ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH pot

www.MATHVN.com
ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH
Hoàng Nguyên - www.mathvn.com
1

Bài 1: Cho hai đường tròn (
1
S
) và (
2
S
) có giao điểm A, hãy dựng đường thẳng qua A
sao cho nó cắt hai đường tròn theo các dây cung bằng nhau.

GIẢI














* Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng qua A theo yêu cầu bài toán .

1
2
( )
( )
B S
C S
∈
∈

Ta có: AB = AC
Xét

1 1
'
1 1
1
( ) ( ')

(C (S '))
A
S S
S S
B C
→
∈
֏
֏
Ñ

* Cách dựng:
Dựng
1
( ')
S

1 1
( ) ( ')
A
S S
=
Ñ


1 2
( ') ( )
S S C
∩ =
( khác A )
Nối AC
Dựng
1
( )
AC S B
∩ =

Ta có ABC là đường thẳng cần dựng.

* Chứng minh: AB = AC,thật vậy:
Chứng minh:

∆
AB
1
S
=
∆
AC
'
1
S

Ta có:
1
BAS
∆
cân tại
1
S

1
S
⇒
=
180

-

1
2
BAS

1
ACS
∆
cân tại
'
1
S

1
'
S
⇒
=
180

-

'
1
2
CAS

Mà:

1
BAS
=


'
1
CAS
(
đối đỉnh)
Suy ra:
'
1 1
BAS CAS
∆ = ∆


* Biện luận:
www.MATHVN.com
ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH
Hoàng Nguyên - www.mathvn.com
2

Nếu
1
( )
S
tiếp xúc
2
( )
S
thì có 1 nghiệm hình
Nếu
1
( )

S
,
2
( )
S
cắt nhau tại 2 điểm thì có 2 nghiệm hình.

Bài 2: Qua điểm A cho trước, hãy kẻ một đường thẳng sao cho đoạn thẳng xác định bởi
các giao điểm của nó với một đường thẳng và một đường tròn cho trước nhận A làm
trung điểm.

GIẢI







* Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng CAB theo yêu theo yêu cầu bài toán .
Với B
∈
( )
O
, C
∈

( )
l
, AB = AC

Xét phép đố
i x
ứ
ng tâm A:
Đ
A


'
( ) ( )
l l
→

C
֏
B ( B
'
( )
l
∈
)
*
Cách dựng:

D
ự
ng
'
( )
l

=
Đ
( )
A
l

D
ự
ng B =
'
( ) ( )
l O
∩

N
ố
i BA
D
ự
ng C = BA
( )
l
∩

Ta
đượ
c
đườ
ng th
ẳ

ng ABC c
ầ
n d
ự
ng .

* Chứng minh:
AB =AC
Theo cách d
ự
ng ta có
( )
l
//
( ')
l

Qua A k
ẻ

đườ
ng th
ẳ
ng vuông góc v
ớ
i hai
đườ
ng th
ẳ
ng trên l

ầ
n l
ượ
t t
ạ
i H, K.
Ch
ứ
ng minh
ACH
∆
=
ABK
∆

www.MATHVN.com
ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH
Hoàng Nguyên - www.mathvn.com
3

Ta có:






1
( )
( )

H K v
HAC KAB dd
ABK ACH slt

= =


=


=



Suy ra:
ACH
∆
đồng dạng
ABK
∆
(1)
Mà: AH = AK (tính chất đối xứng tâm A)
Suy ra:
ACH
∆
=
ABK
∆

Vậy: AB = AC

* Biện luận: (l’) =
Đ
( )
A
l

Nếu
'
(l )
tiếp xúc thì có 1 nghiệm hình .
Nếu
'
( )
l
cắt (O) tại 2 điểm thì có 2 nghiệm hình .
Nếu
'
( )
l
và (O) không có giao điểm thì vô nghiệm .


Bài 3: Cho góc ABC và điểm D nằm trong góc đó. Hãy dựng đoạn thẳng sao cho cắt AB, BC lần
lượt tại E,E’ và EE’ nhận D làm trung điểm.


GIẢI

* Phân tích: Giả sử dựng được đường thẳng theo yêu cầu bài toán.

