Bai toan dung hinh

Đề Tài :

Vận dụng các phép biến hình vào dựng hình

A. lời nói đầu
Toán học là một môn chiếm vị trí quan trọng trong nhà trờng phổ thông. Dạy
toán tức là dạy phơng pháp suy luận khoa học. Học toán tức là rèn khả năng t
duy logic. Giải các bài toán là một phơng án tốt trong việc giúp cho học sinh
nắm vững trí thức, phát triển t duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo.
Trong toán học phần môn hình học đợc ra đời rất sớm nó luôn có một vị trí
quan trọng trong hệ thống toán học phổ thông. Nhiệm vụ của môn hình học là
kết học logic, tực tế và trí tởng tợng, liên hệ chặt chẽ với môn học khác, phát
triển trí tợng không gian, phát triển năng lực trí tuệ và óc thẩm mỹ của học sinh.
Trong đời sống hàng ngày, chúng ta thờng gặp các vật thể có hình dạng khác
nhau, nhng làm thế nào để vẽ đợc nó hợp lý và chính xác, chẳng hạn nh ngôi
sao năm cánh. Để vẽ đợc nó ta biết 5 đỉnh của ngôi sao nằm trên 5 đỉnh của ngũ
giác đều nội tiếp đờng tròn. Dùng phơng pháp hợp lý, thực hiện chính xác các bớc, ta vẽ đợc nó. Đó chính là toán dựng hình trong toán học.
Trong môn hình học, dựng hình có ý nghĩa và t¸c dơng rÊt lín cho viƯc rÌn
lun t duy to¸n học cho học sinh. Tuy vậy, dựng hình là một môn học khó khi
gặp loại toán này học sinh thờng hay lúng túng. Là một giáo viên giảng dạy ở
THCS, tôi thấy việc giúp đỡ cho học sinh, nhất là các em khá, giỏi tìm hiểu sâu
sắc về toán dựng hình là điều rất cần thiết.
Đợc sự giúp đỡ của thầy: Vũ Viết Yên giảng viên trờng đại học s phạm I Hà
Nội, trong phạm vi bài viết này tôi xin trình bầy về việc Vận dụng phép biến Vận dụng phép biến
hình tìm lời giải cho các bài toán dựng hình..

I.
II.
III.

Nội dung đề tài gồm các phần sau:

Yêu cầu (đối với giáo viên và học sinh )
Các khái niệm cơ bản.
Dựng hình bằng phơng pháp biến hình

B. nội dung đề tài
I.

Yêu cầu :
1) Đối với giáo viên:

Ngời thùc hiƯn: Bïi Xu©n Phong

1


Đề Tài :

Vận dụng các phép biến hình vào dựng h×nh

- Có kiến thức sâu về các phép biến hình, có cái nhìn tổng qt, hệ thống về
phép biến hình.
- Nắm vững quy trình các bước giải, các phương pháp giải một bài tốn dựng
hình, biết cách trình bày chính xác, đầy đủ vấn đề biến đổi các hình của mơn
Tốn, nắm vững được mức độ u cầu của việc giảng dạy kiến thức đó.
- Có phương pháp sư phạm phù hợp với việc truyền thụ kiến thức từng nội dung
vận dụng phép biến hình để giải tốn dựng hình.
- Nghiên cứu, tìm tịi nhiều dạng bài tập có vận dụng nhiều phép biến hình để
giải tốn dựng hình, xây dựng được các kỹ năng, tích luỹ được các kinh nghim
gii toỏn.
- Giáo viên hớng dẫn học sinh tìm hiểu kỹ đề bài .

- Từ việc tìm hiểu đề bài hớng dẫn cho học sinh phác hoạ hình cần dựng để xác
lập các yếu tố trong hình để đa về các bài toán dựng hình cơ bản. Từ đó xác
đinh đứng đắn hớng giải quyết bài toán hay chỉ ra bài toán này cần sử dụng
phơng pháp nào .
- Cần chú ý cho học sinh tìm hiểu kỹ bớc phân tích vì đây là bớc quan trọng
nhất trong toàn bộ lời giải vì nó cho ta biết phải dựng nh thế nào mới có hình
thoả mÃn điều kiện. Cần chú ý cho học sinh khi phân tích thì học sinh thờng
nghiên cứu một hình giả sử cụ thể nào đó nên một chừng mực nhất định lập
luận của học sinh bị ràng buộc một cách không có ý thức vào hình vẽ đó . Do
đó dễ suy luận không tổng quát dẫn đến thiếu nghiệm.
2) Đối với học sinh:
- Nắm đợc định nghĩa dựng hình, các bớc giải một bài toán dựng hình.
- Nắm đợc những bài toán dựng hình cơ bản, có kỹ năng thực hiện các bớc
dựng hình cơ bản.
- Có cái nhìn linh hoạt về các yếu tố, mối quan hệ giữa các yếu tố hình học.
- Biết vận dụng một số phép biến hình để tìm cách giải cho một số bài toán
đơn giản.
- Biết cách trình bầy rõ ràng, chính xác, đầy đủ các bớc giải bài toán dựng
hình.
II. Các khái niệm cơ bản:
1. Bài toán dựng hình:

