Lý thuyết trường điện từ TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY
Số tiết: 45
Tài liệu tham khảo
1. Kiều Khắc Lâu, LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐIỆN TỪ, GD, 2006
2. Ngô Nhật Ảnh, TRƯỜNG ĐIỆN TỪ, ĐHBK TPHCM, 1995
3. Nguyễn Hồng Phương, GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT TRƯỜNG, GD, 1978
Chương 0
MỘT SỐ CƠNG THỨC TỐN HỌC
1. Vector




a  a x , a y , a z   i a x  j a y  ka z




b  b x , b y , b z   i b x  j b y  kb z




c  c x , c y , c z   i c x  j c y  kc z





a.b a x b x  a y b y  a z b z




i
j
k



 
a b  a x a y a z  i  a y b z  a z b y   j a z b x  a x b z   k  a x b y  a y b x 
bx by bz




 
 
a.b  a b cos a , b



  
a b c



Phương:




 
c  a, b





Chiều: theo qui tắc vặn nút chai
Độ lớn:



 
 
c  a b sin a , b





   
  
a  b c b. a.c   c. a.b





 

2. Toán tử nabla
 

 
 
,
,


x

y

z


3. Gradient

1


 U  U  U
gradU .U  i
 j
k
x
y
z

4. Divergence
a y

 a
a z
diva .a  x 

x
y
z

5. Rotary

i



rota a 
x
ax


j

y
ay


k
 a z

a y

 i 

z
z
 y
az

  a x
a z   a y
a x
  j


  k 

z

x

x
y










Số phức
Hàm mũ
e z e x iy e x  cos y  i sin y 

Hàm mũ là một hàm tuần hồn có chu kì là 2i. Thực vậy, ta có
e 2 ki cos 2k  i sin 2k 1

Suy ra
e z 2 ki e z .e 2 ki e z

Cơng thức Euler
eiy = cosy +isiny
Khi đó số phức z = r ei = r(cos +isin)
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
Phư ng trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưang cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưap hai là phư ng trình b ậc nhất đối với hàm chưac nh ấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưat đ ối với hàm chưai v ới hàm chưai hàm ch ưa
biết và các đạo hàm của nó:t và các đạo hàm của nó:o hàm của nó:a nó:

y  a1 y  a 2 y f ( x )

Trong đó:
a1, a2 và f(x) là các hàm của biến độc lập x
f(x) = 0  (1) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất
f(x)  0  (1) gọi là phương trình tuyến tính khơng thuần nhất
a1, a2  const  (1) gọi là phương trình tuyến tính có hệ số khơng đổi
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất

2

(1)


Phư ng trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưang cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưap hai thuần nhất có dạng: n nhấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưat có dạo hàm của nó:ng:

y  a 1 y  a 2 y 0

(2)

a1, a2 là các hàm của biến x
Định lí 1. Nếu y1 = y1(x) và y2 = y2(x) là 2 nghiệm của (2) thì y = C 1y1 + C2y2
(trong đó C1, C2 là 2 hằng số tuỳ ý) cũng là nghiệm của phương trình ấy.
y x

1
Hai hàm y1(x) và y2(x) là độc lập tuyến tính khi y  x  const , ngược lại là phụ
2

thuộc tuyến tính
Định lí 2. Nếu y1(x) và y2(x) là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi
phân từ trường cấp hai thuần nhất (2) thì y = C 1y1 + C2y2 (trong đó C1, C2 là 2
hằng số tuỳ ý) là nghiệm tổng qt của phương trình ấy.
Định lí 3. Nếu đã biết một nghiệm riêng y 1(x) của phương trình vi phân từ
trường cấp hai thuần nhất (2) thì có thể tìm được một nghiệm riêng y 2(x) của
phương trình đó, độc lập tuyến tính với y1(x) bằng cách đặt y2(x) = y1(x).u(x)
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai khơng thuần nhất
Phư ng trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưang cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưap hai là phư ng trình bậc nhất đối với hàm chưac nhấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưat đ ối với hàm chưai v ới hàm chưai hàm ch ưa bi ết và các đạo hàm của nó:t
và các đạo hàm của nó:o hàm của nó:a nó:

y  a 1 y  a 2 y f ( x )

(3)

Trong đó:
a1 và a2 là các hàm của biến độc lập x; f(x)  0
Định lí 1. Nghiệm tổng qt của phương trình khơng thuần nhất (3) bằng
nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (2) tương ứng và một nghiệm
riêng nào đó của phương trình khơng thuần nhất (3).
Định lí 2. Cho phư ng trình khơng thuần nhất có dạng: n nhấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưat
y  a1 y  a 2 y f1 ( x )  f 2 ( x )

