Các tính chất của Ngôn ngữ phi ngữ cảnh

Trang 268
Lý thuyt Ôtômát & NNHT - Khoa Công Ngh Thông Tin
Chng 8 Các tính cht ca NNPNC
̈ H NNPNC chim mt v trí trung tâm trong h thng phân cp
các ngôn ng hình thc.
̈ Mt mt, NNPNC bao gm các h ngôn ng quan trng nhng
b gii hn chng hn nh các NNPNC và PNC.
̈ Mt khác, có các h ngôn ng khác rng ln hn mà NNPNC
ch là mt trng hp đc bit.
̈  nghiên cu mi quan h gia các h ngôn ng và trình bày
nhng cái ging nhau và khác nhau ca chúng, chúng ta nghiên
cu các tính cht đc trng ca các h khác nhau.
̈ Nh trong Chng 4, chúng ta xem xét tính đóng di nhiu
phép toán khác nhau, các gii thut đ xác đnh tính thành viên,
và cui cùng là b đ bm.
Trang 269
Lý thuyt Ôtômát & NNHT - Khoa Công Ngh Thông Tin
Chng 8 Các tính cht ca NNPNC
8.1 Hai b đ bm
8.2 Tính đóng và các gii thut quyt đnh cho NNPNC
Trang 270
Lý thuyt Ôtômát & NNHT - Khoa Công Ngh Thông Tin
B đ bm cho NNPNC
̈ nh lý 8.1
̈ Cho L là mt NNPNC vô hn, tn ti mt s nguyên dng m
sao cho bt k chui w nào ∈ L vi |w| ≥ m, w có th đc phân
hoch thành
w = uvxyz (8.1) vi
|vxy| ≤ m (8.2) và
|vy| ≥ 1 (8.3) sao cho
uv

i
xy
i
z ∈ L (8.4) ∀ i = 0, 1, 2,
̈ nh lý này đc gi là b đ bm cho NNPNC.
̈ Chng minh
̈ Xét ngôn ng L –{λ}. ây là NNPNC ⇒∃vn phm có dng
chun Chomsky G chp nhn nó.
Trang 271
Lý thuyt Ôtômát & NNHT - Khoa Công Ngh Thông Tin
Chng minh
̈ B đ
̈ Nu cây dn xut ca mt chui w đc sinh ra bi mt vn
phm Chomsky mà có chiu dài mi con đng đi t gc ti lá
nh hn hay bng
h thì |w| ≤ 2
h-1
.
̈ B đ này có th chng minh bng qui np da trên h.
̈ Tr li chng minh ca đnh lý. Gi s G có k bin (|V| = k).
Chn
m = 2
k
. Ly w bt k ∈ L sao cho |w| ≥ m. Xét cây dn
xut
T ca w.
̈ Theo b đ trên suy ra T phi có ít nht mt con đng đi t
gc ti lá có chiu dài ≥
k+1.
S

a
B
S
A
T
1
T
2
Trang 272
Lý thuyt Ôtômát & NNHT - Khoa Công Ngh Thông Tin
Chng minh (tt)
̈ Xét mt đng nh vy. Trên đng này có ≥ k+2 phn t. Nu
không tính nt lá là kí hiu kt thúc thì có ≥
k+1 nt là bin.
̈ Vì tp bin ch có k bin ⇒∃hai nt trùng vào mt bin. Gi
s đólàbin A (hai ln xut hin kí hiu là A
1
và A
2
)
u
v
x
y
z
A
2
S
A
1

Cây dn xut T ca w
Trang 273
Lý thuyt Ôtômát & NNHT - Khoa Công Ngh Thông Tin
Chng minh (tt)
̈ Trong cây trên, gi u, v, x, y, z là các chui có tính cht sau:
SuA
1
z (1)
A
1
vA
2
y (2)
A
2
x (3)
Và w = uvxyz.
̈ vxy là kt qu ca cây có gc là A
1
mà mi con đng ca cây
này có chiu dài ≤
(k +1) ⇒ theo b đ trên |vxy|≤ 2
k
= m.
Mt khác vì vn phm có dng chun Chomsky tc là không có
lut sinh-đn v và lut sinh-λ nên t (2) suy ra
|vy|≥ 1.
̈ T (1), (2), (3) chúng ta có:
S uAz uvAyz uv
i

Ay
i
zuv
i
xy
i
z
hay uv
i
xy
i
z ∈ L ∀ i = 0, 1, 2, . . .
̈ iu này kt thúc chng minh.
*
⇒
*
⇒
*
⇒
*
⇒
*
⇒
*
⇒
*
⇒
Trang 274
Lý thuyt Ôtômát & NNHT - Khoa Công Ngh Thông Tin
Ví d

