MỘT SỐ PHẢN THÍ DỤ TRONG LÝ THUYẾT NHÓM
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (530.22 KB, 19 trang )
1
Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh
Khoa Toán – Tin học
MỘT SỐ PHẢN THÍ DỤ
TRONG LÝ THUYẾT NHÓM
Giảng viên phụ trách: TS. Nguyễn Viết Đông
Sinh viên thực hiện: Phan Đức Duy
12 – 2009
2
Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh
Khoa Toán – Tin học
MỘT SỐ PHẢN THÍ DỤ
TRONG LÝ THUYẾT NHÓM
Giảng viên phụ trách: TS. Nguyễn Viết Đông
Sinh viên thực hiện: Phan Đức Duy
12 – 2009
3
Mục lục
1. Về mệnh đề đảo của định lý Lagrange 4
2. Nhóm con của nhóm hữu hạn sinh không hữu hạn sinh 7
3. Nhóm Abel hạn có mọi nhóm con thực sự đều là nhóm hữu hạn 12
4. Nhóm Abel không có nhóm con tối đại 14
5. Nhóm thỏa điều kiện
đúng trong trường hợp 1 số nguyên và 2 số
nguyên liên tiếp nhưng không là nhóm Abel 16
TÀI LIỆU THAM KHẢO 19
4
1. Về mệnh đề đảo của định lý Lagrange
1.1. Đặt vấn đề
- Định lý Larange khẳng định rằng “Nếu là một nhóm con của nhóm hữu hạn
thì cấp của chia hết cho cấp của ”. Ta xem xét tính đúng đắn của mệnh đề đảo
định lý này. Nghĩa là nếu là một nhóm hữu hạn cấp và là một ước số của
), liệu rằng luôn tồn tại một nhóm con cấp của hay không?
- Trong trường hợp mệnh đề đảo của định lý Lagrange không đúng thì cần bổ sung
các điều kiện gì?
1.2. Phản thí dụ:
Mệnh đề 1.2.1 (Định lý Sylow 1)
Giả sử
, với nguyên tố và
. Khi đó với mọi , tồn tại
trong một nhóm con có cấp
. Nói riêng, tồn tại trong G các p – nhóm con Sylow.
Chứng minh: Việc chứng minh định lý này đã được nêu rõ ở trang 37 trong [4]. Ở
đây không trình bày lại mà chỉ áp dụng định lý này trong các chứng minh sau.
Mệnh đề 1.2.2 Nhóm hữu hạn là một p – nhóm khi và chỉ khi
là lũy thừa của .
Chứng minh: Việc chứng minh định lý này đã được nêu rõ ở trang 36 trong [4]. Ở
đây không trình bày lại mà chỉ áp dụng định lý này trong các chứng minh sau.
Mệnh đề 1.2.3 Mọi nhóm cấp 6 hoặc đẳng cấu với
hoặc đẳng cấu với
Chứng minh:
Giả sử X là nhóm cấp 6, khi đó theo định lý Sylow 1, X chứa một phần tử a cấp 3 và
một phần tử b cấp 2.
Xét hai trường hợp sau:
+ Nếu thì dễ dàng suy ra phần tử ab có cấp 6
Do đó X là nhóm cyclic sinh bởi ab. Do đó, X đẳng cấu với
+ Nếu thì
và bảng toán (bảng 1) như sau:
So sánh với bảng toán trên nhóm
(bảng 2), trong đó các
được xác định như sau:
;
;
;
;
;
Ta có:
, cho bởi tương ứng sau:
5
.
.
Bảng 1
Bảng 2
Tóm lại: mọi nhóm cấp 6 hoặc đẳng cấu với
hoặc đẳng cấu với
.
Mệnh đề 1.2.5 Nhóm thay phiên
có cấp 12 nhưng không chứa nhóm con cấp 6.
Chứng minh:
Giả sử trong
ta tìm được một nhóm con cấp 6. Khi đó, theo mệnh đề 1(1.2.2.),
hoặc
.
Vì mọi phép thế trong
đều không có cấp 6 nên không đẳng cấu với
. Do đó
.
Trong
có đúng 3 phần tử cấp 2 là các chuyển vị
;
;
Trong
cũng có đúng 3 phần tử cấp 2 đó là
;
;
Các phần tử cấp 2 trong
không giao hoán với nhau (chẳng hạn như
)
nhưng các phần tử cấp 2 trong
đều giao hoán với nhau.
