CƠ SỞ ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG Đề + đáp án 2009 2010 ca 1

ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009-2010
Môn học: Đại số tuyến tính.
Thời gian làm bài: 90 phút. Đề thi gồm 7 câu.
Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN
CA 1


7

4

Câu 1 : Cho ma trận A = 
 2
−2
Câu 2 : Tìm chiều

x1 +



 2 x +
1

3
x
1 +



5 x1 +

Câu 3 : Cho á
nh xạ
2

A= 1
−1

và
x2
x2
x2
3 x2

một
−
−
−
−

tuyến
1 −1
3
4
1
0

5
−2

cơ
x3
3 x3
5 x3
7 x3



1 6
8 
. Tính A2010 , biết A có hai trị riêng là 1 và 3 .
−5

sở TRỰC
− 2 x4
− 5 x4
− 8 x4
− 1 2 x4

CHUẨN của không gian nghiệm của hệ phương trình
= 0
= 0
= 0
= 0

3
3
tính
 f : IR −→ IR , biết ma trận của f trong cơ sở chính tắc là


.

Tìm ma trận của f trong cơ sở E = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) }.

Câu 4 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biế
 t
2

E = {( 0 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A =  3
4

ma trận củ
 a f trong cơ sở
1 −1
2
4 
. Tìm cơ sở và số chiều của kerf.
3
9

Câu 5 : ChoA là ma trận vuông tùy ý, thực, cấp n, thoả A10 = 0 . Chứng tỏ rằng A chéo hoá được khi
và chỉ khi A là ma trận không.


1

Câu 6 : Tìm m để ma trận A =  −2
3

−2
5
1

3



1 
 có ba trị riêng dương (có thể trùng nhau).
m

Câu 7 : Trong hệ trục toạ độ Oxy cho đường cong ( C) có phương trình 5 x2 +2 xy+5 y 2 −2
Nhận dạng và vẽ đường cong ( C) .

√
√
2 x+4 2 y = 0 .

Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca 1
Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 điểm; câu 7: 1.0 điể
m.


−2 −1 −4
1



−1

1
0 . D =  0
Câu 1(1.5đ). Chéo hóa ma trận ( 1đ) A = P DP ; P =  −1
1
0
1
0




1
1
4
1
0
0




2010
2010
2010 −1
−1
2010
2
4 ; D
0
A

= P D P , tính ra được P =  1
= 0 3
.
2010
−1 −1 −3
0
0
3
Câu 2 (1.5đ). Tìm một cơ sở tùy ý của không gian nghiệm: E = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 3 , −1 , 0 , 1 )
Dùng quá trình Gram-Schmidt đưa về cơ sở trực giao: E1 = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 4 , 1 , −7 , 6 ) }
Chuẩn hóa, có cơ sở trực chuẩn: E2 = { √ 16 ( 2 , −1 , 1 , 0 ) , √ 167 ( 4 , 1 , −7 , 1 ) }

0

0

0 
.
3
0

}



3





Câu 3 (1.5đ). Có nhiều cách làm. Ma trận chuyển cơ sở từ chính tắc sang E là: P =  2

1





1



1
1

1 


2

1
1

8
1 1
6


Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở E là B = P −1 AP = −2 −1 −2 

−3 −9 −2
T
Câu 4(1.5đ) . Giả
sử x ∈Kerf
; [x]E = ( x1 , x2 , 
x3 ) . Khiđó f ( x) = 0 ⇔ [f( x) ]E = 0 ⇔ A · [x]E = 0
 

2 1 −1
x1
0
6 α

 




4   x2  =  0  ⇔ [x]E =  −1 1 α 
⇔ 3 2
⇔ x = ( −1 0 α, 7 α, −4 α) .
4 3
9
x3
0
α
Dim( Kerf ) = 1 , cơ sở: ( 1 0 , −7 , 4 ) .
Câu 5 (1.5đ). Vì A10 = 0 nên A chỉ có một trị riêng là λ = 0 (theo tính chất, nếu λ0 là TR của A,
10
−1

thì λ10
, D là ma trận 0 nên A = 0 .
0 là TR của A . A chéo hóa được ⇔ A = P · D · P
Câu 6 (1.5đ). Ma trận đối xứng thực có ba trị riêng dương, suy ra dạng toàn phương tương ứng xác
định dương ( hay ma trận đã cho xác định dương). Theo Sylvester, A xác định dương khi và chỉ khi
các định thức con chính dương ⇔ δ1 = 1 > 0 , δ2 = 1 > 0 , δ3 = det( A) = m− 5 8 >
0 ⇔ m > 5 8 .
5 1
Câu 7(1.0đ). Xét dạng toàn phương 5 x21 + 2 x1 x2 + 5 x22 có ma trận A =
. Chéo hóa trực
1 5






1
1 −1
6 0
giao ma trận A bởi ma trận trực giao P = √
và ma trận chéo D =
1
1
0 4
2




1
−1
1
1
Đường cong ( C) có ptrình trong hệ trục Ouv với hai véctơ cơ sở là √ , √ , √ , √
là:
2
2
2
2
. Đây là đường cong ellipse. Hệ trục Ouv thu được từ hệ Oxy bằng cách
6 ( u + 16 ) 2 + 4 ( v + 34 ) 2 = 11
12
o
quay 1 góc 4 5 ngược chiều kim đồng hồ.