(4)

Nếu y1(x) là nghiệm riêng của phương trìnhm riêng của nó:a phư ng trình
y  a 1 y  a 2 y f1 ( x )

(5)

và y2(x) là nghiệm riêng của phương trìnhm riêng của nó:a phư ng trình
y  a 1 y  a 2 y f 2 ( x )

3

(6)


thì y(x) = y1(x) + y2(x) cũng là nghiệm riêng của phương trình (4)
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số khơng đổi
Phư ng trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưang cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưap hai thuần nhất có dạng: n nhấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưat có dạo hàm của nó:ng:

(7)

y  py  qy 0

p, q là các hằng số
Giả sử nghiệm riêng của (7) có dạng sử nghiệm riêng của (7) có dạng nghiệm riêng của phương trìnhm riêng của nó:a (7) có dạo hàm của nó:ng

(8)

y e kx

Trong đó: k là hằng số sẽ được xác định
Suy ra
y ke kx ,

(9)

y k 2 e kx

Thay (8) và (9) vào (7) ta có

e kx  k 2  pk  q  0

(10)

Vì e  0 nên
kx

(11)
Nếu k thoả mãn (11) thì y = e là một nghiệm riêng của phương trình vi

k 2  pk  q 0
kx

phân (7). Phương trình (11) gọi là phương trình đặc trưng của phương trình vi
phân (7)
Nhận xét: Phương trình đặc trưng (7) là phương trình bậc 2 có 2 nghiệm k 1
và k2 như sau
- k1 và k2 là 2 số thực khác nhau, khi đó 2 nghiệm riêng của phương trìnhm riêng của nó:a phư ng trình vi phân
(7) là

y1 e k x ,

y 2 e k x

1

(12)

2

Hai nghiệm riêng của phương trìnhm riêng (12) là độc lập từ trường vìc lậc nhất đối với hàm chưap từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưang vì

y1
e  k  k
y2
1

2

x

const

(13)

Do đó nghiệm riêng của phương trìnhm tổng quát của phương trình vi phân (7) làng qt của nó:a phư ng trình vi phân (7) là

y y1  y 2 C1e k x  C 2e k x
1

(14)

2

- k1 và k2 là 2 số thực trùng nhau: k1 = k2
Hai nghiệm riêng độc lập từ trường: y1 e k x , y 2 xe k x
1

Nghiệm riêng của phương trìnhm tổng quát của phương trình vi phân (7) làng qt của nó:a phư ng trình vi phân (7) là

4

1


y C1e k x  C 2 xe k x  C1  C 2 x  e k x
1

1

1

(15)

- k1 và k2 là 2 số phức liên hợp: k1 =  + i và k2 =  - i
Hai nghiệm riêng của phương trìnhm riêng của nó:a phư ng trình vi phân (7) là


y1 e   i  x e x e ix


y 2 e   i  x e x e  ix

(16)

Theo công thức Euler ta cóc Euler ta có
eix cos  x  i sin  x
e  ix cos  x  i sin  x

(17)

Suy ra


y1 e x eix e x  cos  x  i sin x 


y 2 e x e  ix e x  cos  x  i sin x 

Nếu



y1

và

(18)



y 2 là 2 nghiệm riêng của phương trìnhm của nó:a phư ng trình vi phân (7) thì các hàm








y y
y1  1 2 e x cos x
2
y y
y 2  1 2 e x sin  x
2i
c ng là nghiệm riêng của phương trìnhm của nó:a phư ng trình vi phân (7) và độc lập từ trường vìc lậc nhất đối với hàm chưap từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưang vì

y1
tgx const

y2

(19)

(20)

Do đó nghiệm riêng của phương trìnhm tổng quát của phương trình vi phân (7) làng qt của nó:a phư ng trình vi phân (7) là

y C1e x cos x  C 2 e x sin  x e x  C1 cos  x  C 2 sin x 

5

(21)


Chương 1
CÁC ĐỊNH LUẬT
VÀ NGUYÊN LÍ CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
1.1. Các đại lượng đặc trưng cho trường điện từ
1.1.1. Vector cường độ điện trường


iệm riêng của phương trìnhn trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưang đư c đặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trườngc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trườngi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trườngc tác dụng lên điện tích đặt trong điện trườngng lên điệm riêng của phương trìnhn tích đặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trườngt trong điệm riêng của phương trìnhn trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưang


F qE

(1.1)

Hay:

 Cđđt


E



F
E
q

(1.2)

tại một điểm bất kì trong điện trường là đại lượng vector có trị số

bằng lực tác dụng lên một đơn vị điện tích điểm dương đặt tại điểm đó
 Lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trườngc tác dụng lên điện tích đặt trong điện trườngng giữa 2 đt điểm Q và qa 2 đt điểm Q và qm Q và q


Qq r0
F
4 0 r 2

(1.3)

-  0 8,854.10  12 F / m - hằng số điện
-  - độ điện thẩm tương đối


- r0 - vector đơn vị chỉ phương
 Hệ đt điểm q1 , q 2 ,..., q n

 n 
1 n q i r0i
E  E i 

40 i1 ri 2
i 1

r0 i - các vector đơn vị chỉ phương

(1.4)

 Trong thực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trườngc tết và các đạo hàm của nó: hệm riêng của phương trình thường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưang là dây mả sử nghiệm riêng của (7) có dạngnh, mặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trườngt phẳng hay khối hình học, do đó:ng hay khối với hàm chưai hình học, do đó:c, do đó:

1
r

dl
l
2
4 0 
r
l

1
r



dS
S

4 0 S
r2

1
r


dV
V

4 0 V
r2


El 

ES

EV

1.1.2. Vector điện cảm

6

(1.5)
(1.6)
(1.7)

 Để đơn giản khi tính tốn đối với các môi trường khác nhau, người ta sử
dụng vector điện cảm


D



D  0 E

(1.8)

1.1.3. Vector từ cảm
 Từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưang đư c đặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trườngc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trườngi tác dụng lên điện tích đặt trong điện trườngng lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trườngc của nó:a từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưang lên điệm riêng của phương trìnhn tích chuy ểm Q và qn đ ộc lập từ trường vìng hay
dịng điệm riêng của phương trìnhn theo định luật Lorentznh luậc nhất đối với hàm chưat Lorentz

 
F qv B

 Từ trường do phần tử dòng điện

(1.9)


Id l tạo hàm của nó:o ra đư c xác định luật Lorentznh bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trườngi định luật Lorentznh luậc nhất đối với hàm chưat thực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trườngc

nghiệm riêng của phương trìnhm BVL

 
  0
dB 
Id
l r
4r 2





(1.10)

-  0 4.10  7 1,257.10  6 H / m - hằng số từ
-  - độ từ thẩm tương đối
 Từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưang của nó:a dây dẫn có chiều dài ln có chiều dài lu dài l
  0
B
4

 
Id l r

r2
l

(1.11)

1.1.4. Vector cường độ từ trường
 Để đơn giản khi tính tốn đối với các môi trường khác nhau, người ta sử

dụng vector cường độ từ trường


H



B
H
 0

(1.12)

1.2. Định luật Ohm và định luật bảo tồn điện tích
1.2.1. Định luật Ohm dạng vi phân
 Cường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưang độc lập từ trường vì dịng điệm riêng của phương trìnhn I chạo hàm của nó:y qua mặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trườngt S đặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trườngt vng góc với hàm chưai nó bằng lượng điện tích qng l ư ng đi ệm riêng của phương trìnhn tích q
chuyểm Q và qn qua mặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trườngt S trong mộc lập từ trường vìt đ n vịnh luật Lorentz thờng cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưai gian
I 

(1.13)

dq
dt

Dấu trừ chỉ dòng điện I được xem là dương khi q giảm

7




ểm Q và q mô tả sử nghiệm riêng của (7) có dạng đần nhất có dạng: y đủa nó: sực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường chuyểm Q và qn độc lập từ trường vìng của nó:a các hạo hàm của nó:t mang điệm riêng của phương trìnhn trong mơi trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưang d ẫn có chiều dài ln đi ệm riêng của phương trìnhn,
ngường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưai ta đưa ra khái niệm riêng của phương trìnhm mậc nhất đối với hàm chưat độc lập từ trường vì dịng điệm riêng của phương trìnhn




J n 0 ev v E

(1.14)

dạng vi phân của định luật Ohm
- n0 - mật độ hạt điện có điện tích e
-  - mật độ điện khối


- v - vận tốc dịch chuyển của các hạt điện
-  - điện dẫn suất
 Dòng điện qua mặt S được tính theo
 
 
I dI J dS EdS
S

S

(1.15)