Điều này mâu thuẫn với
.
Vậy
không chứa nhóm con cấp 6.
1.3. Điều kiện để mệnh đề đảo của định lý Lagrange đúng
Với ví dụ trong 1.2.3., ta thấy rằng mệnh đề đảo của định lý Lagrange không đúng trong
trường hợp tổng quát. Trong mục này, ta sẽ chứng minh mệnh đề đảo của định lý
Lagrange đúng trong một số điều kiện đặc biệt.
1.3.1. Có thể thấy ngay, nếu trong phân tích tiêu chuẩn của
6
với
là các số nguyên tố.
Khi đó, theo định lý Sylow 1 (1.2.1.), ta luôn tìm được các nhóm con mà
với
Chẳng hạn: nhóm có cấp 24 (với
) thì ta luôn tìm được các nhóm con có cấp
là 2, 4, 8, 3.
Tức là, trong điều kiện tổng quát của nhóm , ta chỉ tìm được giới hạn một số nhóm
con với cấp thỏa định lý Sylow 1.
1.3.2. Tuy nhiên, trong trường hợp nhóm đã cho ban đầu là nhóm Abel, mệnh đề đảo
của định lý Lagrange đúng. Ta sẽ chứng minh khẳng định trên trong phần sau:
Trước tiên ta xét bổ đề sau:
Bổ đề 1.3.2.1. Giả sử A và B là các nhóm con của nhóm Abel X sao cho
thì
là nhóm con của X và .
Chứng minh:
i)
là nhóm con của X. Thật vậy:
+ .
+ Nếu
và
thì
,
.
Khi đó:
.
ii)
Xét ánh xạ
là một đẳng cấu nhóm. Thật vậy:
+ là đồng cấu nhóm vì
+ là đơn ánh vì
.
+ Hiển nhiên là toàn ánh.
Vậy: là nhóm con của X và .
1.3.2.2. Bằng quy nạp ta sẽ có được các hệ quả sau:
Nếu
là các nhóm con của nhóm Abel X sao cho
; với
thì:
i)
là nhóm con của X và
ii)
7
1.3.2.1. Chứng minh mệnh đề đảo của định lý Lagrange đúng khi nhóm hữu hạn cho
trước là nhóm abel:
Mệnh đề: Nếu X là nhóm Abel hữu hạn cấp n, thì với mỗi ước nguyên dương m của n,
tồn tại một nhóm con A của X với cấp m.
Chứng minh:
Giả sử:
Vì nên
với mọi
.
Theo định lý Sylow 1 (1.2.1.), tồn tại nhóm con
của X có cấp
với mọi
.
Giả sử
, với
Khi đó theo mệnh đề 1.2.2, ta có
với . Vì
nên
hay .
Vậy
, với .
Theo 1.3.2.2. ta có:
là nhóm con của X có cấp
1.4. Kết luận:
Mệnh đề đảo của định lý Lagrange trong trường hợp tổng quát là không đúng. Nghĩa là,
khi là nhóm hữu hạn cấp n, và m là một ước tùy ý của n, ta không khẳng định được sẽ
tồn tại một nhóm con của có cấp m.
Tuy nhiên, trong một số trường hợp sau, ta có thể khẳng định được luôn tìm được nhóm
con của :
+ m là một ước của n có dạng
(với là số nguyên tố).
+ là nhóm Abel.
2. Nhóm con của nhóm hữu hạn sinh không là nhóm hữu hạn sinh
2.1. Phản thí dụ:
Trong nhóm
, ta xét
với
;
Xét
. Khi đó, là tập có lực lượng vô hạn đếm được.
Gọi là nhóm con của sinh bởi tức là
.
8
Ta sẽ chứng minh là nhóm con thực sự của bằng cách chứng tỏ rằng thuộc
nhưng không thuộc .
Lấy thuộc . Khi đó:
với
Để chứng minh không thuộc , ta sẽ chứng minh bằng cách quy nạp theo k.
Với .
+ Nếu , ta có:
Giả sử:
Vậy
với mọi
+ Nếu , ta có:
Giả sử:
Vậy
với mọi
Tóm lại:
với mọi .