̈ B đ bm này đc dùng đ chng minh mt ngôn ng là
không PNC tng t nh  Chng 4.
̈ Ví d
̈ Chng minh ngôn ng L = {a
n
b
n
c
n
: n ≥ 0} là không PNC.
̈ Chng minh
̈ Gi s L là PNC ⇒∃s nguyên dng m.
Chn w = a
m
b
m
c
m
∈ L. ∃ mt phân hoch ca w thành b 5
w = uvxyz
Vì |vxy| ≤ m nên vxy không cha đng thi c 3 kí hiu a, b, c.
Chn i = 2 ⇒ w
2
= uv
2
xy
2
z s cha a, b, c vi s lng không
bng nhau ⇒ w
2

∉ L (><).
Trang 275
Lý thuyt Ôtômát & NNHT - Khoa Công Ngh Thông Tin
Bài tp
̈ Ngôn ng nào sau đây PNC? Chng minh.
̈ L
1
= {a
n
b
j
c
k
: k = jn}
̈ L
2
= {a
n
b
j
c
k
: k > n, k > j}
̈ L
3
= {a
n
b
j
c

k
: n < j, n ≤ k ≤ j}
̈ L
5
= { a
n
b
j
a
n
b
j
: n ≥ 0, j ≥ 0}
̈ L
4
= {w: n
a
(w) < n
b
(w) < n
c
(w)}
̈ L
6
= { a
n
b
j
a
k

b
l
: n + j ≤ k + l}
̈ L
7
= { a
n
b
j
a
k
b
l
: n ≤ k, j ≤ l}
̈ L
8
= {a
n
b
n
c
j
: n ≤ j}
Trang 276
Lý thuyt Ôtômát & NNHT - Khoa Công Ngh Thông Tin
B đ bm cho ngôn ng tuyn tính
̈ nh ngha 8.1
̈ Mt NNPNC L đc gi là tuyn tính nu ∃ mt VPPNC tuyn
tính G sao cho L = L(G).
̈ nh lý 8.2

̈ Cho L là mt NN tuyn tính vô hn, tn ti mt s nguyên
dng m sao cho bt k chui w nào ∈ L vi |w| ≥ m, w có th
đc phân hoch thành
w = uvxyz vi
|uvyz| ≤ m (8.7) và
|vy| ≥ 1 (8.8) sao cho
uv
i
xy
i
z ∈ L (8.9) ∀ i = 0, 1, 2,
Trang 277
Lý thuyt Ôtômát & NNHT - Khoa Công Ngh Thông Tin
Chng minh
̈ Gi G là vn phm tuyn tính mà không cha lut sinh-đn v
và lut sinh-λ.
̈ Gi k = max {các chiu dài v phi} ⇒ mi bc dn xut
chiu dài dng câu tng ti đa
(k-1) kí hiu ⇒ mt chui w dn
xut dài
p bc thì |w| ≤ 1 + p(k-1) (1).
̈ t |V|= n. Chn m = 2 + n(k-1). Xét w bt k ∈ L, |w|≥ m. (1)
⇒ dn xut ca w có ≥ (n+1) bc ⇒ dn xut có ≥ (n+1) dng
câu mà không phi là câu. Chú ý mi dng câu có đúng mt
bin.
̈ Xét (n+1) dng câu đu tiên ca dn xut trên ⇒∃hai bin ca
hai dng câu nào đó trùng nhau, gi s là bin A. Nh vy dn
xut ca w phi có dng:
SuAzuvAyzuvxyz, (2)
vi u, v, x, y, z ∈ T*.

*
⇒
*
⇒
*
⇒
Trang 278
Lý thuyt Ôtômát & NNHT - Khoa Công Ngh Thông Tin
Chng minh (tt)
̈ Xét dn xut riêng phn
S uAz uvAyz
vì A đc lp li trong (n + 1) dng câu đu tiên nên dãy này có
≤ n bc dn xut ⇒ |uvAyz|≤ 1 + n(k-1), ⇒ |uvyz|≤ n(k-1) < m.
Mt khác vì
G không có lut sinh-đn v và lut sinh-λ nên ta
có
|vy|≥1.
̈ T (2) cng suy ra:
S uAz uvAyz uv
i
Ay
i
zuv
i
xy
i
z
⇒ uv
i
xy

i
z ∈ L ∀ i = 0, 1, 2,
̈ Chng minh hoàn tt.
*
⇒
*
⇒
*
⇒
*
⇒
*
⇒
*
⇒
Trang 279
Lý thuyt Ôtômát & NNHT - Khoa Công Ngh Thông Tin
Ví d
̈ Chng minh ngôn ng L = {w: n
a
(w) = n
b
(w)} là không tuyn
tính.
̈ Chng minh
̈ Gi s L là tuyn tính. Chn w = a
m
b
2m
a

m
.
T (8.7) ⇒ u, v, y, z phi cha toàn a. Nu bm chui này lên,
chúng ta nhn đc chui
a
m+k
b
2m
a
m+l
, vi k ≥ 1 hoc l ≥ 1, mà
chui này
∉ L (><) ⇒ L không phi là ngôn ng tuyn tính.
Trang 280
Lý thuyt Ôtômát & NNHT - Khoa Công Ngh Thông Tin
Bài tp
̈ Ngôn ng nào sau đây PNC tuyn tính? Chng minh.
̈ L
1
= {a
n
b
n
a
m
b
m
: n, m ≥ 0}
̈ L
2