S

 Một vật dẫn dạng khối lập phương cạnh L, 2 mặt đối diện nối với nguồn áp
U, ta có
(lưu ý: áp dụng c/t S = L2 và

R 

L 
 )
S L

I EdS ES (L)( EL) LU 
S

U
R

(1.16)

dạng thông thường của định luật Ohm
Vì


E

và


dS cùng chiều dài lu, đặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trườngt



(1.17)

1
RL

 - điện dẫn suất có đơn vị là 1/m
1.2.2. Định luật bảo tồn điện tích
 Điện tích có thể phân bố liên tục hay gián đoạn, không tự sinh ra và cũng
không tự mất đi, dịch chuyển từ vùng này sang vùng khác và tạo nên dòng
điện.
 Lượng điện tích đi ra khỏi mặt kín S bao quanh thể tích V bằng lượng điện
tích giảm đi từ thể tích V đó.
 Giả sử nghiệm riêng của (7) có dạng sử nghiệm riêng của (7) có dạng trong thểm Q và q tích V đư c bao quanh bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trườngi mặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trườngt S, ta có
(1.18)

Q dV
V

sau thờng cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưai gian dt lư ng điệm riêng của phương trìnhn tích trong V giả sử nghiệm riêng của (7) có dạngm đi dQ

8


I 

dQ
d

dV

dt
dt V

(1.19)

 
I JdS

(1.20)

Mặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trườngt khác
S

Suy ra
 



JdS  t
S

(1.21)

dV

V

Theo định luật Lorentznh lý OG
#

 



JdS .J dV  t
S

V

dV

(1.22)

V

Suy ra
# 
.J 
0
t

(1.23)

Đây là dạng vi phân của định luật bảo tồn điện tích hay phương trình liên
tục.
1.3. Các đặc trưng cơ bản của môi trường
 Các đặc trưng cơ bản của môi trường: , , 
 Các phư ng trình:



D  0 E


B
H
 0

(1.24)
(1.25)

gọi là các phương trình vật chất
 , ,   cường độ trường : mơi trường tuyến tính
 , ,   const : môi trường đồng nhất và đẳng hướng
 , ,  theo các hướng khác nhau có giá trị khơng đổi khác nhau: mơi trường
khơng đẳng hướng. Khi đó ,  biểu diễn bằng các tensor có dạng như bảng
số. Chẳng hạn ferrite bị từ hoá hoặc plasma bị từ hố là các mơi trường
khơng đẳng hướng khi truyền sóng điện từ
 , ,   vị trí : mơi trường không đồng nhất
Trong tự nhiên đa số các chất có  > 1 và là mơi trường tuyến tính.
Xecnhec có  >> 1 : mơi trường phi tuyến

9


 > 1 : chất thuận từ : các kim loại kiềm, Al, NO, Phương trình, O, N,
khơng khí, ebonic, các nguyên tố đất hiếm
 < 1 : chất nghịch từ : các khí hiếm, các ion như Na +, Cl- có các lớp
electron giống như khí hiếm, và các chất khác như Pb, Zn, Si, Ge, S, CO 2, H2O,
thuỷ tinh, đa số các hợp chất hữu cơ
 >> 1 : chất sắt từ : môi trường phi tuyến : Fe, Ni, Co, Gd, hợp kim các

nguyên tố sắt từ hoặc khơng sắt từ Fe-Ni, Fe-Ni-Al. Độ từ hố của chất sắt từ
lớn hơn độ từ hoá của chất nghịch từ và thuận từ hàng trăm triệu lần.
 Căn cứ vào độ dẫn điện riêng : chất dẫn điện, chất bán dẫn và chất cách
điện hay điện môi
Chất dẫn điện:  > 104 1/m,  =  : chất dẫn điện lý tưởng
Chất bán dẫn: 10-10 <  < 104
Chất cách điện:  < 10-10,  = 0 : điện mơi lý tưởng
Khơng khí là điện mơi lý tưởng:  =  = 1,  = 0
1.4. Định lí Ostrogradski-Gauss đối với điện trường
 Được tìm ra bằng thực nghiệm, là cơ sở của các phương trình Maxwell
 Thơng lượng của vector điện cảm


D qua mặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trườngt S là đạo hàm của nó:i lư ng vơ hưới hàm chưang đư c xác định luật Lorentznh

bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trườngi tích phân
 
 E  DdS

(1.26)