Giả sử
,
,
.
Đặt
với
(*)
Ta cần chứng minh
,
,
.
+ Nếu
Khi đó:
(theo giả thiết quy nạp)
+ Nếu
Khi đó:
Giả sử:
9
Lấy (2) nhân với
rồi cộng với , ta được .
Điều này vi phạm điều kiện (*) trong giả thiết quy nạp.
Hay
;
;
+ Nếu
Giả sử:
Lý luận tương tự, ta cũng dẫn đến điều vô lý
Hay
;
;
Tóm lại:
;
Theo nguyên lý quy nạp, không thuộc .
Vì vậy, là nhóm con thực sự của và là nhóm vô hạn sinh.
2.2. Điều kiện để nhóm con của nhóm hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh:
Ở ví dụ trên, ta thấy rằng, nhóm không là nhóm Abel. Trong phần này, ta chứng minh
rằng “Nhóm con của nhóm Abel hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh”; với quy ước tất cả
các nhóm được xét đến đều là nhóm Abel với phép toán cộng.
Trước tiên ta xem xét một số kiến thức chuẩn bị sau:
2.2.1. Kiến thức chuẩn bị:
Định nghĩa 2.2.1.1
Một nhóm Abel được gọi là nhóm Abel t do nếu là tổng trực tiếp của các nhóm
cyclic có cấp vô hạn. Nói rõ hơn, tồn tại một tập hợp gồm các phần tử có cấp vô
hạn (gọi là của ) sao cho
nghĩa là
10
Dễ thấy rằng, nếu là một cơ sở của nhóm Abel tự do thì với mỗi , tồn tại
duy nhất một dạng biểu diễn
Định lý 2.2.1.2 Cho là nhóm Abel bất kỳ, là nhóm Abel tự do có cơ sở X và
là một ánh xạ. Khi đó tồn tại duy nhất một đồng cấu sao cho
, nghĩa là
.
Chứng minh. Phần chứng minh định lý này đã được nêu rõ ở trang 82, trong [4]. Ở đây
không trình bày lại.
Định lý 2.2.1.3 Cho và là hai nhóm Abel tự do với các cơ sở tương ứng là và
. Khi đó
.
Chứng minh. Phần chứng minh mệnh đề này đã được nêu rõ ở trang 83, trong [4]. Ở đây
không trình bày lại.
Mệnh đề 2.2.1.4 Nếu là nhóm con chuẩn tắc của và là nhóm Abel tự do thì
tồn tại là nhóm con của sao cho .
Chứng minh. Phần chứng minh mệnh đề này đã được nêu rõ ở trang 82, trong [4]. Ở đây
không trình bày lại.
Định lý 2.2.1.5 Cho là nhóm Abel tự do có cở sở hữu hạn, là một nhóm con của
khác 0. Khi đó cũng là một nhóm Abel tự do có cơ sở hữu hạn và lực lượng cơ sở
của bé hơn hoặc bằng lực lượng cơ sở của .
Chứng minh.
Gọi lực lượng cơ sở của là n, .
Bằng phương pháp quy nạp theo n, ta chứng minh lực lượng cơ sở của bé hơn lực
lượng của (*).
Nếu , thì là nhóm cyclic cấp vô hạn.
Vì nên cũng là nhóm cyclic. Mà nên . Do đó là nhóm Abel tự
do và lực lượng cơ sở của bằng lực lượng cơ sở của .
Gọi
là lực lượng cơ sở của .
11
Giả sử giả thiết (*) đúng cho các nhóm Abel tự do có cơ sở bé hơn .
Đặt
với
và
.
Theo giả thiết quy nạp là nhóm Abel tự do có cơ sở bé hơn hoặc bằng .
Mặt khác, ta có
.
Do đó theo giả thiết quy nạp hoặc .
Xét 2 trường hợp sau:
+ Nếu thì .
Do đó là nhóm Abel tự do có lực lượng cơ sở bé hơn hoặc bằng .
+ Nếu thì theo Mệnh đề 2.2.1.3, tồn tại với
sao cho
Theo Định lý 2.2.1.4, là nhóm Abel tự do có lực lượng cơ sở bằng lực lượng cơ sở
của .
Mà cơ sở của nhiều hơn cơ sở của là một phần tử. Nên lực lượng cơ sở của
bé hơn hoặc bằng lực lượng cơ sở của .
