Bài giảng Giải tích lớp 12: Lũy thừa - Trường THPT Bình Chánh

TRƯỜNG THPT BÌNH CHÁNH

TỔ TỐN
KHỐI 12


CHỦ ĐỀ:
LŨY THỪA


I - KHÁI NIỆM LŨY THỪA
1. Lũy thừa với số mũ nguyên .
Hãy tính :

(1,5) = 1,5.1,5.1,5.1,5
3
 2  = − 2
 −   3
 3

( 3)
Có :

= 5, 0625

4

5

=

 2
 . −
 3

  2  =− 8
 . − 
27
 3

( 3 ).( 3 ).( 3 ).( 3 ).( 3 )

=9 3

Cho n là số nguyên dương .
Với a là số thực tùy ý , lũy thừa bậc n của a là tích của n số a

a n = a.a....a
n so

Với a ≠ 0

Chú ý :
00 và 0- n
khơng có nghĩa

a0 = 1
a

−n

1
= n
a

Trong biểu thức am , ta gọi a là cơ số , số nguyên m là số mũ


−10

Ví dụ 1 :

Giải :

Ví dụ 2 :

Giải :

−9

−4
1
−3
−2
−1  1 
Tính giá trị của biều thức : A =   .27 + ( 0, 2 ) .25 + 128 .  
3
2
1
1
1

1 9
A = 310. 3 +
.
+
.2 = 3 + 1 + 4 = 8
4
2
27 0, 2 25 128


−1
a
2
2
2
a
Rút gọn biều thức :
B=
− −1  .
( a  0 ; a  1)
−1
2
 (1 + a )
a  1 − a −2



Với a ≠ 0 , a ≠  1 ta có :

1

B =  a 2. (1 + a 2 ) − 2 2.a  . 3
a (1 − a −2 )

1
=  a 2 + a3 . 2 − 2a 2  . 3
a −a
1
= a 2 ( a 2 − 1) .
= 2
2
a ( a − 1)


2. Phương trình xn = b .
Dựa vào đồ thị hàm số y = x3 và y = x4 hãy biện luận theo b số nghiệm của các
phương trình x3 = b và x4 = b
y

y
y=

x3

y=b

y=b

O

Đồ thị y = x 2k + 1 có dạng như đồ thị hàm số y = x3

Đồ thị y = x 2k có dạng như đồ thị hàm số y = x4
Nên biện luận được số nghiệm của phương trình xn = b như sau :

a) Trường hợp n lẻ :
Với mọi số thực b phương trình có nghiệm duy nhất

b) Trường hợp n chẵn :
• b < 0 phương trình vơ nghiệm
• b = 0 phương trình có 1 nghiệm x = 0

• b > 0 phương trình có 2 nghiệm đối nhau .

y = x4

O

x


3. Căn bậc n .
Cho số nguyên dương n , phương trình an = b đưa đến 2 bài tốn ngược nhau :
• Biết a tìm b ( là tính lũy thừa của 1 số )
• Biết b tính a ( dẫn đến khái niệm lấy căn của 1 số )

a) Khái niệm :

Cho số thực b và số nguyên dương n ( n ≥ 2) . Số a được gọi là căn bậc n
của số b nếu an = b .

Ví dụ 2 và – 2 là căn bậc 4 của 16 ;

1
−
3

là căn bậc 5 của

−

1
243

Từ định nghĩa và kết quả biện luận về số nghiệm của phương trình xn = b . Ta có :

a) Trường hợp n lẻ và b  R :
Có duy nhất một căn bậc n của b . Kí hiệu :

n

b

b) Trường hợp n chẵn và b  R :
• b < 0 : Không tồn tại căn bậc n của b .

• b = 0 : Có một căn bậc n của b là số 0 .
• b > 0 : Có hai căn bậc n của b trái dấu . Kí hiệu :

n b

b) Tính chất của căn bậc n :
Từ định nghĩa có các tính chất sau :
n

a. b =
n

( a)
n

m

=

n
n

n

ab

n

am

n k

n

Chứng minh tính chất sau :

n


a
n
a =

a

a)

5

b)

a
b

a = n.k a

Khi n lẻ
Khi n chẵn

a)

5

4. 5 −8

4. 5 −8 = 5 4. ( −8 ) = 5 −32 = −2
3

n

a . n b = n ab

Ví dụ 3 : Rút gọn biều thức :

Giải :

a
=
b

3 3=

3

( 3)

3

= 3

b)

3

3 3

4. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

.

r=

Cho số thực a dương và số hữu tỉ

m
n

, trong đó m  Z , n  N , n ≥ 2 .

a =a

Lũy thừa của a với số mũ r là số ar xác định bởi :

Ví dụ 4 :

a)

Ví dụ 5 :
Giải :

Tính :

a)

1
 
8

1
3

b)

1
3

1 1
1
3
=
=
 
8 2
8

b)

Rút gọn biều thức :

4

−

3

2

4

−

3
2

c) a
1

= 4−3 =

4

D=

r

5
4

3

=
5
4

x y + xy

4
x+4 y

1
8

m
n

=

n

am

1
n

c)

1
n

a =na

( x, y  0 )

Với x , y > 0 ta có :
1
 14


4
xy  x + y 
4
4 y
xy
x
+

 =
D=
4
4
x+4 y
x+4 y

(

) = xy

( a  0 ; n  2)


5. Lũy thừa với số mũ vô tỉ

.

Cho a là số dương và  số vô tỉ . Ta thừa nhận rằng ln có dãy số hữu tỉ (rn) có
giới hạn là  và dãy số tương ứng
a rn

Có giới hạn không phụ thuộc việc chọn dãy số (rn)
Ta gọi giới hạn dãy số

(a )
rn

a = lim a rn
n →+

( )

Là lũy thừa của a với số mũ  . Kí hiệu : a

voi  = lim rn
n →+

•Từ định nghĩa suy ra 1 = 1

II - TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC
•Lũy thừa với số mũ thực có tính chất tương tự lũy thừa số mũ nguyên dương .

Cho a , b những số thực dương ,  ,  số thực tùy ý . Ta có :




a .a = a

( ab )



 +

a
 −
=
a
a

( a ) = a




= a b

a
a
  = 
b
b

• Nếu a > 1 thì a > a khi và chỉ khi  > 
• Nếu a < 1 thì a > a khi và chỉ khi  < 


Ví dụ 6 :
Giải :

Rút gọn biều thức :

E=

Với a > 0 ta có :

a
E=
(
a

7 +1+ 2 − 7
2 −2

)(

2 +2

)

7 +1

a

(a

.a 2−

2 −2

)

7

a3
= −2 = a 5
a

a
(
F =

Tương tự làm nhanh Rút gọn biều thức :

a

Ví dụ 7 :
Giải :

( a  0)

2 +2

5 −3

Khơng sử dụng máy tính hãy so sánh các số :
Ta có :

2 3=

12 & 3 2 =

Và cơ số 5 > 1 nên có :

3
Tương tự làm nhanh so sánh :  
4

52
8

3

 53

3 −1

)

.a

3 +1

4− 5

52

3

( a  0)

& 53

2

18  2 3  3 2
2

3
&  
4

3