S

10



dS



r


D
d

q


dS

S

: vi phân diện tích theo hướng pháp tuyến ngồi




dS.cos( D , dS ) : hình chiếu của S lên phương


D

 Xét một mặt kín S bao quanh điện tích điểm q, tính thơng lượng của


D do q

tạo hàm của nó:o ra qua mặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trườngt kín S, ta có
 

  q.dS. cos D, dS
q
d DdS 
 d
2
4r
4





(1.27)

d là vi phân góc khối từ điện tích q nhìn tồn bộ diện tích dS
Thơng lượng của


D qua tồn mặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trườngt kín S là

 
q
 DdS 
d q
4 
S

(1.28)

 Xét trường hợp điện tích điểm q nằm ngồi mặt kín S. Từ điện tích q nhìn

tồn mặt S dưới một góc khối nào đó. Mặt S có thể chia thành 2 nửa S và S'
(có giao tuyến là AB). Pháp tuyến ngồi của S và S' sẽ có chiều ngược nhau.
Do đó tích phân trên S và S' có cùng giá trị nhưng trái dấu. Khi đó thơng
lượng của


D

qua tồn mặt kín S bằng 0.

11



D

A


dS
B
q

 Xét hệ điện tích điểm q1, q2, ..., qn đặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trườngt trong mặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trườngt kín S, ta có
 n 
D  D i

Thơng lượng của



D

(1.29)

i 1

do hệ q1, q2, ..., qn gây ra qua toàn mặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trườngt kín S

  n   n
 DdS  D i dS  q i Q
i 1 S

S

i 1

Vậy: Thơng lượng của vector điện cảm


D

(1.30)

qua mặt kín S bất kỳ bằng tổng

đại số các điện tích nằm trong thể tích V được bao quanh bởi S
Lưu ý: Vì Q là tổng đại số các điện tích q1, q2, ..., qn, do đó  có thể âm
hoặc dương
 Nếu trong thể tích V được bao quanh bởi S có mật độ điện khối  thì  đư c
tính theo

 
 E  DdS  dV Q
S

(1.31)

V

Các công thức (1.30) và (1.31) là dạng tốn học của định lí OstrogradskiGauss đối với điện trường.
Nguyên lý liên tục của từ thông
 Thực nghiệm đã chứng tỏ đường sức từ là khép kín dù nguồn tạo ra nó là
dịng điện hay nam châm. Tìm biểu thức tốn học biểu diễn cho tính chất này
 Giả sử có mặt kín S tuỳ ý nằm trong từ trường với vector từ cảm
lượng của


B


B.

Thơng

qua mặt kín S bằng tổng số các đường sức từ đi qua mặt S này.

Do đường sức từ khép kín nên số đường sức từ đi vào thể tích V bằng số
đường sức từ đi ra khỏi thể tích V đó. Vì vậy thơng lượng của
theo

12


B đư c tính


 
 M  BdS 0

(1.32)

S

Công thức (1.32) gọi là nguyên lý liên tục của từ thông. Đây là một phương
trình cơ bản của trường điện từ
1.5. Luận điểm thứ nhất - Phương trình Maxwell-Faraday
Khi đặt vịng dây kín trong một từ trường biến thiên thì trong vịng dây này
xh dịng điện cảm ứng. Chứng tỏ trong vịng dây có một điện trường


E

có chiều

là chiều của dịng điện cảm ứng đó.
Thí nghiệm với các vịng dây làm bằng các chất khác nhau, trong điều kiện
nhiệt độ khác nhau đều có kết quả tương tự. Chứng tỏ vịng dây dẫn khơng phải
là nguyên nhân gây ra điện trường mà chỉ là phương tiện giúp chỉ ra sự có mặt
của điện trường đó. Điện trường này cũng khơng phải là điện trường tĩnh vì
đường sức của điện trường tĩnh là đường cong hở. Điện trường tĩnh không làm
cho hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dịng điện được (vì

hố ra trong điện trường tĩnh khơng cần tốn cơng mà vẫn sinh ra năng lượng
điện !).
Muốn cho các hạt điện dịch chuyển theo đường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưang cong kín đểm Q và q tạo hàm của nó:o thành dịng điệm riêng của phương trìnhn thì
cơng phả sử nghiệm riêng của (7) có dạngi khác 0, có nghĩa làa là
 
q
E
 d l 0

(1.33)