Ngời thực hiện: Bùi Xuân Phong

2


Đề Tài :

Vận dụng các phép biến hình vào dựng hình

a. Khái niệm:
Việc dựng một hình là tạo ra hình đó nhờ cách dụng cụ là thớc và compa có
thể thực hiện đợc để tạo ra hình đó.
Dựa vào những điều kiện đà biết, dùng phơng pháp hình học hợp lý, chính
xác dựng một hình cần thiết, đó chính là bài toán dựng hình trong hình học.
b. Các bớc giải một bài toán dựng hình:
Giả thiết: Ghi cẩn thận các điều kiện đà cho của bài toán.
Kết luận: Nêu lên hình cần dựng thoả mÃn các điều kiện đà cho.
Phân tích: Giả sử hình đó đà dựng đợc, trớc hết vẽ phác một hình gần
giống với hình cần dựng trên những nét lớn, khi cần thiết phải vẽ thêm
những đờng có liên quan, nghiên cứu tỷ mỷ mối quan hệ phụ thuộc
giữa các điều kiện đà biết và cha biết trong hình học, dựa vào đó quyết
định dùng phơng pháp nào để dựng hình cần tìm.
Cách dựng: Theo thứ tự phơng pháp dựng hình để trình bày bài
giải, nhng phải chú ý những chỗ không thể dựa vào các định đề
hình học hoặc các phép dựng hình cơ bản, hoàn toàn không đợc
trình bày lộn xộn.
Chứng minh: Chứng minh hình dựng đợc bằng phơng pháp đÃ
trình bày là hoàn toàn phù hợp với các điều kiện đà cho của bài
toán.
Biện luận: Phân tích mối quan hệ giữa các điều kiện đà cho và
hình dựng đợc, nói rõ trong trờng hợp nào bài toán không có lời
giải, trờng hợp bài toán chỉ có một lời giải, trờng hợp nào lời
giải là vô định.
2. ánh xạ và phép biến hình:
a) ánh xạ: Mỗi ánh xạ từ tập hợp X đến tập hợp Y là một quy tắc cho tơng
ứng mỗi phần tử x X một và chỉ một phần tử y Y .
Ký hiệu quy tắc ®ã lµ f ta cã f : X  Y
X y = f(x)

X: Tập nguồn
Y : Tập đích
x: Tạo ảnh
y : ảnh của x qua ánh xạ f.
Nếu tập hợp X và Y là mặt phẳng P và ánh xạ là song ánh thì ánh xạ đó gọi
là phép biÕn h×nh .
b) PhÐp biÕn h×nh:
Mét phÐp biÕn h×nh cđa mặt phẳng P và ánh xạ từ P vào P sao cho:

Ngêi thùc hiƯn: Bïi Xu©n Phong

3


Đề Tài :

Vận dụng các phép biến hình vào dựng hình

-

Hai điểm khác nhau có 2 ảnh khác nhau.

-

Mỗi điểm thuộc P đều có tạo ảnh thuộc P

f: P
P
M
M = f(M)

Các phép đối xứng trục, đối xứng tâm, tịnh tiến , quay, vị tự.....là các phép
biến hình.

III. Dựng hình bằng phơng pháp biến hình :
1) Phơng pháp chung: Khi giải bài toán dựng hình, trớc hết ở giai đoạn đầu,
tức là trong quá trình phân tích, ngoài những hình đà cho và hình muốn
dựng ta còn xét thêm những hình khác thu đợc từ hình đó từ những bộ phận
của chúng nhờ một phép biến hình nào đó tuỳ theo phép biến hình cụ thể đợc lựa chọn mà ta có thể có dạng khác nhau của phơng pháp biến hình : đối
xứng, tịnh tiến, vị tự, nghịch đảo....
2) Một số phép biến hình quen thuộc:
a)

Phép tịnh tiến :
* Định nghĩa : Trong mặt phẳng (P) cho một vectơ v . Phép biến
hình trong mặt phẳng (P) biến mỗi điểm M (P) thành một điểm M
(P) sao cho MM ' v gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v .
v
- Kí hiệu :
Phép tịnh tiến theo vectơ v
là T v :
M
M
Tính chất :
- Phép tịnh tiến bảo toàn tính thẳng hàng của các
điểm và thứ tự của các điểm, biến một đờng thẳng d thành đờng thẳng
d, d // d.
- Phép tịnh tiến bảo toàn độ dài các đoạn thẳng, biến
đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng AB mà AB // AB
- Phép tịnh tiến bảo toàn độ lớn góc .
ảnh của một số hình trong phÐp tÞnh tiÕn :

Trong phÐp tÞnh tiÕn:
Ngêi thùc hiƯn: Bïi Xu©n Phong

4


Đề Tài :

Vận dụng các phép biến hình vào dựng hình

-

Một đờng thẳng biến thành một đờng thẳng cùng phơng

-

Một tia biến thành một tia cùng hớng.

