Tich vo huong cua 2 vec tova ung dung
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (167.24 KB, 25 trang )
Chương II:
Tích vô hướng của hai véc tơ và ứng dụng
Tiết 21:
Hệ thức lượng trong tam giác
A. Hệ thức lượng trong tam giác vuông:
I. Các định lý:
A
2
b ab '
b
2
c ac '
2
2
2
a b c
II. C¸c hƯ qu¶:
C
b ' c ' h
2
2
b' b
2
c' c
1
1 1
2 2
2
h
b c
a
c
c’ H b’ B
B. Hệ thức lượng trong tam giác thường
I - Định lí côsin trong tam giác
A
ã Cho ABC vuông tại A.
Theo định lí Pitago, ta có:
2
2
B
2
BC AC AB BC AC AB *
ThËt vËy: do BC AC AB
2
2
2
BC AC AB
2
2
2
2
2
2
AC AB 2. AC . AB
AC AB 2. AC. AB. cos( AC , AB )
AC 2 AB 2
C
Định lí Côsin:
ã Trong ABC, với BC = a, CA = b, AB =
c, ta cã:
a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA
b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB
c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC
Câu hỏi trắc nghiệm khách quan
ã HÃy điền dấu >, < hoặc = vào chỗ
trống mà em chọn là thích hợp.
a) Nếu A là góc nhọn thì a2 <
b 2 + c2
b) Nếu A là góc vuông thì a2 =
b 2 + c2
c) Nếu A là góc tù thì a2 >
b 2 + c2
HƯ qu¶
2
2
2
b c a
cos A
2bc
a2 c2 b2
cos B
2ac
2
2
2
a b c
cos C
2ab
VD1:
30
C
600
Giải:
A
40
B
ã Sau 2 giờ tàu B đi được 40 hải lí, tàu C đi được 30 hải lí.
ã Vậy ABC cã AB = 40, gãc A = 600, AC = 30
ã áp dụng định lý cosin :
a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA
= 302 + 402 – 2.30.40.cos600
= 1300 BC 36 h¶i lÝ
VD2 : Cho các cạnh của ABC, a=4,
b=5, c=7. Tính các góc A, B của tam
giác.
Đáp án: A = 3403', B = 57036' , C =
88021'
ã VD3: Chứng minh trong hình bình hành tổng bình phương hai đư
ờng chéo bằng tổng bình phương bốn cạnh.
* * *
Giả sử có hình bình
B
hành ABCD nhưhình vẽ
C
Theo định lý h/s Côsin
ta có:
A
mà:
D
AC 2 AB 2 BC 2 2 AB.BC.CosABC
(®fcm)
BD 2 AB 2 AD 2 2 AB. AD.CosBAD
CosABD CosBAD
AC 2 AD 2 AB 2 BC 2 AB 2 AD 2
•
2
2
2
2
2
AC AD AB BC CD DA
2
II. Định lí sin trong tam giác
A
ã Cho ABC nhưhình vẽ
Nếu góc A vuông thì :
a=2R.sinA,
b=2R.sinB,
c=2R.sinC. (1)
b
B
R
c
a
O
* Trường hợp A kh«ng vu«ng
A
A
D
O
B
a
a
B
C
O
C
D
C
Định lí:
ã Với mọi ABC ta có :
a
b
c
2 R
sin A sin B sin C
Trong đó: R là bán kính đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC
o
o
VD4: Tam gi¸c ABC
A 60 ; B 45 ; b 4
có
.Tính
hai cạnh a; c.
a
b
c
* * *
Theo định lý hàm số Sin:SinA SinB SinC
o
bSinA 4sin 60
a
4,9
o
SinB
Sin 45
o
bSinC 4Sin75
c
5,5
o
SinB
Sin 45
vµ
Câu hỏi trắc nghiệm khách quan
Để đo khoảng cách từ điểm A trên bờ sông
đến gốc cây C trên cù lao giữa sông, người ta
chọn điểm B cùng ở trên bê víi A sao cho: AB
= 40m, CAB = 450, CBA = 700. Khoảng cách từ
A đến C gần bằng:
A)
B)
C)
D)
31.47 (m)
41,47 (m)
51,47 (m)
61,47 (m)
C
B
700
40
450
A
O
VD5: Cho tam gi¸c ABC cã A 60 ; a 6.
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp
tam giác đó.
*
*
*
Theo định lý hµm sè Sin ta cã:
a
2 R
SinA
a
6
R
3,5
o
2 SinA 2Sin60
Câu hỏi trắc nghiệm khách quan :
Nếu đều ABC có cạnh bằng a thì bán
kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác
đó là:
a)
c)
1
a
2
a
3
b)
a
d ) 2a
VD6: Chứng minh rằng trong tam giác ABC tacó:
2
Giải:
2
2
a b c
CotA CotB CotC
R
abc
2
2
2
b c a
2
2
2
CosA
b c a
2
bc
R
Ta cã: CotA
a
SinA
abc
2R
2
2
2
2
2
2
a b c
a
b
c
T¬ng tù: CotC
;
R
R CotB
abc
abc
2
2
2
Suy ra
a b c
CotA CotB CotC
abc
(®fcm)
III. Công thức tính độ dài đường trung
tuyến:
Bài toán 1: Cho 3 điểm A,B,C trong đó
2
2
ABGọi
AC
BC=a.
M là
trung điểm của BC, biếtA
AM=m. HÃy tính
theo a và m
Giải:
m
2
2
Nếu
a/2
ABm
=AC
thì
BC 2ta có:
B
M
2 kú ta2 cã:
TrêAB
ng2 hỵp
m
bÊt
2
AC AB AC
2
( AM MA) ( AM MC ) 2
2
2
2
2 AM MB MC 2 AM ( MB MC )
2
a
VËy AB AC 2m
2
2
2
2
C
ã Công thức đường trung tuyến:
Cho tam giác ABC. Gọi ma ; mb ; mc là độ
dài các đường trung tuyến ứng với các cạnh
BC=a; CA=b; AB=c. Ta có:
2
2
b c
m
2
2
2
a c
2
mb
2
2
2
a b
2
mc
2
2
a
2
a
42
b
42
c
4
Câu hỏi trắc nghệm khách quan:
Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh c của tam
giác ABC bằng bao nhiêu:
b2 a 2 c2
A).
2
4
b a c
B ).
4
1
2
2
2
C ).
2(b a ) c
2
b2 a 2 c 2
D).
4
2
2
2