l

và đ.sức của điện trường này phải là các đ.cong kín và gọi là điện trường xốy.
Phát biểu luận điểm I: Bất kì một từ trường nào biến đổi theo thời gian
cũng tạo ra một điện trường xoáy.
Thiết lập phương trình Maxwell-Faraday:
Theo định luật Lorentznh luậc nhất đối với hàm chưat cả sử nghiệm riêng của (7) có dạngm ức Euler ta cóng điệm riêng của phương trìnhn từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa của nó:a Faraday, sức Euler ta cóc điệm riêng của phương trìnhn độc lập từ trường vìng c ả sử nghiệm riêng của (7) có dạngm ức Euler ta cóng xh trong m ộc lập từ trường vìt
vịng dây kim loạo hàm của nó:i kín vều dài l trịnh luật Lorentz sối với hàm chưa bằng lượng điện tích qng tối với hàm chưac độc lập từ trường vì biết và các đạo hàm của nó:n thiên c ủa nó:a t ừ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa thông đi qua di ệm riêng của phương trìnhn tích c ủa nó:a vịng
dây
e c 

(1.34)

d
dt

13

Dấu (-) phản ảnh sức điện động cảm ứng trong vịng dây tạo ra dịng điện
cảm ứng có chiều sao cho chống lại sự biến thiên của từ thông 
 
 BdS

(1.35)

S


B qua S đư c bao bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trườngi vịng dây. Suy ra


 dB  
 B  
d
d  
 dS  
 dS
e c 

BdS  
dt
dt 
dt 
t 
S
S
S

là thông lượng của vector từ cảm

(1.36)

Hoặc biểu diễn sức điện động cảm ứng e c theo lưu số của vector cường độ
điện trường


E

 
e c Ed l

(1.37)

l

Chiều của vòng dây kín l lấy ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn nó từ ngọn
của


B


B

dS
S



dl
Vì vịng dây kín l đức Euler ta cóng n nên theo các cơng thức Euler ta cóc (1.35), (1.36), (1.37) ta có

 
 B  
 dS
Ed l  

t 
l
S

(1.38)

Đây là phương trình Maxwell-Faraday dưới dạng tích phân, cũng là một
phương trình cơ bản của trường điện từ.
Vậy: Lưu số của vector cường độ điện trường xốy dọc theo một đường
cong kín bất kì bằng về giá trị tuyệt đối nhưng trái dấu với tốc độ biến thiên theo
thời gian của từ thông gửi qua diện tích giới hạn bởi đường cong kín đó.
Theo giả sử nghiệm riêng của (7) có dạngi tích vector (cơng thức Euler ta cóc Green-Stock)
 
 
Ed l E dS



l



S

Theo các phương trình (1.38) và (1.39)

14

(1.39)




B
E 
t

(1.40)

Đây là phương trình Maxwell-Faraday dưới dạng vi phân, có thể áp dụng
đối với từng điểm một trong khơng gian có từ trường biến thiên.
1.6. Luận điểm thứ hai - Phương trình Maxwell-Ampere
Theo luận điểm I, từ trường biến thiên theo thời gian sinh ra điện trường
xoáy. Vậy ngược lại điện trường biến thiên có sinh ra từ trường khơng ? Để
đảm bảo tính đối xứng trong mối liện hệ giữa điện trường và từ trường, Maxwell
đưa ra luận điểm II:
Bất kì một điện trường nào biến thiên theo thời gian cũng tạo ra một từ
trường.
(Đã chứng minh bằng thực nghiệm)
Lưu ý: điện trường nói chung có thể khơng p.bố đồng đều trong khơng
gian, có nghĩa là thay đổi từ điểm này sang điểm khác, nhưng theo luận điểm II
sự biến thiên của điện trường theo không gian không tạo ra từ trường, chỉ có

sự biến thiên của điện trường theo thời gian mới tạo ra từ trường.
Thiết lập phương trình Maxwell-Ampere:
Theo ngun lí tác dụng từ của dịng điện và định luật Biot-Savart-Laplace,
Ampere phát biểu định luật dòng điện toàn phần:
Lưu số của vector cường độ từ trường


H dọc, do đó:c theo mộc lập từ trường vìt đường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưang cong kín bấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưat kì

bằng lượng điện tích qng tổng quát của phương trình vi phân (7) làng đạo hàm của nó:i sối với hàm chưa các dịng điệm riêng của phương trìnhn đi qua diệm riêng của phương trìnhn tích bao bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trườngi đường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưang cong này

#  n
H
 d l  I i I
l

(1.41)

i 1

15



dS

Ii


J

S


dl
Dịng điện I đi qua diện tích S có thể phân bố liên tục hoặc gián đoạn.
Nếu dòng điện qua mặt S có phân bố liên tục với mật độ dịng điện
 