-

Một đoạn thẳng biến thành một đoạn thẳng bằng nó và cùng hớng.

-

Một góc biến thành một góc bằng nó và có cạnh cùng hớng

-

Một tam giác biến thành một tam giác bằng nó.

-

Một đờng tròn biến thành một đờng tròn bằng nó.

Ví dụ về vận dụng phép tịnh tiến vào giải bài toán dựng hình:
Ví dụ 1 : Dựng tứ giác theo các góc và các đờng chéo .
Giải
Phân Tích : Giả sử tứ giác ABCD đà dựng đợc. Gọi D1 và D2 là các ảnh
của điểm D qua các phép tịnh tiến theo các vectơ AC và AC tơng
ứng. Ta ngoại tiếp quanh các tam giác DCD1 và DAD2 các đờng tròn S1
và S2. Ký hiệu các giao điểm của các đờng thẳng BC và BA với các đờng
tròn S1 vµ S2 lµ M vµ N. Râ rµng DCD1 =DAD2 = D;
DCM = 1800 - C vµ DAN= 1800 - A

Cách Dựng : Trên cùng một đờng thẳng bất kỳ ta lấy một điểm
D và dựng trên các ®iĨm D1 vµ D2 sao cho DD1 = DD2 = AC. Ta chọn
một nửa mặt phẳng , bờ là đờng thẳng và sẽ coi điểm B nằm trong
nửa mặt phẳng đó. Dựng các đờng tròn S1 và S2 sao cho từ các điểm của
chúng (nằm trong nửa mặt phẳng ) nhìn các đoạn thẳng DD1 và DD2 tơng ứng dới góc D. Dựng điểm M trên S1 sao cho từ tất cả các điểm của
Ngời thực hiện: Bïi Xu©n Phong

5


Đề Tài :

Vận dụng các phép biến hình vào dựng hình

phần đờng tròn S1 nằm trong đều nhìn đoạn DM dới góc B, tức B là
giao điểm của đờng tròn tâm D bán kính DB và cung chứa góc B chắn

trên đoạn MN ( và nó nằm trong nửa mặt mặt phẳng ). Các điểm C và
A là các giao điểm của các đờng thẳng BM và CN với các đờng tròn S1 và
S2.
Chứng Minh : Theo cách dựng tứ giác ABCD có các đờng chéo BD
cho trớc và số đo các góc DAB, ABC, BCD cho trớc. Do đó, góc ADC
cũng có số đo cho trớc và suy ra : ADC = DCD1, tức ACD1D là hình
bình hành. Nh vậy AC=DD1, tức là AC cùng có độ dài cho trớc.
Biện Luận: Bài toán có một nghiệm hình
VÝ dơ 2: Cho 2 ®iĨm A,B ë cïng phÝa của đờng thẳng . Tìm 1 điểm
M sao cho từ m nhìn AB dới 1 góc cho trớc và cạnh của góc AMB
chắn trên một đoạn có độ dài bằng m cho trớc.
Giải
Phân tích : Giả sử đà tìm đợc đợc điểm M thoả mÃn điều kiện đầu bài ta
thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ m có :
+ m m
+ Ph¬ng cđa m song song víi 
t ( m)( B )



C


t ( m)( B Q)


t ( m)(Q )
P

BQ
//
CP

A PC

A
AM B


AP C


P

()





(Trong đó nhìn A và C dới góc )
Mặt khác P
Vậy P  x  

Ngêi thùc hiƯn: Bïi Xu©n Phong

6

Đề Tài :

Vận dụng các phép biến hình vào dựng hình

Cách Dựng:



-

T m (B)=C

-

Dựng cung nhìn A, C díi mét gãc 

-

  x  P

-

t ( m)( P ) Q

BQ x Ap =M .
M lµ ®iĨm ph¶i dùng
-

Chøng Minh:
t (  m)( P ) Q 

PQ  m  PQ m

t ( m)( B ) C 




  BQ // CP 

  AMB 
t ( m)(Q ) P 



A      APC


Biện luận: Bài toán có bao nhiêu nghiệm hình là tuỳ theo cung chứa góc
cắt tam giác tại bao nhiêu điểm .
Ví du 3: Dng ng tròn tiếp xúc với hai đường thẳng song song  và  ' .
Tâm của các đường tròn này nằm trên đường thẳng song song và cách đều  ,  ' ,
các đường tròn này là ảnh của nhau trong các phép tịnh tiến thích hợp.
*Cách dựng: Dựng đường tròn (O) tiếp xúc với hai đường thẳng song song
 và  ' ,




O

d

-

P2


O2

'


O1
P1 P


Qua P kẻ đường thẳng d song song với  ,  ' , đường thẳng d

cắt đường tròn ( O) tại hai điểm P1, P2

Ngêi thùc hiƯn: Bïi Xu©n Phong

7


Đề Tài :

Vận dụng các phép biến hình vào dựng h×nh



P
P
Thực hiện các phép tịnh tiến theo véc tơ 1 hoặc P2 P ta được

-

đường tròn cần dựng.

*Chứng minh: phép tịnh tiến theo véc tơ P1 P biến đường tròn (O) thành

đường tròn (O1) mà (O) tiếp xúc  ,  ' nên (O1) cũng tiếp xúc với  ,  ' .

Phép tịnh tiến theo véc tơ P1 P biến điểm P1 thành điểm P mà P1  (O) nên P
 (O1) nghĩa là đường tròn (O1) đi qua P. Vậy đường tròn ( O1) dựng được thoả

mãn yêu cầu đề bài .
*Biện luận: Vì d cắt (O) tại hai điểm P1, P2 nên ta có 2 phép tịnh tiến theo hai




véc tơ P1 P và P2 P . Vậy bài tốn ln có hai nghiệm hình .
 Mét số đề bài có vận dụng phép tịnh tiến:

1) Ví Dụ 1 : HÃy dựng một hình thang biết độ dài 4 cạnh
(Hớng dẫn: Dựng tam giác ADE có AD = c; AE = d; DE = b - a sau đó
tịnh tiến theo vectơ DE)

2) Ví Dụ 2 : Dựng tam giác ABC biết cạnh BC =4cm. Các trung tun BM

= 5 cm; CN= 3 cm
(Híng dÉn : TÞnh tiến đoạn thẳng CN theo vectơ NM. Dựng tam giác BNC
rồi suy ra tam giác ABC)(C là ảnh của C).

b) Phép đối xứng :
b.1) Phép đối xứng trục :
Định nghĩa : Hai điểm M và M đợc gọi là ®èi xøng víi nhau qua ®êng th¼ng d (trơc d) nếu d là đờng trung trực của đoạn thẳng MM.
Phép biến hình biến M thành M nh vậy đợc gọi là phép đối xứng
trục.

Tính chất :
Ngời thực hiện: Bùi Xu©n Phong

8


Đề Tài :
-

Vận dụng các phép biến hình vào dựng hình

Phép đối xứng trục bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm,
biến một đờng thẳng thành một đờng thẳng.

Phép đối xứng trục bảo toàn độ dài của đoạn thẳng, biến đoạn thẳng
AB thành đoạn thẳng AB bằng AB
ảnh của một số hình trong phép đối xứng trục :
Trong phép đối xứng trục:
-

-

Một đờng thẳng (hoặc tia) biến thành một đờng thẳng (hoặc tia).

-

Một đoạn thẳng biến thành một đoạn thẳng bằng nó.

-

Một góc biến thành một góc bằng nó.

-

Một tam giác biến thành một tam giác bằng nó

-

Một đờng tròn biến thành một đờng tròn bằng nã.
 VÝ dơ vỊ vËn dơng phÐp ®èi xøng trơc vào giải bài toán dựng
hình:
Ví dụ 1: Cho góc xOy và đờng thẳng d. Dựng hình
vuông ABCD sao cho A Ox; C Oy; B, D d.
Giải :

Phân tÝch :

AC

BD 

S (d
)

IA
I C

A  Ox

C

S (d
); (Ox )

C
Oy


C

Oy
.
O' x '


C

Cách dựng
Ngời thực hiện: Bùi Xuân Phong

9


Đề Tài :

Vận dụng các phép biến hình vào dựng h×nh

-

S (d) (Ox) = O’x’

-

O’x’ . Oy = C

-

S (d) (C) = A

-

AC . d =I

-

Trên d lấy D và B sao cho ID = IB = IA.