Trong 2 trường hợp trên, ta có được lực lượng cơ sở của bé hơn hoặc bằng lực lượng
cơ sở của .
Vậy theo nguyên lý quy nạp, ta có điều phải chứng minh.
Định lý 2.2.1.6 Cho là nhóm, là nhóm sinh bởi tập
và đồng
cấu nhóm . Khi đó là toàn cấu khi và chỉ khi là toàn ánh lên .
Chứng minh.
Nếu là toàn cấu thì hiển nhiên là toàn ánh lên tập .
Nếu là đồng cấu và toàn ánh lên tập thì với mỗi
luôn
tồn tại
sao cho
.
Lấy bất kì , ta chứng minh tồn tại để cho
.
Vì nên
với
,
.
Chọn
sao cho
,
. Hiển nhiên .
Khi đó
Vậy là toàn cấu.
2.2.2. Chứng minh định lý:
Nhóm con của nhóm Abel hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh.
Chứng minh
12
Cho là nhóm Abel sinh bởi với
, là nhóm con của .
Gọi là nhóm Abel tự do sinh bởi
.
Xét ánh xạ
Theo Định lý 2.2.1.2, tồn tại duy nhất đồng cấu sao cho
.
Vì là toàn ánh lên hệ sinh của nên theo Định lý 2.2.1.6 thì là toàn cấu.
Ta chứng minh
. Thật vậy:
+
vì
.
+ Lấy
thuộc
thì
thuộc .
Do
nên
.
Vì là nhóm Abel tự do nên theo Định lý 2.2.1.5,
là nhóm Abel tự do có lực
lượng cơ sở bé hơn hoặc bằng . Do đó
với .
Với mọi , ta có
với
,
.
Suy ra
Do đó
.
Vậy là nhóm hữu hạn sinh.
3. Nhóm Abel vô hạn có mọi nhóm con thực sự đều là nhóm hữu hạn
Mệnh đề 3.1
là tập hợp các căn bậc của 1 trong trường số phức . Khi đó
là
một nhóm con cyclic của
.
Chứng minh
+ Ta có
vì
.
+ Nếu
thì
Vậy
. Do đó
là một nhóm con của
.
Đặt
. Khi đó
là nhóm cyclic sinh bởi
.
Mệnh đề 3.2 Với ta có
.
Chứng minh
Lấy
. Khi đó:
13
Do đó
.
Mệnh đề 3.3 Đặt
là nhóm con cấp vô hạn của
nhưng mọi nhóm con thực sự của đều là nhóm cyclic
cấp hữu hạn.
Chứng minh
Kiểm tra là nhóm con cấp vô hạn của
+ vì .
+ Nếu , thì tồn tại các số tự nhiên sao cho
.
Giả sử , khi đó
. Do đó
.
Vậy là nhóm con của
. Theo cách xây dựng là nhóm vô hạn.
Theo Mệnh đề 3.1,
là nhóm cyclic sinh bởi phần tử
Theo Mệnh đề 3.2, ta có
Khi đó:
Giả sử là nhóm con thực sự của .
Vì là nhóm con thực sự của , nên tồn tại sao cho
nhưng
Khi đó
với mọi .
Ta chứng minh
.
+
(hiển nhiên đúng)
+
Lấy . Khi đó
,
, bất kỳ.
14
Giả sử
thì . Suy ra
.
Mặt khác, do
nên tồn tại sao cho
.
Khi đó
(mâu thuẫn)
Vậy
Tóm lại
. Tức là là nhóm cyclic cấp hữu hạn.
Vậy mọi nhóm con thực sự của đều là nhóm cyclic cấp hữu hạn
Nhận xét 3.4. Ta thấy rằng tuy có mọi nhóm con thực sự đều là nhóm cyclic nhưng
không là nhóm cyclic.
Thật vậy, giả sử là nhóm cyclic,
.
Khi đó nên tồn tại số tự nhiên sao cho
.
Do đó có cấp hữu hạn nên nhóm sinh bởi có cấp hữu hạn. Điều này mâu thuẫn với
cách xây dựng nhóm .
Vậy không là nhóm cyclic.
4. Nhóm Abel không có nhóm con tối đại
Mệnh đề 4.1 Với mọi
, ta có
Chứng minh
Lấy
. Ta có:
.
