Phuongtrinhdaohamrieng Tin học ứng dụng trong công nghệ hóa học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
___oOo___

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG
TRÊN MICROSOFT EXCEL

PGS. TS. TRỊNH VĂN DŨNG
BỘ MÔN: QUÁ TRÌNH VÀ THIẾT BỊ CN HÓA - TP


GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
1. Đặt vấn đề:
2. Thực hiện bằng Excel
3. Ứng dụng trong công nghệ Hoá – Thực phẩm
4. Bài tập


1. Đặt vấn đề:
Để giải phương trình vi phân đạo hàm riêng:
Phương pháp lưới
Phương pháp sai phân hữu hạn
Phương trình vi phân dẫn nhiệt:

2
2
2


t



t
t
t
2
 a  a 2  2  2 
y
z 

 x

Cần tìm giá trị hàm t(x, y, z) thỏa mãn phương trình trên
Với điều kiện đầu:
Điều kiện biên:

t   0, x, y, z   g 0  x, y, z 

t  ,0   g1  

t  , L   g 2  


1. Đặt vấn đề:
Xét quá trình cấp đông:
2
2
2




t

t
t
t
2
 a   a  2  2  2
y
z

 x

Xem z, y >>x:





  2t 
t
 a 2 

 x 

Caàn tìm giá trị hàm t(, x, y, z)
thỏa mãn phương trình trên
Với điều kiện đầu:

t   0, x, y, z   g 0  x, y, z 
Điều kiện biên:

t  ,0   g 1  

t  , L   g 2  


1. Đặt vấn đề:
Đơn giản khảo sát bài toán:

U
U
D 2
x

2

Với điều kiện đầu: U 0, x  f  x
Điều kiện biên:

U,0  g1

Đổi biến: D = 1 và L = 1
Thì bài toán có dạng:

Và

U  , L  g2  

U  2U
 2


x

Điều kiện đầu và điều kiện biên:

U0,0  f 0  g10

U 0,1  f 1  g 2 0


Phương pháp tiến hành:
Xây dựng trên mặt phẳng X0T lưới vuông góc đều
Bước h theo x: x0 = a; xi = x0 + i.h; xn = n.h = b;
Theo  dạng:
x  i.h i  0, n
•nút lưới
  j.k j  0,

xi  i.h

 j  j.k

U xi , j   U i , j

hàm lưới

Trên nút bất kỳ của lưới số (i,j) xác định bằng tọa độ

Uxi , j   Ui, j

Khoảng  0 và 0  x  1 của điều kiện biên
điều kiện đầu (điều kiện giới hạn)


Phương pháp tiến hành:
Điểm bên trong của lưới bằng đạo hàm riêng phần theo:
không gian
thời gian của sai phân hữu haïn:

  2U
 2
 x


1
  2 U i , j 1  2U i , j  U i , j 1 
i , j h

1
 U 
  U i , j 1  U i , j 
•Đạo hàm bậc 1 có dạng: 
  i , j k


Phương pháp tiến hành:
Phương trình vi phân trở thành dạng đại số:

1
1

U i, j 1  U i, j   2 U i 1, j  2U i, j  U i 1, j 
h
k
Đặt:

k
q 2
h

Ta có phương trình:

U i , j 1  1  2q U i , j  q U i 1, j  U i 1, j 


Phương pháp tiến hành:

U i , j 1  1  2q U i , j  q U i 1, j  U i 1, j 

Khi cho: i = 0, 1, 2, …, n
j=0
Vế phải của phương trình đã cho tính theo điều kiện giới hạn.
Nên có thể tính các giá trị ở lớp ban đầu khi j = 1.
Các giá trị tiếp theo từ j = 2 sẽ tính theo các giá trị của bước
trướcù:

U i, j

1
 U i 1, j 1  U i 1, j 1 
2

3. Xấp xỉ bài toán vi phân thành bài toán sai phân:
Đạo hàm tại một điểm i nào đó, có thể biểu diễn dưới dạng sai
phân như sau:  y 
yi 1  yi
y i  y i 1
  
 x  i



h
h
1
1


 yi  yi 1  y  2 y  y
y
y


i 1
i
 2 y 
h
i
i 1
 2   h

 i 1
2

x
h
h

i

Bằng cách tương tự ta có thể biểu diễn sai phân cho các đạo hàm
cấp cao.
Giả sử hàm y(x) được cho bởi các giá trị: y0, y1, …, yi-1, yi, … tại
những điểm có khoảng cách đều nhau h. Thì sai phân lùi tại điểm i
của hàm y:

yi  yi  yi 1

2 yi  yi    yi  yi 1    yi 1  yi 2   yi  2 yi 1  yi 2

 3 y i  y i  3 y i 1  3 y i  2  y i  3

 4 yi  yi  4 yi 1  6 yi  2  4 yi 3  yi  4


3. Xấp xỉ bài toán vi phân thành bài toán sai phân:
Sai phân tiến có dạng: yi  yi 1  yi

2 y i  y i  2  2 y i  1  y i
3 yi  yi  3  3 yi  2  3 yi 1  yi
Sai phaân trung taâm:




h
2




h
2

yi  y xi    y xi    y

i

 2 yi  yi 1  2 yi  yi 1
 3 yi  y

3
i
2

 3y

1
i
2

 3y

1
i
2

y

1
2

i

y

i

3
2

1
2

 4 yi  yi  2  4 yi 1  6 yi  4 yi 1  yi  2
Xấp xỉ phương trình vi phân thành sai phân:

