Các tính chất của biến đổi Z hai phía

2.2 các tính ch t c a bi n i zấ ủ ế đổ
Khi phân tích h x lý s qua bi n i ệ ử ố ế đổ Z, v n d ng các tính ch t c a bi n i ậ ụ ấ ủ ế đổ Z s giúp cho vi c gi i quy tẽ ệ ả ế
b i toán c d d ng h n.à àđượ ễ ơ
2.2.1 Các tính chất của biến đổi Z hai phía
2.2.1a Tính chất tuyến tính : H m nhà ả Z c a t h p tuy n tính các dãy b ng t h p tuy n tính các h m nhàủ ổ ợ ế ằ ổ ợ ế ả
Z th nh ph n.à ầ
N u : ế
 znxZT
ii
X=
v i ớ
+−
<<
iii
RRXRC zz 
Thì :
 zAnxAnyZTz
i
i
i
i
ii
XY
∑∑
=







==
[2.2-1]
V i ớ
+−
<<
yy
RRYRC zz 
, trong ó đ

−−
=
iy
RR
và

++
=
iy
RR
Mi n h i t c a h m àề ộ ụ ủ Y(z) l giao mi n h i t c a các h m à àề ộ ụ ủ X
i
(z).
Ch ng minh :ứ Theo bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Z thu n ậ [2.1-1] có :
 zAznxAznxAnxAZTz
i
i
i
n
n
i

i
i
n i
n
ii
i
ii
XY
∑∑∑∑ ∑∑
===






=
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−
Tính ch t tuy n tính c sấ ế đượ ử
d ng tìm bi n i ụ để ế đổ Z thu n ho c ng c c a h m l t ng các h m ã bi t c p bi n i à à àậ ặ ượ ủ ổ đ ế ặ ế đổ Z c a chúng.ủ
Ví dụ 2.4 : Hãy tìm bi n i ế đổ Z c a các dãy sau :ủ
a.


nnunx

ω
=
b.


nnunx
ω
=
Gi i :ả a. Theo công th c ứ Euler có :









nuenuenu
ee
nnunx
njnj
njnj
ωω
ωω
ω
−
−
+=
+

==
Theo tính ch t tuy n tính c a ấ ế ủ bi n i ế đổ Z nh n c :ậ đượ
[ ] [ ]







nueZTnueZTnxZTz
njnj
X
ωω
−
+==
S d ng bi u th cử ụ ể ứ [2.1-18] v i ớ

ω
j
ea =
và

ω
j
ea
−
=
thì :
[ ]





ω
ω
j
nj
ez
z
nueZT
−
=
và
[ ]




ω
ω
j
nj
ez
z
nueZT
−
−
−
=

v i ớ
 >zRC
Do ó :đ








ωω
jj
ez
z
ez
z
z
X
−
−
+
−
=
v i ớ
 >zRC















++−
+−
=
−−
−+−
=
−
−
−
−
ωω
ωω
ωω
ωω
jj
jj
jj
jj
eezz
eezz

ezez
ezezz
zX
V y :ậ








+−
−
=
ω
ω
ω
zz
zz
nnuZT
v i ớ
 >zRC
[2.2-2]
b. Theo công th c ứ Euler có :










nuenuenu
ee
nnunx
njnj
njnj
jjj
ωω
ωω
ω
−
−
−=
−
==
Do ó :đ








ωω
jj
ez

z
j
ez
z
j
zX
−
−
−
−
=
v i ớ
 >zRC












++−
−
=
−−
+−−

=
−
−
−
−
ωω
ωω
ωω
ωω
jj
jj
jj
jj
eezzj
eez
ezezj
ezezz
zX
V y :ậ








+−
=
ω

ω
ω
zz
z
nnuZT
v i ớ
 >zRC
[2.2-3]
Trong m t s tr ng h p, t h p tuy n tính c a các ộ ố ườ ợ ổ ợ ế ủ X
i
(z) t o cho ạ Y(z) các không i m trùng v i c c i m c ađ ể ớ ự đ ể ủ
X
i
(z), l m cho các c c i m ó b lo i tr , khi ó mi n h i t c a à ự đ ể đ ị ạ ừ đ ề ộ ụ ủ Y(z) s c m r ng.ẽ đượ ở ộ
Ví dụ 2.5 : Có :
az
z
nuaZTz
n
X
−
== 

