Bài giảng Đại số lớp 11: Phương trình lượng giác cơ bản - Trường THPT Bình Chánh

TRƯỜNG THPT BÌNH
CHÁNH

TỔ


CHỦ ĐỀ :
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN


Ôn tập:
Bảng giá trị sin và cos của một số góc đặc biệt trong

x

sin x

cos x







6

4

3

2

0

1
2

2
2

3
2

1

3
2

2
2

1
2

0



1

0

 0;  

2
3

3
4

5
6



3
2

2
2

1
2

0

1

2

3
2


1
2
2


1. Phương trình sin x = a
* Xét phương trình sin x = a (1)
 Trường hợp |a| > 1 (*)
 Trường hợp |a| ≤ 1 (**)
→ Nhận xét:
- Với trường hợp (*) ta thấy phương trình (1) vơ nghiệm
do |sin x| ≤ 1 với mọi x.
- Với trường hợp (**), vẽ đường trịn như hình sau:
+ Trên trục sin lấy điểm K sao cho OK = a .
+ Từ K kẻ đường vng góc với trục sin cắt đường
trịn lượng giác tại M và M’.
→ Từ đó ta thấy số đo của các cung lượng giác AM và
AM’ là tất cả các nghiệm của phương trình (1)
Gọi α là số đo bằng radian của một cung lượng giác AM. Vậy phương trình sin x = a có các
nghiệm là:
x = α + k2л,
kϵℤ
x = л -α+ k2л,
kϵℤ
𝜋

• Nếu số thực α không phải số đẹp , thỏa mãn điều kiện − 2 < α <
α = arcsin a. Khi đó nghiệm của phương trình (1) là:
x = arcsin a + k2л,
x = л - arcsin a + k2л,

kϵℤ
kϵℤ

𝜋
2

và sin α = a thì ta viết


 f ( x)  g ( x)  k 2
sinf(x)  sin g ( x)  
(k  )
 f ( x)    g ( x)  k 2
Tổng quát:

Ví du : sin(2 x 






6

)  sin( x 



3

)



2
x


x


k
2

x   k 2


6
3
6


(k  Z )
 2 x      ( x   )  k 2
 x     k 2



6
3
6

CHÚ Ý:

sin x  sin  0

0
0

x    k 360
0
sinx  sin   
(k  )
0
0
0
 x  180    k 360



Ghi nhớ
sinx = sin
sin f(x) = sin g(x)
sinx = sinO

sinx = 1

sinx = -1
sinx = 0

x =  + k2, k  Z
x =  -  + k2 , k  Z
f(x) = g(x) + k2, k  Z
f(x) =  - g(x) + k2 , k  Z
x = O + k 360O, k  Z
x = 180O - O + k360 O , k  Z
x = /2 + k2, k  Z
x = - /2 + k2, k  Z
x = k, k  Z


VÍ DỤ : Giải phương trình:
sinx = -1/2  sinx = sin(- /6 ) Vậy
x = -/6 + k2 , k  Z
x = 7/6 + k2, k  Z

sinx = 5/6

sin(x +

30o)

Vậy x = arcsin 5/6 + k2 , k  Z
x =  – arcsin5/6 + k2, k  Z
o) = sin30o

sin(x

+
30
= 1/2

Vậy x = k360o , k  Z
x = 120o+ k360o, k  Z


2. Phương trình cos x = a
* Xét phương trình cos x = a (1)
 Trường hợp |a| > 1 (*)
 Trường hợp |a| ≤ 1 (**)
→ Nhận xét:
- Với trường hợp (*) ta thấy phương trình (1) vơ nghiệm
do |cos x| ≤ 1 với mọi x.
- Với trường hợp (**), vẽ đường trịn như hình sau:
+ Trên trục cơsin lấy điểm H sao cho OH = a.
+ Từ H kẻ đường vng góc với trục sin cắt đường
trịn lượng giác tại M và M’.
→ Từ đó ta thấy số đo của các cung lượng giác AM và
AM’ là tất cả các nghiệm của phương trình (1)
Gọi a là số đo bằng radian của một cung lượng giác AM. Vậy phương trình cos x = a có các
nghiệm là:
x = α + k2л,
kϵℤ
x = α + k2л,
kϵℤ
hoặc
x = - α+ k2л,
kϵℤ

*Nếu số thực α không đẹp, thỏa mãn điều kiện 0 ≤ α ≤ л và cos α = a thì ta viết α = arccos a.
Khi đó nghiệm của phương trình (1) là:
x=

arccos a + k2л,

kϵℤ



VÍ DỤ

a. Giải phương trình: cos3x = cos120
Ta có cos3x = cos120 3x = 120 + k3600

x =  40 + k1200 , ( k Z )
b. Giải phương trình

1
 3x  
cos 
 
4
2
 2

Phương trình viết lại:

11
4


x


k


18
3
 
,k 
 x   5  k 4 

18
3



11


3. Phương trình tan x = a
𝜋

* Điều kiện của phương trình là x ≠ 2 + k𝜋
( k ∈ ℤ)
- Căn cứ vào đồ thị hàm số như hình vẽ ta thấy với
mỗi số a, đồ thị lại cắt đường thẳng y=a tại các
điểm có hồnh độ sai khác nhau 1 bội của 𝜋
- Hoành độ của mỗi giao điểm là 1 nghiệm của

phương trình tan x = a.
-Gọi x1 là hoành độ giao điểm thỏa mãn điều kiện
𝜋
𝜋
- 2 < x1 < 2

