Tài liệu Bài tập nhị thức Newton nâng cao pdf

Nhị thức NIU-TƠN Nhóm
Trang 1
TỔ HỢP - NHỊ THỨC NIUTƠN
A. Lý thuyết:
I. TỔ HỢP:
1. Định nghĩa:
Cho n phần tử khác nhau. Một tổ hợp chập n phần tử là một tập con chứa r phần
tử
2.
Số tổ hợp n chập r là



 
)!(!
!
....3.2.1
)1)...(3)(2(1
rnr
n
r
rnnnnn
C
r
n





3. Tính chất:

a)
CC
rn
n
r
n




b)
1
0

CC
n
nn

,
n
CC
n
nn

11

c)
CCC
r
n

r
n
r
n
1
11




d)
CC
r
n
r
n
r
rn
1
1
1





e)
2
........
210

n
n
nnnn
CCCC



II. NHỊ THỨC NIUTƠN


   
bCbaCaCaC
ba
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
1
.......
222110




(1)

Nhận xét: trong biểu thức ở VP của công thức (1)
- Số hạng tử là n+1.
- Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến
n, nhưng tồng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n
(qui ước a
0
= b
0
= 1).
- Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.
- Số hạng tử thứ k+1 la T
k+1
= C
n
k
a
n – k
b
k

Chú ý:
a = b = 1 ta có
CCCCCC
n
n
n
n
k

nnnn
n

1210
........
2

a=1; b= -1 ta có 0
   
CCCCC
n
n
n
k
n
k
nnn
11
......
210



B. BÀI TẬP
Dạng 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton
Dạng 2: Rút gọn, tính giá trị của biểu thức
Dạng 3: Giải phương trình
Dạng 4: Tìm giá trị của hệ số trong khai triển Newton
Phương pháp:
Ta có :

 
baC
ba
iin
n
i
i
n
n





0

Khi đó:
Nhị thức NIU-TƠN Nhóm
Trang 2
Hệ số của số hạng tử thứ i là
C
i
n

Số hạng tử thứ i là
baC
iini
n


Ta có:
     
xC
xx
C
xx
iin
n
i
i
n
iin
n
i
i
n
n









)(
00

Khi đó:

Hệ số của
x
k
là
C
i
n
trong đó I là nghiệm của phương trình :
kiin 

)(

Khi k = 0 đó là số hạng không phụ thuộc vào x

Dạng 5: Sử dụng khai triển Newton chứng minh đẳng thức - bất đẳng thức

Nhị thức NIU-TƠN Nhóm
Trang 3
BÀI TẬP NHỊ THỨC NIU – TƠN


Dạng 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn
Dạng 2: Rút gọn, tính giá trị biểu thức
Dạng 3: Giải phương trình
Bài 1: a)
 
5

2ba 
=



5
0
5
5
.)2.(
k
kkk
abC

=
500
5
.)2.( abC
+
411
5
.)2.( abC
+ … +
055
5
.)2.( abC

=
5
a

+
4
10ba
+
32
40 ab
+
23
80 ab
+
ab
4
80
+
5
32b

Bài 2: Viết 3 số hạng đầ tiên theo lũy thừa tăng dần của x trong khai triển

 
8
23 x
=



5
0
8
5

)2.()3.(
k
kkk
xC

Bài 3: Tính
a) S=
5
5
52
5
21
5
0
5
... CxCxxCC 

Ta có:

2433
2...223
2...22)21(
...)1(
5
5
5
52
5
21
5

0
5
5
5
5
52
5
21
5
0
5
5
5
5
52
5
21
5
0
5
5




S
CCCC
CCCC
CxCxxCCx

c) C =
0
n
C
+
2
1
n
C
+ … +
1n
C
n
n


 
dxx
n


1
0
1
=
 
dxxCxCC
nn

nnn


1
0
10
...
=
1
0
1
1
)1(



n
x
n
=
1
12
1



n
n

Vậy C =

1
12
1



n
n

d) D =
1
n
C
- 2
2
n
C
+ … +
1
)1(


n
. n.
n
n
C


 

')1(
n
x
=
 
 
nn
n
n
nnnn
xCxCxCxCC 1...
332210


-n
1
)1(


n
x
=
 
12321
1...32


nn
n
n

nnn
xnCxCxCC

Chọn n
1
)11(


n
= D

D = 0
Bài 4: Rút gọn biểu thức:
A =
12
2
3
2
1
2
...


n
nnn
CCC

B =
n
nnn

CCC
2
2
2
2
0
2
...