Mệnh đề 4.2 Trong nhóm cộng các số hữu tỷ, là hợp của chuỗi tăng vô hạn các
nhóm con cyclic của nó.
Chứng minh
Ta sẽ chứng minh
Hiển nhiên đúng vì
, với mọi .
15
Lấy . Khi đó
Không mất tính tổng quát giả sử . Khi đó
Vậy:
Mệnh đề 4.3 Mọi nhóm con thực sự của đều có thể biểu diễn dưới hợp của các nhóm
cyclic.
Chứng minh
Giả sử là nhóm con thực sự của .
Xây dựng
Lấy phần tử . Khi đó
.
Không mất tính tổng quát, giả sử
.
Gọi I là tập hợp các phần tử
, với .
Khi đó
Chứng minh
Lấy phần tử . Khi đó
với .
Dễ thấy
với .
Do đó
với .
16
ấ
Khi đó:
với .
Trong , tồn tại phần tử
.
Chọn sao cho
. Khi đó . Hay .
Mệnh đề 4.4 Nhóm với phép toán cộng không có nhóm con tối đại
Chứng minh
Lấy là nhóm con thực sự của . Ta chỉ rằng luôn tồn tại nhóm là nhóm con thực sự
của sao cho .
Chọn
sao cho
.
Xét nhóm
.
Theo Mệnh đề 4.1, ta có
Hay
Tức là .
5. Nhóm thỏa điều kiện
đúng trong trường hợp 1 số nguyên và 2 số
nguyên liên tiếp nhưng không là nhóm Abel
5.1. Đặt vấn đề:
Xét bài toán 1.8 trong [1], nếu một nhóm thỏa mãn tính chất tồn tại ba số nguyên
liên tiếp sao cho với mọi
thì G là nhóm Abel.
Liệu rằng, điều kiện trên đã là tối ưu chưa? Tức là đúng với một số nguyên và hai số
nguyên liên tiếp thì nhóm có là nhóm abel hay không?
5.2. Phản thí dụ:
5.2.1 Xét nhóm hoán vị
. Ta chỉ ra rằng, tồn tại một số nguyên i sao cho
với mọi
Đặt là cấp của nhóm
.
Ta có:
.
17
Khi đó,
a mà .
Do đó
Tương tự vì
nên
,
và , .
Khi đó
Tóm lại, tồn tại một số nguyên sao cho với mọi
.
Nhưng với , nhóm
không là nhóm Abel.
5.2.2. Trong ví dụ trên, dễ thấy rằng:
Tức là với mọi
Tóm lại, tồn tại hai số nguyên là và sao cho với mọi
.
Nhưng với , nhóm
không là nhóm Abel.
5.3. Kết luận
Tóm lại, ta sẽ có các tính chất sau trong nhóm là tương đương:
i) là nhóm Abel.
ii)
với mọi .
iii)
với mọi .
iv)
với mọi , .
v)
với mọi và ba số nguyên liên tiếp.
Chứng minh
(i) (ii) Do là nhóm Abel nên ta có
với mọi .
(ii) (iii) Do là nhóm nên nó thỏa mãn luật giản ước:
(iii) (iv)
Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh
(*)
+ :
Ta có:
18
Vậy (*) đúng với .
+ Giả sử với , (*) đúng. Tức là
.
+ Ta chứng minh (*) đúng với . Thật vậy:
Vậy
Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh
(**)
+ : hiển nhiên (**) đúng.
+ Giả sử với , (**) đúng. Tức là
.
+ Ta chứng minh (**) đúng với . Thật vậy:
Vậy:
(iv) (v) Hiển nhiên.
(v) (i) Đã chứng minh ở bài tập 1.18 trong [1].
19
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Viết Đông, Trần Ngọc Hội, i s , NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí
Minh, 2004.
[2] Hoàng Xuân Sính, i s , NXB Giáo dục, 2007.
[3] Mỵ Vinh Quang, Bài ti s , NXB Giáo dục, 1998.
[4] Bùi Xuân Hải, Trịnh Thanh Đèo, i s hii, NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí
Minh, 2002.
[5] Nguyễn Thế Hữu, Bài ti s, Trung tâm Đào tạo từ xa Huế, 1999.
