Kiến thức và bài tập nhị thức newton

NHỊ THỨC NEWTON

1. Công thức Newton
Định lí:
0 1 1 2 2 2 1 1
( ) ...
n n n n n n n n
n n n n n
a b C a C a b C a b C ab C b
   
      

2.Nhận xét
Trong khai triển Newton (a+b)
n
có các tính chất sau
* Gồm có n+1 số hạng
* Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n
*Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
*Các hệ số có tính đối xứng:
k n k
nn
CC



* Số hạng tổng quát :
1
k n k k
kn
T C a b





VD: Số hạng thứ nhất
0
1 0 1
n
n
T T C a


, số hạng thứ k
1 1 1
( 1) 1
k n k k
kn
T C a b
   



3. Một số hệ quả
Hq: Ta có :
0 1 2 2
(1 ) ...
n n n
n n n n
x C xC x C x C     

Từ khai triển này ta có các kết quả sau
*
01
... 2
nn
n n n
C C C   

*
0 1 2
... ( 1) 0
nn
n n n n
C C C C     

3. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Xác định các yếu tố trong khai triển như
*Xác định hệ số của x
k
trong khai triển
* Xác định hệ số không chứa x
PP: Dùng công thức khai triển , khi đó
1
k n k k
kn
T C a b




1) Trong khai triển
 
40
2
1
f x x
x




, hãy tìm hệ số của
31
x

2) Hãy tìm trong khai triển nhị thức
18
3
3
1
x
x




số hạng độc lập đối với
x

3) Tìm số hạng không chứa

x
trong khai triển
17
4
3
3
2
1
x
x






4) Tìm các số hạng không chứa
x
trong khai triển của
7
3
4
1
x
x





5) Tìm hệ số của số hạng chứa
8
x
trong khai triển nhị thức của
5
3
1
n
x
x




, biết
 
1
43
73
nn
nn
C C n


  

6) Cho khai triển
11
0
33

22
(2 2 ) (2 ) ... (2 )
xx
xx
n n n n
nn
CC


   
(n là số nguyên
dương). Biết trong khai triển đó
31
5
nn
CC
và số hạng thứ tư bằng 20n. Tìm x và n?.
7)Trong khai triển nhị thức
28
3
15
n
x x x






, hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào

x
,
biết rằng
12
79
n n n
n n n
C C C

  

8)Hãy tìm
n
trong khai triển
11
24
1
2
n
xx





, biết rằng ba hệ số của ba số hạng đầu theo
thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
9)Cho biết hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển nhị thức
3
2

n
x
xx
x




bằng
36 . Hãy tìm số hạng thứ 7.
10)Tìm hệ số của số hạng chứa
4
x
trong khai triển
12
3
3
x
x





11)Tính hệ số của
25 10
xy
trong khai triển
 
15

3
x xy

12) Cho đa thức
       
9 10 14
1 1 ... 1P x x x x      
có dạng khai triển là
 
2 14
0 1 2 14
...P x a a x a x a x    
. Hãy tính hệ số
9
a
.
13)Cho đa thức
         
2 3 20
1 2 1 3 1 ... 20 1P x x x x x        
có dạng khai
triển là
 
2 20
0 1 2 20
...P x a a x a x a x    
. Hãy tính hệ số
15
a
.

14)Trong khai triển
   
10
11 10 9
1 2 10 11
1 2 ...x x x a x a x a x a       
, hãy tìm hệ
số
5
a
.
15)Khai triển
 
5
2 3 2 15
0 1 2 15
1 ...x x x a a x a x a x       

a) Hãy tính hệ số
10
a

b) Tính tổng
0 1 15
...T a a a   
và
0 1 2 15
...S a a a a    

16) Khai triển
 
10
2 2 20
0 1 2 20
1 2 3 ...x x a a x a x a x      

a) Hãy tính hệ số
4
a

b) Tính tổng
20
1 2 3 20
2 4 ... 2S a a a a    


17) Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển thành đa thức của
 
8
2
11xx




18) Tìm hai hạng tử chính giữa trong khai triển

 
15
3
x xy

19)Tìm hạng tử đứng giữa của khai triển
10
3
5
1
x
x





20)Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển
 
6
3 15

21) Tìm số hạng của khai triển
 
9
3
32
là một số nguyên
22)Trong khai triển
 

124
4
35
có bao nhiêu số hạng hữu tỉ.
23) Khai triển đa thức
   
12
2 12
0 1 2 12
1 2 ...P x x a a x a x a x      
. Tìm hệ số
lớn nhất trong khai triển trên. ( Tức là tìm
0 1 12
max( , ,..., )a a a
)
24) Trong khai triển
10
12
33
x




thành đa thức
9 10
0 1 9 10
...a a x a x a x   
, hãy tìm
hệ số

k
a
lớn nhất? (
0,1,2, , 10k 
).
25) Biết tổng các hệ số trong khai triển
 
2
1
n
x 
bằng 1024, hãy tìm hệ số a của số
hạng
12
ax
trong khai triển đó.

26) Với n là số nguyên dương, gọi a
3n-3
là hệ số của x
3n-3
trong khai triển thành đa
thức của (x
2
+1)
n
(x+2)
n
. Tìm n để a
3n-3

=26n.