# 
H
d
l


JdS
l


J thì

(1.42)

S

Định luật dịng điện tồn phần cũng là một phương trình cơ bản của trường
điện từ
Khái niệm về dịng điện dịch
C%n cức Euler ta có vào định luật Lorentznh luậc nhất đối với hàm chưat cả sử nghiệm riêng của (7) có dạngm ức Euler ta cóng điệm riêng của phương trìnhn từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa của nó:a Faraday và định luật Lorentznh luậc nhất đối với hàm chưat dịng đi ệm riêng của phương trìnhn tồn ph ần nhất có dạng: n c ủa nó:a
Ampere, Maxwell bằng lượng điện tích qng lý thuyết và các đạo hàm của nó:t đã chỉ ra sự tác dụng tương hỗ giữa đt và từ trường cùng với ra sực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường tác dụng lên điện tích đặt trong điện trườngng tư ng hỗ giữa đt và từ trường cùng với gi ữa 2 đt điểm Q và qa đt và t ừ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa tr ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưang cùng v ới hàm chưai
việm riêng của phương trìnhc đưa ra khái niệm riêng của phương trìnhm mới hàm chưai vều dài l dịng điệm riêng của phương trìnhn dịnh luật Lorentzch. Dịng đi ệm riêng của phương trìnhn d ịnh luật Lorentzch có m ậc nhất đối với hàm chưat đ ộc lập từ trường vì đ ư c tính theo cơng

thức Euler ta cóc


#


D
E P 
Jd 
 0

 J d 0  J dP
t
t
t

(1.43)

Trong đó:
#

P
J dP 
t

- mật độ dịng điện p.cực trong điện mơi do sự xê dịch của các

điện tích



E
J d 0  0
t

- điện trường biến thiên trong chân không và gọi là mật độ

dòng điện dịch
Để chứng minh sự tồn tại của dịng điện dịch, xét thí dụ sau: có một mặt
kín S bao quanh 1 trong 2 bản của tụ điện. Do có điện áp xoay chiều đặt vào tụ
điện nên giữa 2 bản tụ có điện trường biến thiên

16


E

và dòng điện biến thiên chạy


qua tụ. Dịng điện này chính là dịng điện dịch trong chân khơng vì giữa 2 đt điểm Q và qa 2 bả sử nghiệm riêng của (7) có dạngn tụng lên điện tích đặt trong điện trường
khơng tồn tại điện tích chuyển động và có giá trị:n tạo hàm của nó:i điệm riêng của phương trìnhn tích chuyểm Q và qn độc lập từ trường vìng và có giá trịnh luật Lorentz:
Id0


E
S 0
t

(1.44)

Theo định luật Lorentznh luậc nhất đối với hàm chưat Gauss
 
q  0 EdS  0 ES

d
S
 S
S

(1.45)

S

vì điện trường chỉ tồn tại giữa 2 bản tụ

Đối với mơi trường chân khơng, ta có:  = 1

S
+q

S'


E

~
-q

Dịng điệm riêng của phương trìnhn dẫn có chiều dài ln chạo hàm của nó:y trong dây dẫn có chiều dài ln nối với hàm chưai với hàm chưai tụng lên điện tích đặt trong điện trường có giá trịnh luật Lorentz bằng lượng điện tích qng


 
dq
d
E
I
  0 EdS S 0
dt
dt S
t

(1.46)

Suy ra
I = Id0
(1.47)
Vậy: dòng điện dịch chạy giữa 2 bản tụ bằng dòng điện dẫn chạy ở mạch
ngồi tụ điện.
Bằng cách bổ sung dịng điện dịch vào vế phải của phương trình (1.42), ta
có
(bổng qt của phương trình vi phân (7) là sung đư c vì vều dài l khía cạo hàm của nó:nh tạo hàm của nó:o ra từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưang dịng điệm riêng của phương trìnhn dịnh luật Lorentzch t ư ng đ ư ng dịng đi ệm riêng của phương trìnhn
dẫn có chiều dài ln)

 
# 
D 
Hd l J dS  
dS

l
S

S t

17

(1.48)


Hay

# 
  D  
 dS
Hd l  J 

t 
l
S 

(1.49)

Đây là phương trình Maxwell-Ampere dưới dạng tích phân
Theo giả sử nghiệm riêng của (7) có dạngi tích vector (cơng thức Euler ta cóc Green-Stock)
 
# 
Hd l  H dS



l



(1.50)

S

Suy ra

  D  
H J 
J  J d
t

(1.51)