'
E AB
E BC
∈
∈

DE = DE’
Xét phép đối xứng :
' '
'
D
BC B C
E E
→
֏
Ñ


www.MATHVN.com
ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH
Hoàng Nguyên - www.mathvn.com
4


* Cách dựng:
Dựng
' ' ( )
D
B C BC

=
Ñ

Dựng
' '
E B C AB
= ∩

Nối DE
Dựng E’=BC
∩
DE
Ta có đường thẳng EDE’ cần dựng.

* Chứng minh: thật vậy DE = DE’, vì:
Từ D hạ vuông góc xuống BC, B’C’ cắt lần lượt tại H, H’.
Suy ra DH = DH’ (1)
Mà
'
DE H
∆
đồng dạng
'
DEH
∆
, Vì:







' '( )
' '( )
' 1
E DH EDH dd
DE H DEH slt
H H v

=


=


= =


(2)
Từ (1), (2) suy ra
' '
DE H DEH
∆ = ∆

Vậy: DE = DE’

* Biện luận:
Bài toán có 1 nghiệm hình.

Bài 4:Cho hai đường tròn (O
1
), (O
2
) có giao điểm A. Hãy dựng đường thẳng qua A định trên hai
đường tròn hai dây cung sao cho hiệu của chúng bằng a cho trước.

GIẢI



* Phân tích:
Gi
ả
s
ử

đ
ã d
ự
ng
đượ
c
đườ
ng th
ẳ
ng qua A và AB – AC = a (a cho tr
ướ
c).

www.MATHVN.com
ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH
Hoàng Nguyên - www.mathvn.com
5

Xét phép đối xứng tâm qua A :
'
2 2
( ) ( )
A
O O
→
Ñ

C
֏
C’
Suy ra: AC =AC’
Hai đường thẳng (l
1
), (l
2
) lần lượt qua O
1
, O
2
và vuông góc với BC.
Khoảng cách giữa (l
1
), (l

2
) là d =
2
a
( vì
'
2 2 2
AB AC a
− =
).
Suy ra (l
2
) là tiếp tuyến của đường tròn (O
1
;
2
a
).
* Cách dựng:
Dựng
'
2 2
( ) ( ) ' ( )(1)
A A
O O C C= ⇒ =Ñ Ñ

Dựng
1
( ; )
2

a
O
Dựng (l
2
) là tiếp tuyến của
1
( ; )
2
a
O đi qua O
2
’.
Dựng qua O
1
đường thẳng (l
1
)//(l
2
).
Dựng (l) qua A và vuông góc với (l
2
).
Dựng
1
( ) ( )
B l O
= ∩

2
( ) ( )

C l O
= ∩
Ta có đường thẳng BAC cần dựng.

*Chứng minh: AB – AC = a
Theo phép dựng (1) ta có: AC =AC’
Chứng minh: AB – AC’ = a
Ta có: d =
2
a


'
2 2 2
'
AB AC a
AB AC a
⇔ − =
⇔ − =

Vậy: AB - AC = a

*Biện luận:
Nếu (O
1
) tiếp xúc (O
2
) thì có 1 nghiệm hình.
Nếu (O
1

) giao (O
2
) tại 2 điểm thì có 2 nghiệm hình.










www.MATHVN.com
ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH
Hoàng Nguyên - www.mathvn.com
6




Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, BC cố định, A di chuyển trên
đường tròn. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC.

GIẢI

*Phần thuận:
Gọi I là trung điểm BC.
A’ đối xứng của A qua O
Suy ra:


' ' 90
ABA ACA= =


Ta có:
'
' / /
' à ình ình ành.
'
/ / '
AB A B
A B HC
AB HC
BHCA l h b h
AC A C
BH A C
AC BH
⊥ 

⇒



⊥
 
⇒

⊥


⇒


⊥



Mà: IB = IC
Nên: IH =IA’
Hay:
' ( )
I
A H
=
Ñ
.
Khi A di chuyển trên đường tròn tâm O thì A’ cũng di chuyển trên đường tròn tâm O.
Vì O, BC, I cố định
Nên quỹ tích của H là đường tròn tâm(O’;BC). (Với
' ( )
I
O O
=

Ñ
).

