Bài giảng Hình học lớp 12: Luyện tập Thể tích khối đa diện - Trường THPT Bình Chánh

TRƯỜNG THPT BÌNH CHÁNH

TỔ TỐN
KHỐI 12


LUYỆN TẬP
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN


Câu 1. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC. ABC  có cạnh đáy là 2a và khoảng cách từ A đến
mặt phẳng ( ABC ) bằng a . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC 
A. 2 2a 3 .

3a 3 2
B.
.
2

 Gọi M là trung điểm của BC
 Ta có BC ⊥ AM (vì ABC đều)
và BC ⊥ AA
Nên BC ⊥ ( AAM )
Suy ra BC ⊥ AE

 Dựng AE ⊥ AM , khi đó AE ⊥ ( ABC )
Do đó d ( A; ( ABC ) ) = AE = a

a3 2
C.
.

2

D.

2a 3
.
2


Câu 1. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC. ABC  có cạnh đáy là 2a và khoảng cách từ A đến
mặt phẳng ( ABC ) bằng a . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC 
A. 2 2a 3 .

3a 3 2
B.
.
2

a3 2
C.
.
2

 AAM vuông tại A với đường cao AE nên
1
1
1
1
1
1

1
1
=
+

=
−
= 2−
2
2
2
2
2
2
AE
AA
AM
AA
AE
AM
a (a 3) 2
a 6
 AA =
2


 Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  là:
a 6 (2a ) 2 3 3a 3 2
V=


=
2
4
2
Chọn B

D.

2a 3
.
2


Câu 2. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a , AD = 2a , SA vng
a
góc với đáy, khoảng cách từ A đến ( SCD ) bằng . Tính thể tích khối chóp theo a .
2
4 15 3
a .
B.
15

4 15 3
a .
A.
45

Kẻ AH ⊥ SD (1) .

CD ⊥ AD

Ta có 
 CD ⊥ ( SAD )
CD ⊥ SA
 CD ⊥ AH

( 2) .

Từ (1) , ( 2 ) ta có AH ⊥ ( SCD )

a
 d ( A, ( SCD ) ) = AH  AH = .
2

2 5 3
a .
C.
15

2 5 3
a .
D.
45


Câu 2. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a , AD = 2a , SA vng
a
góc với đáy, khoảng cách từ A đến ( SCD ) bằng . Tính thể tích khối chóp theo a .
2
4 15 3
a .

A.
45

4 15 3
a .
B.
15

2 5 3
a .
C.
15

1
1
1
= 2+
Trong SAD ta có
2
AH
SA AD2
 SA =

AH . AD
AD 2 − AH 2

a
 2a
2a 15
= 2

.
=
2
15
a
2
4a −
4

Vậy thể tích khối chóp S . ABCD là

1
1 2a 15
4 15 3
V = SA. AB. AD = 
.a.2a =
a .
3 15
45
3

Chọn A

2 5 3
a .
D.
45


Câu 3. Cho hình chóp đều S . ABCD với O là tâm đáy. Khoảng cách từ O đến mặt bên bằng 1

và góc giữa mặt bên với đáy bằng 450 . Thể tích của khối chóp S . ABCD bằng
A. V =

4 2
.
3

B. V =

8 2
.
3

Gọi I là trung điểm của CD
 OI ⊥ CD , CD = 2OI .

SO ⊥ CD
Nên CD ⊥ ( SOI )  CD ⊥ OH
Kẻ OH ⊥ SI tại H
 OH ⊥ ( SCD )  d ( O, ( SCD ) ) = OH = 1.

 ( SCD )  ( ABCD ) = CD

Ta có  SI  ( SCD ) , SI ⊥ CD
OI  ( ABCD ) , OI ⊥ CD


 ( ( SCD ) , ( ABCD ) ) = ( SI , OI ) = SIO = 450.

C. V = 2 3 .

D. V =

4 3
.
3


Câu 3. Cho hình chóp đều S . ABCD với O là tâm đáy. Khoảng cách từ O đến mặt bên bằng 1
và góc giữa mặt bên với đáy bằng 450 . Thể tích của khối chóp S . ABCD bằng
A. V =

4 2
.
3

B. V =

8 2
.
3

OH

C. V = 2 3 .

1
Xét tam giác vuông HIO  OI =
=
= 2

0
sin SIO sin 45
 CD = 2OI = 2 2.
Ta có SIO là tam giác vuông cân tại O  SO = OI = 2.

Vậy VS . ABCD
Chọn B

(

)

2
1
1
8 2
2
= ( CD ) .SO = 2 2 . 2 =
.
3
3
3

D. V =

4 3
.
3

Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có mặt bên ( SCD ) hợp với mặt đáy một góc 45 và
khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD ) bằng a 3 . Thể tích khối chóp S . ABCD bằng

4a 3
A.
.
3

a3 2
B.
.
3

Gọi M là trung điểm cạnh SC
Khi đó: SM ⊥ CD tại M trong ( SCD )
và OM ⊥ CD tại M trong ( ABCD ) .
Khi đó:

(( SCD ) , ( ABCD ) ) = ( SM , OM ) = SMO = 45 .

Suy ra: SOM vuông cân tại O .

C. 2a 3 3 .

D. a3 6 .


Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có mặt bên ( SCD ) hợp với mặt đáy một góc 45 và
khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD ) bằng a 3 . Thể tích khối chóp S . ABCD bằng

4a 3
A.
.
3

a3 2
B.
.
3

Trong ( SOM ) , dựng OH ⊥ SM tại H .
Ta có: a 3 = d ( A, ( SCD ) ) = 2d ( O, ( SCD ) ) = 2OH .
a 3
 OH =
2

a 6
Suy ra: SO = OM =
.
2
2

 VS . ABCD

1
1 a 6  a 6
2
3
= .SO. AD = .
.  2.

 = a 6
3
3 2 
2 
Chọn D

C. 2a 3 3 .

D. a3 6 .


Câu 5. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy là hình vng, mặt bên ( SAB ) là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD )
3 7a
bằng
. Thể tích V của khối chóp S . ABCD là
7

2 3
A. V = a .
3

3 3
B. V = a .
2

1 3
D. V = a .
3

C. V = a .
3

S

 Gọi H , I lần lượt là trung điểm của AB và CD ,
K là hình chiếu của H trên SI
Ta có SH ⊥ ( ABCD ) ;

HK ⊥ ( SCD )

K
B

3 7a
và HK =
.
7

C

H
A

I
D


Câu 5. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy là hình vng, mặt bên ( SAB ) là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD )

3 7a
bằng
. Thể tích V của khối chóp S . ABCD là
7

2 3
A. V = a .
3

3 3
B. V = a .
2

1 3
D. V = a .
3

C. V = a .
3

S

 Đặt AB = 2 x  SH = x 3 .
Vì tam giác SHI vng tại H
1
1
1
=
+
nên

.
2
2
2
HK
SH
HI
7
1
1
a 3
=
+

x
=
Suy ra
.
2
2
2
9a
3x
4x
2

K
B

C

H
A

I
D


Câu 5. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy là hình vng, mặt bên ( SAB ) là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD )
3 7a
bằng
. Thể tích V của khối chóp S . ABCD là
7

2 3
A. V = a .
3

3 3
B. V = a .
2

(

 Diện tích đáy S = a 3

)

2

1 3
D. V = a .
3

C. V = a .
3

S

= 3a 2 ;

3
 Chiều cao h = SH = a
2
Vậy thể tích V của khối chóp S . ABCD là
1
3a 3
V = S. h =
.
3
2

K
B

C

H

Chọn B

A

I
D