-

ABCD là hình cÇn dùng

Chøng minh:
S (d )(C )  A  IA IC


ID IB IA

 IB = IA =IC = ID  ABCD là hình chữ nhật
S(d)(C) = A AC BC
ABCD là hình vuông
Biện luận :
-

d// Oz trong đó (Ox; Oy) = (Oz; Oy): bài toán vô nghiệm

-

d // Oz : bài toán có nghiệm

-

d Oz : bài toán vô số nghiệm
Ví Dụ 2 : Cho đờng thẳng d và hai điểm A, B nằm cùng phía ®èi

víi d. Dùng ®iĨm C thc d sao cho AC + CB có độ dài ngắn nhất.

Giải
Phân tích : Vẽ B đối xứng với B qua d. Gọi M là ®iÓm bÊt kú thuéc d.
Ta cã MB’ = MB do ®ã AM + MB = AM + MB’  AB (hằng số).
Vậy giá trị nhỏ nhất của AM + MB = AB M thuộc đoạn thẳng AB.
Cách dựng : Dùng B’ ®èi xøng víi B qua d. Nèi A víi B’ c¾t d ë C.

Chøng minh : Gäi M là điểm bất kỳ thuộc d .

Ngời thực hiện: Bùi Xu©n Phong

10


Đề Tài :

Vận dụng các phép biến hình vào dựng h×nh

Ta cã AM + MB = AM + MB’  AB’.
AC + CB = AC + CB’ = AB’. VËy AC + CB  AM + MB.
BiƯn ln : Bµi toán có một nghiệm hình.
Vớ d 3: Cho mt gúc nhọn xOy và một điểm P ở trong góc ấy. Dựng một
đường thẳng d cắt cạnh Ox tại M và cạnh Oy tại N, sao cho tổng PM+MN+NP có
độ dài ngắn nhất .
Giải:
Phân tích: Giả sử ta đã dựng được đường thẳng d cắt cạnh Ox ở M và Oy ở
N, lấy điểm đối xứng P1 của P qua Ox và P2 của P qua Oy, ta có: PM=P1M; PN=
P2N.

P2
y
d’
N
N’
x
O

M’

M
P1
d

Và PM+MN+PN =P1M+MN+P2N  P1P2
(Đường gấp khúc có độ dài lớn hơn đường thẳng có chung hai đầu mút)
Vậy tổng PM+MN+ PN nhỏ nhất tức tổng P1M+MN + P2N đạt giá trị nhỏ
nhất khi bằng P1P2. Lúc đó 4 điểm P1, M, P2, N nằm trên cùng một đường thẳng .

Ngêi thùc hiƯn: Bïi Xu©n Phong

11


Đề Tài :

Vận dụng các phép biến hình vào dựng h×nh

Cách dựng : Dựng các điểm P1, P2 theo thứ tự là ảnh của P lần lượt trong các
phép đối xứng qua Ox, Oy.

Đường thẳng d qua P1, P2 là đường thẳng cần dựng.
Chứng minh: Thật vậy, giả sử d cắt Ox, Oy lần lượt tại M,N ta chứng minh
tổng PM +MN+PN là nhỏ nhất. Xét một đường thẳng d’ d cắt Ox tại M’ và Oy tại
N’, ta có :
PM’=P1M’, PN’=P2N’ và PM’ +M’N’+PN’=P1M’+M’N’ +P2N’
Tổng này rõ ràng là không nhỏ hơn P1P2.
P1M’+M’N’ +P2N’  P1P2
=> PM’ +M’N’+PN’  P1P2
=> PM’ +M’N’+PN’  PM +MN+PN
Hay tổng PM +MN+PN v ới cách dựng điểm M,N như trên có độ dài ngắn
nhất.( Hay nói gọn hơn, O
Biện luận: Bài tốn ln cú mt nghim
Một số đề toán vận dụng phép ®èi xøng trơc .
1)
Dùng tam gi¸c ABC nÕu cho c¸c điểm A, B và các đờng thẳng chứa
đờng phân giác cđa gãc C
(Híng dÉn : LÊy A’ ®èi xøng A qua đờng phân giác của góc C )
2)
Dựng tứ giác ABCD biết đờng chéo AC là phân giác của góc A vµ AB
= a; BC = b; CD = c; DA = e.
(Hớng dẫn : áp dụng phép đối xứng trục qua AC)
b. 2) Phép đối xứng tâm :
Định nghĩa : Trong mặt phẳng (P) cho một điểm O, phép biến
hình trong mặt phẳng (P) biến một điểm M (P) thành một điểm
M (P) thoả mÃn hai điều kiện: Ba điểm M, O, M thẳng hàng và
OM = OM. (Hay nói gọn hơn, O là trung điểm của đoạn thẳng
MM) gọi là phép đối xứng tâm. Điểm O là tâm đối xứng

Tính Chất

Ngời thực hiện: Bùi Xuân Phong

12


Đề Tài :

Vận dụng các phép biến hình vào dựng hình

-

Phép đối xứng tâm bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm,
biến đờng thẳng thành một đờng thẳng song song với nó .