*Phần đảo:
Lấy H
∈
(O’;BC)











Bài 6: Cho tam giác ABC.Tìm các điểm trong tam giác sao cho 3 điểm đối xứng với nó qua trung
điểm các cạnh tam giác đều thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

www.MATHVN.com
ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH
Hoàng Nguyên - www.mathvn.com
7

GIẢI


*Phần thuận:

Gọi E là điểm cần tìm.
Gọi M là trung điểm AB.
Và giả sử:
1
M
E E
→
Ñ
.
Ta có:
M
A B
→
Ñ


M
B A
→
Ñ
.
Suy ra:


1
AEB BE A
=
.





1 1
ì ( ), ên 180
180
V E O n AE B C
AEB C
∈ + =
⇒ = −



Tương tự:


180
AEC B
= −





180
BEC A
= −

.
Vậy E là giao điểm của 3 cung chứa góc (


180
C
−

) dựng trên AB, (

180
B
−

) dựng trên AC,
(

180
A
−

) dựng trên BC.
Theo hình học lớp 9, suy ra E cần tìm là điểm duy nhất và chính là trực tâm tam giác ABC.

* Phần đảo:
Với E là trực tâm tam giác ABC.
M là trung điểm AB.
1
M
E E
→
Ñ
E
1

≡

Chứng minh: E
1
thuộc đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC.
Gọi C’ đối xứng với C qua O, C’
∈
(O).
Nhận thấy:


' ' 90
CAC CBC
= =



'
/ / '
à
C A AC
BE C A
M BE AC
⇒
⊥

⇒

⊥


Tương tự ta có: AE / / BC’
Suy ra AEBC’ là hình bình hành.
Nên M là trung điểm EC’.
Mặt khác:
1
M
E E
→
Ñ

Hay M là trung điểm EE
1
Vậy E
1
≡
C’
1
( )
E O
⇒
∈
.

www.MATHVN.com
ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH
Hoàng Nguyên - www.mathvn.com
8

Bài 7: Cho đường tròn (O), hai dây cung AB và CD không cắt nhau, J thuộc CD. Dựng X trên
đường tròn sao cho các dây cung AX, BX chắn trên dây CD đoạn EF nhận J làm trung điểm.

GIẢI




* Phân tích:
XA, XB chắn dây CD tại E, F.
Dựng E’ là điểm sao cho AEJE’ là hình bình hành
F’ là điểm sao cho JFBF’ là hình bình hành
Gọi I là trung điểm AB.
Xét phép đối xứng :
I
J K
→
Ñ

Ta có: AE’ // = F’B
Suy ra:
' '

AE I BF I
∆ =∆

Vậy I là trung điểm E’F’
KE’JF’ là hình bình hành
Ta có:


' 180 ' '
JE K E JF
= −


=

180
AXB
−


=

180
ACB
−

( Cùng chắn cung AB ).

* Cách dựng:
Dựng:

( )
I
K J
=
Ñ
(1)
Dựng cung chứa góc: (
δ
) nhìn dây JK với góc (

180
ACB
−

) cùng phía với A so với JK. (2)
Dựng (d) qua A và song song CD. (3)
Dựng: E’ = (d)
∩
(
δ
). (4)
Dựng cung chứa góc: (
'
δ
) nhìn dây JK với góc (

180
ACB
−


) cùng phía với B so với JK. (5)
Dựng (d’) qua B và song song CD. (6)
Dựng: F’ = (d’)
∩
(
'
δ
). (7)
Dựng (l) qua A và song song E’J
E = (l)
∩
CD. (8)
X = (l)
∩
(O).
Dựng (l’) qua B và song song F’J
F = (l’)
∩
CD. (9)
X = (l’)
∩
(O).
Ta có X cần dựng.