Đây là phương trình Maxwell-Ampere dưới dạng vi phân, cũng là một
phương trình cơ bản của trường điện từ
Nếu mơi trường có điện dẫn suất  = 0 (điện mơi lí tưởng và chân khơng) thì

do



J E 0 , ta có:



E 
 H  0
Jd0

t

(1.52)

Vậy: dịng điện dịch hay điện trường biến thiên theo thời gian cũng tạo ra
từ trường như dòng điện dẫn.
1.7. Trường điện từ và hệ phương trình Maxwell
Theo các luận điểm của Maxwell, từ trường biến thiên theo thời gian tạo ra
điện trường xoáy, và ngược lại điện trường biến thiên theo thời gian tạo ra từ
trường. Vậy trong không gian điện trường và từ trường có thể đồng thời tồn tại
và có liên hệ chặt chẽ với nhau
Điện trường và từ trường đồng thời tồn tại trong không gian tạo thành một
trường thống nhất gọi là trường điện từ.
Trường điện từ là một dạng vật chất đặc trưng cho sự tương tác giữa các
hạt mang điện.
- Phương trình Maxwell-Faraday
Dạo hàm của nó:ng tích phân

 
 B  
 dS
Ed l  

t 
l
S 

18

(1.53)

Dạo hàm của nó:ng vi phân


B
E 
t

(1.54)

Diễn tả luận điểm thứ nhất của Maxwell về mối liên hệ giữa từ trường biến
thiên và điện trường xốy.
- Phương trình Maxwell-Ampere
Dạo hàm của nó:ng tích phân

# 
  D  
 dS
Hd l  J 

t 
l
S

(1.55)

Dạo hàm của nó:ng vi phân

  D

H J 
t

(1.56)

Diễn tả luận điểm thứ hai của Maxwell: điện trường biến thiên cũng sinh
ra từ trường như dịng điện dẫn.
- Định lí OG đối với điện trường
Dạo hàm của nó:ng tích phân
 

(1.57)

DdS q
S

Theo giải tích vector:

 

D
d
S


.
D

 dV
S

V

và

q  dV
V

, ta có

Dạo hàm của nó:ng vi phân

.D 

(1.58)
Diễn tả tính khơng khép kín của các đường sức điện trường tĩnh ln từ
các điện tích dương đi ra và đi vào các điện tích âm: trường có nguồn
- Định lí OG đối với từ trường
Dạo hàm của nó:ng tích phân
 

(1.59)

BdS 0
S

Dạo hàm của nó:ng vi phân

.B 0

(1.60)
Diễn tả tính khép kín của các đường sức từ trường: trường khơng có nguồn
Các phư ng trình (1.54), (1.56), (1.58), (1.60) gọc, do đó:i là hệm riêng của phương trình phư ng trình Maxwell

19




B
 E 
t
  D
H J 
t

(1.61)


.D 


.B 0

- Hệ phương trình Maxwell với nguồn ngồi
Trong lí thuyết anten bức xạ điện từ phát ra từ nguồn và đi vào khơng gian.
Dịng điện trong anten là nguồn bức xạ điện từ. Nguồn dịng điện này độc lập
với mơi trường và khơng chịu ảnh hưởng của trường do nó tạo ra, gọi là nguồn
ngồi. Các nguồn ngồi có bản chất điện hoặc khơng điện. Để đặc trưng cho
nguồn ngồi của trường điện từ ta có khái niệm mật độ dịng điện ngoài


JO .

.luậc nhất đối với hàm chưat Ohm dạo hàm của nó:ng vi phân:
 
 
J  J O  E  E O





(1.62)
Nhận xét: hệ phương trình Maxwell (1.61) chỉ mô tả trường điện từ tại
những điểm trong không gian khơng tồn tại nguồn ngồi của trường hay trường
điện từ tự do. Khi có nguồn tại điện tích chuyển động và có giá trị:n ngồi hệm riêng của phương trình phư ng trình Maxwell đư c viết và các đạo hàm của nó:t lạo hàm của nó:i


B
E 
t 
  
D
 H  J  J O 
t

(1.63)



.D 


.B 0

Trong mơi trường đồng nhất và đẳng hướng có ,  và , tức là
môi trường điện môi:



D  0 E



J E


B  0 H , ta có

mơi trường dẫn điện:
mơi trường từ hố:



H
 E   0
t 

 
E

 H E  J O   0
t


.E 
 0

.H 0

- Ngun lí đổi lẫn của hệ phương trình Maxwell

20

(1.64)