Ta có A + B =
12
2
3
2
1
2
...


n
nnn
CCC
+
n
nnn
CCC
2
2
2
2

0
2
...

=
n
)11( 

=
n
2
(1)


Nhị thức NIU-TƠN Nhóm
Trang 4
và A - B =
12
2
3
2
1
2
...


n
nnn
CCC
-

 
n
nnn
CCC
2
2
2
2
0
2
...

=
n
)11( 

= 0 (2)
Từ (1) và (2), ta có
12
2


n
BA


Bài 5: Giải phương trình:

10921
...



x
x
c
x
x
x
x
x
CCCC
= 1023
)10( x



109210
...
xxxxx
CCCCC 
= 1024



x
2
=
10
2



x
=
10


Dạng 4: Tìm giá trị của hệ số trong khai triển Niu-tơn
Bài 1: Tìm số hạng thứ 13 của khai triển
 
15
3
23 

Ta có số hạng thứ k+1 của khai triển là
T
kkk
k
C )2.()3.(
15
3
151




Theo giả thuyết T

1k

T
13


k+1 = 13

k = 12
Khi đó T
123
3
12
1513
)2.()3.(C

= 87360.
Vậy T
13
= 87360
Bài 2: Tìm số hạng thứ 5 của khai triển
13
3
1







z

z
, số hạng nào chứa z với mũ
số tự nhiên.
Giải
Ta có số hạng thứ k+1 của khai triển là
T
kkk
k
z
zC )
1
.(.
3
13
131





Theo giả thuyết T

1k
T
5
k+1 = 5 k = 4
Khi đó T
4
3
94

135
)
1
.(.
z
zC


= 715.
3
8
z
z

Vậy T
5
= 715.
3
8
z
z

Mặt khác, ta có: T
kkk
k
z
zC )
1
.(.
3

13
131






k
k
k
zC )1.(.
3
439
13



Do đó, z có số mũ tự nhiên 39 – 4k 3 (0 ≤ k ≤13)






 k
k
439
34 

Nhị thức NIU-TƠN Nhóm
Trang 5













9
6
3
0
k
k
k
k


+ Với k=0 T
1
=
13
z

+ Với k=3 T
4
= -
93
13
.zC
= -286
9
z

+ Với k=6 T
7
=
56
13
.zC
= 1716
5
z

+ Với k=9 T
10
= -
19
13
.zC
= -175
z

Vậy các số hạng chứa z với số mũ tự nhiên là
T
1
=
13
z
, T
3
= -286
9
z
, T
7
= 1716
5
z
, T
10
= -175
z

Bài 3: Viết lại P(x) =
 
x1
+ 2
 
2
1 x
+ … + 20
 

20
1 x
dưới dạng
P(x) = a
0
+ a
1
x

+ a
2
2
x
+ … + a
20
20
x
. Tìm a
9
Giải

Ta có: P(x) =
 
x1
+ 2
 
2
1 x
+ … + 20
 

20
1 x

= (1 + 2
0
2
C
+ 3
0
3
C
+ … + 20
0
20
C
) + (1 + 2
1
2
C
+ 3
1
3
C
+ … + 20
1
20
C
)
x

+ (2
2
2
C
+ 3
2
3
C
+ … + 20
2
20
C
)
2
x
+ … + 20
20
20
C
20
x



a
9
= 9
9
9
C

+ 10
9
10
C
+ … + 20
9
20
C

Bài 4: Trong khai triển
n
xxx










15
28
3
hãy tìm số hạng không phụ thuộc x, biết:

n
n
C

+
1n
n
C
+
2n
n
C
= 79
Giải Ta có
n
n
C
+
1n
n
C
+
2n
n
C
= 79


1 + n +
 
2
1nn
= 79



2
n
+ n - 156 = 0








13
12
n
n


n = 12
Số hạng thứ k + 1 là T
 
k
kn
k
k
xxxC













15
28
3
81
..
=
 
5
16
3
4
.
kn
k
n
xC


Số hạng không phụ thuộc biến



5
16
3
4 kn

= 0

k = 5


5
12
C
= 792
Bài 6 : Cho biết ba hạng tử đầu tiên của khai triển
n
x
x









4
2

1
có các hệ số là
3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng. Tìm tất cả các hạng tử hữu tỷ của khai triển
trên.
Giải