BAI TAP NHI THUC NEWTON

Chủ đề 10 :

NHỊ THỨC NEWTƠN


A/ BÀI TẬP MẪU:
1. Tìm hệ số của x
5
trong khai triển của biểu thức:
11 7
2
2
1 1
A x x
x x
   
   
   
   


Giải:

Cơng thức khai triển của biểu thức là:
 
 
11 7
7
11 2
11 7
2

0 0
11 7
11 3 14 3
11 7
0 0
1 1

1
k
n
k k n
n
k n
k
k k n n
k n
A C x C x
x x
A C x C x


 
 
 
 
  
 
 
   
 

 

Để số hạng chứa x
5
vậy k=2 và n=3 Vậy hệ số của x
5
là
2 3
11 7
90
C C
 


2. Tính tổng:
0 1 2 1004
2009 2009 2009 2009
    S C C C C

Giải:
0 1 2 1004
2009 2009 2009 2009
    S C C C C
(1)

2009 2008 2007 1005
2009 2009 2009 2009
    S C C C C
(2) (vì



k n k
n n
C C
)

 
2009
0 1 2 1004 1005 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009
2 1 1         S C C C C C C


2008
2
 S

3. Khai triển và rút gọn biểu thức
n
xnxx )1( )1(21
2
 thu được đa thức
n
n
xaxaaxP  )(
10
. Tính hệ số
8
a biết rằng
n

là số ngun dương thoả mãn
n
CC
nn
171
32

.
Giải:
Ta cã











nnnnnn
n
nCC
nn
1
)2)(1(
!3.7
)1(
2

3
171
32

§ã lµ
.89.9.8
8
9
8
8
 CC


.9
0365
3
2






 n
nn
n

Suy ra
8
a lµ hƯ sè cđa

8
x
trong biĨu thøc
.)1(9)1(8
98
xx 


4. Tính tổng
0 1 2 2009
2009 2009 2009 2009
S C 2C 3C 2010C    
.
Giải:
Xét đa thức:
      
2009 0 1 2 2 2009 2009
2009 2009 2009 2009
f (x) x(1 x) x(C C x C x C x )


    
0 1 2 2 3 2009 2010
2009 2009 2009 2009
C x C x C x C x .

* Ta có:
    
/ 0 1 2 2 2009 2009
2009 2009 2009 2009

f (x) C 2C x 3C x 2010C x


     
/ 0 1 2 2009
2009 2009 2009 2009
f (1) C 2C 3C 2010C (a)

* Mặt khác:
      
/ 2009 2008 2008
f (x) (1 x) 2009(1 x) x (1 x) (2010 x)


 
/ 2008
f (1) 2011.2 (b)

 Từ (a) và (b) suy ra:

2008
S 2011.2 .


5. Chöùngminh

 
k,n Z
thõa mãn
 3 k n

ta luôn có:

   

    
k k 1 k 2 k k 3 k 2
n n n n 3 n n
C 3C 2C C C C
.
Giaûi:
Ta có:
      
 
         
k k 1 k 2 k k 3 k 2 k k 1 k 2 k 3 k
n n n n 3 n n n n n n n 3
C 3C 2C C C C C 3C 3C C C
(5)
     
         
      
            
k k 1 k 1 k 2 k 2 k 3 k k 1 k 2 k k 1 k 1 k 2
n n n n n n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
VT(5) C C 2 C C C C C 2C C C C C C

=

  
 

k k 1 k
n 2 n 2 n 3
C C C
( điều phải chứng minh)

6. Giải phương trình
1 2 2 3
2
2
x x x x
x x x x
C C C C
  

  
(
k
n
C
là tổ hợp chập k của n phần tử)
Giaûi:
ĐK :
2 5
x
x N
 





Ta có
1 1 2 2 3 1 2 3 2 3
2 1 1 2 2 2
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
C C C C C C C C C C
      
     
        
(5 )! 2! 3
x x
    


7. Tính giá trị biểu thức:
2 4 6 100
100 100 100 100
4 8 12 200
A C C C C
    
.
Giaûi:
Ta có:
 