* Chứng minh: JE = JF
X
∈
(O)
•
Theo phép dựng (1), (2), (4), (5), (7) ta có KE’JF’ là hình bình hành

Mà:
( )
I
K J
=
Ñ

www.MATHVN.com
ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH
Hoàng Nguyên - www.mathvn.com
9




' '
' '
' '( )
' '
IE IF
IA IB AIE BIF
AIE BIF dd
AE BF

⇒ =

= ⇒ ∆ = ∆


=


⇒ =

Theo phép dựng (3),(8) ta có AE’JE là hình bình hành

⇒
AE’ = JE
Theo phép dựng (6),(9) ta có BF’JF là hình bình hành

⇒
BF’ = JF
Suy ra: JE = JF
•
Theo phép dựng (8), (9) ta có:


' '
E JF AXB
=




( )


V ' 180 ' '
' '
V 2
ì KE J E JF

E JF ACB
à

= −

⇒ =





Suy ra:


AXB ACB
=
,C
∈
(O) hai góc cùng nhìn cung CB nên X
∈
(O).

* Biện luận:
Số nghiệm hình là số giao điểm của (d) và (
δ
).

Bài 8: Hãy dựng hình ngũ giác khi biết 5 trung điểm các cạnh.

GIẢI








www.MATHVN.com
ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH
Hoàng Nguyên - www.mathvn.com
10

*Phân tích:
Giả sử đã dựng được ngũ giác A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
nhận B
1
, B

2
, B
3
, B
4
, B
5
lần lượt là trung điểm các
cạnh A
1
A
2
, A
2
A
3
, A
3
A
4
, A
4
A
5
, A
5
A
1
.
Ta có

3 51 2 4
1 2 3 4 5 1
B BB B B
A A A A A A
→ → → → →
Ñ Ñ
Ñ Ñ Ñ

Vậy:
5 4 3 2 1
1 1
B B B B B
A A
→
Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ
(1)
Ta thấy:
5 4 3 2 1
B B B B B
Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ
là phép đối xứng tâm. Rõ ràng mọi phép đối xứng tâm chỉ có một
điểm bất động duy nhất, đó chính là tâm đối xứng .
Từ (1) suy ra:

5 4 3 2 1
B B B B B
Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ
=
1
A

Ñ
(2)
Lấy X bất kì trên mặt phẳng.
Giả sử:
3 51 2 4
1 2 3 4 5
B BB B B
X X X X X X
→ → → → →
Ñ Ñ
Ñ Ñ Ñ

Do (2) suy ra:
1
5
A
X X
→
Ñ

Vậy: A
1
là trung điểm XX
5
.

* Cách dựng:
Lấy X bất kì thuộc mặt phẳng.
Dựng:
1

1
B
X X
→
Ñ


2
1 2
B
X X
→
Ñ


3
2 3
B
X X
→
Ñ


4
3 4
B
X X
→
Ñ

5
4 5
B
X X
→
Ñ

Dựng A
1
: A
1
là trung điểm XX
5

Dựng: A
2

1
1 2
B
A A
→
Ñ

A
3

2
2 3
B

A A
→
Ñ

A
4

3
3 4
B
A A
→
Ñ

A
5

4
4 5
B
A A
→
Ñ

Nối: A
1
A
5

Ta được ngũ giác A

1
A
2
A
3
A
4
A
5
cần dựng .

* Chứng minh: B
5
là trung điểm A
1
A
5

Theo phép dựng: A
1
là trung điểm XX
5

⇒

1 1 5
XA A X
=
 

Theo phép dựng:
1
1
1
1 1 2
1 2
B
B
X X
XA X A
A A

→

⇒

→


Ñ
Ñ
là hình bình hành

1 2 1
XA A X
⇒
=
 

Tương tự ta có:

2 1 2 3 4 3 4 5
A X X A A X X A
= = =
   

Suy ra:
4 5 1 5
X A A X
=
 

Vậy: X
4
A
5
X
5
A
1
là hình bình hành .
www.MATHVN.com
ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH
Hoàng Nguyên - www.mathvn.com
11

Mà:
5
4 5
B
X X

→
Ñ

Nên: B
5
cũng là trung điểm A
1
A
5
.

* Biện luận:
Bài toán có 1 nghiệm hình ( Vì A
1
A
5
nhận B
5
duy nhất làm trung điểm ).

Chú ý : Cách dựng trên có thể mở rộng sang đa giác với số lẻ cạnh bất kì.
Nghĩa là : nếu cho (2k + 1) trung điểm các cạnh của (2k + 1)giác ta sẽ dựng được
(2k + 1)giác