Tinh chat chia het tren tap so nguyen

Tính chia hết trên tập số nguyên
THANH BAN

1

TẠ

CHUYÊN ĐỀ I :

TÍNH CHIA HẾT TRÊN TẬP SỐ
NGUYÊN
LÝ THUYẾT CHIA HẾT

A/VẤN ĐỀ 1: Tính chia hết

I /Định nghóa 1:Với hai số nguyên a và b ,ta nói rằng a
chia hết cho b
(b 0) nếu tồn tại số nguyên k sao cho a = kb
kí hiệu : a
a = kb
Hay
a là bội của b kí hiệu a B(b) Hoặc a b
Hay
b là ước của a kí hiệu b Ư(a) Hoặc b\ a
2/Phép chia có dư : Với cặp số nguyên a và b (b 0) tôn
tại cặp số nguyên q,r duy nhất sao cho : a = bq + r ( 0 r
<
Tức là : b =
2/Định nghóa 2: Một số nguyên dương p > 1 được gọi là số
nguyên tố nếu nó chỉ có hai ước số là 1 và p
II/ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍNH CHIA HẾT

1) Nếu a,b nguyên dương mà a b ,thì a b
2)Tập hợp các ước của 1 là 1 và –1
3) Nếu ai b với mọi i =
thì (a1 + a2 + a3 +.......+ an) b
4) Nếu ai b với mọi i =
Nếu ak b
5) Nếu b \ a thì b\(-a) ; -b \ a ; -b \ -a ;
\
6)Với a,b
Z , Néu b \ a và a\ b thì a = b
7)Với a , b, c
Z nếu a\b và b\c thì a\c
8) Với a1 ,a2 ,...., an
Z và nếu b \a1 ; b \ a2 ,......., b\ an thì với
x1, x2 , ........., xn Z ta coù b \a1x1 + a2x2 + ......+ anxn

B/ ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT


Tính chia hết trên tập số nguyên
THANH BAN

2

TẠ

1/Định nghóa 1 : Số nguyên d được gọi là ước chung của
các số nguyên a1 ,a2......, an nếu d là ước của mỗi số đó
2/Định nghóa 2: Nếu d ước chung lớn nhât của hai số a ,b
kí hiệu ƯCLN(a,b) hay d = (a,b) là số nguyên dương lớn nhất

mà cả a, b đều chia hết cho nó
3/Ước chung d của các số nguyên a1 ,a2......, an được goi là
ước chung lớn nhât nếu d là Bội của mọi ướpc chung
của số đó a1 ,a2......, an
Kí hiệu : d = ( a1 ,a2......, an )
Một số tính chất của ƯCLN :
 Tập hợp các ước chung của a1 ,a2......, an trùng với tập
các ước của ƯCLN của các số đó
 Nếu d = ( a1 ,a2......, an ) thì tôn tại các số nguyên
x 1,
x2 , ........., xn sao cho
d = a1x1 + a2x2 + ......+ anxn

Đặc biệt : ( a1 ,a2......, an ) = 1 khi và chỉ khi tồn tại
các số nguyên
x1, x2 , ........., xn sao cho : 1 = a1x1 + a2x2 + ......+ anxn
Trường hợp này các số a 1 ,a2......, an được gọi là nguyên
tố cùng nhau
Để tìm ước chung lớn nhất của hai số nguyên ta dùng
thuậttoán ƠCLIT
Nếu
a = bq0 + r1 ; 0 < r < b
b = r 1 q1 + r 2
r1 = r2q2 + r3
.........................
........................
rn –1 = rnqn
ÖCLN( a,b) = ( b, r1) = .............= ( rn –1, rn ) = rn

Tính chia hết trên tập số nguyên
THANH BAN

NHỚ

TẠ

3

NHỮNG HẰNG ĐĂNG THỨC ĐÁNG

NHỊ THỨC NEUTON
( a + b)n = an + nan-1b +

+.....................+ bn

1/(a + b + c)2 = a2+b2 + c2 + 2ab +2 bc + 2ac
2/ an - 1 = (a –1)(an-1 + an-2 + ...........+ a + 1)
an –1 a – 1
3/ an - bn (a – b )( an –1 + an-2b + ..................+ bn-1)
4/ an + bn ( a + b) nếu n lẻ với a,b Z , n N
5/(a + b )n = B(a) +bn
6/(a + 1)n = B(a) + 1
7/ (a –1)2n = B(a) +1
8/ ( a – 1)2n+1 = B(a) - 1
1/Bài tập aùp duïng
a)
8xn-1.2xn + 1 + 8xn + 1.( -3xn + 2)
b)
(a + b + c)( a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac)

c)
Chứng minh rằng :
(a + b + c)( a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac) = a3 + b3 + c3 –
3abc
Thay a + b + c = 0
a3 + b3 + c3 = 3abc
d)Chứng minh rằng:
an – bn = (a – b)(an-1 +an-2b +an-3b2.+.......+ abn-2 +abn-1)
Áp dụng : Cho A = 11100 – 1
Chứng minh rằng: a) A 10
b) A 1000
e)Tính giá trị biểu thức :
A = x5 - 5x4 + 5 x3 – 5x2 + 5x – 1 với x = 4
f) Cho A = 29 + 299 .Chứnh minh rằng : A  100
Ví dụ :(KT)
Bài 1: Cho các số a,b,c thoả mãn : a + b +c = 0 (1) vaø a 2 +
b2 + c2 =1 (2)
Tính a4 + b4 + c4
Bài2 :Chứng minh rằng nếu :

vaø a + b+ c = 2abc


Tính chia hết trên tập số nguyên
THANH BAN

4

TẠ

Thì :
Bài 3:Chứng minh rằng tích 4 số tự nhiên liên tiếp
côngvới 1 là một số chính phương
Bài 4 :Chứng minh rằng : A = 11n+2 + 122n+1 133 với n N
Bài 5 :CMR mọi số tự nhiên n thì 16 n – 1 17 khi và chỉ khi n
chẵn
Bai6:Tìm số dư khi chia 2100 cho
a) cho 9
b) cho 25
c) cho 125
Baøi 7/ Tìm ba chữ số tậïn cùng của 2 100
Bài 8: CMR : 251 chia hết cho 7
Bài9 : CMR 270 + 370 chia hết cho 13
Bài 10: Tìm số dư khi chia 21994 cho 7 ,
31993 cho 7
Baøi 11: CMR : x95 + x94 + . . .+ x2 + x + 1 chioa heât cho x31 + x30
+ . . .+x + 1
Bài 12 : Giá trị tự nhiên nào của n thì :
( x + 1 )n + xn + 1 Chia heát cho x2 + x + 1