100
0 1 2 2 100 100
100 100 100 100
1
x C C x C x C x

     
(1)

 
100
0 1 2 2 3 3 100 100
100 100 100 100 100
1
x C C x C x C x C x
      
(2)
Lấy (1)+(2) ta được:
   
100 100
0 2 2 4 4 100 100
100 100 100 100
1 1 2 2 2 2
x x C C x C x C x
       

Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được
   
99 99
2 4 3 100 99
100 100 100
100 1 100 1 4 8 200
x x C x C x C x
      

Thay x=1 vào

=>
99 2 4 100
100 100 100
100.2 4 8 200
A C C C
    


8. Tìm hệ số x
3
trong khai triển
n
x
x







2
2
biết n thoả mãn:
2312
2
3
2
1
2

2 
n
nnn
CCC

Khai triển: (1+x)
2n
thay x=1;x= -1 và kết hợp giả thiết được n=12
Giaûi:

Khai trin:











12
0
324
12
12
2
2
2

k
kkk
xC
x
x
h s x
3
:
77
12
2C
=101376

9. Tìm hệ số của số hạng chứa x
2
trong khai triển nhị thức
Niutơn của
n
x
x









4

2
1

biết rằng n là số nguyên dơng thỏa mãn:
1
6560
1
2
3
2
2
2
2
1
2
3
1
2
0





n
C
n
CCC
n
n

n
nnn


(
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử)
Giaỷi:



2
0
nn
n
22
n
1
n
0
n
2
0
n
dxxCxCxCCdx)x1(I
2
0
1nn

n
32
n
21
n
0
n
xC
1n
1
xC
3
1
xC
2
1
xC











suy ra I
n

n
1n
2
n
3
1
n
2
0
n
C
1n
2
C
3
2
C
2
2
C2




(1)
Mặt khác
1n
13
)x1(
1n

1
I
1n
2
0
1n







(2)
Từ (1) và (2) ta có
n
n
1n
2
n
3
1
n
2
0
n
C
1n
2
C

3
2
C
2
2
C2




1n
13
1n





Theo bài ra thì
7n65613
1n
6560
1n
13
1n
1n

Ta có khai triển























7
0

4
k314
k
7
k
k
7
0
4
k7
k
7
7
4
xC
2
1
x2
1
xC
x2
1
x

Số hạng chứa x
2
ứng với k thỏa mãn
2k2
4
k314

Vậy hệ số cần tìm là
4
21
C
2
1
2
7
2



10. Tỡm h s ca x
8
trong khai trin (x
2
+ 2)
n
, bit:
49CC8A
1
n
2
n
3
n

.
iu kin n 4
Giaỷi:
Ta cú:





n
0k
knk2k
n
n
2
2xC2x

H s ca s hng cha x
8
l
4n4
n
2C


Ta cú:
3 2 1
n n n
A 8C C 49

(n 2)(n 1)n 4(n 1)n + n = 49
n
3
7n
2
+ 7n 49 = 0 (n 7)(n
2
+ 7) = 0 n = 7
Nờn h s ca x
8
l
2802C
34
7


B- BAỉI TAP Tệẽ LUYEN :
1. (C_Khi D 2008) Tỡm s hng khụng cha x rtrong khai trin nh thc Newton ca
18
5
1
2

x
x
, (x>0).
2. (H_Khi D 2008) Tỡm s nguyờn dng n tha món h thc
2048
12
2
3
2
1
2

n
nnn
CCC
. (
k
n
C
l s t hp chp k ca n phn t).
3. (H_Khi D 2007) Tỡm h s ca x
5
trong khai trin thnh a thc ca
x(12x)
5
+x2(1+3x)
10
.