v i ớ


 azzXRC >
v : à






azz
a
nuaZTz
n
X
−
=−=
v i ớ


 azzXRC >
Hãy tính  −−== nuanuanyZTz
nn
Y
75
Gi i :ả Theo tính ch t tuy n tính có :ấ ế




azz
a
az
z
zzz XXY
−
−

−
=−=






−
+=
+
=
−
−
= za
z
az
azz
az
zY
v i ớ
  >zzYRC
T h p tuy n tính c a ổ ợ ế ủ X
1
(z) v à X
2
(z) ã t o cho đ ạ Y(z) không i m đ ể z
0
= a lo i tr c c i m để ạ ừ ự đ ể z
p

= a c a củ ả
X
1
(z) v à X
2
(z), do ó mi n h i t c a đ ề ộ ụ ủ Y(z) c m r ng. đượ ở ộ
2.2.1b Tính chất trễ : Khi d ch tr dãy ị ễ x(n) i đ k m u thì ẫ h m nhà ả Z c a nó c nhân thêm th a s ủ đượ ừ ố
k
z
−
.
N u : ế
 znxZT X=
v i ớ
+−
<<
xx
RRXRC zz 
Thì :
[ ]
 zzknxnyZTz
XY
k−
=−==
[2.2-4]
v i ớ
  zz XRCYRC =
, tr i m ừ đ ể z = 0 n u ế k > 0 v i m à đ ể z = ∞ n u ế k < 0
Ch ng minh :ứ Theo bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Z thu n ậ [2.1-1] có :



zzzknxzzknxz XY
k
n
knk
n
n −
∞
−∞=
−−−
∞
−∞=
−
=−=−=
∑∑
Tính ch t tr th ng c s d ng tìm bi n i ấ ễ ườ đượ ử ụ để ế đổ Z c a các dãy tr .ủ ễ
Ví dụ 2.6 : Tìm :
 nrectZTz
N
X =

Gi i :ả
 Nnununrect
N
−−=
Theo [2.1-7] có :


−
=

z
z
nuZT
v i ớ
 >zRC
S d ng tính ch t tuy n tính và tính ch t tr nh n c :ử ụ ấ ế ấ ễ ậ đượ


 −
−
−
=−−=
−
z
z
z
z
z
nuZTnuZTnrectZT
N
N
N
V y :ậ






−

−
=
−
zz
z
nrectZT
N
N
N
v i ớ
 >zRC
[2.2-5]
2.2.1c Tính chất tỷ lệ : Khi nhân dãy x(n) v i th a s ớ ừ ố a
n
thì h m nh à ả Z c a nó b thay i t l (b nén n uủ ị đổ ỷ ệ ị ế a
> 0, dãn n uế a < 0).
N u :ế
 znxZT X=
v i ớ
+−
<<
xx
RRXRC zz 
Thì :


 zanxanyZTz
XY
n
−

===
[2.2-6]
v i ớ
+−
<<
xx
RRYRC azaz 
Ch ng minh :ứ Theo bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Z thu n ậ [2.1-1] có :
[ ]


 zazanxznxanxaZTz XY
n
n
n
nnn
−
∞
−∞=
−−
∞
−∞=
−
====
∑∑
v i ớ
⇒<<
+
−
− xx

RRYRC zaz 


+−
<<
xx
RRYRC azaz 
T ng quát ổ a l s ph c : à ố ứ


ω
j
eaa =
, khi ó véc t đ ơ X(z) trên m t ph ng ph c b thay i t l v b quay m tàặ ẳ ứ ị đổ ỷ ệ ị ộ
góc
ω
0
. N u ế a n m trên vòng tròn n v thì |ằ đơ ị a| = 1 , nên h m à X(z) không b thay i t l nh ng véc t ị đổ ỷ ệ ư ơ X(z) trên m tặ
ph ng ph c b quay m t góc ẳ ứ ị ộ
ω
0
.
Ví dụ 2.7 : Hãy tìm bi n i ế đổ Z c a các dãy sau :ủ
a.


nnuanx
n
ω
=

b.