-

Phép đối xứng tâm bảo toàn độ dài của đoạn thẳng, biến đoạn thẳng
AB thành đoạn thẳng AB mà AB // AB và AB = AB.

-

Biến trung điểm I của AB thành trung điểm I của AB.
ảnh của một số hình trong phép đối xứng tâm:
Trong phép đối xứng tâm :

-

Một đờng thẳng biến thành một đờng thẳng song song hoặc trùng với
nó.

-

Một tia biến thành một tia ngợc hớng với nó .

-

Một đoạn thẳng biến thành một đoạn thẳng bằng nó.

-

Một góc biến thành một góc bằng nó.

-

Một tam giác biến thành một tam giác bằng nó .

-

Một đờng tròn biến thành một ®êng trßn b»ng nã.
 VÝ dơ vỊ vËn dơng phÐp đối xứng tâm vào giải bài toán
dựng hình:
Ví Dụ 1: Ngoài một đờng tròn cho trớc có hai điểm cho trớc, hÃy
dựng một đờng kính sao cho hai đoạn nối liền hai đầu của nó với
hai điểm cho trớc là bằng nhau.
Giải

Phân tích:
Giả sử đờng kính COD dựng đợc.
Nếu lấy B là ảnh của B qua tâm O; C là ảnh của D qua tâm O BD = BC.
Vì đầu bài có điều kiện là AC = BD nên AC = BC C phải nằm trên đờng

trung trùc cđa AB’.
Ngêi thùc hiƯn: Bïi Xu©n Phong

13


Đề Tài :

Vận dụng các phép biến hình vào dựng hình

Cách Dựng :
-

Nối BO, kéo dài B sao cho OB BO

-

Nèi AB’, dùng ®êng trung trùc cđa AB’, ®êng trung trực này cắt đờng
tròn (O) tại C.

Qua C dựng đờng kính COD, đó là đờng kính cần dựng.
Chứng minh :
Vì C nằm trên đờng trung trực của AB cho nên AC= BC.
Hơn nữa theo ký hiệu trong hình có thể dùng các tam giác bằng nhau để
chứng minh BD = BC cho nên AC = BD.
Biện luận :
Vì đờng trung trực của AB cắt đờng tròn (O) tại hai điểm cho nên bài
toán thờng có 2 nghiệm hình. Khi đờng trung trùc cđa AB’ tiÕp xóc víi (O)
th× cã mét nghiệm hình. Khi đờng trung trực của AB không cắt (O) thì bài
toán vô nghiệm.

Ví Dụ 2 : Cho góc ABC và điểm D nằm trong góc ABC. HÃy
dựng một đoạn thẳng có hai đầu mút nằm trên hai cạnh của
góc và nhận D làm trung điểm.
-

Giải

Phân tích :
Giả sử dựng đợc đoạn thẳng theo yêu cầu đề bài . Ta có D là tâm đối
xứng của hình bình hành có đờng chéo đi qua BD .

Cách dựng :
-

Trên tia ®èi cđa tia BD lÊy K sao cho BD = BK

-

Từ K dựng Kx // BC và cắt BA tại A, dựng Ky // BA và cắt BC tại C

AC là đoạn thẳng cần tìm
Chứng minh :
-

Ngời thực hiện: Bïi Xu©n Phong

14


Đề Tài :

Vận dụng các phép biến hình vào dựng hình

Ta có BAKB là hình bình hành mà D là trung điểm của BK D là tâm đối
xứng của hình ABCD nên D là trung điểm của AB
Biện luận :
Bài toán có một nghiệm hình
Một số đề toán vận dụng phép đối xứng tâm .
1) Cho một góc và trong đó cho hai điểm A và B. HÃy dựng một hình bình
hành nhận A và B làm hai đỉnh đối nhau, còn hai đỉnh kia nằm trên các
cạnh của góc.
(Hớng dẫn : Dựng trung điểm O của đoạn thẳng AB. Ta dựng các điểm C,
D nằm trên các cạnh của góc sao cho O là trung điểm của CD)
2) Dựng một tứ giác lồi biết các trung điểm M, N, P của ba cạnh bằng nhau
của tứ giác ®ã.
( Híng dÉn : LÊy P’ lµ ®èi xøng cđa P qua N B là giao điểm các đờng trung
trực của MP và PN)

c) Phép Quay
Định nghĩa : Trong mặt phẳng cho một điểm O, một góc và một chiều
quay xác định. Một phép biến hình biến một điểm M của mặt phẳng thành
một điểm M của mặt phẳng sao cho:
OM = OM
MOM =
M'
gọi là phép quay t©m O, gãc quay 