= { w: n
a
(w) ≥ n
b
(w)}
̈ L
3
= {a
n
b
j
: j ≤ n ≤ 2j -1}
̈ L
4
= L(G) vi G đc cho nh sau:
E
→ T | E + T
T → F | T * F
F → I | (E)
I → a | b | c
Trang 281
Lý thuyt Ôtômát & NNHT - Khoa Công Ngh Thông Tin
Tính đóng ca NNPNC
̈ nh lý 8.3
̈ H NNPNC là đóng di phép hi, kt ni, và bao đóng sao.
̈ Chng minh
̈ Gi s G
1
= (V
1

, T
1
, S
1
, P
1
), G
2
= (V
2
, T
2
, S
2
, P
2
) là hai VPPNC.
Vn phm
G
3
= (V
1
∪ V
2
∪ {S
3
}, T
1
∪ T
2

, S
3
, P
1
∪ P
2
∪ {S
3
→
S
1
| S
2
}) s có L(G
3
) = L(G
1
) ∪ L(G
2
).
Vn phm G
4
= (V
1
∪ V
2
∪ {S
4
}, T
1

∪ T
2
, S
4
, P
1
∪ P
2
∪ {S
4
→
S
1
S
2
}) s có L(G
4
) = L(G
1
)L(G
2
).
Vn phm
G
5
= (V
1
∪ {S
5
}, T

1
, S
5
, P
1
∪ {S
5
→ S
1
S
5
| λ}) s có
L(G
5
) = L(G
1
)*.
Trang 282
Lý thuyt Ôtômát & NNHT - Khoa Công Ngh Thông Tin
Tính đóng ca NNPNC (tt)
̈ nh lý 8.4
̈ H NNPNC không đóng di phép giao và bù.
̈ Chng minh
̈ Hai ngôn ng {a
n
b
n
c
m
: n, m ≥ 0} và {a

n
b
m
c
m
: n, m ≥ 0} là phi
ng cnh, tuy nhiên giao ca chúng là ngôn ng {a
n
b
n
c
n
: n ≥ 0}
li không phi ng cnh, nên h NNPNC không đóng di phép
giao.
̈ Da vào lut Morgan suy ra h NNPNC cng không đóng di
phép bù. Vì nu đóng đi vi phép bù thì da vào tính đóng đi
vi phép hi suy ra tính đóng di phép giao theo lut Morgan.
Trang 283
Lý thuyt Ôtômát & NNHT - Khoa Công Ngh Thông Tin
Tính đóng ca NNPNC (tt)
̈ nh lý 8.5
̈ Cho L
1
là mt NNPNC và L
2
là mt NNCQ, thì L
1
∩ L
2

là phi
ng cnh. Chúng ta nói rng h NNPNC là đóng di phép
giao chính qui.
̈ Chng minh
̈ Cho M
1
= (Q, Σ, Γ, δ
1
, q
0
, z, F
1
) là npda chp nhn L
1
và M
2
=
(P, Σ, δ
2
, p
0
, F
2
) là dfa chp nhn L
2
.
̈ Xây dng mt npda M’= (Q’, Σ, Γ, δ’, q’
0
, z, F’) mô phng
hot đng song song ca M

1
và M
2
Q’= Q × P, q’
0
= (q
0
, p
0
), F’= F
1
× F
2
,
δ’((q
k
, p
l
), x) ∈ ((q
i
, p
j
), a, b), ⇔ (qk, x) ∈δ
1
(qi, a, b),
và δ
2
(p
j
,

a) = p
l
,
Trang 284
Lý thuyt Ôtômát & NNHT - Khoa Công Ngh Thông Tin
Tính đóng ca NNPNC (tt)
̈ Nu a = λ, thì p
j
= p
l
.
̈ Bng qui np chng minh rng
δ’*((q
0
, p
0
), w, z) |-*
M’
((q
r
, p
s
), x), vi q
r
∈ F
1
và p
s
∈ F
2

⇔
δ
1
*(q
0
, w, z) |-*
M1
(q
r
, x), còn δ
2
*(p
0
, w) = p
s
.
̈ Vì vy L(M’) = L(M
1
) ∩ L(M2) (điu phi chng minh)
Trang 285
Lý thuyt Ôtômát & NNHT - Khoa Công Ngh Thông Tin
Mt vài tính cht kh quyt đnh ca
NNPNC
̈ nh lý 8.6
̈ Cho mt VPPNC G = (V, T, S, P), thì tn ti mt gii thut đ
quyt đnh L(G) có trng hay không.
̈ nh lý 8.7
̈ Cho mt VPPNC G = (V, T, S, P), thì tn ti mt gii thut đ
quyt đnh L(G) có vô hn hay không.