4. (H_Khi D 2005) Tớnh giỏ tr biu thc

!1
3
34
1




n
AA
M
nn
, bit rng
14922
2
4
2
3
2
2
2
1

nnnn
CCCC
(n l s nguyờn dng,
k
n

A
l s chnh hp chp k ca n
phn t v
k
n
C
l s t hp chp k ca n phn t)
5. (H_Khi D 2004) Tỡm s hng khụng cha x rtrong khai trin nh thc Newton ca
7
4
3
1









x
x
vi x>0.
6. (H_Khi D 2003) Vi n l s nguyờn dng, gi a
3n3
l h s ca x
3n3
trong khai trin
thnh a thc ca (x

2
+1)
n
(x+2)
n
. Tỡm n a
3n3
=26n.
7. (H_Khi D 2002) Tỡm s nguyờn dng n sao cho
2048242
210

n
n
n
nnn
CCCC
.
8. (H_Khi B 2008) Chng minh rng
k
n
k
n
k
n
CCC
n
n 111
2
1

1
11














(n, k l cỏc s nguyờn
dng, kn,
k
n
C
l s t hp chp k ca n phn t).
9. (H_Khi B 2007) Tỡm h s ca s hng cha x
10
trong khai trin nh thc Newton ca
(2+x)
n
, bit:
3
n

C
n
0
3
n1
C
n
1
+3
n2
C
n
2
3
n3
C
n
3
+ +(1)
n
C
n
n
=2048 (n l s nguyờn dng,
k
n
C
l s t hp
chp k ca n phn t).
10. (H_Khi B 2003) Cho n l s nguyờn dng. Tớnh tng

n
n
n
nnn
C
n
CCC
1
12
3
12
2
12
1
2
3
1
2
0









, (
k

n
C
l s t hp chp k ca n phn t)
11. (H_Khi A 2008) Cho khai trin (1+2x)
n
=a
0
+a
1
x+ +a
n
x
n
, trong ú nN* v cỏc h s
a
0
, a
1
,a
n
tha món h thc
4096
2
2
1
0

n
n
a

a
a
. Tỡm s ln nht trong cỏc s a
0
,
a
1
,a
n
.
12. (H_Khi A 2007) Chng minh rng
1
2
2
12
2
5
2
3
2
1
2
12
12
2
1
6
1
4
1

2
1
n
n
n
nnnn
C
n
C
n
CCC





,
(
k
n
C
l s t hp chp k ca n phn t).
13. (H_Khi A 2006) Tỡm s hng cha x
26
trong khai trin nh thc Newton ca
n
x
x

7
4
1
, bit rng
12
20
12
2
12
1
12


n
nnn
CCC
, (n nguyờn dng v
k
n
C
l s t hp
chp k ca n phn t).
14. (ĐH_Khối A 2005) Tìm số ngun dương n sao cho
 
20052.122.42.32.2

12
12
24
12
33
12
22
12
1
12



n
n
n
nnnn
CnCCCC 
, (
k
n
C
là số tổ hợp chập k
của n phần tử).
15. (ĐH_Khối A 2004) Tìm hệ số của x
8
trong khai triển thành đa thức của [1+x
2
(1x)]
8

.
16. (ĐH_Khối A 2003) Tìm số hạng chứa x
8
trong khai triển nhị thức Newton của
n
x
x







5
3
1
, biết rằng
 
37
3
1
4




nCC
n
n

n
n
, (n ngun dương, x>0, (
k
n
C
là số tổ hợp chập
k của n phần tử).

17. (ĐH_Khối A 2002) Cho khai triển nhị thức
n
x
n
n
n
x
x
n
n
x
n
x
n
n
x
n
n
x
x
CCCC










































































3
1
3
2
1
1
3
1
2
1
1
2
1
0
3
2
1
22222222 

(n là số ngun dương). Biết rằng trong khai triển đó
13
5
nn
CC 
và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n
và x.

18. (ĐH-A DB2-2005) Tìm hệ số của số hạng chứa
7
x
trong khai triển đa thức:
 
2
2 3
n
x

biết
rằng n là số ngun dương thoả mãn:
1 3 5 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
1024
n
n n n n
C C C C

   
    
(

k
n
C
là tổ hợp
chập k của n phần tử )
19. (ĐH A–DB1-2006) p dụng công thức Newtơn (x
2
+x)
100
. Chứng minh rằng:

99 100 198 199
0 1 99 100
100 100 100 100
1 1 1 1
100 101 199 200 0
2 2 2 2
C C C C
       
    
       
       

20. (ĐH-D-2004) Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của
7
3
4
1
x
x

 

 
 
với x > 0.