O

M

Ta kÝ hiƯu : PhÐp quay tâm O, góc quay ngợc chiều quay của kim đồng hồ
là R+ (O; ); phép quay tâm O, góc quay cùng chiều kim đồng hồ là
R- (O;).
Tính chất :
Phép quay bảo toàn tính thẳng hàng của các điểm, biến một đờng thẳng
thành một đờng thẳng, một tia thành một tia.
Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm, biến một đoạn thẳng
thành một đoạn thẳng bằng nó.
Phép quay bảo toàn thứ tự của các điểm trên cùng một đờng thẳng. Nếu
đoạn thẳng AB là ảnh của đoạn thẳng AB trong phép quay tâm O, góc
Ngời thùc hiƯn: Bïi Xu©n Phong

15


Đề Tài :

Vận dụng các phép biến hình vào dựng hình

thì trung điểm I của AB là ảnh của trung ®iĨm I cđa AB trong phÐp quay
®ã.
 ¶nh cđa mét số hình trong phép quay:
Trong phép quay:
-

Một đờng thẳng (hoặc tia) biến thành một đờng thẳng (hoặc tia) tạo
với nó một góc bằng góc quay.

-

Một đoạn thẳng biến thành một đoạn thẳng bằng nó và tạo với nó một
góc bằng gãc quay.

-

Mét gãc biÕn thµnh mét gãc b»ng nã.

-

Mét tam giác biến thành một tam giác bằng nó, góc giữa hai cạnh tơng
ứng bằng góc quay.

-

Một đờng tròn biến thành một đờng tròn bằng nó.

Ví dụ về vận dụng phép quay vào giải bài toán dựng hình.
Ví dụ 1: Dựng tam giác đều sao cho 3 đỉnh của nó lần lợt nằm trên 3
đờng thẳng song song cho trớc .
Giải
Phân tích :

ABC


đều

( AB; AC ) 60 0


AB  AC

( A
;60 0 ) ( B )

C
B  d
2
C  d'

2 

C  d3












C

C



 ( A
;60 0 )( d

d ' 2

x

d3

C¸ch dùng:
 ( A;60 0 )(d ) d '
2
2
 d ' x d C
2
3
 ( A, 60 0 )(C ) B

Chøng minh :
Ngêi thùc hiƯn: Bïi Xu©n Phong

16

2

Đề Tài :

Vận dụng các phép biến hình vào dựng h×nh

( A, 60 0 )(C ) B 


( AC ; AB ) 600


AB AC

ABC đều

Vì C d2 B d2
Biện luận :
Bài toán có hai nghiƯm h×nh v× cã 2 gãc quay 600.
 VÝ dụ 2: Cho ba đờng thẳng a, b , c và 1 điểm A trên a. Dựng hình
vuông ABCD sao cho B b; C c.
Giải

Phân tích :
Giả sử dựng đợc ABCD là hình vuông. Xét tam giác ABC:
( AB;
AC )
45 0
AC

2 AB



C
C




D(
c







A
;45 0 ;

D(

A
;45 0 ;

2 )( B )


B



2 ) (b )

b


b '






C


c

C¸ch dùng :
 D( A;450 ; 2 )(b) b'
 b' xc C
1
 D( A; 450 ; . 2 )(C ) D
2

ABCD là hình vuông phải dựng
Chứng minh :

D ( A;

45 0 ,

D ( A;

45 0 ,

2
)(C )
2
2
)(C )
2

B
D

ABC
ABC

Vuông
Vuông

Suy ra ABCD là hình vuông và vì Cb  B b.
BiƯn ln:

Ngêi thùc hiƯn: Bïi Xu©n Phong

17

Đề Tài :

Vận dụng các phép biến hình vào dựng h×nh

-

(b,c) = 450 : 1 nghiƯm h×nh

-

(b,c)  450 : 2 nghiƯm h×nh

+ Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng x và y cắt nhau tại O. Điểm A thuộc mièn
trong của một góc tạo bởi hai đường thẳng đó. Dựng tam giác ABC vuông cân ở A
sao cho B thuọc đường thẳng x, C thuộc đường thẳng y.
Phân tích bài tốn bằng ngơn ngữ biến hình:
x
B1
H

H1

B

A
H'

O

C

C1
x'

y
x1

Xét C là ảnh của B trong phép quay R +(A, 900); Bthuộc x, do đó C thuộc x',
ảnh của x trong phép quay đó. Như vậy, C là giao điểm của x' với y, còn B là ảnh
của C trong phép quay R-(A,900) . C cũng có thể là ảnh của B trong phép quay R(A, 900), B thuộc x, do đó C thuộc x1, ảnh của x trogn phép quay đó. Giao điểm của
x1 và y cho ta điểm C(đó là điểm C1 trên hình vẽ ). Cịn B1 là ảnh của C1 trong phép
quay R+(A,900).
Tuỳ theo số giao điểm của x' với y và x1 với y mà ta có số nghiệm hình.
Cách giải thơng thường :
Phân tích: Giả sử đã dựng được  ABC vuông cân ở A thoả mãn yêu cầu
bài toán . Dựng AH  x, dựng H' sao cho HAH ' 90 0 và AH' = AH . ta có
H ' AC HAB
H ' AC HAB(c.g.c)  AH ' C AHB 90 0  H ' C  AH '

Ngêi thùc hiƯn: Bïi Xu©n Phong

tại H' .