Dạng 2: Tính tổng
0
n
kk
kn
k
T a C b




PP: Dựa vào khai triển nhị thức Newton
0 1 2 2
(1 ) ...
n n n
n n n n
x C xC x C x C     
, ta
chọn những giá trị x thích hợp
Ví dụ 1.Cmr:
0 2 2 1 3 2 1
2 2 2 2 2 2
) ... ...
nn
n n n n n n
a C C C C C C


      


0 1 1 0
) ...
k k k k
m n m n m n m n
b C C C C C C C


   

Ví dụ 2: Tính các tổng sau

0 1 2
1 1 1
) ...
2 3 1
n
n n n n
a C C C C
n
   



12
) 2 ...
n
n n n

b C C nC  


234
) 2.1. 3.2 4.3 ... ( 1)
n
n n n n
c C C C n n C    


0 2 2 4 4 2006 2006
2007 2007 2007 2007
) 2 2 ... 2d C C C C   

Ví dụ 3: Tìm số nguyên dương n sao cho:
0 1 2
2 4 ... 2 243
nn
n n n n
C C C C    

Ví dụ 4: Tìm hệ số của số hạng chứa x
26
trong khai triển nhị thức Newton của
7
4
1
()
n
x

x

, biết
1 2 20
2 1 2 1 2 1
... 2 1
n
n n n
C C C
  
    
.
Ví dụ 5: Áp dụng khai triển nhi thức Newton của (x
2
+x)
100
, chứng minh rằng
2 99 1 100 99 198 100 199
100 100 100 100
1 1 1 1
100 ( ) 101 ( ) ... 199 ( ) 200 ( ) 0
2 2 2 2
C C C C    

Ví dụ 6: Tính tổng
21
01
3 1 3 1
...
21

n
n
n n n
S C C C
n


   


Ví dụ 7: Tính tích phân
1
2
0
(1 )
n
I x x dx

và tính tổng
0 1 3 4
1 1 1 1 ( 1)
...
2 4 6 8 2( 1)
n
n
n n n n n
S C C C C C
n

     



Bài tập
1. Xét khai triển
20
1
(2 )x
x


a) Viết số hạng thứ k+1 trong khai triển
b) Số hạng nào trong khai triển không chứa x
2. Xác định hệ số của x
4
trong khai triển
2 10
( ) (3 2 1)f x x x  

3. Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau

28
3
15
) ( ) ( )
n
a f x x x x


biết rằng
12

78
nn
nn
CC


với x>0.
b)
7
3
4
1
( ) ( )f x x
x

với x>0

4. Giả sử n là số nguyên dương và
01
(1 ) ...
nn
n
x a a x a x    
. Biết rằng tồn tại số
nguyên k (
11kn
)sao cho
11
2 9 24
k k k

a a a


. Tính n=?
5. Tìm hệ số chứa x
8
trong khai triển nhị thứ Newton của
5
3
1
()
n
x
x

, biết rằng
1
43
7( 3)
nn
nn
C C n


  

6. Tìm hệ số của x
8
trong khai triển thành đa thức của [1+x
2

(1-x)]
8
.
7. Trong khai triển nhị thức
21
3
3
()
ab
ba

tìm hệ số của số hạng chứa a và b có
số mũ bằng nhau.
8. Cho n là số nguyên dương. Tính tổng
21
01
2 1 2 1
...
21
n
n
n n n
S C C C
n


   


9. Tìm số nguyên dương n sao cho

1 2 2 3 3 4 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2.2 3.2 4.2 ... (2 1)2 2005
nn
n n n n n
C C C C n C

    
      

10. Tìm hệ số của x
7
trong khai triển thành đa thức của (2-3x)
2n
, biết n là số nguyên
dương thỏa mãn
1 3 5 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
... 1024
n
n n n n
C C C C

   
    
.
11. Giả sử
2
0 1 2
(1 2 ) ...

nn
n
x a a x a x a x     
, biết rằng
01
... 729
n
a a a   
.
Tìm n và số lớn nhất trong các số a
0
,a
1
,…,a
n
.
12. Cho tập A có n phần tử . Tìm n biết rằng trong số các tập con của A có đúng 16n
tập con có số phần tử lẻ.
13. Tính tổng
1 2 2 2
2 ...
n
n n n
S C C n C   
.
14. Cho
1
2
0
2.4.6....(2 2)2

(1 )
1.3.5....(2 1)(2 1)
n
nn
I x dx
nn

  


. Hãy tính tổng sau
1 2 3
1 1 1 ( 1)
1 ...
3 5 7 2 1
n
n
n n n n
S C C C C
n

     


15. Tính các tổng sau

1 3 2 3 3 3
23
0 1 2 3
1 1 2 2 3 3

) 2 3 ...
2 2 2
) ...
3 4 1
) 3 2 3 3 3 ...
n
n n n n
n
n
n n n n n
n n n n
n n n n
a S C C C n C
b S C C C C C
n
c S C C C nC
  
    
     

    

16. .Với mỗi n là một số tự nhiên,hãy tính tổng:
0 1 2 2 3 3
1 1 1 1
2 2 2 ... 2
2 3 4 1
nn
n n n n n
C C C C C

n
    











Bổ sung các tính chất
Chứng minh các đẳng thức sau:
1
11
1
1
1
11
21
2
1 2 3 4
4
1)
2)
3)
4) 2 (2 )
5) 4 6 4 (4 )

k k k
n n n
kk
nn
k k k
n n n
k k k k
n n n n
k k k k k k
n n n n n n
A kA A
kC nC
C C C
C C C C k n
C C C C C C k n








   




    
      

6) mọi n≥2 ta ln có:
2 2 2
23
1 1 1 1
...
n
n
A A A n

   

7) Tính giá trị của biểu thức
43
1
3
( 1)!
nn
AA
M
n




biết
2 2 2 2
1 2 3 4
2 2 149
n n n n

C C C C
   
   

8. Tính tổng
2
1
1 1 1
2 ... ...
pn
n n n
n
pn
n n n
C C C
S C p n
C C C

     