21. (ĐH-A-2004) Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển của biểu thức:
 
8
2
1 1 .
x x
 
 
 

22. (ĐH-A-2003) Tìm hệ số của số hạng chứa
8
x
trong khai triển nhị thức Newton của:
5
3
1
n
x
x
 


 
 
, biết rằng:
1
4 3
7( 3)
n n
n n
C C n

 
  
( n là số ngun dương, x > 0 ).
23. (ĐH-D-2003) Với n là số ngun dương, gọi
3 3n
a

là hệ số của
3 3n
x

trong khai triển thành
đa thức của
 
 
2
1 2 .
n
n

x x 
Tìm n để
3 3
26 .
n
a n



24. (ĐH-A-2006) Tìm hệ số của số hạng chứa
26
x
trong khai triển nhị thức Newton của:
7
4
1
n
x
x
 

 
 
, biết rằng:
1 2 3 20
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1.
n
n n n n
C C C C

   
     
( n là số ngun dương, x > 0 ).
25. (ĐH B –DB2-2007) Tìm hệ số của x
8
trong khai triển (x
2
+ 2)
n
, biết:
49CC8A
1
n
2
n
3
n

.
26. (ĐH D -DB1-2007) Chứng minh với mọi n ngun dương ln có

     
0C1C1 C1nnC
1n
n
1n
2n
n
2n
1

n
0
n





.
27. (ĐH A –DB2-2008) Tìm hệ số của số hạng chứa x
5
trong khai triển nhị thức Newton
(1+3x)
2n
biết rằng
1002
23

nn
AA
(n là số nguyên dương)
28. (ĐH B –DB1-2008) Cho số nguyên n thỏa mãn
)3(35
)2)(1(
33



n
nn

CA
nn
. Tính tổng
n
n
n
nnn
CnCCCS )1( 43.2
2423222


29. (ĐH B –DB2-2008) Khai triển nhị thức Newton
n
n
n
n
n
n
n
n
n
CxCxCxCx 

)1(
22110

30. (ĐH D –DB1-2008) Chứng minh rằng với n là số nguyên dương

n 0 n 1 1 n 1 n 1
n n n

n.2 C (n 1).2 C 2C 2n.3
  
    

31. (ĐH-A-2008) Cho khai triển:
 
0 1
1 2 .
n
n
n
x a a x a x
    
Trong đó
*
n N

và các hệ số
0 1, ,
,
n
a a a
thỏa mãn hệ thức:
1
0
4096
2 2
n
n
aa

a    
. Tìm số lớn nhất trong các số:
0 1
, , , .
n
a a a

32. (ĐH-A-2002) Cho khai triển nhị thức:
1
1
1 1 1 1
0 1 1
3 3 3 32 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
n n n
n n
x x x xx x x x
n n
n n n n
C C C C


      

       
     
     
       
     
     

       
( n là số nguyên
dương ). Biết rằng trong khai triển đó
3 1
5
n n
C C

và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x.

33. (ĐH-A-2005) Tìm số nguyên dương n sao cho:
 
1 2 2 3 3 4 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2.2 3.2 4.2 2 1 .2 2005.
n n
n n n n n
C C C C n C

    
      


34. (ĐH-B-2003) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng:
2 3 1
0 1 2
2 1 2 1 2 1
.
2 3 1
n

n
n n n n
C C C C
n

  
   


35. (ĐH-D-2002) Tìm số nguyên dương n sao cho:
0 1 2
2 4 2 243.
n n
n n n n
C C C C    

36. (ĐH-D-2005) Tính giá trị của biểu thức:
 
4 3
1
3
,
1 !
n n
A A
M
n





biết rằng:
2 2 2 2
1 2 3 4
2 2 149
n n n n
C C C C
   
   
( n là số nguyên dương ).