U "  x   AU '  x   BU  x   f  x 


3. Xấp xỉ bài toán vi phân thành bài toán sai phân:

Xấp xỉ phương trình vi phân thành sai phân:

U "  x   AU '  x   BU  x   f  x 
Xaáp xỉ bằng:
Có thể:

U i 1  U i
U i 1  2U i  U i 1

A
 BU i   i  f  xi 
2
h
h

1

2h

i



X
X

i1
i1

f  x dx

d 
dU 


K
x
 q  x U


dx 
dx 

xấp xỉ bằng:
trong ñoù:

x  

 f x 

1
U i  U i 1 
U i 1  U i
 ai
 ai 1
  q iU i   i  0
h
h
h


K i  K i 1
ai 
2


4. Thực hiện trên Excel:
Thực hiện trên Excel với ví dụ: Tìm hàm U(x,t) thoả mãn phương
trình:
U
 2U


 D

x 2

Với điều kiện đầu (hình sin): U  x , 0   sin  x 
Điều kiện biên loại 1: U 0,    0 vaø

khi x  0 ,1 

U 1,   0

Chọn bước của biến x là 0,1, tức là có n = 10 bước; Do q = 0,5; nên
2
bước theo biến  là : k  h  0,005
2

Để giải bài toán trên Excel ta lập bảng tính sau:

4. Thực hiện trên Excel:
•Cột A: x, thể hiện lớp i từ 0 đến 30;
•Cột B và cột L: U(0,) = 0;
•Cột C đến K tính lớp i: hàng đầu: điều kiện đầu C3:K3: U(x,0) =
sin(x) = sin(3,14.C2:K2); Hàng tiếp theo: C4:K4 tính
Ci  K i : Ci 

Ci 1  Di 1
•sau đó Copy
2

Kết quả tính nếu trong bảng sau:


Lớ p, x

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1


Lớp, x

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0


Lớp, x

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0,1

0,2

0,3

0,4

=SIN(3,14*C1) 0,588 0,809 0,951

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1

0,951

0,81

0,589

0,31

0
0
0
0
0
0
0
0
0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0


Lớ p, x

0
1
2
3

4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0,309

0,588

0,809

0,951

1

0,951

0,81

0,589

0,31

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0


Lớ p, x

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0,309
0,294
0,279
0,266
0,253
0,24
0,229
0,217
0,207
0,197
0,187
0,178
0,169
0,161
0,153
0,146
0,138
0,132
0,125

0,119
0,113
0,108
0,102
0,097
0,093
0,088
0,084
0,08
0,076
0,072
0,069

0,588
0,559
0,531
0,505
0,481
0,457
0,435
0,414
0,393
0,374
0,356
0,338
0,322
0,306
0,291
0,277
0,263

0,251
0,238
0,227
0,215
0,205
0,195
0,185
0,176
0,168
0,159
0,152
0,144
0,137
0,13

0,809
0,769
0,732
0,696
0,662
0,629
0,599
0,569
0,542
0,515
0,49
0,466
0,443
0,421
0,401

0,381
0,363
0,345
0,328
0,312
0,297
0,282
0,268
0,255
0,243
0,231
0,219
0,209
0,199
0,189
0,18

0,951
0,904
0,86
0,818
0,778
0,74
0,704
0,669
0,637
0,606
0,576
0,548
0,521

0,495
0,471
0,448
0,426
0,405
0,385
0,367
0,349
0,332
0,315
0,3
0,285
0,271
0,258
0,245
0,233
0,222
0,211

1
0,951
0,905
0,86
0,818
0,778
0,74
0,704
0,67
0,637
0,606

0,576
0,548
0,521
0,495
0,471
0,448
0,426
0,405
0,385
0,367
0,349
0,332
0,315
0,3
0,285
0,271
0,258
0,245
0,233
0,222

0,951
0,905
0,861
0,819
0,778
0,74
0,704
0,67
0,637

0,606
0,576
0,548
0,521
0,495
0,471
0,448
0,426
0,405
0,385
0,367
0,349
0,332
0,315
0,3
0,285
0,271
0,258
0,245
0,233
0,222
0,211

0,81
0,77
0,732
0,696
0,662
0,63
0,599

0,57
0,542
0,515
0,49
0,466
0,443
0,421
0,401
0,381
0,363
0,345
0,328
0,312
0,297
0,282
0,268
0,255
0,243
0,231
0,22
0,209
0,199
0,189
0,18

0,589
0,56
0,532
0,506
0,481

0,458
0,435
0,414
0,394
0,374
0,356
0,339
0,322
0,306
0,291
0,277
0,263
0,251
0,238
0,227
0,216
0,205
0,195
0,185
0,176
0,168
0,159
0,152
0,144
0,137
0,13

0,31
0,294
0,28

0,266
0,253
0,241
0,229
0,218
0,207
0,197
0,187
0,178
0,169
0,161
0,153
0,146
0,138
0,132
0,125
0,119
0,113
0,108
0,102
0,097
0,093
0,088
0,084
0,08
0,076
0,072
0,069

0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0