nnuanx
n
ω
=
Gi i :ả a. S d ng tính ch t t l i v i bi u th c ử ụ ấ ỷ ệ đố ớ ể ứ [2.2-2] nh n c :ậ đượ









+−
−
=
−−
−−
ω
ω
ω
zaza
zaza
nnuaZT
n
v i ớ

 azRC >
Hay :








 azaz
azz
nnuaZT
n
+−
−
=
ω
ω
ω
[2.2-7]
v i ớ
 azRC >
b. S d ng tính ch t t l i v i bi u th c ử ụ ấ ỷ ệ đố ớ ể ứ [2.2-3] nh n c :ậ đượ










+−
=
−−
−
ω
ω
ω
zaza
za
nnuaZT
n
v i ớ
 azRC >
Hay :








 azaz
za
nnuaZT
n
+−

=
ω
ω
ω
[2.2-8]
76
v i ớ
 azRC >
2.2.1d Tính chất biến đảo : H m nh à ả Z c a dãy bi n o ủ ế đả x(-n) có bi n làế z
-1

N u : ế
 znxZT
X
=
v i ớ
+−
<<
xx
RRXRC zz 
Thì :
[ ]


−
=−==
znxnyZTz
XY
[2.2-9]
v i ớ

−+
<<
xx
RR
YRC zz

 
Ch ng minh :ứ Theo bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Z thu n ậ [2.1-1] có :
[ ]
∑
∞
−∞=
−
−=−=
n
n
znxnxZTz
Y

i bi n, t Đổ ế đặ
⇒=− mn
khi
∞= ±n
thì
∞= m
, nh n c :ậ đượ
[ ]




−
∞
−∞=
−−
−∞
∞=
====
∑∑
zzmxzmxmxZTz
XY
m
m
m
m
v i ớ
⇒<<
+− xx
RRYRC
z
z





−+
<<
xx
RR
YRC zz


 
Tính ch t bi n o cho phép tìm bi n i ấ ế đả ế đổ Z c a dãy ph n nhân qu theo bi n i ủ ả ả ế đổ Z c a dãy nhân qu t ngủ ả ươ
ng.ứ
Ví dụ 2.8 : Hãy tìm bi n i ế đổ Z c a dãy ph n nhân qu ủ ả ả  nuanx
n
−=
−
Gi i :ả Theo [2.1-18] có


az
z
nuaZT
n
−
=
v i ớ
 aRC z >
S d ng tính ch t bi n o nh n c :ử ụ ấ ế đả ậ đượ








za
az

z
nuaZT
n
−
=
−
=−
−
−
−
v i ớ



a
z
RC
<
[2.2-10]
2.2.1e Tính chất đạo hàm
N u : ế
 znxZT
X
=
v i ớ
+−
<<
xx
RRXRC zz 
Thì :

[ ]
dz
zd
znxnnyZTz
X
Y


−===
[2.2-11]
v i ớ
+−
<<
xx
RRYRC zz 
Ch ng minh :ứ T bi u th c bi n i ừ ể ứ ế đổ Z thu n ậ [2.1-1]:
[ ]
∑
∞
−∞=
−
==
n
n
znxnxZTz
X

L y o h m c hai v theo àấ đạ ả ế z nh n c :ậ đượ




 zzznyzznxnzznnx
dz
zd
Y
X
n
n
n
n
n
n
−
∞
−∞=
−−
∞
−∞=
−−
∞
−∞=
−−
−=−=−=−=
∑∑∑
Nhân c hai v v i ả ế ớ -z :
[ ]
dz
zd
znxnnyZTz
X

Y


−===
Tính ch t o h m c a h m nh c s d ng tìm bi n i à àấ đạ ủ ả đượ ử ụ để ế đổ Z c a các dãy d ng ủ ạ
nxn
k
theo bi n i ế đổ Z
c a dãy ủ x(n).
Ví d 2.9ụ : Hãy tìm bi n i ế đổ Z c a các dãy sau :ủ
a.


nunnx =
b.


nuannx
n
=
Gi iả : a. S d ng tính ch t o hàm i v i bi u th c ử ụ ấ đạ đố ớ ể ứ [2.1-7] , nh n c ậ đượ :





