chọn của Solver ta ấn chuột vào Options … thì


2. Phương pháp lát cát vàng:

•Để sử dụng thủ tục Solver cần lưu ý những tùy chọn sau:
•Set Target Cell: Hàm mục tiêu;
•Equal to: Max, Min, Value of;
•By Changing Cells: Các biến;

2. Phương pháp lát cát vàng:
Độ hồ tan vơi theo nhiệt độ:

C  0,1394  0,000649 t  0,00000157 t
*

2


3. Bài tập: lấy phần dư phép chia số thứ tự trong danh
sách lớp chia 10 cộng 1 làm số đề sau đó giải bài toán:

TT

f(x)
3

 TT

2

1 x  2x  5arctg(2,5x) 10
3

2

2 x  2,5x  1,5arctg(10x) 10
3

2

3 x  2x  0,7arctg(3x) 10

-4
-4
-4

3

2

-4

3

2

-4

4 x  2,1x  0,8arctg(4x) 10

f(x)



3

2

-4

3

2

-4

3

2

-4

3

2

-4

3

2

-4

6 x  2,9x  0,7arctg(2x) 10
7 x  2,2x  1,7arctg(0,8x) 10
8 x  1,8x  0,7arctg(,2x) 10
9 x  1,5x  1,5arctg(5x) 10

5 x  2,8x  0,2arctg(5x) 10 10 x  2,1x  5arctg(1,5x) 10