→ Kí hiệu x1 = arctan a. Khi đó, nghiệm của phương trình tan x = a là:
x = arctan a + k𝜋,

Nếu số a đặc biệt (0,± 1, ± 3, ±
khi đó cơng thức nghiệm là:

1
)
3

k ∈ ℤ

thay a = tan 𝛼 , pt tan x = a trở thành tan x= tan 𝛼

x = 𝛼 + k𝜋 ,

k ∈ ℤ


Ví dụ: Giải pt
a) tan 2x =tan x

b) tan x=1

a) Ta có : tan 2x = tan x

 2 x  x  k
 x  k , k 
b) Ta có: 1= tan

𝜋
4

Nên tan x = tan

𝜋

 x   k , k 
4
4


4. Phương trình cot x = a
* Điều kiện của phương trình là x ≠ k𝜋 ( k ∈ ℤ)
- Căn cứ vào đồ thị hàm số như hình vẽ ta thấy với
mỗi số a, đồ thị lại cắt đường thẳng y=a tại các
điểm có hồnh độ sai khác nhau 1 bội của 𝜋.
- Hoành độ của mỗi giao điểm là 1 nghiệm của
phương trình cot x = a.
-Gọi x1 là hoành độ giao điểm thỏa mãn điều kiện
0< x1 < 𝝅.
→ Kí hiệu x1 = arccot a. Khi đó, nghiệm của phương trình cot x = a là:

x = arccot a + k𝜋, k ∈ ℤ

Nếu số a đặc biệt (0,± 1, ± 3, ±
khi đó cơng thức nghiệm là:

1
)
3

thay a = cot 𝛼 , pt cot x = a trở thành cot x= cot 𝛼

x = 𝛼 + k𝜋 ,

k ∈ ℤ


Giải

a) cotx = −1 <=> cotx = cot(− 𝜋) <=> x = − 𝜋 + k𝜋
4
4


HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC TRONG GIẢI
TỐN LƯỢNG GIÁC
-Đơi khi các cung có số đo quá lẻ nên rất khó để đưa về
hàm lượng giác thơng thường, khi đó người ta thường
sử dụng hàm lượng giác ngược mà các em đã thấy ở
trên :
Nếu có số thực 𝛼 thỏa mãn các điều kiện:
𝜋 𝜋
+) hàm sin :

𝛼 ∈ [− ; ] và 𝑠𝑖𝑛𝛼 = a thì 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑎
2 2
+) hàm cos :
𝛼 ∈ [0; 𝜋] và 𝑐𝑜𝑠𝛼 = a thì 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑎
𝜋 𝜋
+) hàm tan :
𝛼 ∈ (− ; ) và 𝑡𝑎𝑛𝛼 = a thì 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑎
2 2
+) hàm cot :
𝛼 ∈ 0; 𝜋 và cotα = a thì 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑎

-Arcsina đọc là ác-sin-a, tương tự với các hàm còn lại


HOẠT ĐỘNG CỦNG CỐ BÀI
- Các em cần ghi nhớ các công thức nghiệm của

PTLG cơ bản: sinx=a, cosx=a, tanx=a, cotx=a
- Các công thức nghiệm trong những TH đặc biệt

Sau đây là BT trắc nghiệm cũng cố


Câu 1. Tập nghiệm của phương trình sin𝑥 = 0 là
A. 𝑆 =

𝜋
2

+ 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ ℤ . B. 𝑆 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ .

C. 𝑆 = 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ ℤ .

D. 𝑆 =

𝜋
−
2

+ 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ ℤ .

. Lời giải
Ta có: sin𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ.
 Chọn B


Câu 2. Nghiệm của phương trình cos𝑥 =
A.
C.

2𝜋
𝑥 = ± + 𝑘2𝜋; 𝑘 ∈
3
𝜋
𝑥 = ± + 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ.
3

ℤ.

B. 𝑥 =

D. 𝑥 =

3
2

là

5𝜋
± + 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ.
6
5𝜋
± + 𝑘2𝜋; 𝑘 ∈ ℤ.
6

 Lời giải
 Ta có:
cos𝑥 = −

3
2

⇔ cos𝑥 =

 Chọn A

2𝜋
cos
3

⇔𝑥=

3𝜋
±
3

+ 𝑘2𝜋; 𝑘 ∈ ℤ.


Câu 3. Nghiệm của phương trình tan2𝑥 − 1 = 0 là:
𝜋
8
𝜋
8

A. 𝑥 = + 𝑘𝜋.

B. 𝑥 =

𝜋
𝑘 .
2

D. 𝑥 =

C. 𝑥 = +

𝜋
+ 𝑘𝜋.
4
𝜋

𝜋
+𝑘 .
4
2

 Lời giải
 Ta có: tan2𝑥 − 1 = 0 ⇔ tan2𝑥 = 1
𝜋
4

𝜋
8

 ⇔ 2𝑥 = + 𝑘𝜋 ⇔ 𝑥 = +
 Chọn C

𝜋
𝑘 .
2