−
=







−
−=
z
z
z
z
dz
d
znunZT
v i ớ
 >zRC
[2.2-12]
b. S d ng tính ch t o h m i v i bi u th càử ụ ấ đạ đố ớ ể ứ [2.1-18] , nh n c :ậ đượ





az
za
az
z
dz
d
znuanZT
n

−
=






−
−=
v i ớ
 azRC >
[2.2-13]
2.2.1f Tính chất tích chập : H m nh à ả Z c a tích ch p hai dãy b ng tích hai h m nh th nh ph n.à àủ ậ ằ ả ầ
N u : ế


znxZT X=
v i ớ
+−
<<

 RRXRC zz
v : à


znxZT X=
v i ớ
+−
<<


 RRXRC zz
Thì :
[ ]


zznxnxnyZTz
XXY
===
[2.2-14]
v i ớ

+−
<<
ii
RRYRC zz
77
Mi n h i t c a h m àề ộ ụ ủ Y(z) l giao các mi n h i t c a các h m à àề ộ ụ ủ X
i
(z).
Ch ng minh :ứ Theo bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Z thu n ậ [2.1-1] có :
[ ] [ ]
∑
∞
−∞=
−
===
n
n
znxnxnxnxnyZTzY 


∑ ∑∑ ∑
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−−
∞
−∞=
∞
−∞=
−=






−=
n
kk
k
nn
n k
zzzknxkxzknxkxz
Y


Hay :





zzzknxzkxz XXY
k n
knk
=−=
∑ ∑
∞
−∞=
∞
−∞=
−−−
Tính ch tấ tích ch p c s d ng tìm ph n ng ậ đượ ử ụ để ả ứ y(n) c a h x lý s b ng cách tính tích ch p qua bi nủ ệ ử ố ằ ậ ế
i đổ Z .
Ví dụ 2.10 : Tìm ph n ng ả ứ y(n) c a h x lý s ủ ệ ử ố TTBBNQ có c tính xung đặ



−=
nrectnh
n
v i tác ng làớ độ
 nunx
=
.
Gi i :ả Theo bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Z thu n ậ [2.1-1] có :
[ ]
∑∑

=
−
∞
−∞=
−
=−==





n
nn
n
nn
zznrectnhZTz
H
Hay :
[ ]


−−
+== zznhZTzH
Theo [2.1-7] có :


−
==
z
z

nuZTzX
Do ó : đ







−−
+
−
== zz
z
z
zzz XXY







−
+
−
=
−−
z
z

z
z
z
zzY
Theo [2.1-7] v các tính ch t tr , tuy n tính nh n cà ấ ễ ế ậ đượ :
  −+−= nuZTnuZTzY
L y bi n i ấ ế đổ Z ng c ượ tìm c ph n ng đượ ả ứ y(n) :
  −+−== nunuzIZTny Y
Hay :





≥
=
≤
=




nKhi
nKhi
nKhi
ny
K t qu úng nh tính tr c ti p tích ch p ví d ế ả đ ư ự ế ậ ở ụ 1-19 ch ng m t. So v i tính tr c ti p, tính tích ch p quaươ ộ ớ ự ế ậ
bi n i ế đổ Z không nh ng d th c hi n h n, m còn luôn luôn nh n c bi u th c toán h c c a àữ ễ ự ệ ơ ậ đượ ể ứ ọ ủ y(n).
2.2.1g Hàm ảnh Z của tích hai dãy
N u : ế



znxZT X=
v i ớ
+−
<<

 RRXRC zz
v : à


znxZT X=
v i ớ
+−
<<

 RRXRC zz
Thì :
[ ]
∫
−






===
C
d

z
j
nxnxnyZTz
XXY
υυυ
υπ





[2.2-15]
v i ớ

+−
<<
ii
RRYRC zz
Mi n h i t c a hàm ề ộ ụ ủ Y(z) là giao các mi n h i t c a ề ộ ụ ủ X
1
(z) và X
2
(z). ng cong kín Đườ C c a tíchủ
phân [2.2-15] ph iả bao quanh g c t a và thu c mi n h i t c a c ố ọ độ ộ ề ộ ụ ủ ả X
1
(z) và X
2
(z) trong m t ph ngặ ẳ
ph c.ứ
Ch ng minh :ứ Theo bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Z thu n ậ [2.1-1] có :