18


Đề Tài :

Vận dụng các phép biến hình vào dựng h×nh

Giao điểm của H'C và y cho ta điểm C. Từ đó dựng được điểm B.
Cách dựng:
-

Dựng AH  x, dựng H' sao cho HAH ' 90 0 và AH' = AH.

-

Dựng đường vng góc với AH' tại H' cắt y ở C; đường vng

góc với AC tại A cắt x ở B.
Chứng minh:

 H'AC =  HAB (g.c.g) = >AC =AB và  H'AC = 

HAB ,do đó  BAC =  HAH' =900.Vậy  ABC vuông cân.
Biện luận:
Nếu góc xOy 900 .:có hai cách chọn điểm H' sao cho  HAH' = 900 ,AH'
=AH.Bài tốn có hai nghiệm hình.(  ABC =  AB1C1 trên hình vẽ ).
Nếu góc xOy =900: Bài tốn có vơ số nghiệm(nếu A thuộc phân giác của góc
xOy) hoặc khơng có nghiệm hình (nếu A khơng thuộc phân giác của góc xOy)
+ Chú ý : Nếu trong bài bài tốn dựng hình có điểm A và các đường thẳng x ,y cố
định .Các điiểm B'C phải dựng thứ tự thuộc x và y sao choAB =AC,
 BAC =  thì ta vận dụng phép quay tâm A, góc quay  để giải bài toỏn

Một số đề toán có vận dụng phép quay:
1) Cho điểm A nằm ngoài hai đường thẳng song song b và d cho trước.
Dựng hình vng ABCD sao cho B nằm trên b, D nằm trên d.
(Hướng dẫn : D là ảnh của B trong phép quay R+(A,900) hoặc R-(A,900).

2) Dựng hai đường thẳng từ một điểm cố định ngồi 2 đường trịn cho trước
đến hai đường trịn ấy, sao cho chúng bằng nhau và hợp thành một góc có độ lớn
cho trước .
( Hướng dẫn: A’ là ảnh của phép quay(A,  ); D là giao điểm của hai ng
trũn (A) v (B) )

c)

Phép vị tự :
Định nghÜa:

Ngêi thùc hiƯn: Bïi Xu©n Phong

19


Đề Tài :

Vận dụng các phép biến hình vào dựng hình

Trong mặt phẳng cho một điểm cố định O và một số k. Phép biến hình biến
một điểm M của mặt phẳng thành một điểm M của mặt phẳng thoả mÃn : ba
điểm M, O, M thẳng hàng và OM ' k là phép vị tự tâm O tỉ số k.
OM

Tính chất :
- Phép vị tự bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm trên một
đờng thẳng, biến một đờng thẳng thành một đờng thẳng song song với nó,
biến một đoạn thẳng AB thành một đoạn thẳng AB mà AB // AB

A' B'
k . (k là tỷ số vị tự).
AB
- Phép vị tự bảo toàn độ lớn của góc.
- Phép vị tự bảo toàn tỷ số các đoạn thẳng. Trung điểm của một đoạn
thẳng biến thành trung điểm của ảnh của đoạn thẳng.
ảnh của một số hình trong phép vị tự :
Trong phép vị tự tỷ số k:
và

-

Một đờng thẳng (hoặc tia) biến thành một đờng thẳng (hoặc tia) cùng
phơng.

-

Đoạn thẳng AB biến thành một đoạn thẳng cùng phơng có độ dài
bằng k . AB

-

Một góc biến thành một góc bằng nó có các cạnh tơng ứng cùng phơng.

-

Một tam giác biến thành một tam giác đồng dạng với nó.

-

Đờng tròn (O;R) biến thành một đờng tròn có bán kính bằng k.R
Ví dụ về vận dụng phép vị tự giải bài toán dựng hình:
Ví dụ 1: Cho góc xOy và điểm P nằm trong góc đó. Tìm điểm
Q Ox, R Oy sao cho PQ = QR = RO.
Giải
Phân tích :

Ngời thực hiện: Bùi Xu©n Phong

20