[ ] [ ]
∑∑
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−
===
n
n
n
n
znxnxznyznyZT
Y


Thay x
2
(n) b ng bi u th c bi n i ằ ể ứ ế đổ Z ng c c a nó : ượ ủ

∫
−
=
C
n
d
j
nx
X

υυυ
π





Nh n c : ậ đượ
n
n
n
C
zd
j
nxz
XY
−
∞
−∞=
−
∑
∫









=





υυυυ
π
78
Hay :
∫
∑
−
∞
−∞=
−















=
C
n
n
d
z
nx
j
z
XY
υυυ
υπ





T ó có :ừ đ
∫
−






=
C
d
z

j
z
XXY
υυυ
υπ





2.2.1h Định lý giá trị đầu của dãy nhân quả : N u ế x(n) l dãy nhân qu v à àả
 nxZTz
X
=
thì :


xz
X
Z
=
∞→
.
Ch ng minh :ứ Vì x(n) là dãy nhân qu nên ả x(n) = 0 v i m i ớ ọ n < 0 , do óđ :







 +++===
∑∑
∞
=
−
∞
−∞=
−
z
x
z
x
xznxznxz
n
n
n
n
X
V y : ậ


xz
X
z
=
∞→
2.2.1i Hàm ảnh Z của dãy liên hợp phức
N u : ế
 znxZT
X

=
v i ớ
+−
<<
xx
RRXRC zz 
Thì :


 znxZT
X
=
v i ớ
+−
<<
xx
RRYRC zz 
[2.2-16]
Ch ng minh :ứ Theo bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Z thu n ậ [2.1-1] có :
∑
∞
−∞=
−
=
n
n
znxnxZT 

v à
∑

∞
−∞=
−
=
n
n
znxz
X


V y :ậ
[ ]


nxZTznxznxz
n
n
n
n
X
===
∑∑
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−
2.2.1k Biến đổi Z của hàm tương quan r
xy

(m)
N u : ế
 znxZT
X
=
v à
 znyZT Y=
Thì :


−
==
zzmrZTz
YXR
xyxy
[2.2-17]
Ch ng minh :ứ Hàm t ng quan ươ
mr
xy
c xác nh theo đượ đị [1.8-1] ch ng m t :ở ươ ộ
∑
∞
−∞=
−=
n
xy
mnynxmr 

Theo bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Z thu n ậ [2.1-1] có :
∑ ∑

∞
−∞=
−
∞
−∞=






−==
m
m
n
xyxy
zmnynxmrZTz
R

i bi n, t Đổ ế đặ l = (n - m) => m = (n - l) :
∑ ∑
∞
−∞=
−−
∞
−∞=
==
l
ln
n

xyxy
zlynxmrZTzR


Hay :


−
∞
−∞=
∞
−∞=
−−−
===
∑ ∑
zzzlyznxmrZTz
YXR
n l
ln
xyxy
S d ng tính ch t trên tìm h m t ng quan àử ụ ấ để ươ
mr
xy
qua bi n i ế đổ Z s n gi n v d d ng h n tính tr cà àẽ đơ ả ễ ơ ự
ti p.ế
Ví dụ 2.11 : Cho các tín hi u s ệ ố


nunx
n

=
và


−
=
nny
δ
, hãy tìm hàm t ng quanươ
mr
xy
.
Gi i :ả S d ng bi u th c ử ụ ể ứ [2.1-5] v i ớ k = 2 v bi u th c à ể ứ [2.1-18] nh n c : ậ đượ


−
=
zz
Y
và


−
=
z
z
z
X
Theo [2.2-17] :





+=
−
=
+−
=
muIZTz
z
z
zzz
m
xy
YXR
L y bi n i ấ ế đổ Z ng c , tìm c : ượ đượ



+=
+
mumr
m
xy
2.2.1m Biến đổi Z của hàm tự tương quan r
x
(m)
N u : ế
 znxZT
X

=
Thì :


−
==
zzmrZTz
XXR
xx
[2.2-18]
Ch ng minh :ứ Theo bi u th c ể ứ [2.2-17], thay y(n) = x(n) v à


−−
=
zz
XY
79